jump to navigation

JULENØTTER 2022 – FASIT 11. januar 2023

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
Tags: , , ,
add a comment

Hei igjen!

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds julenøtter:

OPPGAVE 192 – TO ENKLE TALLFØLGER II

A) Gitt tallene 0, 1/2, 2/3, x, 4/5, 5/6. Hvilket tall er x?

Alle tall er på formen (n-1)/n, der n går fra 1 til 6. Svar: x = 3/4.

B) Gitt tallene 2, 4, 8, x, 32, 64. Hvilket tall er x?

Alle tall er på formen 2n, der n går fra 1 til 6. Svar: x = 16.

gg

OPPGAVE 193 – TO TALLFØLGER II

A) Gitt tallene -1, 2, -3, x, -5, 6. Hvilket tall er x?

Alle tall er på formen (-1)n n, der n går fra 1 til 6. Svar: 4.

B) Gitt tallene -3, 9, -27, x, -243, 729. Hvilket tall er x?

Alle tall er på formen (-3)n, der n går fra 1 til 6. Svar: 81.

hh

OPPGAVE 194 – FUNKSJONER II

A) Gitt f(x) = x2 . Vis at

f(a \cdot b) = f(a) \cdot f(b)

f(a \cdot b) = (a \cdot b)^2 = a^2 \cdot b^2

f(a) \cdot f(b) = a^2 \cdot b^2

B) Er alltid

f(a \cdot b) = f(a) \cdot f(b)

for enhver vilkårlig funksjon f(x) ?

Nei, f.eks. gir f(x) = ln x

f(a \cdot b) = ln (a \cdot b) = ln \ a + ln \ b

f(a) \cdot f(b) = ln \ a \cdot ln \ b

ln \ a + ln \ b \neq ln \ a \cdot ln \ b

jj

OPPGAVE 195 – FINN AREALET

Gitt f(x) = cos x og g(x) = sin x på intervallet x \in [0 , 2 \pi] . Her er funksjonene tegnet opp, f(x) i blått og g(x) i rødt.

Finn arealet mellom grafene (grå farge).

Løsningsforslag:

Først en ny figur:

Man kan dele inn arealet i 8 deler, der hhv. 4 og 4 deler er like store(samme arealet). Dvs:

A_1 = A_2 = A_5 = A_6

A_3 = A_4 = A_7 = A_8

A_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} cos \ x - sin \ x \ dx

= [sin \ x + cos \ x] _{0}^{\frac{\pi}{4}}

= [sin \ \frac{\pi}{4} + cos \ \frac{\pi}{4}] - [sin \ 0 + cos \ 0]

= [\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}] - [0 + 1] = \frac{2}{\sqrt{2}} - 1 = \sqrt{2} - 1

A_3 = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} sin \ x \ dx

= [- cos \ x]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}

= [- cos \ \pi] - [- cos \ \frac{\pi}{2}] = - (-1) - (-0) = 1

Det totale arealet blir dermed:

A_{tot} = 4 \ A_1 + 4 \ A_3 = 4 (\sqrt{2} - 1) + 4 \cdot 1 = 4 \ \sqrt{2} - 4 + 4 = 4 \ \sqrt{2}

jj

OPPGAVE 196 – INTEGRASJON

Regn ut

\int \frac{2x^3 + x^2 - x - 1}{x^4 + x^3} \ dx

Hint: Brøken kan splittes opp i 3 brøker.

\frac{2x^3 + x^2 - x - 1}{x^4 + x^3} = \frac{2x^3 + x^2 - x - 1}{x^3 (x + 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x^3} + \frac{D}{x + 1}

Ax^2 (x + 1) + B \cdot x (x + 1) + C (x + 1) + D x^3 = 2x^3 + x^2 - x - 1

Ax^3 + Ax^2 + Bx^2 + Bx + Cx + C + D x^3 = 2x^3 + x^2 - x - 1

A + D = 2

A + B = 1

B + C = -1

C = -1

B = -1 - C = -1 - (-1) = -1 + 1 = 0

A = 1 - B = 1 - 0 = 1

D = 2 - A = 2 - 1 = 1

\frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x^3} + \frac{D}{x + 1} = \frac{1}{x} + \frac{0}{x^2} + \frac{-1}{x^3} + \frac{1}{x + 1}

\int \frac{2x^3 + x^2 - x - 1}{x^4 + x^3} \ dx = \int \frac{1}{x} - \frac{1}{x^3} + \frac{1}{x + 1} \ dx

= ln \mid x \mid - \frac{1}{1-3} x^{-2} + ln \mid x + 1 \mid + C

= ln \mid x \mid + \frac{1}{2x^2} + ln \mid x + 1 \mid + C

kk

Til slutt en ny mattenøtt:

OPPGAVE 197 – ANNENGRADSLIGNING II

Gitt x2 + 2x + c = 0. Finn verdiene til c når ligningen har

A) Ingen løsning

B) En løsning

C) To løsninger

hh

Neste artikkel kommer i februar. Godt nyttår! Hilsen erty56.

JULENØTTER 2022 12. desember 2022

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
Tags: , , ,
add a comment

Hei igjen!

Denne gangen kommer julenøtter i form av noen nye matematiske quiz og grublerier:

OPPGAVE 192 – TO ENKLE TALLFØLGER II

A) Gitt tallene 0, 1/2, 2/3, x, 4/5, 5/6. Hvilket tall er x?

B) Gitt tallene 2, 4, 8, x, 32, 64. Hvilket tall er x?

ll

OPPGAVE 193 – TO TALLFØLGER II

A) Gitt tallene -1, 2, -3, x, -5, 6. Hvilket tall er x?

B) Gitt tallene -3, 9, -27, x, -243, 729. Hvilket tall er x?

hh

OPPGAVE 194 – FUNKSJONER II

A) Gitt f(x) = x2 . Vis at

f(a \cdot b) = f(a) \cdot f(b)

B) Er alltid

f(a \cdot b) = f(a) \cdot f(b)

for enhver vilkårlig funksjon f(x) ?

jj

OPPGAVE 195 – FINN AREALET

Gitt f(x) = cos x og g(x) = sin x på intervallet x \in [0 , 2\pi] . Her er funksjonene tegnet opp, f(x) i blått og g(x) i rødt.

Finn arealet mellom grafene (grå farge).

jj

OPPGAVE 196 – INTEGRASJON

Regn ut

\int \frac{2x^3 + x^2 - x - 1}{x^4 + x^3} \ dx

Hint: Brøken kan splittes opp i 3 brøker.

ll

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 191 – VANSKELIG OPPGAVE III

Gitt en aritmetisk rekke der det første leddet er summen av de n første naturlige tall, dvs.

a_1 = 1 + 2 + ... + n

og rekkens divergens d = n. Finn summen til de n første leddene.

Løsningsforslag:

a_n = a_1 + (n - 1)d

a_n = 1 + 2 + ... + n + (n - 1)n

a_n = 1 + 2 + ... + n -1 + n^2

\sum = \frac{1 + 2 + ... + n + 1 + 2 + ... + n - 1 + n^2}{2} \cdot n

\sum = \frac{2(1 + 2 + ... + (n - 1)) + n + n^2}{2} \cdot n

1 + 2 + ... + (n - 1)

= \frac{1 + n - 1}{2} \cdot (n - 1)

= \frac{n (n - 1)}{2}

\sum = \frac{2(\frac{n (n - 1)}{2}) + n + n^2}{2} \cdot n

\sum = \frac{n (n - 1) + n + n^2}{2} \cdot n

\sum = \frac{n^2 - n + n + n^2}{2} \cdot n

\sum = \frac{2n^2}{2} \cdot n

\sum = n^2 \cdot n = n^3

hh

Løsningsforslag til julenøttene blir lagt ut her på Realfagshjørnet i januar. God jul! Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 191 29. november 2022

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
Tags: , , ,
add a comment

Hei igjen!

Her kommer denne månedens oppgave:

OPPGAVE 191 – VANSKELIG OPPGAVE III

Gitt en aritmetisk rekke der det første leddet er summen av de n første naturlige tall, dvs.

a_1 = 1 + 2 + ... + n

og rekkens divergens d = n. Finn summen til de n første leddene.

gg

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 190 – ALTERNERENDE REKKER

A) Gitt rekken

\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...

Har denne rekken en sum? Hva blir isåfall den?

Dersom en rekke konvergerer, har den en sum. En rekke som divergerer har ikke en sum.

Gitt \sum\limits_{n=0}^{\infty} a^n

Dersom \lim\limits_{n\to\infty} a^n \neq 0 divergerer \sum\limits_{n=0}^{\infty} a^n

\lim\limits_{n\to\infty} (-1)^n eksisterer ikke

\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n divergerer

B) Gitt rekken

\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n + 1} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - ...

Har denne rekken en sum? Hva blir isåfall den?

\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} = \frac{1}{1 + x^2}

\int \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} dx = \int \frac{1}{1 + x^2} dx

\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n + 1} \ x^{2n + 1} = arctan \ x

\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n + 1} = arctan \ 1 = \frac{\pi}{4}

kk

Julenøtter kommer i desember. Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 190 26. oktober 2022

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
Tags: , , ,
add a comment

Hei igjen!

Her kommer denne månedens oppgave:

OPPGAVE 190 – ALTERNERENDE REKKER

A) Gitt rekken

\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...

Har denne rekken en sum? Hva blir isåfall den?

B) Gitt rekken

\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n + 1} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - ...

Har denne rekken en sum? Hva blir isåfall den?

gg

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 189 – KULER

Man har en eske med kuler. Man ser ikke fargen på dem før man tar de ut av esken.

A) Gitt en eske med 5 blå og 7 røde kuler. Hvor mange kuler må man ta ut for å ha minst to av samme farge?

Dersom man tar ut to kuler kan man ha to av samme farge, men også to med ulike farger. Dersom man tar ut tre kuler har man enten 2 eller 3 av samme farge. Svar: 3 kuler.

B) Gitt en eske med 4 svarte, 6 røde og 5 blå kuler. Hvor mange må man ta ut for å ha minst to av samme farge?

Dersom man tar ut to kuler kan man ha to av samme farge, men også to med ulike farger. Dersom man tar ut tre kan man ha 2 eller 3 med samme farge, men også tre med ulike farger. Dersom man tar ut fire kuler må man imidlertid ha minst to av samme farge (evt. 3 eller 4 av samme farge). Svar: 4 kuler.

kk

Neste artikkel kommer i november. Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 189 23. september 2022

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
Tags: , , ,
add a comment

Hei igjen!

Her kommer denne månedens oppgave:

OPPGAVE 189 – KULER

Man har en eske med kuler. Man ser ikke fargen på dem før man tar de ut av esken.

A) Gitt en eske med 5 blå og 7 røde kuler. Hvor mange kuler må man ta ut for å ha minst to av samme farge?

B) Gitt en eske med 4 svarte, 6 røde og 5 blå kuler. Hvor mange må man ta ut for å ha minst to av samme farge?

jj

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 188 – OMVENDTE FUNKSJONER II

Gitt funksjonen f(x) = e^x

A) Finn definisjonsmengden og verdimengden til f(x)

Dette er en eksponentialfunksjon, så

D_f \in <\leftarrow , \rightarrow> \ , \indent V_f \in <0 , \rightarrow>

B) Finn den omvendte funksjonen til f(x) , dvs. f ^{-1} (x)

y = f(x). Man skal finne den omvendte funksjonen x = g(y).

y = e^x

ln \ y = ln \ e^x

ln \ y = x \cdot ln \ e

ln \ y = x

x = g(y) = ln \ y

Man foretar skiftet y \rightarrow x og g(y) \rightarrow f^{-1} (x)

f^{-1} (x) = ln \ x

C) Finn definisjonsmengden og verdimengden til f ^{-1} (x)

D_{f^{-1}} = V_f \in <0 , \rightarrow> \ , \indent V_{f^{-1}} = D_f \in <\leftarrow , \rightarrow>

Her følger figur med funksjonene. f(x) tegnet i blått og f-1(x) i lilla

Alle omvendte funksjoner har en symmetrilinje gitt ved y = x som på figuren.

uu

Neste artikkel kommer i oktober. Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 188 27. august 2022

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
Tags: , , ,
add a comment

Hei igjen!

Her kommer denne månedens oppgave:

OPPGAVE 188 – OMVENDTE FUNKSJONER II

Gitt funksjonen f(x) = e^x

A) Finn definisjonsmengden og verdimengden til f(x)

B) Finn den omvendte funksjonen til f(x) , dvs. f ^{-1} (x)

C) Finn definisjonsmengden og verdimengden til f ^{-1} (x)

ff

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 187 – MIDTPUNKTET I EN TREKANT

Gitt en vilkårlig trekant ABC. En median er en linje fra et hjørne til midt på motstående side. Alle deles i forholdet 2:1, der den lengste delen er nærmest hjørnet. Figur:

Medianene er de blå linjene. Vis at medianene møtes i midtpunktet M (tyngdepunktet) i trekanten. Figuren er kun en skisse. Man finner ingen opplysninger ved å forsøke å måle på figuren.

Løsningsforslag:

Først en ny figur:

Siden D, E og F er midt på hver side, er CE = EA, AF = FB og BD = DC. Dette gir

\frac{CE}{EA} = \frac{AF}{FB} = \frac{BD}{DC} = 1

\Downarrow

\frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1

Ifølge Cevas teorem møtes da medianene i midtpunktet M i trekanten. Her følger bevis for Cevas teorem: Linjer fra hjørnene til sidene faller sammen i ett punkt hvis og bare hvis

\frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} = 1

La oss si at man ikke visste at D, E og F er midt på hver side. Man forlenger BE til N og AD til O. Linjen NCO er parallell med AB. Ny figur:

Man kan allikevel finne flere formlike trekanter.

\triangle BFM \sim \triangle NCM \Rightarrow \frac{BF}{NC} = \frac{MF}{CM}

\triangle AFM \sim \triangle OCM \Rightarrow \frac{AF}{CO} = \frac{MF}{CM}

Av dette følger at

\frac{BF}{NC} = \frac{AF}{CO} \Rightarrow \frac{BF}{AF} = \frac{NC}{CO}

\triangle CDO \sim \triangle BDA \Rightarrow \frac{CD}{DB} = \frac{CO}{AB}

\triangle AEB \sim \triangle CEN \Rightarrow \frac{AE}{EC} = \frac{AB}{CN}

Av dette følger at

\frac{CD}{DB} \cdot \frac{AE}{EC} = \frac{CO}{AB} \cdot \frac{AB}{CN}

\frac{CD}{DB} \cdot \frac{AE}{EC} \cdot \frac{BF}{AF} = \frac{CO}{AB} \cdot \frac{AB}{CN} \cdot \frac{NC}{CO}

\frac{CD}{DB} \cdot \frac{AE}{EC} \cdot \frac{BF}{AF} = \frac{CO}{CO} \cdot \frac{AB}{AB} \cdot \frac{NC}{CN} = 1

\Downarrow

\frac{CD}{DB} \cdot \frac{AE}{EC} \cdot \frac{BF}{AF} = 1

\frac{EC}{AE} \cdot \frac{AF}{BF} \cdot \frac{DB}{CD} = \frac{1}{1}

\frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} = 1

gg

Neste artikkel kommer i september. Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 187 27. juli 2022

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
Tags: , , ,
add a comment

Hei igjen!

Her kommer denne månedens oppgave:

OPPGAVE 187 – MIDTPUNKTET I EN TREKANT

Gitt en vilkårlig trekant ABC. En median er en linje fra et hjørne til midt på motstående side. Alle deles i forholdet 2:1, der den lengste delen er nærmest hjørnet. Figur:

Medianene er de blå linjene. Vis at medianene møtes i midtpunktet M (tyngdepunktet) i trekanten. Figuren er kun en skisse. Man finner ingen opplysninger ved å forsøke å måle på figuren.

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 186 – TALLFØLGE II

Gitt en følge av tall der det første tallet er 2. Følgen er gitt ved

Vis at

Hint: Se OPPGAVE 159 – TALLFØLGE

JULENØTTER 2020

x_{n+1} = x_n + 1

x_{n+1} - x_n = 1

r^n (r - r^0) = 0

r^n (r - 1) = 0

r - 1 = 0

r = 1

x_n^h = D \cdot 1^n = D

x_n^p = An^2 + Bn + C

x_{n+1} - x_n = 1

A(n+1)^2 + B(n+1) + C - (An^2 + Bn + C) = 1

A(n^2 + 2n +1) + B(n+1) + C - (An^2 + Bn + C) = 1

2An + A + B = 1

2A = 0 \indent \wedge \indent A + B = 1

A = 0 \indent \wedge \indent B = 1 - A = 1 - 0 = 1

x_n^p = An^2 + Bn + C = 0 n^2 + 1 n + C = n + C

x_n = x_n^h + x_n^p = D + n + C = n + E

x_1 = 1 + E = 2

E = 2 - 1 = 1

\Downarrow

x_n = n + E = n + 1

gg

Neste artikkel kommer i august. Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 186 26. juni 2022

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
Tags: , , ,
add a comment

Hei igjen!

Her kommer denne månedens oppgave:

OPPGAVE 186 – TALLFØLGE II

Gitt en følge av tall der det første tallet er 2. Følgen er gitt ved

x_{n + 1} = x_n + 1 \indent der \ x_1 = 2 \indent (n \ge 1)

Vis at

x_n = 1 + n

Hint: Se OPPGAVE 159 – TALLFØLGE

JULENØTTER 2020

gg

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 185 – ULIKHETER

\frac{11}{7} < x < \frac{15}{7}

der x er et helt tall. Finn x.

\frac{11}{7} = 1,5714286...

\frac{15}{7} = 2,1428571...

Det eneste hele tallet mellom disse to er x = 2. Svaret er altså x = 2.

B) Gitt

\frac{58}{35} < \frac{x + 24}{35} < \frac{12}{7}

der x er et helt tall. Finn x.

\frac{12}{7} = \frac{60}{35}

\frac{58}{35} < \frac{x + 24}{35} < \frac{60}{35}

Det eneste hele tallet mellom 58 og 60 er 59.

x + 24 = 59

x = 35

ff

Neste artikkel kommer i juli. Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 185 21. mai 2022

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
Tags: , , ,
add a comment

Hei igjen!

Her kommer denne månedens oppgave:

OPPGAVE 185 – ULIKHETER

A) Gitt

\frac{11}{7} < x < \frac{15}{7}

der x er et helt tall. Finn x.

B) Gitt

\frac{58}{35} < \frac{x + 24}{35} < \frac{12}{7}

der x er et helt tall. Finn x

tt

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 184 – FUNKSJONER

A) Gitt funksjonene f(x) = 1/x og g(x) = x. Finn skjæringspunkter mellom f(x) og g(x).

Man finner skjæringspunkter mellom to funksjoner f(x) og g(x) ved å sette f(x) = g(x), og regne denne ligningen.

f(x) = g(x)

\frac{1}{x} = x

\frac{1}{x} - x = 0

\frac{1 - x^2}{x} = 0

1 - x^2 = 0

x^2 = 1

x = \pm 1

x = -1 \indent \vee \indent x = 1

x = - 1

f(- 1) = \frac{1}{-1} = -1

x = 1

f(1) = \frac{1}{1} = 1

Konklusjon: Skjæringspunktene er (x , y) = (-1 , -1) og (x , y) = (1 , 1).

Alternativt kunne man ha regnet ut g(-1) og g(1) for å finne skjæringspunktene. Man kan også finne skjæringspunktene ved å tegne grafene. Her er f(x) tegnet i blått og g(x) i rødt:

B) Gitt funksjonene h(x) = x3 + 2x2 – 2x + 30 og t(x) = 8x2 + 2x + 6. Finn skjæringspunkter mellom h(x) og t(x).

h(x) = t(x)

x^3 + 2x^2 - 2x + 30 = 8x^2 + 2x + 6

x^3 - 6x^2 - 4x + 24 = 0

Ser at x = 2 er en løsning, fordi

2^3 - 6 \cdot 2^2 - 4 \cdot 2 + 24 = 8 - 24 - 8 + 24 = 0

Utfører polynomdivisjon:

\underline{(x^3 - 6x^2 - 4x + 24)} : (x - 2) = x^2 - 4x - 12

-(x^3 - 2x^2)

\underline{=(- 4x^2 - 4x + 24)}

-(-4x^2 + 8x)

\underline{=(- 12x + 24)}

-(-12x + 24)

= 0

\Downarrow

x^2 - 4x - 12 = 0

(x - 2)^2 = 12 + (-2)^2

(x - 2)^2 = 12 + 4

(x - 2)^2 = 16

\sqrt{(x - 2)^2} = \sqrt{16}

x - 2 = \pm 4

x = \pm 4 + 2

x = -2 \indent \vee \indent x = 6

x = - 2

h(-2) = (-2)^3 + 2(-2)^2 - 2(-2) + 30 = -8 + 8 + 4 + 30 = 34

x = 2

h(2) = 2^3 + 2 \cdot 2^2 - 2 \cdot 2 + 30 = 8 + 8 - 4 + 30 = 42

x = 6

h(6) = 6^3 + 2 \cdot 6^2 - 2 \cdot 6 + 30 = 216 + 72 - 12 + 30 = 306

Skjæringspunktene mellom h(x) og t(x) er altså (x , y) = (-2 , 34) og (x , y) = (2 , 42) og (x , y) = (6 , 306) .

Alternativt kunne man ha regnet ut t(-2), t(2) og t(6) for å finne skjæringspunktene. Man kan også finne skjæringspunktene ved å tegne grafene.

Neste artikkel kommer i juni. Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 184 20. april 2022

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
Tags: , , ,
add a comment

Hei igjen!

Her kommer denne månedens oppgave:

OPPGAVE 184 – FUNKSJONER

A) Gitt funksjonene f(x) = 1/x og g(x) = x. Finn skjæringspunkter mellom f(x) og g(x).

B) Gitt funksjonene h(x) = x3 + 2x2 – 2x + 30 og t(x) = 8x2 + 2x + 6. Finn skjæringspunkter mellom h(x) og t(x).

gg

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 183 – NOE VANSKELIG GEOMETRI

Gitt en syklisk firkant med sidene a, b, c og d. Vis at arealet er

A = \sqrt{(s - a)(s - b)(s - c)(s - d)}

der s er halve omkretsen.

Hint: Det finnes flere mulige løsningsforslag. Man kan f.eks. anvende vektorregning eller klassisk geometri.

Løsningsforslag:

Arealet av en trekant med sidene a og b er 1/2 multiplisert med sidene a og b og sinus til vinkelen mellom a og b. Figur:

\displaystyle A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot sin \ \alpha + \frac{1}{2} \cdot c \cdot d \cdot sin \ \beta

\displaystyle A^2 = \frac{1}{4} \cdot a^2 \cdot b^2 \cdot (sin \ \alpha)^2 + \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot c \cdot d \cdot sin \ \alpha \cdot sin \ \beta

\displaystyle + \frac{1}{4} \cdot c^2 \cdot d^2 \cdot (sin \ \beta)^2

\displaystyle sin \ \alpha = sin \ \beta

\displaystyle A^2 = \frac{1}{4} \cdot (ab + cd)^2 \cdot (sin \ \alpha)^2

\displaystyle 4 A^2 = (ab + cd)^2 \cdot (1 - (cos \ \alpha)^2)

\displaystyle cos (\alpha + \beta) = cos \ 180^{\circ}

\displaystyle cos \ \alpha \ cos \ \beta - sin \ \alpha \ sin \ \beta = -1

\displaystyle cos \ \alpha \ cos \ \beta = (sin \ \alpha)^2 -1 = - (cos \ \alpha)^2

\displaystyle cos \ \beta = -cos \ \alpha

Kaller den blå linjen e. Cosinussetningen gir

\displaystyle e^2 = a^2 + b^2 - 2 \ a \ b \ cos \ \alpha = c^2 + d^2 - 2 \ c \ d \ cos \ \beta

\displaystyle - 2 \ a \ b \ cos \ \alpha + 2 \ c \ d \ cos \ \beta = c^2 + d^2 - a^2 - b^2

\displaystyle 2 \ a \ b \ cos \ \alpha - 2 \ c \ d \ cos \ \beta = a^2 + b^2 -c^2 - d^2

\displaystyle 2 \ a \ b \ cos \ \alpha + 2 \ c \ d \ cos \ \alpha = a^2 + b^2 -c^2 - d^2

\displaystyle 2 \ cos \ \alpha (ab + cd) = a^2 + b^2 -c^2 - d^2

\displaystyle cos \ \alpha =\frac{a^2 + b^2 -c^2 - d^2}{2(ab + cd)}

\displaystyle 1 - (cos \ \alpha)^2 = 1 - (\frac{a^2 + b^2 -c^2 - d^2}{2(ab + cd)})^2

\displaystyle 1 - (cos \ \alpha)^2 = \frac{2^2(ab + cd)^2 - (a^2 + b^2 -c^2 - d^2)^2}{2^2(ab + cd)^2}

\displaystyle 4 A^2 = (ab + cd)^2 \cdot (1 - (cos \ \alpha)^2)

\displaystyle 4 A^2 = (ab + cd)^2 \cdot \frac{2^2(ab + cd)^2 - (a^2 + b^2 -c^2 - d^2)^2}{2^2(ab + cd)^2}

\displaystyle 4 A^2 = (ab + cd)^2 - \frac{1}{4} (a^2 + b^2 -c^2 - d^2)^2

\displaystyle 16 A^2 = 4(ab + cd)^2 - (a^2 + b^2 -c^2 - d^2)^2

\displaystyle 16 A^2 = (2(ab + cd) - (a^2 + b^2 -c^2 - d^2))

\displaystyle (2(ab + cd) + (a^2 + b^2 -c^2 - d^2))

\displaystyle 16 A^2 = ((c + d)^2 - (a - b)^2)((a + b)^2 - (c - d)^2)

\displaystyle 16 A^2 = ((c + d) - (a - b)) ((c + d) + (a - b))

\displaystyle ((a + b) - (c - d)) ((a + b) + (c - d))

\displaystyle s = \frac{a + b + c + d}{2}

\displaystyle 16 A^2 = (2s - 2a) (2s - 2b) (2s - 2c) (2s - 2d)

\displaystyle 16 A^2 = 16 (s - a) (s - b) (s - c) (s - d)

\displaystyle A^2 = (s - a) (s - b) (s - c) (s - d)

\displaystyle \Downarrow

\displaystyle A = \sqrt{(s - a) (s - b) (s - c) (s - d)}

jj

Neste artikkel kommer i mai. Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 183 28. mars 2022

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
Tags: , , ,
add a comment

Hei igjen!

Herons formel gjelder for enhver trekant med sidene a,b og c. Den sier at arealet av trekanten er

A = \sqrt{s (s - a)(s - b)(s - c)}

der s er halve omkretsen av trekanten, dvs.

s = \frac{a + b + c}{2}

Man har en tilsvarende formel for sykliske firkanter. En syklisk firkant er en firkant med en omskrevet sirkel, dvs. at alle hjørnene i firkanten ligger på sirkelranden.

Arealet er gitt ved

A = \sqrt{(s - a)(s - b)(s - c)(s - d)}

der a, b, c og d er sidene i firkanten og s er halve omkretsen, dvs.

s = \frac{a + b + c + d}{2}

OPPGAVE 173 – FIRKANTER her på Realfagshjørnet gikk ut på å bestemme arealet til sykliske firkanter. Lenke til løsningsforslaget:

MATTENØTT NR. 174

Her kommer dagens oppgave:

OPPGAVE 183 – NOE VANSKELIG GEOMETRI

Gitt en syklisk firkant med sidene a, b, c og d. Vis at arealet er

A = \sqrt{(s - a)(s - b)(s - c)(s - d)}

der s er halve omkretsen.

Hint: Det finnes flere mulige løsningsforslag. Man kan f.eks. anvende vektorregning eller klassisk geometri. Utledning av en annen geometrisk formel ved vektorregning finnes her:

MATTENØTT NR. 126 + UTLEDNING NR. 125

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 182 – SVÆRT ENKEL REGNING

A) Hva blir -3 delt på -5?

\frac{-3}{-5} = \frac{3}{5}

B) Hva blir 2 delt på brøken 4/7?

\frac{2}{\frac{4}{7}}

= \frac{2 \cdot 7}{\frac{4}{7} \cdot 7}

= \frac{14}{4}

= \frac{7}{2}

C) Hva blir 78 delt på 75 ?

\frac{7^8}{7^5} = 7^{8-5} = 7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 343

D) Hva er 57 % av 153?

Intervallet [0 , 1] i deler tilsvarer intervallet [0 , 100] i prosent.

153 \cdot 0,57 = 87,21

pp

Neste artikkel kommer i april. Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 182 23. februar 2022

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
Tags: , , ,
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 182 – SVÆRT ENKEL REGNING

A) Hva blir -3 delt på -5?

B) Hva blir 2 delt på brøken 4/7?

C) Hva blir 78 delt på 75 ?

D) Hva er 57 % av 153?

rr

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 181 – LETT GEOMETRI IX

Gitt en rettvinklet trekant ABC, med punktet D. AD står vinkelrett på BC. Figur:

Vis at AD² = BD ⋅ DC

Løsningsforslag:

Man benytter pytagoras setning.

AD^2 + BD^2 = AB^2 \indent \wedge \indent AD^2 + DC^2 = AC^2

AB^2 + AC^2 = BC^2

AD^2 + BD^2 + AD^2 + DC^2 = BC^2

2 \cdot AD^2 = BC^2 - BD^2 - DC^2

2 \cdot AD^2 = (BD + DC)^2 - BD^2 - DC^2

2 \cdot AD^2 = BD^2 + 2 \cdot BD \cdot DC + DC^2 - BD^2 - DC^2

2 \cdot AD^2 = 2 \cdot BD \cdot DC

AD^2 = BD \cdot DC

gg

Neste artikkel kommer i mars. Hilsen erty56.

JULENØTTER 2021 – FASIT 9. januar 2022

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
Tags: , , ,
add a comment

Hei igjen!

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds julenøtter:

OPPGAVE 176 – TO ENKLE TALLFØLGER

A) Gitt tallene 1, 4, 9, 16, 24, 36, 49, 64. Et av tallene hører ikke hjemme blant de andre. Hvilket er det?

Alle tallene er på formen n2, der n er et naturlig tall, bortsett fra 24.

Svar: 24

B) Gitt tallene 1, 8, 26, 64, 125, 216, 343, 512. Et av tallene hører ikke hjemme blant de andre. Hvilket er det?

Alle tallene er på formen n3, der n er et naturlig tall, bortsett fra 26.

Svar: 26

gg

OPPGAVE 177 – TO TALLFØLGER

A) Gitt tallene 2, 3/2, 4/3, 6/4, 6/5, 7/6, 8/7, 9/8. Et av tallene hører ikke hjemme blant de andre. Hvilket er det?

Alle tallene er på formen 1 + 1/n, der n er et naturlig tall fra 1 til 8 i stigende rekkefølge. Riktignok er 6/4 = 3/2, men 6/4 passer ikke inn i systemet.

Svar: 6/4

B) Gitt tallene -1, 1/2, -1/3, 1/4, -1/5, -1/6, -1/7, 1/8. Et av tallene hører ikke hjemme blant de andre. Hvilket er det?

Alle tallene er på formen  (-1)^n \frac{1}{n}   der n er et naturlig tall, bortsett fra  -1/6. (n = 6 vil gi 1/6).

Svar: -1/6

Merknad: De naturlige tallene er hele og positive tall, dvs. 1, 2, 3, …

n går fra 1 til 8 i alle disse oppgavene.

gg

OPPGAVE 178 – LETT GEOMETRI VIII

Gitt trekanten ABC, med punktene D, E og F. Se figur:

 

 

 

kk

hh

gg

hg

gh

gg

AE = 5, EC = 3 og AD = 2. Figuren er kun en skisse. Man finner ingen opplysninger ved å måle på figuren.

A) Finn EF

Trekantene EFC og ADE er formlike, ergo er

\displaystyle \frac{EF}{EC} = \frac{AD}{AE}

\displaystyle EF = \frac{AD \cdot EC}{AE} = \frac{2 \cdot 3}{5} = 1,2

B) Finn AB

\displaystyle AB = AD + DB = AD + EF = 2 + 1,2 = 3,2 

gg

OPPGAVE 179 – FINN X

\displaystyle \indent \frac{1}{x} = \frac{sin \ x}{x} \indent (x > 0)

\displaystyle \indent \frac{1}{x} - \frac{sin \ x}{x} = 0

\displaystyle \indent \frac{1 - sin \ x}{x} = 0

\displaystyle \indent 1 - sin \ x = 0

\displaystyle \indent sin \ x = 1

\displaystyle \Downarrow

\displaystyle \indent x = \frac{\pi}{2} \indent \indent kkkkk (1. omløp)

\displaystyle \indent x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \indent n = 0, 1, 2, ... \indent hhhhh (alle omløp)

hh

OPPGAVE 180 – FØLGE MED EPSILON PÅ 1/100

Gitt følgen \displaystyle a_n = \frac{n - 1}{n} . Man skal finne hvor nært følgen er 0,9 med en sikkerhet på 1/100. Svaret skal kun oppgis i naturlige tall. Hint: Man starter med:

\displaystyle \mid \frac{n - 1}{n} - 0,9 \mid \ < \ \frac{1}{100}

De naturlige tallene er hele og positive tall, dvs. lll \displaystyle \indent \mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}

 

\displaystyle \mid \frac{n - 1}{n} - 0,9 \mid \ < \ \frac{1}{100}

\displaystyle \mid 1 - \frac{1}{n} - 0,9 \mid \ < \ \frac{1}{100}

\displaystyle \mid - \frac{1}{n} + \frac{1}{10} \mid \ < \ \frac{1}{100}

\displaystyle - \frac{1}{100} \ < \ - \frac{1}{n} + \frac{1}{10} \ < \ \frac{1}{100}

\displaystyle - \frac{1}{n} + \frac{1}{10} + \frac{1}{100} > 0 \indent \wedge \indent - \frac{1}{n} + \frac{1}{10} - \frac{1}{100} < 0

\displaystyle - \frac{1}{n} + \frac{10 + 1}{100} > 0 \indent \wedge \indent - \frac{1}{n} + \frac{10 - 1}{100} < 0

\displaystyle - \frac{1}{n} + \frac{11}{100} > 0 \indent \wedge \indent - \frac{1}{n} + \frac{9}{100} < 0

\displaystyle \frac{-100 + 11n}{100n} > 0 \indent \wedge \indent \frac{-100 + 9n}{100n} < 0

\displaystyle -100 + 11n = 0 \indent \wedge \indent -100 + 9n = 0

\displaystyle 11n = 100 \indent \wedge \indent 9n = 100

\displaystyle n = \frac{100}{11} \indent \wedge \indent n = \frac{100}{9}

\displaystyle 100n = 0 \indent \Rightarrow \indent n = 0 \indent jjjj for begge

t64a

t64b

\displaystyle n \in < \frac{100}{11} , \frac{100}{9} > \indent \wedge \indent n \in \mathbb{N}

\displaystyle \Downarrow

\displaystyle n \in \{10 , 11\}

hh

Til slutt en ny mattenøtt:

OPPGAVE 181 – LETT GEOMETRI IX

Gitt en rettvinklet trekant ABC, med punktet D. AD står vinkelrett på BC. Figur:

t64c

Vis at AD² = BD ⋅ DC

gg

Neste artikkel kommer i februar. Godt nyttår! Hilsen erty56.

JULENØTTER 2021 12. desember 2021

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
Tags: , , ,
add a comment

Hei igjen!

Denne gangen kommer julenøtter i form av noen nye matematiske quiz og grublerier:

OPPGAVE 176 – TO ENKLE TALLFØLGER

A) Gitt tallene 1, 4, 9, 16, 24, 36, 49, 64. Et av tallene hører ikke hjemme blant de andre. Hvilket er det?

B) Gitt tallene 1, 8, 26, 64, 125, 216, 343, 512. Et av tallene hører ikke hjemme blant de andre. Hvilket er det?

hh

OPPGAVE 177 – TO TALLFØLGER

A) Gitt tallene 2, 3/2, 4/3, 6/4, 6/5, 7/6, 8/7, 9/8. Et av tallene hører ikke hjemme blant de andre. Hvilket er det?

B) Gitt tallene -1, 1/2, -1/3, 1/4, -1/5, -1/6, -1/7, 1/8. Et av tallene hører ikke hjemme blant de andre. Hvilket er det?

gg

OPPGAVE 178 – LETT GEOMETRI VIII

Gitt trekanten ABC, med punktene D, E og F. Se figur:

AE = 5, EC = 3 og AD = 2. Figuren er kun en skisse. Man finner ingen opplysninger ved å måle på figuren.

A) Finn EF

B) Finn AB

hh

OPPGAVE 179 – FINN X

\displaystyle \indent \frac{1}{x} = \frac{sin \ x}{x} \indent (x > 0)

gg

OPPGAVE 180 – FØLGE MED EPSILON PÅ 1/100

Gitt følgen \displaystyle a_n = \frac{n - 1}{n} . Man skal finne hvor nært følgen er 0,9 med en sikkerhet på 1/100. Svaret skal kun oppgis i naturlige tall. Hint: Man starter med:

\displaystyle \mid \frac{n - 1}{n} - 0,9 \mid \ < \ \frac{1}{100}

De naturlige tallene er hele og positive tall, dvs.:

\displaystyle \mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}

hh

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 175 – FJERDEGRADSUTTRYKK

A) Regn ut og trekk sammen

\displaystyle (x^2 + y^2)(x + y)(x - y)

\displaystyle = (x^2 + y^2)(x^2 - y^2)

\displaystyle = (x^4 - y^4)

gg

B) Gitt

\displaystyle \indent y^4 = x^4

Finn løsningene til y.

Man benytter substitusjonen \displaystyle y^2 = u

\displaystyle \indent u^2 = x^4

\displaystyle \indent u = \pm x^2

\displaystyle \indent y^2 = \pm x^2

\displaystyle \indent y^2 = x^2 \indent \vee \indent y^2 = -x^2

\displaystyle \indent y = \pm x \indent \vee \indent y = \pm \sqrt{-x^2} = \pm \sqrt{(-1) x^2} = \pm \sqrt{-1} x = \pm ix

\displaystyle \indent y = -x \indent \vee \indent y = x \indent \vee \indent y = -ix \indent \vee \indent y = ix

Dette er de fire generelle løsningene til y. Det finnes uendelig mange spesialtilfeller, bl.a. y = x = 0, y = x = 1 osv. Man kan også ta utgangspunkt i A):

\displaystyle (x^2 + y^2)(x + y)(x - y) = 0

\displaystyle \indent \Downarrow

\displaystyle (x^2 + y^2) = 0 \indent \vee \indent (x + y) = 0 \indent \vee \indent (x - y) = 0

\displaystyle y^2 = -x^2 \indent \vee \indent y = -x \indent \vee \indent y = x

\displaystyle \indent \Downarrow

\displaystyle \indent y = -x \indent \vee \indent y = x \indent \vee \indent y = -ix \indent \vee \indent y = ix

gg

Løsningsforslag til julenøttene blir lagt ut her på Realfagshjørnet i januar. God jul! Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 175 22. november 2021

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
Tags: , , ,
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 175 – FJERDEGRADSUTTRYKK

A) Regn ut og trekk sammen

\displaystyle (x^2 + y^2)(x + y)(x - y)

p

B) Gitt

\displaystyle \indent y^4 = x^4

Finn løsningene til y.

p

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 174 – LIGNINGER OG POTENSER

A) Gitt

\displaystyle x + y = 3
\displaystyle x^2 - 3x + 2 = 0

Finn x og y.

\displaystyle x^2 - 3x + 2 = 0

\displaystyle (x - \frac{3}{2})^2 = -2 + (-\frac{3}{2})^2

\displaystyle (x - \frac{3}{2})^2 = \frac{1}{4}

\displaystyle \sqrt{(x - \frac{3}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4}}

\displaystyle x - \frac{3}{2} = \pm \frac{1}{2}

\displaystyle x = \pm \frac{1}{2} + \frac{3}{2}

\displaystyle x = 1 \indent \vee \indent x = 2

\displaystyle x + y = 3

\displaystyle y = 3 - x

\displaystyle x = 1 \indent \wedge \indent y = 3 - x = 3 - 1 = 2

\displaystyle x = 2 \indent \wedge \indent y = 3 - x = 3 - 2 = 1

p

B) Regn ut

\displaystyle x^2 + y^2

Begge løsningene (x , y) = (1, 2) og (x , y) = (2 , 1) gir det samme svaret

\displaystyle x^2 + y^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5

p

C) Regn ut

\displaystyle x^5 + y^5

Begge løsningene (x , y) = (1, 2) og (x , y) = (2 , 1) gir det samme svaret

\displaystyle x^5 + y^5 = 1^5 + 2^5 = 1 + 32 = 33

p

Julenøtter kommer i desember. Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 174 21. oktober 2021

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 174 – LIGNINGER OG POTENSER

A) Gitt

\displaystyle x + y = 3

\displaystyle x^2 - 3x + 2 = 0

Finn x og y.

B) Regn ut

\displaystyle x^2 + y^2

C) Regn ut

\displaystyle x^5 + y^5

 

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 173 – FIRKANTER

A) Gitt en syklisk firkant med sider 9, 10, 10 og 21. Hva blir arealet av firkanten?

En syklisk firkant har en omskrevet sirkel. Alle hjørnene i firkanten ligger på sirkelranden. Arealet av en syklisk firkant er gitt ved

\displaystyle A = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}

der a, b, c og d er sidene i firkanten og s er halve omkretsen O.

 

\displaystyle s = \frac{O}{2} = \frac{9+10+10+21}{2} = \frac{50}{2} = 25

\displaystyle A = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}

\displaystyle A = \sqrt{(25-9)(25-10)(25-10)(25-21)}

\displaystyle A = \sqrt{16 \cdot 15 \cdot 15 \cdot 4} = \sqrt{14.400} = 120

 

B) Gitt en syklisk firkant med sider 15, 24, 7 og 20. Hva blir arealet av firkanten?

\displaystyle s = \frac{O}{2} = \frac{15+24+7+20}{2} = \frac{66}{2} = 33

\displaystyle A = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}

\displaystyle A = \sqrt{(33-15)(33-24)(33-7)(33-20)}

\displaystyle A = \sqrt{18 \cdot 9 \cdot 26 \cdot 13} = \sqrt{54.756} = 234

 

Neste artikkel kommer i november. Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 173 25. september 2021

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
Tags: , , ,
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 173 – FIRKANTER

A) Gitt en syklisk firkant med sider 9, 10, 10 og 21. Hva blir arealet av firkanten?

B) Gitt en syklisk firkant med sider 15, 24, 7 og 20. Hva blir arealet av firkanten?

p

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 172 – FJERDEGRADSLIGNINGER

A) Løs ligningen

\displaystyle x^4 - 5x^2 + 4 = 0

Man benytter substitusjonen \displaystyle x^2 = y

\displaystyle y^2 - 5y + 4 = 0

\displaystyle (y - \frac{5}{2})^2 = -4 + (-\frac{5}{2})^2

\displaystyle (y - \frac{5}{2})^2 = \frac{9}{4}

\displaystyle \sqrt{(y - \frac{5}{2})^2} = \sqrt{\frac{9}{4}}

\displaystyle y - \frac{5}{2} = \pm \frac{3}{2}

\displaystyle y = \frac{5}{2} \pm \frac{3}{2}

\displaystyle y = 4 \indent \vee \indent y = 1

\displaystyle \Downarrow

\displaystyle x^2 = 4 \indent \vee \indent x^2 = 1

\displaystyle x = \pm 2 \indent \vee \indent x = \pm 1

\displaystyle x = -1 \indent \vee \indent x = 1 \indent \vee \indent x = -2 \indent \vee \indent x = 2

p

B) Løs ligningen

\displaystyle x^4 + 5x^2 + 4 = 0

Man benytter substitusjonen \displaystyle x^2 = y

\displaystyle y^2 + 5y + 4 = 0

\displaystyle (y + \frac{5}{2})^2 = -4 + (\frac{5}{2})^2

\displaystyle (y + \frac{5}{2})^2 = \frac{9}{4}

\displaystyle \sqrt{(y + \frac{5}{2})^2} = \sqrt{\frac{9}{4}}

\displaystyle y + \frac{5}{2} = \pm \frac{3}{2}

\displaystyle y = -\frac{5}{2} \pm \frac{3}{2}

\displaystyle y = -4 \indent \vee \indent y = -1

\displaystyle \Downarrow

\displaystyle x^2 = -4 \indent \vee \indent x^2 = -1

\displaystyle x = \pm 2i \indent \vee \indent x = \pm i

\displaystyle x = -i \indent \vee \indent x = i \indent \vee \indent x = -2i \indent \vee \indent x = 2i

p

Merknad: \displaystyle i = \sqrt{-1}

p

Neste artikkel kommer i oktober. Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 172 21. august 2021

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
Tags: , , ,
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 172 – FJERDEGRADSLIGNINGER

A) Løs ligningen

\displaystyle x^4 - 5x^2 + 4 = 0

B) Løs ligningen

\displaystyle x^4 + 5x^2 + 4 = 0

y

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 171 – GJENNOMSNITT

Gitt 50 tall med gjennomsnittet 102. 10 av tallene har gjennomsnittet 10. Hva blir gjennomsnittet til de resterende 40 tallene?

Oppgaveteksten gir:

\displaystyle \frac{10 \cdot 10 + 40 \cdot x}{50} = 102

\displaystyle 100 + 40x = 5100

\displaystyle 40x = 5000

\displaystyle x = 125

Svar: De resterende 40 tallene har gjennomsnittet 125.

y

Neste artikkel kommer i september. Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 171 22. juli 2021

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
Tags: , , ,
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 171 – GJENNOMSNITT

Gitt 50 tall med gjennomsnittet 102. 10 av tallene har gjennomsnittet 10. Hva blir gjennomsnittet til de resterende 40 tallene?

j

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 170 – STØRSTE OG MINSTE TALL

A) Gitt tallene

\displaystyle 4^{-2} \ , \ 2^{-3} \ , \ 8^{-1} \ , \ 2^{-4} \ , \ 8^{-2} \ , \ 4^{-1}

Hvilket av tallene er minst?

\displaystyle 4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16} \ , \ 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}

\displaystyle 8^{-1} = \frac{1}{8} \ , \ 2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}

\displaystyle 8^{-2} = \frac{1}{8^2} = \frac{1}{64} \ , \ 4^{-1} = \frac{1}{4}

\displaystyle \frac{1}{64} < \frac{1}{16} < \frac{1}{8} < \frac{1}{4}

Svar:

\displaystyle 8^{-2}

B) Gitt tallene

\displaystyle \sqrt[5]{5!}

\displaystyle \sqrt[6]{6!}

Hvilket av tallene er størst?

Antar

\displaystyle \sqrt[6]{6!} > \sqrt[5]{5!}

\displaystyle (6!)^{1/6} > (5!)^{1/5}

\displaystyle ln ((6!)^{1/6}) > ln ((5!)^{1/5})

\displaystyle \frac{1}{6} ln (6!) > \frac{1}{5} ln (5!)

\displaystyle \frac{1}{6} ln (6 \cdot 5!) > \frac{1}{5} ln (5!)

\displaystyle \frac{1}{6} (ln \ 6 + ln \ 5!) > \frac{1}{5} ln (5!)

\displaystyle \frac{1}{6} (ln \ 6) > \frac{1}{30} ln (5!)

\displaystyle 5 \cdot (ln \ 6) > ln (5!)

\displaystyle ln \ 6^5 > ln (5!)

\displaystyle e^{ln \ 6^5} > e^{ln (5!)}

\displaystyle 6^5 > 5!

\displaystyle 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 > 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1

Antagelsen var riktig. Altså er

\displaystyle \sqrt[6]{6!}

størst.

jj

Neste artikkel kommer i august. Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 170 22. juni 2021

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
Tags: , , ,
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 170 – STØRSTE OG MINSTE TALL

A) Gitt tallene

\displaystyle 4^{-2} \ , \ 2^{-3} \ , \ 8^{-1} \ , \ 2^{-4} \ , \ 8^{-2} \ , \ 4^{-1}

Hvilket av tallene er minst?

B) Gitt tallene

\displaystyle \sqrt[5]{5!}

\displaystyle \sqrt[6]{6!}

Hvilket av tallene er størst?

g

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 169 – ENKEL REKKE

En tallfølge er geometrisk dersom hvert ledd (bortsett fra det første) er lik leddet foran multiplisert med et fast tall. Dette tallet er tallfølgens kvotient k. En slik følge kan skrives

\displaystyle a_1 \ , \ a_1 k \ , \ a_1 k^2 \ , ... , \ a_1 k^{n - 2} \ , \ a_1 k^{n - 1}

A) Gitt den geometriske følgen

\displaystyle 1 \ , \ 2 \ , \ 4 \ , ... , \ 256 \ , \ 512

med 10 ledd. Hva blir kvotienten k ?

\displaystyle a_1 = 1 \indent \wedge \indent a_1 k = 2

\displaystyle \Downarrow

\displaystyle k = 2

hh

B) Hva blir ledd nr. 5 og nr. 7 ?

Man kan skrive følgen:

\displaystyle 1 \ , \ 2 \ , \ 4 \ , \ 8 \ , \ 16 \ , \ 32 \ , \ 64 \ , \ 128 \ , \ 256 \ , \ 512

Ledd nr. 5 blir 16 og ledd nr. 7 blir 64

Dersom man legger sammen alle ledd i en følge får man en rekke. En generell geometrisk rekke kan skrives

\displaystyle a_1 \ + \ a_1 k \ + \ a_1 k^2 \ + \ ... \ + \ a_1 k^{n - 2} \ + \ a_1 k^{n - 1}

ff

C) Gitt den geometriske rekken

\displaystyle 1 \ + \ 2 \ + \ 4 \ + \ ... \ + \ 256 \ + \ 512

med 10 ledd. Hva blir rekkens sum?

\displaystyle \sum = 1 \cdot \frac{2^{10} - 1}{2 - 1} = \frac{1024 - 1}{1} = 1023

g

Neste artikkel kommer i juli. Hilsen erty56.

%d bloggere liker dette: