Realfagshjørnet

MATTENØTT NR. 168 15. april 2021

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 168 – VANSKELIG OPPGAVE II

A) Regn ut summen

$\displaystyle \sum\limits_{x=1}^{n} 4 \cdot x^3 = 4 \cdot 1^3 + 4 \cdot 2^3 + ... + 4 \cdot n^3$

B) Beregn grenseverdien

$\displaystyle \lim\limits_{n \to \infty} \frac{4 \cdot 1^3 + 4 \cdot 2^3 + ... + 4 \cdot n^3}{5 n^4}$

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 167 – REKKER MED PARTALL OG ODDETALL

Gitt to rekker som begge har n antall ledd. Den ene med partall og den andre med oddetall. Disse kan skrives på følgende måte.

Rekken med de n første partall

$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n} 2k = 2 + 4 + 6 + ... + 2n$

Rekken med de n første oddetall

$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n} 2k - 1 = 1 + 3 + 5 + ... + 2n - 1$

Man kan finne summen av disse rekkene ved å beregne gjennomsnittet av leddene og multiplisere dette med antall ledd.

A) Hva blir summen til rekken av partallene?

$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n} 2k = 2 + 4 + 6 + ... + 2n$

$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n} 2k = \frac{2 + 2n}{2} \cdot n = \frac{2 (1 + n)}{2} \cdot n = n (n + 1)$

B) Hva blir summen til rekken av oddetallene?

$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n} 2k - 1 = 1 + 3 + 5 + ... + 2n - 1$

$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n} 2k - 1 = \frac{1 + 2n - 1}{2} \cdot n = \frac{2n}{2} \cdot n = n^2$

C) Hvilken av de to rekkene har størst sum?

(Alle spørsmålene er stilt under forutsetningen at begge har like mange ledd, altså n)

Siden n er det samme tallet i både A) og B) er alltid

$\displaystyle n (n + 1) > n^2$

$\displaystyle n^2 + n > n^2$

Konklusjon: Rekken av partall har størst sum.

n kan imidlertid være hvilket som helst naturlig tall $\mathbb{N}$ . De naturlige tallene er hele og positive tall. Mengden kan skrives

$\displaystyle \mathbb{N} = \{ 1, 2, 3, ... \}$

Hint: Se OPPGAVE 71 – FINN SUMMEN i artikkelen:

FØLGER, REKKER OG GJENNOMSNITT

Her står også svaret på B)

Neste artikkel kommer i mai. Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 167 22. mars 2021

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 167 – REKKER MED PARTALL OG ODDETALL

Gitt to rekker som begge har n antall ledd. Den ene med partall og den andre med oddetall. Disse kan skrives på følgende måte.

Rekken med de n første partall

$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n} 2k = 2 + 4 + 6 + ... + 2n$

Rekken med de n første oddetall

$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n} 2k - 1 = 1 + 3 + 5 + ... + 2n - 1$

Man kan finne summen av disse rekkene ved å beregne gjennomsnittet av leddene og multiplisere dette med antall ledd.

A) Hva blir summen til rekken av partallene?

B) Hva blir summen til rekken av oddetallene?

C) Hvilken av de to rekkene har størst sum?

(Alle spørsmålene er stilt under forutsetningen at begge har like mange ledd, altså n)

Hint: Se OPPGAVE 71 – FINN SUMMEN i artikkelen:

FØLGER, REKKER OG GJENNOMSNITT

Her står også svaret på B)

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 166 – ENKEL NØTT

Per er halvparten så gammel som faren sin. For noen år siden var de henholdsvis 8 og 31 år. Hva er alderen deres idag?

Kaller Per sin alder for x og faren sin alder for 2x (x:2x = 1:2, altså halvparten). Setter at det har gått y år siden de var henholdsvis 8 og 31 år. Dette gir:

31 + y = 2x

8 + y = x

y = x – 8

31 + x – 8 = 2x

x = 23

2x = 46

Svar: Per er 23 år og faren 46 år idag.

Neste artikkel kommer i april. Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 166 23. februar 2021

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 166 – ENKEL NØTT

Per er halvparten så gammel som faren sin. For noen år siden var de henholdsvis 8 og 31 år. Hva er alderen deres idag?

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 165 – VANSKELIG OPPGAVE

Gitt følgende trekant ABC

a, b og c er motstående sider til hjørnene A, B, og C. Det er tegnet en blå linje d til siden c. Denne deler siden c i to deler m og n(tegnet i rødt). Stewarts teorem sier at

$\displaystyle a^2 n + b^2 m = c(d^2 + mn)$

Bevis dette teoremet.

Først en ny figur:

$\displaystyle x^2 + h^2 = a^2$

$\displaystyle (m - x)^2 + h^2 = d^2$

$\displaystyle (m - x + n)^2 + h^2 = b^2$

$\displaystyle m + n = c$

$\displaystyle (c - x)^2 + h^2 = b^2$

$\displaystyle h^2 = a^2 - x^2$

$\displaystyle (m - x)^2 + a^2 - x^2 = d^2$

$\displaystyle m^2 - 2mx + x^2 + a^2 - x^2 = d^2$

$\displaystyle m^2 - 2mx + a^2 = d^2$

$\displaystyle x = \frac{d^2 - a^2 - m^2}{-2m}$

$\displaystyle (c - x)^2 + a^2 - x^2 = b^2$

$\displaystyle c^2 - 2cx + x^2 + a^2 - x^2 = b^2$

$\displaystyle c^2 - 2cx + a^2 = b^2$

$\displaystyle x = \frac{b^2 - a^2 - c^2}{-2c}$

$\displaystyle x = x$

$\displaystyle \frac{d^2 - a^2 - m^2}{-2m} = \frac{b^2 - a^2 - c^2}{-2c}$

$\displaystyle -2c (d^2 - a^2 - m^2) = -2m (b^2 - a^2 - c^2)$

$\displaystyle 2c (-d^2 + a^2 + m^2) = 2m (-b^2 + a^2 + c^2)$

$\displaystyle -2cd^2 + 2ca^2 + 2cm^2 = -2mb^2 + 2ma^2 + 2mc^2$

$\displaystyle -2cd^2 + 2a^2(c - m) + 2mb^2 = 2mc^2 - 2cm^2$

$\displaystyle -2cd^2 + 2a^2n + 2mb^2 = 2mc (c - m)$

$\displaystyle 2a^2n + 2mb^2 = 2cd^2 + 2mnc$

$\displaystyle a^2n + mb^2 = c(d^2 + mn)$

$\displaystyle a^2 n + b^2 m = c(d^2 + mn)$

Neste artikkel kommer i mars. Hilsen erty56.

JULENØTTER 2020 – FASIT 14. januar 2021

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds julenøtter:

OPPGAVE 160 – MYNT OG KRONE

Man kaster et kronestykke 2 ganger. Det lander på krone eller mynt.

Kaller mynt M og krone K. Mulige utfall blir:

A) Hva er sannsynligheten for å få krone begge 2 ganger?

$\displaystyle P(KK) = \frac{1}{4}$

B) Hva er sannsynligheten for å få mynt og krone en gang hver?

$\displaystyle P(MK) + P(KM) = \frac{1 + 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

OPPGAVE 161 – ENKELT REGNESTYKKE

Regn ut produktet

$\displaystyle (\sqrt{3} + \sqrt{3} - \sqrt{3})(\sqrt{4} - \sqrt{4} + \sqrt{4})(\sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3})$

$\displaystyle = (\sqrt{3})(\sqrt{4})(\sqrt{3}) = \sqrt{3 \cdot 4 \cdot 3} = \sqrt{36} = 6$

OPPGAVE 162 – BANKINNSKUDD

Et beløp på 10.000 kr settes inn på en bankkonto. Renten er 5 % de første 5 årene. Deretter 7 % de neste 3 årene, og deretter 4 % i 2 år. Hva har beløpet vokst til i løpet av disse 10 årene?

$\displaystyle K = [10.000 \ kr \ (1 + \frac{5}{100})^5] (1 + \frac{7}{100})^3 (1 + \frac{4}{100})^2$

$\displaystyle = 16.910,814 \ kr \ \approx 16.911 \ kr$

OPPGAVE 163 – PARABEL

Gitt annengradsfunksjonen

$\displaystyle f(x) = x^2 + bx + c$

med bunnpunkt i (1 , 0). Finn b og c.

Hint: Se

ANNENGRADSLIGNINGER OG PARABELEN

Denne oppgaven kan løses på flere måter. Her følger en av dem:

Siden funksjonen har bunnpunkt i (1 , 0) er x = 1 dobbeltrot i f(x) = 0, da grafen skjærer x-aksen (y = 0) i kun dette ene punktet.

$\displaystyle a(x - 1)^2 = x^2 + bx + c$

$\displaystyle a(x^2 - 2x + 1) = x^2 + bx + c$

$\displaystyle x^2 - 2x + 1 = x^2 + bx + c$

Svar: b = -2 og c = 1

OPPGAVE 164 – LIGNINGER OG LINJER

Gitt to ligninger med to ukjente på generell form

$\displaystyle ax + by + c = 0$

$\displaystyle dx + ey + f = 0$

To slike ligninger kan tegnes som to linjer i planet på tre forskjellige måter. Linjene er tegnet i blått på alle illustrasjonene.

1) Et krysningspunkt (x , y)

2) Parallelle og ikke-sammenfallende linjer

3) Parallelle og sammenfallende linjer

Ligningene har tre mulige løsninger:

A) Ingen løsning

B) Uendelig mange løsninger

C) En løsning

Hvilke av illustrasjonene 1), 2) og 3) tilsvarer A) B) og C) ?

De tre forskjellige løsningsmengdene tilsvarer de tre illustrasjonene:

1) og C)

Et krysningspunkt (x , y) tilsvarer en eksakt løsning for x og samtidig y.

2) og A)

Ingen krysningspunkter (parallelle og ikke-sammenfallende linjer) tilsvarer ingen løsning for x og y.

3) og B)

Uendelig mange krysningspunkter (parallelle og sammenfallende linjer) tilsvarer uendelig mange løsninger for x og y.

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 165 – VANSKELIG OPPGAVE

Gitt følgende trekant ABC

a, b og c er motstående sider til hjørnene A, B, og C. Det er tegnet en blå linje d til siden c. Denne deler siden c i to deler m og n(tegnet i rødt). Stewarts teorem sier at

$\displaystyle a^2 n + b^2 m = c(d^2 + mn)$

Bevis dette teoremet.

Neste artikkel kommer i februar. Hilsen erty56.

JULENØTTER 2020 14. desember 2020

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Denne gangen kommer julenøtter i form av noen nye matematiske quiz og grublerier:

OPPGAVE 160 – MYNT OG KRONE

Man kaster et kronestykke 2 ganger. Det lander på krone eller mynt.

A) Hva er sannsynligheten for å få krone begge 2 ganger?

B) Hva er sannsynligheten for å få mynt og krone en gang hver?

OPPGAVE 161 – ENKELT REGNESTYKKE

Regn ut produktet

$\displaystyle (\sqrt{3} + \sqrt{3} - \sqrt{3})(\sqrt{4} - \sqrt{4} + \sqrt{4})(\sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3})$

OPPGAVE 162 – BANKINNSKUDD

OPPGAVE 163 – PARABEL

Gitt annengradsfunksjonen

$\displaystyle f(x) = x^2 + bx + c$

med bunnpunkt i (1 , 0). Finn b og c.

Hint: Se

ANNENGRADSLIGNINGER OG PARABELEN

OPPGAVE 164 – LIGNINGER OG LINJER

Gitt to ligninger med to ukjente på generell form

$\displaystyle ax + by + c = 0$

$\displaystyle dx + ey + f = 0$

To slike ligninger kan tegnes som to linjer i planet på tre forskjellige måter. Linjene er tegnet i blått på alle illustrasjonene.

1) Et krysningspunkt (x , y)

2) Parallelle og ikke-sammenfallende linjer

3) Parallelle og sammenfallende linjer

Ligningene har tre mulige løsninger:

A) Ingen løsning

B) Uendelig mange løsninger

C) En løsning

Hvilke av illustrasjonene 1), 2) og 3) tilsvarer A) B) og C) ?

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 159 – TALLFØLGE

Gitt en følge av tall der det første tallet er 2. Følgen er gitt ved

$\displaystyle x_{n + 1} = x_n + 1 \indent der \ x_1= 2 \indent (n \ge 1)$

a) Finn tallene

$\displaystyle x_2 \ , \ x_3 \ , \ x_4 \ og \ x_5$

Dette er en rekursjonsformel der man alltid kan finne tallet $x_{n+1}$ , dersom man kjenner verdien av leddet foran $x_n$

Svaret blir

$\displaystyle x_2 = x_1 + 1 = 2 + 1 = 3$

$\displaystyle x_3 = x_2 + 1 = 3 + 1 = 4$

$\displaystyle x_4 = x_3 + 1 = 4 + 1 = 5$

$\displaystyle x_5 = x_4 + 1 = 5 + 1 = 6$

b) Finn produktet

$\displaystyle x_1 x_2 x_3 x_4 x_5 = 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720$

Merknad: Man kan også regne en såkalt differensligning, og vil få svaret

$\displaystyle x_n = 1 + n$

Da kan man direkte finne $x_n$ for enhver n.

Løsningsforslag til julenøttene blir lagt ut her på Realfagshjørnet i januar. God jul! Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 159 18. november 2020

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 159 – TALLFØLGE

Gitt en følge av tall der det første tallet er 2. Følgen er gitt ved

$\displaystyle x_{n + 1} = x_n + 1 \indent der \ x_1= 2 \indent (n \ge 1)$

a) Finn tallene

$\displaystyle x_2 \ , \ x_3 \ , \ x_4 \ og \ x_5$

b) Finn produktet

$\displaystyle x_1 x_2 x_3 x_4 x_5$

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 158 – INTEGRASJON

Regn ut integralet

$\displaystyle \int _{3}^{8} \frac{1}{1 + \sqrt{x + 1}} \ dx$

Hint: Benytt substitusjonen

$\displaystyle u = \sqrt{x + 1}$

Substitusjonen gir

$\displaystyle \int _{3}^{8} \frac{1}{1 + u} \ dx$

Kvadrerer for å finne x:

$\displaystyle u^2 = (\sqrt{x + 1})^2$

$\displaystyle u^2 = x + 1$

$\displaystyle x = u^2 - 1$

Derivasjon av x m.h.p. u:

$\displaystyle \frac{dx}{du} = 2u \indent \Leftrightarrow \indent dx = 2u \ du$

Regner først ut integralet uten integrasjonsgrensene:

$\displaystyle \int \frac{1}{1 + u} \ dx = \int \frac{1}{1 + u} \ 2u \ du = 2 \int \frac{u}{u + 1} \ du$

$\displaystyle \frac{u}{u + 1} = 1 - \frac{1}{u + 1}$

$\displaystyle 2 \int \frac{u}{u + 1} \ du = 2 \int 1 - \frac{1}{u + 1} \ du$

$\displaystyle = 2 (u - ln (u + 1)) + C = 2u - 2 \ ln (u + 1) + C$

Tilbake-substituerer:

$\displaystyle 2u - 2 \ ln (u + 1) + C = 2 \sqrt{x + 1} - 2 \ ln (\sqrt{x + 1} + 1) + C$

$\displaystyle \Downarrow$

$\displaystyle \int _{3}^{8} \frac{1}{1 + \sqrt{x + 1}} \ dx$

$\displaystyle = [2 \sqrt{x + 1} - 2 \ ln (\sqrt{x + 1} + 1)] _{3} ^ {8}$

$\displaystyle = [2 \sqrt{8 + 1} - 2 \ ln (\sqrt{8 + 1} + 1)] - [2 \sqrt{3 + 1} - 2 \ ln (\sqrt{3 + 1} + 1)]$

$\displaystyle = [2 \sqrt{9} - 2 \ ln (\sqrt{9} + 1)] - [2 \sqrt{4} - 2 \ ln (\sqrt{4} + 1)]$

$\displaystyle = [2 \cdot 3 - 2 \ ln (3 + 1)] - [2 \cdot 2 - 2 \ ln (2 + 1)]$

$\displaystyle = [6 - 2 \ ln \ 4] - [4 - 2 \ ln \ 3] = 6 - 2 \ ln \ 4 - 4 + 2 \ ln \ 3$

$\displaystyle = 2 - ln \ 4^2 + ln \ 3^2 = 2 - ln \ 16 + ln \ 9 = 2 + ln \ 9 - ln \ 16$

$\displaystyle = 2 + ln \ \frac{9}{16}$

(Konstantleddet C er sløyfet her, da det alltid blir borte i regnestykket).

Løsningsforslag til oppgave 159 og julenøtter blir lagt ut her på Realfagshjørnet i desember. Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 158 22. oktober 2020

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 158 – INTEGRASJON

Regn ut integralet

$\displaystyle \int _{3}^{8} \frac{1}{1 + \sqrt{x + 1}} \ dx$

Hint: Benytt substitusjonen

$\displaystyle u = \sqrt{x + 1}$

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 157 – LETT GEOMETRI VII

Gitt en trekant som på figuren under.

Den har tre vinkler a, b og c. Den ytre vinkelen til a er d. Summen av vinklene b og c er 120°. Hvor mange grader er vinklene a og d?

Summen av vinklene i en trekant er alltid 180°

a + b + c = 180°

a = 180° – (b + c)

a = 180° – (120°)

a = 60°

Summen av en indre og ytre vinkel langs en linje er alltid 180°

a + d = 180°

d = 180° – a

d = 180° – 60°

d = 120°

Neste artikkel kommer i november. Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 157 23. september 2020

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 157 – LETT GEOMETRI VII

Gitt en trekant som på figuren under.

Den har tre vinkler a, b og c. Den ytre vinkelen til a er d. Summen av vinklene b og c er 120°. Hvor mange grader er vinklene a og d?

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 156 – ANNENGRADSLIGNING

Gitt annengradsligningen

$\displaystyle ax^2 + bx + c = 0$

Den har to løsninger. Summen av løsningene er 3. Produktet av løsningene er 2.

1) Finn a, b og c.

Man skriver først opp ligningen på såkalt redusert form ved å dividere med a:

$\displaystyle ax^2 + bx + c = 0$

$\displaystyle \frac{a}{a} x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = \frac{0}{a}$

$\displaystyle x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0$

Følgende sammenheng mellom løsningene og koeffisientene gjelder alltid:

$\displaystyle x_1 + x_2 = - \frac{b}{a} \indent \wedge \indent x_1 x_2 = \frac{c}{a}$

Ifølge oppgaveteksten er:

$\displaystyle x_1 + x_2 = 3 \indent \wedge \indent x_1 x_2 = 2 \indent (*)$

Dette gir

$\displaystyle - \frac{b}{a} = 3 \indent \wedge \indent \frac{c}{a} = 2$

$\displaystyle \frac{b}{a} = -3 \indent \wedge \indent \frac{c}{a} = 2$

$\displaystyle \Downarrow$

$\displaystyle x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = x^2 + (-3) x + 2 = x^2 - 3x + 2$

Svar: a = 1, b = – 3 og c = 2

2) Finn selve løsningene.

Man kan enten bruke (*), eller bare regne:

$\displaystyle x^2 - 3x + 2 = 0$

$\displaystyle (x - \frac{3}{2})^2 = -2 + (-\frac{3}{2})^2$

$\displaystyle (x - \frac{3}{2})^2 = -2 + \frac{9}{4}$

$\displaystyle (x - \frac{3}{2})^2 = \frac{9 + 4(-2)}{4}$

$\displaystyle (x - \frac{3}{2})^2 = \frac{9 - 8}{4}$

$\displaystyle (x - \frac{3}{2})^2 = \frac{1}{4}$

$\displaystyle \sqrt{(x - \frac{3}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4}}$

$\displaystyle x - \frac{3}{2} = \pm \frac{1}{2}$

$\displaystyle x = \frac{3}{2} \pm \frac{1}{2}$

$\displaystyle \Downarrow$

$\displaystyle x_1 = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2 \indent \vee \indent x_2 = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1$

Her er mer info om annengradsligninger:

ANNENGRADSLIGNINGER OG PARABELEN

Neste artikkel kommer i oktober. Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 156 26. august 2020

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Denne gangen kommer en ny mattenøtt, samt løsningsforslag til forrige måneds mattenøtt. Den inneholder bl.a. en parabel. Enhver parabel har en symmetrilinje $x_{sym}$ . Metode for å finne $x_{sym}$ gjennomgås til slutt i denne artikkelen. Først en ny nøtt:

OPPGAVE 156 – ANNENGRADSLIGNING

Gitt annengradsligningen

$\displaystyle ax^2 + bx + c = 0$

Den har to løsninger. Summen av løsningene er 3. Produktet av løsningene er 2.

1) Finn a, b og c.

2) Finn selve løsningene.

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 155 – TO FUNKSJONER

Gitt funksjonen f(x) = -x² + 3x + 1 og funksjonen g(x) = a. Disse funksjonene har grafer som krysser hverandre ved f(x) = g(x). Man vil ha følgende tre forskjellige tilfeller:

1) De har ingen fellespunkter.

2) De har ett fellespunkt.

3) De har to fellespunkter.

Finn g(x) = a for både 1), 2) og 3).

Hint: Tegn f(x), og se på f(x) = g(x).

f(x) er en parabel som ligger symmetrisk om symmetrilinjen $x_{sym}$ . Den har et toppunkt i $(x_{sym} , f(x_{sym}))$ . g(x) er en konstant funksjon, dvs. en rett linje parallell med x-aksen. Disse skjærer hverandre i akkurat et punkt når $g(x) = a = f(x_{sym})$ . Se figur:

Her er f(x) tegnet i blått og g(x) i rødt. Formelen for symmetrilinjen er gitt ved

$\displaystyle x_{sym} = \frac{-b}{2a} = \frac{-3}{2 \cdot (-1)} = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2}$

Man kan finne $f(x_{sym})$ :

$\displaystyle f(x_{sym}) = f(\frac{3}{2}) = - (\frac{3}{2})^2 + 3 \cdot \frac{3}{2} + 1 = - \frac{9}{4} + \frac{9}{2} + 1$

$\displaystyle = \frac{-9 + 9 \cdot 2 + 1 \cdot 4}{4} = \frac{-9 + 18 + 4}{4} = \frac{13}{4}$

Man kan se av figuren at dersom $g(x) > f(x_{sym})$ skjærer den ikke f(x) i det hele tatt. Dersom $g(x) < f(x_{sym})$ skjærer den f(x) i to punkter. Svaret blir altså:

1) De har ingen fellespunkter når g(x) = a > 13/4

2) De har ett fellespunkt når g(x) = a = 13/4

3) De har to fellespunkter når g(x) = a < 13/4

Her følger utledning av formelen for symmetrilinjen

$\displaystyle x_{sym} = - \frac{b}{2a}$

En generell annengradsfunksjon (parabel) er gitt ved

$\displaystyle f(x) = ax^2 + bx + c$

Man finner nullpunktene (skjæringspunkter med x-aksen) ved

$\displaystyle f(x) = 0$

$\displaystyle ax^2 + bx + c = 0$

Etter noe mellomregning blir dette

$\displaystyle x = \frac {-b +\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \indent \vee \indent x = \frac {-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

I og med at symmetrilinjen ligger midt mellom nullpunktene, finner man den ved å beregne gjennomsnittet, dvs:

$\displaystyle x_{sym} = \frac{\frac {-b +\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}}{2} = - \frac{b}{2a}$

Formelen er forøvrig gyldig når grafen ikke har nullpunkter også. (De to x-verdiene er da komplekse tall, og resultatet blir igjen -b/2a).

Dersom man ønsker å se på mellomregningen over, og mer info om emnet:

ANNENGRADSLIGNINGER OG PARABELEN

Neste artikkel kommer i september. Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 155 20. juli 2020

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 155 – TO FUNKSJONER

Gitt funksjonen f(x) = -x² + 3x + 1 og funksjonen g(x) = a. Disse funksjonene har grafer som krysser hverandre ved f(x) = g(x). Man vil ha følgende tre forskjellige tilfeller:

1) De har ingen fellespunkter.

2) De har ett fellespunkt.

3) De har to fellespunkter.

Finn g(x) = a for både 1), 2) og 3).

Hint: Tegn f(x), og se på f(x) = g(x).

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 154 – BYGGEPLASS

Fem menn graver ut jord fra bakken på en byggeplass. Hullet er 1 meter bredt, 3 meter langt og 2 meter dypt. Etter en stund er de ferdig. Hvor mye jord er det i hullet?

Svar: Ingenting. Når de etter en stund er ferdig, er jo hullet tomt.

Neste artikkel kommer i august. Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 154 24. juni 2020

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 154 – BYGGEPLASS

Fem menn graver ut jord fra bakken på en byggeplass. Hullet er 1 meter bredt, 3 meter langt og 2 meter dypt. Etter en stund er de ferdig. Hvor mye jord er det i hullet?

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 153 – FINN BRØKEN

Gitt brøken x/y. Dersom man legger til 1 i både teller og nevner, blir brøken 1/2. Dersom man trekker fra 1 i både teller og nevner, blir brøken 1/4. Hva er tallene x og y i brøken x/y?

Oppgaveteksten gir:

$\displaystyle \frac{x + 1}{y + 1} = \frac{1}{2} \indent \wedge \indent \frac{x - 1}{y - 1} = \frac{1}{4}$

$\displaystyle \Downarrow$

$\displaystyle 2(x + 1) = 1(y + 1) \indent \wedge \indent 4(x - 1) = 1(y - 1)$

$\displaystyle 2x + 2 = y + 1 \indent \wedge \indent 4x - 4 = y - 1$

$\displaystyle y = 2x + 2 - 1 = 2x + 1$

$\displaystyle 4x - 4 = y - 1 = 2x + 1 - 1 = 2x$

$\displaystyle 4x - 2x = 4$

$\displaystyle 2x = 4$

$\displaystyle x = 2$

$\displaystyle y = 2x + 1 = 2 \cdot 2 + 1 = 4 + 1 = 5$

Svar: x = 2 og y = 5. Brøken blir

$\displaystyle \frac{x}{y} = \frac{2}{5}$

Neste artikkel kommer i juli. Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 153 25. mai 2020

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 153 – FINN BRØKEN

Gitt brøken x/y. Dersom man legger til 1 i både teller og nevner, blir brøken 1/2. Dersom man trekker fra 1 i både teller og nevner, blir brøken 1/4. Hva er tallene x og y i brøken x/y?

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 152 – IDENTITET MED FUNKSJONER

Gitt

$\displaystyle [x^3 - 2x^2 + x - 2] f(x) = [x^3 - x^2 + x - 1] g(x)$

Finn f(x) og g(x). Merknad:

$\displaystyle f(x), g(x) \neq 0$

Løsningsforslag:

x = 2 gir [x³ – 2x² + x – 2] = 0

$\displaystyle [x^3 - 2x^2 + x - 2] : (x - 2) = x^2 + 1$

x = 1 gir [x³ – x² + x – 1] = 0

$\displaystyle [x^3 - x^2 + x - 1] : (x - 1) = x^2 + 1$

x² + 1 = 0 har ikke reelle løsninger, og x² + 1 kan derfor ikke faktoriseres.

$\displaystyle [x^3 - 2x^2 + x - 2] f(x) = [x^3 - x^2 + x - 1] g(x)$

$\displaystyle (x^2 + 1)(x - 2) f(x) = (x^2 + 1 )(x - 1) g(x)$

$\displaystyle \Downarrow$

$\displaystyle f(x) = x - 1 \indent \wedge \indent g(x) = x - 2$

Neste artikkel kommer i juni. Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 152 25. april 2020

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 152 – IDENTITET MED FUNKSJONER

Gitt

$\displaystyle [x^3 - 2x^2 + x - 2] f(x) = [x^3 - x^2 + x - 1] g(x)$

Finn f(x) og g(x). Merknad:

$\displaystyle f(x), g(x) \neq 0$

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 151 – VANSKELIG ALGEBRA

Gitt P = 1 · 2 · … · n og Q = 1 + 2 + … + n, der n er et naturlig tall. Vis at divisjonen P/Q kun går opp dersom n er et oddetall. (Et naturlig tall er hele positive tall: 1, 2, 3, …)

$\displaystyle \frac{P}{Q} = \frac{1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n}{1 + 2 + ... + n} = \frac{n!}{\sum_{k=1}^n k} = \frac{n!}{\frac{(1 + n)}{2} \cdot n } = \frac{2 \cdot n!}{n (n + 1)}$

$\displaystyle = \frac{2 \cdot n \cdot (n - 1)!}{n(n + 1)} = \frac{2 (n - 1)!}{n + 1}$

1) Partall: 2, 4, …

$\displaystyle \frac{P}{Q} = \frac{2 (n - 1)!}{n + 1} = \frac{2 (2 - 1)!}{2 + 1} = \frac{2 \cdot 1!}{3} = \frac{2}{3}$

$\displaystyle \frac{P}{Q} = \frac{2 (n - 1)!}{n + 1} = \frac{2 (4 - 1)!}{4 + 1} = \frac{2 \cdot 3!}{5} = \frac{12}{5}$

Man har allerede funnet to mot-eksempler. Divisjonen P/Q kan gå opp for noen partall, men den går ikke opp for alle partall.

2) Oddetall, n = 2m – 1, der m er et naturlig tall

$\displaystyle \frac{P}{Q} = \frac{2 (n - 1)!}{n + 1} = \frac{2 (2m - 1 - 1)!}{2m - 1 + 1} = \frac{2 (2m - 2)!}{2m} = \frac{(2m - 2)!}{m}$

m er alltid faktor i (2m – 2)!, så divisjonen P/Q går opp for alle oddetall.

Man kan skrive noen ledd for å se dette.

$\displaystyle \frac{0!}{1}, \frac{2!}{2}, \frac{4!}{3}, \frac{6!}{4}, \frac{8!}{5}, ...$

1 er faktor i 0!, 2 er faktor i 2!, 3 er faktor i 4!, 4 er faktor i 6!, 5 er faktor i 8! osv. (0! = 1)

Teller øker hele tiden mer enn nevner. Man har en garanti for at nevner m alltid er faktor i teller (2m – 2)!

Konklusjon: Divisjonen P/Q går kun generelt opp dersom n er et oddetall.

Neste artikkel kommer i mai. Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 151 27. mars 2020

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 151 – VANSKELIG ALGEBRA

Gitt P = 1 · 2 · … · n og Q = 1 + 2 + … + n, der n er et naturlig tall. Vis at divisjonen P/Q kun går opp dersom n er et oddetall. (Et naturlig tall er hele positive tall: 1, 2, 3, …)

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 150 – TO ENKLE TALLREKKER

Begge disse to tallrekkene har et tall som ikke hører hjemme blant de andre. Hvilket?

A) 1, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 13, 15, 17

Alle tallene er oddetall, bortsett fra 12 som er et partall.

Svar: 12

B) 1, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 23

Alle tallene er primtall, bortsett fra 21 som ikke er et primtall.

Svar: 21

Neste artikkel kommer i april. Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 150 26. februar 2020

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 150 – TO ENKLE TALLREKKER

Begge disse to tallrekkene har et tall som ikke hører hjemme blant de andre. Hvilket?

A) 1, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 13, 15, 17

B) 1, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 23

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 149 – NOE VANSKELIG GEOMETRI III

Gitt følgende figur:

Trekanten ABC har en innskrevet sirkel som tangerer alle sidene i trekanten. En slik sirkel kalles innsirkelen. Halveringslinjene til vinklene skjærer hverandre i innsenteret I, det samme som sentrum i sirkelen.

Vis at arealet av trekanten er det samme som radius r ganger halvparten av trekantens omkrets p, dvs:

$\displaystyle A(\Delta ABC) = r \cdot p$

Her følger ny figur:

$\displaystyle A(\Delta ABC) = \frac{x_1 \cdot r}{2} +\frac{x_2 \cdot r}{2} + \frac{y_1 \cdot r}{2} +\frac{y_2 \cdot r}{2} +\frac{z_1 \cdot r}{2} +\frac{z_2 \cdot r}{2}$

$\displaystyle A(\Delta ABC) = \frac{(x_1 + x_2) r + (y_1 + y_2) r + (z_1 + z_2) r}{2}$

$\displaystyle A(\Delta ABC) = [(x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) + (z_1 + z_2)] \frac{r}{2}$

$\displaystyle A(\Delta ABC) = 2p \cdot \frac{r}{2}$

$\displaystyle A(\Delta ABC) = r \cdot p$

Neste artikkel kommer i mars. Hilsen erty56.

JULENØTTER 2019 – FASIT 8. januar 2020

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

JULENØTTER 2019

Til slutt i innlegget følger en ny mattenøtt.

OPPGAVE 144 – KORTSTOKK

A) Man har 3 kort. Hvor mange rekkefølger kan de stokkes i?

B) Man har 5 kort. Hvor mange rekkefølger kan de stokkes i?

Generelt kan n elementer ordnes i n! rekkefølger.

$\displaystyle n! = n \cdot (n-1) \cdot ... \cdot 1$

A) Svar: 3! = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6

B) Svar: 5! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120

OPPGAVE 145 – TALLREKKE MED ET AVVIK

Gitt tallene 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 22, 34, 55. Hvilket tall hører ikke hjemme her?

Bytter man ut 22 med 21, vil hvert tall være summen av de to forrige tallene. Svar: 22 hører ikke hjemme her. Dette er forøvrig de første tallene i Fibonacci-tallfølgen. Det er en matematisk tallfølge man finner igjen i visse systemer i naturen.

OPPGAVE 146 – LETT GEOMETRI VI

Gitt en sirkel som på figuren under. Arealet av det skraverte(grå) området er A = ½π – 1

Hva blir arealet A av trekanten (blå farge) ?

Hint: Se OPPGAVE 143 – LETT GEOMETRI V

Arealet av kvartsirkelen er det samme som arealet av trekanten pluss arealet av det skraverte(grå) området.

$\displaystyle A(kvartsirkel) = A(trekant) + A(skravert)$

$\displaystyle \frac{1}{4} \pi r^2 = \frac{1}{2} r^2 + \frac{1}{2} \pi - 1$

$\displaystyle (\frac{1}{4} \pi - \frac{1}{2}) r^2 = \frac{1}{2} \pi - 1$

$\displaystyle r^2 = \frac{\frac{1}{2} \pi - 1}{\frac{1}{4} \pi - \frac{1}{2}} = \frac{2 (\frac{1}{4} \pi - \frac{1}{2})}{\frac{1}{4} \pi - \frac{1}{2}} = 2$

$\displaystyle \Downarrow$

$\displaystyle r = \sqrt{2}$

$\displaystyle A(trekant) = \frac{1}{2} r^2 = \frac{1}{2} (\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$

OPPGAVE 147 – REKKE AV PARTALL

Gitt en følge av n partall 2, 4, 6, … , 2n. Hva blir rekkens sum, dvs.

$\displaystyle \Sigma = 2 + 4 + 6 + ... + 2n$

Dette er en aritmetisk rekke med første ledd 2 og siste ledd 2n. Summen blir gjennomsnittet av første og siste ledd ganger antall ledd n, dvs:

$\displaystyle \Sigma = 2 + 4 + 6 + ... + 2n = \frac{2 + 2n}{2} \cdot n = \frac{2 (1 + n)}{2} \cdot n = n (n + 1)$

OPPGAVE 148 – NOE VANSKELIG GEOMETRI II

Gitt linjen XY. CZ står vinkelrett på linjen XY. AX og BY er parallelle med CZ. AY og BX skjærer hverandre i C. Se figur:

Vis at

$\displaystyle \frac{1}{CZ} = \frac{1}{AX} + \frac{1}{BY}$

Trekantene AXY og CZY er formlike:

$\displaystyle \Delta AXY \sim \Delta CZY$

$\displaystyle \frac{AX}{XY} = \frac{CZ}{ZY}$

$\displaystyle ZY = \frac{CZ \cdot XY}{AX}$

Trekantene CXZ og BXY er formlike:

$\displaystyle \Delta CXZ \sim \Delta BXY$

$\displaystyle \frac{CZ}{XZ} = \frac{BY}{XY}$

$\displaystyle XZ = \frac{CZ \cdot XY}{BY}$

$\displaystyle XZ + ZY = XY$

$\displaystyle \frac{CZ \cdot XY}{BY} + \frac{CZ \cdot XY}{AX} = XY$

$\displaystyle (\frac{CZ \cdot XY}{BY} + \frac{CZ \cdot XY}{AX}) \cdot \frac{1}{XY} = XY \cdot \frac{1}{XY}$

$\displaystyle \frac{CZ}{BY} + \frac{CZ}{AX} = 1$

$\displaystyle (\frac{CZ}{BY} + \frac{CZ}{AX}) \cdot \frac{1}{CZ} = 1 \cdot \frac{1}{CZ}$

$\displaystyle \frac{1}{BY} + \frac{1}{AX} = \frac{1}{CZ}$

$\displaystyle \frac{1}{CZ} = \frac{1}{AX} + \frac{1}{BY}$

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 149 – NOE VANSKELIG GEOMETRI III

Gitt følgende figur:

Vis at arealet av trekanten er det samme som radius r ganger halvparten av trekantens omkrets p, dvs:

$\displaystyle A(\Delta ABC) = r \cdot p$

Neste artikkel kommer i februar. Hilsen erty56.

JULENØTTER 2019 19. desember 2019

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Denne gangen kommer julenøtter i form av noen nye matematiske quiz og grublerier:

OPPGAVE 144 – KORTSTOKK

A) Man har 3 kort. Hvor mange rekkefølger kan de stokkes i?

B) Man har 5 kort. Hvor mange rekkefølger kan de stokkes i?

OPPGAVE 145 – TALLREKKE MED ET AVVIK

Gitt tallene 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 22, 34, 55. Hvilket tall hører ikke hjemme her?

OPPGAVE 146 – LETT GEOMETRI VI

Gitt en sirkel som på figuren under. Arealet av det skraverte(grå) området er A = ½π – 1

Hva blir arealet A av trekanten (blå farge) ?

Hint: Se OPPGAVE 143 – LETT GEOMETRI V

OPPGAVE 147 – REKKE AV PARTALL

Gitt en følge av n partall 2, 4, 6, … , 2n. Hva blir rekkens sum, dvs.

$\displaystyle \Sigma = 2 + 4 + 6 + ... + 2n$

OPPGAVE 148 – NOE VANSKELIG GEOMETRI II

Gitt linjen XY. CZ står vinkelrett på linjen XY. AX og BY er parallelle med CZ. AY og BX skjærer hverandre i C. Se figur:

Vis at

$\displaystyle \frac{1}{CZ} = \frac{1}{AX} + \frac{1}{BY}$

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 143 – LETT GEOMETRI V

Gitt en sirkel (svart farge) med en trekant i blå farge som på figuren:

Arealet av trekanten er A=2. Hva blir radius r i sirkelen?

I trekanten er både grunnlinje og høyde det samme som radius i sirkelen. Ergo blir

$\displaystyle \frac{r^2}{2} = 2$

$\displaystyle r^2 = 4$

$\displaystyle r = 2$

Svar: Radius r=2.

Løsningsforslag til julenøttene (OPPGAVE 144 – 148) blir lagt ut her på Realfagshjørnet i januar. God jul! Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 143 24. november 2019

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt.

OPPGAVE 143 – LETT GEOMETRI V

Gitt en sirkel (svart farge) med en trekant i blå farge som på figuren:

Arealet av trekanten er A=2. Hva blir radius r i sirkelen?

Løsningsforslag kommer i neste måned. Da vil det også bli lagt ut julenøtter. Hilsen erty56.

GRUNNLEGGENDE MENGDELÆRE 13. oktober 2019

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
Tags: matematikk nøtter, matte nøtter, mattenøtter
add a comment

Hei igjen!

Denne artikkelen gir en innføring i mengdelære. Notasjonsforklaringer står til slutt.

1 Innledning

En mengde betegnes med tegnene { og }. Innholdet i mengden er elementer. F.eks. er {a , b} mengden av a og b.

Rekkefølgen av elementene har ingenting å si, så {a , b} = {b , a} osv. Gitt annengradsligningen

$\displaystyle x^2 - 3x + 2 = 0$

$\displaystyle \Downarrow$

$\displaystyle x = 1 \indent \vee \indent x = 2$

$\displaystyle \Updownarrow$

$\displaystyle L = \{1 , 2\}$

L er løsningsmengden. Dette kan også skrives

$\displaystyle x \in \{1 , 2\}$

Like mengder har eksakt de samme elementene. F.eks.

$\displaystyle \{1 , 2 , 3\} = \{1 , 3 , 2 \} = \{3 , 1 , 2 \}$

osv. Ekvivalente mengder har like mange elementer. F.eks.

$\displaystyle \{1 , 2 , 3\} \sim \{a , b , c \} \sim \{r , w , g \}$

osv. Det har ingenting å si hva elementene er igjen, bare antallet.

Den tomme mengde betegnes ∅. Den er helt tom og inneholder ingen elementer. Ikke engang null. Den kan skrives

$\displaystyle \emptyset = \{ \}$

Gitt annengradsligningen

$\displaystyle x^2 = -1$

$\displaystyle \Downarrow$

$\displaystyle L = \emptyset$

Løsningsmengden er tom. Det finnes jo ingen løsninger av denne ligningen.

Alle mengder har delmengder. Man kan konstruere $2^n$ delmengder av en mengde med n elementer. Gitt mengden {1 , 2 , 3}. Den har tre elementer. Dette gir 2³ = 8 delmengder:

$\displaystyle \{1 , 2 , 3\}$

$\displaystyle \{1 , 2\}$

$\displaystyle \{1 , 3\}$

$\displaystyle \{2 , 3\}$

$\displaystyle \{1\}$

$\displaystyle \{2\}$

$\displaystyle \{3\}$

$\displaystyle \{ \}$

Altså alt fra den tomme mengde til hele mengden.

2 Definisjoner ved illustrasjoner

Unionen av to mengder A og B skrives

$\displaystyle A \cup B$

Unionen av to mengder A og B er mengden av alle elementer som er med i A og B og begge. Se figur II.

Snittet av to mengder A og B skrives

$\displaystyle A \cap B$

Snittet av to mengder A og B er mengden av alle elementer som bare er med i både A og B. Se figur III. (Snittet er det skraverte).

En delmengde A av B skrives

$\displaystyle A \subseteq B$

A er en delmengde av B. Hele A ligger i B, men B kan være større enn A. Se figur I. (A er det skraverte).

På figuren er faktisk A en ekte delmengde av B, dvs. A ⊂ B. Med dette menes at B har minst ett element mer enn A.

Disjunkte mengder A og B har tomt snitt, dvs.

$\displaystyle A \cap B = \emptyset$

De er adskilte og har ingen felles mengde eller elementer. Figur:

3 Generelle definisjoner og setninger

Definisjon mengde

$\displaystyle (y \textrm{ \ er \ en \ mengde}) \Leftrightarrow (\exists x) (x \in y \vee y = \emptyset)$

Definisjon den tomme mengde

$\displaystyle \emptyset = x \Leftrightarrow (\forall y) (y \notin x)$

Definisjon union

$\displaystyle (A \cup B = y) \Leftrightarrow (\forall x)(x \in y \Leftrightarrow x \in A \vee x \in B)$

$\displaystyle \wedge \ (y \textrm{ \ er \ en \ mengde})$

Av dette følger at

$\displaystyle A \cup B = B \cup A$

$\displaystyle A \cup A = A$

$\displaystyle A \cup \emptyset = A$

Definisjon snitt

$\displaystyle (A \cap B = y) \Leftrightarrow (\forall x)(x \in y \Leftrightarrow x \in A \wedge x \in B)$

$\displaystyle \wedge \ (y \textrm{ \ er \ en \ mengde})$

Av dette følger at

$\displaystyle A \cap B = B \cap A$

$\displaystyle A \cap A = A$

$\displaystyle A \cap \emptyset = \emptyset$

Definisjon delmengde

$\displaystyle A \subseteq B \Leftrightarrow (\forall x) (x \in A \Rightarrow x \in B)$

Av dette følger at

$\displaystyle A \subseteq A$

$\displaystyle (A \subseteq B \wedge B \subseteq A) \Rightarrow A = B$

$\displaystyle A \subseteq \emptyset \Rightarrow A = \emptyset$

Definisjon ekte delmengde

$\displaystyle A \subset B \Leftrightarrow (A \subseteq B \wedge A \neq B)$

Av dette følger at

$\displaystyle A \subset B \Rightarrow A \subseteq B$

Definisjon differensmengde

$\displaystyle A \backslash B = y \Leftrightarrow (\forall x)(x \in y \Leftrightarrow x \in A \wedge x \notin B) \wedge (y \textrm{ \ er \ en \ mengde})$

Av dette følger at

$\displaystyle A \backslash A = \emptyset$

$\displaystyle (A \cup B) \backslash B = A \backslash B$

$\displaystyle (A \cap B) \backslash B = \emptyset$

4 Notasjonsforklaringer

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 142 – HARMONISK REKKE

Følgende rekke kalles den harmoniske rekke:

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} + ...$

Finn

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$

Løsningsforslag:

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$

$\displaystyle = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + ... + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) + ...$

$\displaystyle = (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} + ...) - (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n}+\frac{1}{n+1} + ...)$

$\displaystyle = 1 - \lim_{n\to\ \infty} \frac{1}{n+1} = 1 - \lim_{n\to\ \infty} \frac{\frac{1}{n}}{1 + \frac{1}{n}} = 1 - \frac{0}{1 + 0} = 1 - 0 = 1$

Neste artikkel kommer i november. Hilsen erty56.

Artikkelen kan lastes ned som pdf-fil her:

GRUNNLEGGENDE_MENGDELÆRE

MATTENØTT NR. 142 24. september 2019

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
Tags: matematikk nøtter, matte nøtter, mattenøtter
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt.

OPPGAVE 142 – HARMONISK REKKE

Følgende rekke kalles den harmoniske rekke:

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} + ...$

Finn

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 141 – KVADRATRØTTER II

Gitt

$\displaystyle \sqrt{x^4 - 4x^2 - 6x + 13} = -x + 3$

Finn x.

Hint: Det blir fire løsninger.

Løsningsforslag:

$\displaystyle \sqrt{x^4 - 4x^2 - 6x + 13} = -x + 3$

$\displaystyle (\sqrt{x^4 - 4x^2 - 6x + 13})^2 = (-x + 3)^2$

$\displaystyle x^4 - 4x^2 - 6x + 13 = x^2 - 6x + 9$

$\displaystyle x^4 - 5x^2 + 4 = 0$

Setter y = x² Dette gir:

$\displaystyle y^2 - 5y + 4 = 0$

$\displaystyle (y - \frac{5}{2})^2 = -4 + (-\frac{5}{2})^2$

$\displaystyle (y - \frac{5}{2})^2 = \frac{9}{4}$

$\displaystyle \sqrt{(y - \frac{5}{2})^2} = \sqrt{\frac{9}{4}}$

$\displaystyle y - \frac{5}{2} = \pm \frac{3}{2}$

$\displaystyle y = \pm \frac{3}{2} + \frac{5}{2}$

$\displaystyle y = 1 \indent \vee \indent y = 4$

Deretter

$\displaystyle x^2 = 1 \indent \vee \indent x^2 = 4$

$\displaystyle \sqrt{x^2} = \sqrt{1} \indent \vee \indent \sqrt{x^2} = \sqrt{4}$

$\displaystyle x = \pm 1 \indent \vee \indent x = \pm 2$

$\displaystyle x = -1 \indent \vee \indent x = 1 \indent \vee \indent x = -2 \indent \vee \indent x = 2$

Ved kvadrering legges iblant til falske løsninger. Det har imidlertid ikke skjedd her. Alle fire løsninger passer i det opprinnelige uttrykket.

Neste artikkel kommer i oktober. Hilsen erty56.

« older posts

Realfagshjørnet

MATTENØTT NR. 168 15. april 2021

MATTENØTT NR. 167 22. mars 2021

MATTENØTT NR. 166 23. februar 2021

JULENØTTER 2020 – FASIT 14. januar 2021

JULENØTTER 2020 14. desember 2020

MATTENØTT NR. 159 18. november 2020

MATTENØTT NR. 158 22. oktober 2020

MATTENØTT NR. 157 23. september 2020

MATTENØTT NR. 156 26. august 2020

MATTENØTT NR. 155 20. juli 2020

MATTENØTT NR. 154 24. juni 2020

MATTENØTT NR. 153 25. mai 2020

MATTENØTT NR. 152 25. april 2020

MATTENØTT NR. 151 27. mars 2020

MATTENØTT NR. 150 26. februar 2020

JULENØTTER 2019 – FASIT 8. januar 2020

JULENØTTER 2019 19. desember 2019

MATTENØTT NR. 143 24. november 2019

GRUNNLEGGENDE MENGDELÆRE 13. oktober 2019

1 Innledning

2 Definisjoner ved illustrasjoner

3 Generelle definisjoner og setninger

4 Notasjonsforklaringer

MATTENØTT NR. 142 24. september 2019

Kategorier

Arkiv

Kilder

Realfagshjørnet

MATTENØTT NR. 168 15. april 2021

Share this:

Lik dette:

MATTENØTT NR. 167 22. mars 2021

Share this:

Lik dette:

MATTENØTT NR. 166 23. februar 2021

Share this:

Lik dette:

JULENØTTER 2020 – FASIT 14. januar 2021

Share this:

Lik dette:

JULENØTTER 2020 14. desember 2020

Share this:

Lik dette:

MATTENØTT NR. 159 18. november 2020

Share this:

Lik dette:

MATTENØTT NR. 158 22. oktober 2020

Share this:

Lik dette:

MATTENØTT NR. 157 23. september 2020

Share this:

Lik dette:

MATTENØTT NR. 156 26. august 2020

Share this:

Lik dette:

MATTENØTT NR. 155 20. juli 2020

Share this:

Lik dette:

MATTENØTT NR. 154 24. juni 2020

Share this:

Lik dette:

MATTENØTT NR. 153 25. mai 2020

Share this:

Lik dette:

MATTENØTT NR. 152 25. april 2020

Share this:

Lik dette:

MATTENØTT NR. 151 27. mars 2020

Share this:

Lik dette:

MATTENØTT NR. 150 26. februar 2020

Share this:

Lik dette:

JULENØTTER 2019 – FASIT 8. januar 2020

Share this:

Lik dette:

JULENØTTER 2019 19. desember 2019

Share this:

Lik dette:

MATTENØTT NR. 143 24. november 2019

Share this:

Lik dette:

GRUNNLEGGENDE MENGDELÆRE 13. oktober 2019

1 Innledning

2 Definisjoner ved illustrasjoner

3 Generelle definisjoner og setninger

4 Notasjonsforklaringer

Share this:

Lik dette:

MATTENØTT NR. 142 24. september 2019

Share this:

Lik dette:

Kategorier

Arkiv

Blogroll

Kilder