jump to navigation

MATTENØTT NR. 157 23. september 2020

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 157 – LETT GEOMETRI VII

Gitt en trekant som på figuren under.

 

 

 

 

 

 

Den har tre vinkler a, b og c. Den ytre vinkelen til a er d. Summen av vinklene b og c er 120°. Hvor mange grader er vinklene a og d?

 

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 156 – ANNENGRADSLIGNING

Gitt annengradsligningen

\displaystyle ax^2 + bx + c = 0

Den har to løsninger. Summen av løsningene er 3. Produktet av løsningene er 2. 

 

1) Finn a, b og c.

Man skriver først opp ligningen på såkalt redusert form ved å dividere med a:

\displaystyle ax^2 + bx + c = 0

\displaystyle \frac{a}{a} x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = \frac{0}{a}

\displaystyle x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0

Følgende sammenheng mellom løsningene og koeffisientene gjelder alltid:

\displaystyle x_1 + x_2 = - \frac{b}{a} \indent \wedge \indent x_1 x_2 = \frac{c}{a}

Ifølge oppgaveteksten er:

\displaystyle x_1 + x_2 = 3 \indent \wedge \indent x_1 x_2 = 2 \indent (*)

Dette gir

\displaystyle - \frac{b}{a} = 3 \indent \wedge \indent \frac{c}{a} = 2

\displaystyle \frac{b}{a} = -3 \indent \wedge \indent \frac{c}{a} = 2

\displaystyle \Downarrow

\displaystyle x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = x^2 + (-3) x + 2 = x^2 - 3x + 2

Svar: a = 1, b = – 3 og c = 2

 

2) Finn selve løsningene.

Man kan enten bruke (*), eller bare regne:

\displaystyle x^2 - 3x + 2 = 0

\displaystyle (x - \frac{3}{2})^2 = -2 + (-\frac{3}{2})^2

\displaystyle (x - \frac{3}{2})^2 = -2 + \frac{9}{4}

\displaystyle (x - \frac{3}{2})^2 = \frac{9 + 4(-2)}{4}

\displaystyle (x - \frac{3}{2})^2 = \frac{9 - 8}{4}

\displaystyle (x - \frac{3}{2})^2 = \frac{1}{4}

\displaystyle \sqrt{(x - \frac{3}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4}}

\displaystyle x - \frac{3}{2} = \pm \frac{1}{2}

\displaystyle x = \frac{3}{2} \pm \frac{1}{2}

\displaystyle \Downarrow

\displaystyle x_1 = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2 \indent \vee \indent x_2 = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1

 

Her er mer info om annengradsligninger:

ANNENGRADSLIGNINGER OG PARABELEN

 

Neste artikkel kommer i oktober. Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 156 26. august 2020

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Denne gangen kommer en ny mattenøtt, samt løsningsforslag til forrige måneds mattenøtt. Den inneholder bl.a. en parabel. Enhver parabel har en symmetrilinje x_{sym} . Metode for å finne x_{sym} gjennomgås til slutt i denne artikkelen. Først en ny nøtt:

 

OPPGAVE 156 – ANNENGRADSLIGNING

Gitt annengradsligningen

\displaystyle ax^2 + bx + c = 0

Den har to løsninger. Summen av løsningene er 3. Produktet av løsningene er 2. 

1) Finn a, b og c.

2) Finn selve løsningene.

 

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 155 – TO FUNKSJONER

Gitt funksjonen f(x) = -x² + 3x + 1 og funksjonen g(x) = a. Disse funksjonene har grafer som krysser hverandre ved f(x) = g(x). Man vil ha følgende tre forskjellige tilfeller:

1) De har ingen fellespunkter.

2) De har ett fellespunkt.

3) De har to fellespunkter.

Finn g(x) = a for både 1), 2) og 3).

Hint: Tegn f(x), og se på f(x) = g(x).

f(x) er en parabel som ligger symmetrisk om symmetrilinjen x_{sym} . Den har et toppunkt i (x_{sym} , f(x_{sym})) . g(x) er en konstant funksjon, dvs. en rett linje parallell med x-aksen. Disse skjærer hverandre i akkurat et punkt når g(x) = a = f(x_{sym}) . Se figur:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Her er f(x) tegnet i blått og g(x) i rødt. Formelen for symmetrilinjen er gitt ved

\displaystyle x_{sym} = \frac{-b}{2a} = \frac{-3}{2 \cdot (-1)} = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2}

Man kan finne f(x_{sym}) :

\displaystyle f(x_{sym}) = f(\frac{3}{2}) = - (\frac{3}{2})^2 + 3 \cdot \frac{3}{2} + 1 = - \frac{9}{4} + \frac{9}{2} + 1

\displaystyle = \frac{-9 + 9 \cdot 2 + 1 \cdot 4}{4} = \frac{-9 + 18 + 4}{4} = \frac{13}{4}

Man kan se av figuren at dersom g(x) > f(x_{sym}) skjærer den ikke f(x) i det hele tatt. Dersom g(x) < f(x_{sym}) skjærer den f(x) i to punkter. Svaret blir altså:

1) De har ingen fellespunkter når g(x) = a > 13/4

2) De har ett fellespunkt når g(x) = a = 13/4

3) De har to fellespunkter når g(x) = a < 13/4

 

Her følger utledning av formelen for symmetrilinjen

\displaystyle x_{sym} = - \frac{b}{2a}

En generell annengradsfunksjon (parabel) er gitt ved

\displaystyle f(x) = ax^2 + bx + c

Man finner nullpunktene (skjæringspunkter med x-aksen) ved

\displaystyle f(x) = 0

\displaystyle ax^2 + bx + c = 0

Etter noe mellomregning blir dette

\displaystyle x = \frac {-b +\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \indent \vee \indent x = \frac {-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

I og med at symmetrilinjen ligger midt mellom nullpunktene, finner man den ved å beregne gjennomsnittet, dvs:

\displaystyle x_{sym} = \frac{\frac {-b +\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}}{2} = - \frac{b}{2a}

Formelen er forøvrig gyldig når grafen ikke har nullpunkter også. (De to x-verdiene er da komplekse tall, og resultatet blir igjen -b/2a).

 

Dersom man ønsker å se på mellomregningen over, og mer info om emnet:

ANNENGRADSLIGNINGER OG PARABELEN

 

Neste artikkel kommer i september. Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 155 20. juli 2020

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 155 – TO FUNKSJONER

Gitt funksjonen f(x) = -x² + 3x + 1 og funksjonen g(x) = a. Disse funksjonene har grafer som krysser hverandre ved f(x) = g(x). Man vil ha følgende tre forskjellige tilfeller:

1) De har ingen fellespunkter.

2) De har ett fellespunkt.

3) De har to fellespunkter.

Finn g(x) = a for både 1), 2) og 3).

Hint: Tegn f(x), og se på f(x) = g(x).

 

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 154 – BYGGEPLASS

Fem menn graver ut jord fra bakken på en byggeplass. Hullet er 1 meter bredt, 3 meter langt og 2 meter dypt. Etter en stund er de ferdig. Hvor mye jord er det i hullet?

Svar: Ingenting. Når de etter en stund er ferdig, er jo hullet tomt.

 

Neste artikkel kommer i august. Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 154 24. juni 2020

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 154 – BYGGEPLASS

Fem menn graver ut jord fra bakken på en byggeplass. Hullet er 1 meter bredt, 3 meter langt og 2 meter dypt. Etter en stund er de ferdig. Hvor mye jord er det i hullet?

 

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 153 – FINN BRØKEN

Gitt brøken x/y. Dersom man legger til 1 i både teller og nevner, blir brøken 1/2. Dersom man trekker fra 1 i både teller og nevner, blir brøken 1/4. Hva er tallene x og y i brøken x/y?

Oppgaveteksten gir:

\displaystyle \frac{x + 1}{y + 1} = \frac{1}{2} \indent \wedge \indent \frac{x - 1}{y - 1} = \frac{1}{4}

\displaystyle \Downarrow

\displaystyle 2(x + 1) = 1(y + 1) \indent \wedge \indent 4(x - 1) = 1(y - 1)

\displaystyle 2x + 2 = y + 1 \indent \wedge \indent 4x - 4 = y - 1

\displaystyle y = 2x + 2 - 1 = 2x + 1

\displaystyle 4x - 4 = y - 1 = 2x + 1 - 1 = 2x

\displaystyle 4x - 2x = 4

\displaystyle 2x = 4

\displaystyle x = 2

\displaystyle y = 2x + 1 = 2 \cdot 2 + 1 = 4 + 1 = 5

Svar: x = 2 og y = 5. Brøken blir

\displaystyle \frac{x}{y} = \frac{2}{5}

 

Neste artikkel kommer i juli. Hilsen erty56.

 

MATTENØTT NR. 153 25. mai 2020

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 153 – FINN BRØKEN

Gitt brøken x/y. Dersom man legger til 1 i både teller og nevner, blir brøken 1/2. Dersom man trekker fra 1 i både teller og nevner, blir brøken 1/4. Hva er tallene x og y i brøken x/y?

 

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 152 – IDENTITET MED FUNKSJONER

Gitt

\displaystyle [x^3 - 2x^2 + x - 2] f(x) = [x^3 - x^2 + x - 1] g(x)

Finn f(x) og g(x). Merknad:

\displaystyle f(x), g(x) \neq 0

 

Løsningsforslag:

x = 2 gir [x³ – 2x² + x – 2] = 0

\displaystyle [x^3 - 2x^2 + x - 2] : (x - 2) = x^2 + 1

x = 1 gir [x³ – x² + x – 1] = 0

\displaystyle [x^3 - x^2 + x - 1] : (x - 1) = x^2 + 1

x² + 1 = 0 har ikke reelle løsninger, og x² + 1 kan derfor ikke faktoriseres.

 

\displaystyle [x^3 - 2x^2 + x - 2] f(x) = [x^3 - x^2 + x - 1] g(x)

\displaystyle (x^2 + 1)(x - 2) f(x) = (x^2 + 1 )(x - 1) g(x)

\displaystyle \Downarrow

\displaystyle f(x) = x - 1 \indent \wedge \indent g(x) = x - 2

 

Neste artikkel kommer i juni. Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 152 25. april 2020

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 152 – IDENTITET MED FUNKSJONER

Gitt

\displaystyle [x^3 - 2x^2 + x - 2] f(x) = [x^3 - x^2 + x - 1] g(x)

Finn f(x) og g(x). Merknad:

\displaystyle f(x), g(x) \neq 0

 

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 151 – VANSKELIG ALGEBRA

Gitt P = 1 · 2 · … · n og Q = 1 + 2 + … + n, der n er et naturlig tall. Vis at divisjonen P/Q kun går opp dersom n er et oddetall. (Et naturlig tall er hele positive tall: 1, 2, 3, …)

 

\displaystyle \frac{P}{Q} = \frac{1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n}{1 + 2 + ... + n} = \frac{n!}{\sum_{k=1}^n k} = \frac{n!}{\frac{(1 + n)}{2} \cdot n } = \frac{2 \cdot n!}{n (n + 1)}

\displaystyle = \frac{2 \cdot n \cdot (n - 1)!}{n(n + 1)} = \frac{2 (n - 1)!}{n + 1}

 

1) Partall: 2, 4, …

\displaystyle \frac{P}{Q} = \frac{2 (n - 1)!}{n + 1} = \frac{2 (2 - 1)!}{2 + 1} = \frac{2 \cdot 1!}{3} = \frac{2}{3}

\displaystyle \frac{P}{Q} = \frac{2 (n - 1)!}{n + 1} = \frac{2 (4 - 1)!}{4 + 1} = \frac{2 \cdot 3!}{5} = \frac{12}{5}

Man har allerede funnet to mot-eksempler. Divisjonen P/Q kan gå opp for noen partall, men den går ikke opp for alle partall.

 

2) Oddetall, n = 2m – 1, der m er et naturlig tall

\displaystyle \frac{P}{Q} = \frac{2 (n - 1)!}{n + 1} = \frac{2 (2m - 1 - 1)!}{2m - 1 + 1} = \frac{2 (2m - 2)!}{2m} = \frac{(2m - 2)!}{m}

m er alltid faktor i (2m – 2)!, så divisjonen P/Q går opp for alle oddetall.

Man kan skrive noen ledd for å se dette.

\displaystyle \frac{0!}{1}, \frac{2!}{2}, \frac{4!}{3}, \frac{6!}{4}, \frac{8!}{5}, ...

1 er faktor i 0!, 2 er faktor i 2!, 3 er faktor i 4!, 4 er faktor i 6!, 5 er faktor i 8! osv. (0! = 1)

Teller øker hele tiden mer enn nevner. Man har en garanti for at nevner m alltid er faktor i teller (2m – 2)!

 

Konklusjon: Divisjonen P/Q går kun generelt opp dersom n er et oddetall.

 

Neste artikkel kommer i mai. Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 151 27. mars 2020

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 151 – VANSKELIG ALGEBRA

Gitt P = 1 · 2 · … · n og Q = 1 + 2 + … + n, der n er et naturlig tall. Vis at divisjonen P/Q kun går opp dersom n er et oddetall. (Et naturlig tall er hele positive tall: 1, 2, 3, …)

 

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 150 – TO ENKLE TALLREKKER

Begge disse to tallrekkene har et tall som ikke hører hjemme blant de andre. Hvilket?

A) 1, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 13, 15, 17

Alle tallene er oddetall, bortsett fra 12 som er et partall.

Svar: 12

B) 1, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 23

Alle tallene er primtall, bortsett fra 21 som ikke er et primtall.

Svar: 21

 

Neste artikkel kommer i april. Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 150 26. februar 2020

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 150 – TO ENKLE TALLREKKER

Begge disse to tallrekkene har et tall som ikke hører hjemme blant de andre. Hvilket?

A) 1, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 13, 15, 17

B) 1, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 23

 

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 149 – NOE VANSKELIG GEOMETRI III

Gitt følgende figur:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Trekanten ABC har en innskrevet sirkel som tangerer alle sidene i trekanten. En slik sirkel kalles innsirkelen. Halveringslinjene til vinklene skjærer hverandre i innsenteret I, det samme som sentrum i sirkelen.

Vis at arealet av trekanten er det samme som radius r ganger halvparten av trekantens omkrets p, dvs:

\displaystyle A(\Delta ABC) = r \cdot p

Her følger ny figur:

 

 

 

 

 

 

 

\displaystyle A(\Delta ABC) = \frac{x_1 \cdot r}{2} +\frac{x_2 \cdot r}{2} + \frac{y_1 \cdot r}{2} +\frac{y_2 \cdot r}{2} +\frac{z_1 \cdot r}{2} +\frac{z_2 \cdot r}{2} 

\displaystyle A(\Delta ABC) = \frac{(x_1 + x_2) r + (y_1 + y_2) r + (z_1 + z_2) r}{2}

\displaystyle A(\Delta ABC) = [(x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) + (z_1 + z_2)] \frac{r}{2}

\displaystyle A(\Delta ABC) = 2p \cdot \frac{r}{2}

\displaystyle A(\Delta ABC) = r \cdot p

 

Neste artikkel kommer i mars. Hilsen erty56.

JULENØTTER 2019 – FASIT 8. januar 2020

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

JULENØTTER 2019

Til slutt i innlegget følger en ny mattenøtt.

 

OPPGAVE 144 – KORTSTOKK

A) Man har 3 kort. Hvor mange rekkefølger kan de stokkes i?

B) Man har 5 kort. Hvor mange rekkefølger kan de stokkes i?

Generelt kan n elementer ordnes i n! rekkefølger.

\displaystyle n! = n \cdot (n-1) \cdot ... \cdot 1

A) Svar: 3! = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6

B) Svar: 5! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120

 

OPPGAVE 145 – TALLREKKE MED ET AVVIK

Gitt tallene 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 22, 34, 55. Hvilket tall hører ikke hjemme her?

Bytter man ut 22 med 21, vil hvert tall være summen av de to forrige tallene. Svar: 22 hører ikke hjemme her. Dette er forøvrig de første tallene i Fibonacci-tallfølgen. Det er en matematisk tallfølge man finner igjen i visse systemer i naturen.

 

OPPGAVE 146 – LETT GEOMETRI VI

Gitt en sirkel som på figuren under. Arealet av det skraverte(grå) området er A = ½π – 1

 

 

 

 

 

 

Hva blir arealet A av trekanten (blå farge) ?

Hint: Se OPPGAVE 143 – LETT GEOMETRI V

Arealet av kvartsirkelen er det samme som arealet av trekanten pluss arealet av det skraverte(grå) området.

\displaystyle A(kvartsirkel) = A(trekant) + A(skravert)

\displaystyle \frac{1}{4} \pi r^2 = \frac{1}{2} r^2 + \frac{1}{2} \pi - 1

\displaystyle (\frac{1}{4} \pi - \frac{1}{2}) r^2 = \frac{1}{2} \pi - 1

\displaystyle r^2 = \frac{\frac{1}{2} \pi - 1}{\frac{1}{4} \pi - \frac{1}{2}} = \frac{2 (\frac{1}{4} \pi - \frac{1}{2})}{\frac{1}{4} \pi - \frac{1}{2}} = 2

\displaystyle \Downarrow

\displaystyle r = \sqrt{2}

\displaystyle A(trekant) = \frac{1}{2} r^2 = \frac{1}{2} (\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1

 

OPPGAVE 147 – REKKE AV PARTALL

Gitt en følge av n partall 2, 4, 6, … , 2n. Hva blir rekkens sum, dvs.

\displaystyle \Sigma = 2 + 4 + 6 + ... + 2n

Dette er en aritmetisk rekke med første ledd 2 og siste ledd 2n. Summen blir gjennomsnittet av første og siste ledd ganger antall ledd n, dvs:

\displaystyle \Sigma = 2 + 4 + 6 + ... + 2n = \frac{2 + 2n}{2} \cdot n = \frac{2 (1 + n)}{2} \cdot n = n (n + 1)

 

OPPGAVE 148 – NOE VANSKELIG GEOMETRI II

Gitt linjen XY. CZ står vinkelrett på linjen XY. AX og BY er parallelle med CZ. AY og BX skjærer hverandre i C. Se figur:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Vis at

\displaystyle \frac{1}{CZ} = \frac{1}{AX} + \frac{1}{BY}

 

Trekantene AXY og CZY er formlike:

\displaystyle \Delta AXY \sim \Delta CZY

\displaystyle \frac{AX}{XY} = \frac{CZ}{ZY}

\displaystyle ZY = \frac{CZ \cdot XY}{AX}

Trekantene CXZ og BXY er formlike:

\displaystyle \Delta CXZ \sim \Delta BXY

\displaystyle \frac{CZ}{XZ} = \frac{BY}{XY}

\displaystyle XZ = \frac{CZ \cdot XY}{BY}

 

\displaystyle XZ + ZY = XY

\displaystyle \frac{CZ \cdot XY}{BY} + \frac{CZ \cdot XY}{AX} = XY

\displaystyle (\frac{CZ \cdot XY}{BY} + \frac{CZ \cdot XY}{AX}) \cdot \frac{1}{XY} = XY \cdot \frac{1}{XY}

\displaystyle \frac{CZ}{BY} + \frac{CZ}{AX} = 1

\displaystyle (\frac{CZ}{BY} + \frac{CZ}{AX}) \cdot \frac{1}{CZ} = 1 \cdot \frac{1}{CZ}

\displaystyle \frac{1}{BY} + \frac{1}{AX} = \frac{1}{CZ}

\displaystyle \frac{1}{CZ} = \frac{1}{AX} + \frac{1}{BY}

 

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 149 – NOE VANSKELIG GEOMETRI III

Gitt følgende figur:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Trekanten ABC har en innskrevet sirkel som tangerer alle sidene i trekanten. En slik sirkel kalles innsirkelen. Halveringslinjene til vinklene skjærer hverandre i innsenteret I, det samme som sentrum i sirkelen.

Vis at arealet av trekanten er det samme som radius r ganger halvparten av trekantens omkrets p, dvs:

\displaystyle A(\Delta ABC) = r \cdot p

 

Neste artikkel kommer i februar. Hilsen erty56.

JULENØTTER 2019 19. desember 2019

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Denne gangen kommer julenøtter i form av noen nye matematiske quiz og grublerier:

OPPGAVE 144 – KORTSTOKK

A) Man har 3 kort. Hvor mange rekkefølger kan de stokkes i?

B) Man har 5 kort. Hvor mange rekkefølger kan de stokkes i?

 

OPPGAVE 145 – TALLREKKE MED ET AVVIK

Gitt tallene 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 22, 34, 55. Hvilket tall hører ikke hjemme her?

 

OPPGAVE 146 – LETT GEOMETRI VI

Gitt en sirkel som på figuren under. Arealet av det skraverte(grå) området er A = ½π – 1

 

 

 

 

 

 

Hva blir arealet A av trekanten (blå farge) ?

Hint: Se OPPGAVE 143 – LETT GEOMETRI V

 

OPPGAVE 147 – REKKE AV PARTALL

Gitt en følge av n partall 2, 4, 6, … , 2n. Hva blir rekkens sum, dvs.

\displaystyle \Sigma = 2 + 4 + 6 + ... + 2n

 

OPPGAVE 148 – NOE VANSKELIG GEOMETRI II

Gitt linjen XY. CZ står vinkelrett på linjen XY. AX og BY er parallelle med CZ. AY og BX skjærer hverandre i C. Se figur:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Vis at

\displaystyle \frac{1}{CZ} = \frac{1}{AX} + \frac{1}{BY}

 

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 143 – LETT GEOMETRI V

Gitt en sirkel (svart farge) med en trekant i blå farge som på figuren:

 

 

 

 

 

 

Arealet av trekanten er A=2. Hva blir radius r i sirkelen?

I trekanten er både grunnlinje og høyde det samme som radius i sirkelen. Ergo blir

\displaystyle \frac{r^2}{2} = 2

\displaystyle r^2 = 4

\displaystyle r = 2

Svar: Radius r=2.

Løsningsforslag til julenøttene (OPPGAVE 144 – 148) blir lagt ut her på Realfagshjørnet i januar. God jul! Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 143 24. november 2019

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt.

OPPGAVE 143 – LETT GEOMETRI V

Gitt en sirkel (svart farge) med en trekant i blå farge som på figuren:

 

 

 

 

 

 

Arealet av trekanten er A=2. Hva blir radius r i sirkelen?

Løsningsforslag kommer i neste måned. Da vil det også bli lagt ut julenøtter. Hilsen erty56.

GRUNNLEGGENDE MENGDELÆRE 13. oktober 2019

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
Tags: , ,
add a comment

Hei igjen!

Denne artikkelen gir en innføring i mengdelære. Notasjonsforklaringer står til slutt.

1 Innledning

En mengde betegnes med tegnene { og }. Innholdet i mengden er elementer. F.eks. er {a , b} mengden av a og b.

Rekkefølgen av elementene har ingenting å si, så {a , b} = {b , a} osv. Gitt annengradsligningen

\displaystyle x^2 - 3x + 2 = 0

\displaystyle \Downarrow

\displaystyle x = 1 \indent \vee \indent x = 2

\displaystyle \Updownarrow

\displaystyle L = \{1 , 2\}

L er løsningsmengden. Dette kan også skrives

\displaystyle x \in \{1 , 2\}

Like mengder har eksakt de samme elementene. F.eks.

\displaystyle \{1 , 2 , 3\} = \{1 , 3 , 2 \} = \{3 , 1 , 2 \}

osv. Ekvivalente mengder har like mange elementer. F.eks.

\displaystyle \{1 , 2 , 3\} \sim \{a , b , c \} \sim \{r , w , g \}

osv. Det har ingenting å si hva elementene er igjen, bare antallet.

Den tomme mengde betegnes ∅. Den er helt tom og inneholder ingen elementer. Ikke engang null. Den kan skrives

\displaystyle \emptyset = \{ \}

Gitt annengradsligningen

\displaystyle x^2 = -1

\displaystyle \Downarrow

\displaystyle L = \emptyset

Løsningsmengden er tom. Det finnes jo ingen løsninger av denne ligningen.

Alle mengder har delmengder. Man kan konstruere 2^n delmengder av en mengde med n elementer. Gitt mengden {1 , 2 , 3}. Den har tre elementer. Dette gir 2³ = 8 delmengder:

\displaystyle \{1 , 2 , 3\}

\displaystyle \{1 , 2\}

\displaystyle \{1 , 3\}

\displaystyle \{2 , 3\}

\displaystyle \{1\}

\displaystyle \{2\}

\displaystyle \{3\}

\displaystyle \{ \}

Altså alt fra den tomme mengde til hele mengden.


2 Definisjoner ved illustrasjoner

Unionen av to mengder A og B skrives

\displaystyle A \cup B

Unionen av to mengder A og B er mengden av alle elementer som er med i A og B og begge. Se figur II.

 

Snittet av to mengder A og B skrives

\displaystyle A \cap B

Snittet av to mengder A og B er mengden av alle elementer som bare er med i både A og B. Se figur III. (Snittet er det skraverte).


En delmengde A av B skrives

\displaystyle A \subseteq B

A er en delmengde av B. Hele A ligger i B, men B kan være større enn A. Se figur I. (A er det skraverte).

På figuren er faktisk A en ekte delmengde av B, dvs. A ⊂ B. Med dette menes at B har minst ett element mer enn A.

 

Disjunkte mengder A og B har tomt snitt, dvs.

\displaystyle A \cap B = \emptyset

De er adskilte og har ingen felles mengde eller elementer. Figur:

 

 

 

 

 

3 Generelle definisjoner og setninger

Definisjon mengde

\displaystyle (y \textrm{ \ er \ en \ mengde}) \Leftrightarrow (\exists x) (x \in y \vee y = \emptyset)

Definisjon den tomme mengde

\displaystyle \emptyset = x \Leftrightarrow (\forall y) (y \notin x)

Definisjon union

\displaystyle (A \cup B = y) \Leftrightarrow (\forall x)(x \in y \Leftrightarrow x \in A \vee x \in B)

\displaystyle \wedge \ (y \textrm{ \ er \ en \ mengde})

Av dette følger at

\displaystyle A \cup B = B \cup A

\displaystyle A \cup A = A

\displaystyle A \cup \emptyset = A

Definisjon snitt

\displaystyle (A \cap B = y) \Leftrightarrow (\forall x)(x \in y \Leftrightarrow x \in A \wedge x \in B)

\displaystyle \wedge \ (y \textrm{ \ er \ en \ mengde})

Av dette følger at

\displaystyle A \cap B = B \cap A

\displaystyle A \cap A = A

\displaystyle A \cap \emptyset = \emptyset

Definisjon delmengde

\displaystyle A \subseteq B \Leftrightarrow (\forall x) (x \in A \Rightarrow x \in B)

Av dette følger at

\displaystyle A \subseteq A

\displaystyle (A \subseteq B \wedge B \subseteq A) \Rightarrow A = B

\displaystyle A \subseteq \emptyset \Rightarrow A = \emptyset

Definisjon ekte delmengde

\displaystyle A \subset B \Leftrightarrow (A \subseteq B \wedge A \neq B)

Av dette følger at

\displaystyle A \subset B \Rightarrow A \subseteq B

Definisjon differensmengde

\displaystyle A \backslash B = y \Leftrightarrow (\forall x)(x \in y \Leftrightarrow x \in A \wedge x \notin B) \wedge (y \textrm{ \ er \ en \ mengde})

Av dette følger at

\displaystyle A \backslash A = \emptyset

\displaystyle (A \cup B) \backslash B = A \backslash B

\displaystyle (A \cap B) \backslash B = \emptyset

 

4 Notasjonsforklaringer

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 142 – HARMONISK REKKE

Følgende rekke kalles den harmoniske rekke:

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} + ...

Finn

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}

Løsningsforslag:

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}

\displaystyle = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + ... + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) + ...

\displaystyle = (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} + ...) - (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n}+\frac{1}{n+1} + ...)

\displaystyle = 1 - \lim_{n\to\ \infty} \frac{1}{n+1} = 1 - \lim_{n\to\ \infty} \frac{\frac{1}{n}}{1 + \frac{1}{n}} = 1 - \frac{0}{1 + 0} = 1 - 0 = 1

 

Neste artikkel kommer i november. Hilsen erty56.

Artikkelen kan lastes ned som pdf-fil her:

GRUNNLEGGENDE_MENGDELÆRE

MATTENØTT NR. 142 24. september 2019

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
Tags: , ,
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt.

OPPGAVE 142 – HARMONISK REKKE

Følgende rekke kalles den harmoniske rekke:

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} + ...

Finn

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}

 

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 141 – KVADRATRØTTER II

Gitt

\displaystyle \sqrt{x^4 - 4x^2 - 6x + 13} = -x + 3

Finn x.

Hint: Det blir fire løsninger.

Løsningsforslag:

\displaystyle \sqrt{x^4 - 4x^2 - 6x + 13} = -x + 3

\displaystyle (\sqrt{x^4 - 4x^2 - 6x + 13})^2 = (-x + 3)^2

\displaystyle x^4 - 4x^2 - 6x + 13 = x^2 - 6x + 9

\displaystyle x^4 - 5x^2 + 4 = 0

Setter y = x² Dette gir:

\displaystyle y^2 - 5y + 4 = 0

\displaystyle (y - \frac{5}{2})^2 = -4 + (-\frac{5}{2})^2

\displaystyle (y - \frac{5}{2})^2 = \frac{9}{4}

\displaystyle \sqrt{(y - \frac{5}{2})^2} = \sqrt{\frac{9}{4}}

\displaystyle y - \frac{5}{2} = \pm \frac{3}{2}

\displaystyle y = \pm \frac{3}{2} + \frac{5}{2}

\displaystyle y = 1 \indent \vee \indent y = 4

Deretter

\displaystyle x^2 = 1 \indent \vee \indent x^2 = 4

\displaystyle \sqrt{x^2} = \sqrt{1} \indent \vee \indent \sqrt{x^2} = \sqrt{4}

\displaystyle x = \pm 1 \indent \vee \indent x = \pm 2

\displaystyle x = -1 \indent \vee \indent x = 1 \indent \vee \indent x = -2 \indent \vee \indent x = 2

 

Ved kvadrering legges iblant til falske løsninger. Det har imidlertid ikke skjedd her. Alle fire løsninger passer i det opprinnelige uttrykket.

Neste artikkel kommer i oktober. Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 141 18. august 2019

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
Tags: , ,
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt.

OPPGAVE 141 – KVADRATRØTTER II

Gitt

\displaystyle \sqrt{x^4 - 4x^2 - 6x + 13} = -x + 3

Finn x.

Hint: Det blir fire løsninger.

 

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 140 – TO SVÆRT ENKLE OPPGAVER

A) En fotball veier 1 kg. i tillegg til halvparten av sin egen vekt. Hvor mye veier fotballen?

Kaller fotballens vekt for x. Dette gir:

\displaystyle 1 \ kg. + \frac{1}{2}x = x

\displaystyle \frac{1}{2}x = 1 \ kg.

\displaystyle x = 2 \ kg.

Svar: Fotballen veier 2 kg.

 

B) En basketball veier 2 kg. i tillegg til 1/3 av sin egen vekt. Hvor mye veier basketballen?

Kaller basketballens vekt for x. Dette gir:

\displaystyle 2 \ kg. + \frac{1}{3}x = x

\displaystyle \frac{2}{3}x = 2 \ kg.

\displaystyle x = 3 \ kg.

Svar: Basketballen veier 3 kg.

 

Neste artikkel kommer i september. Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 140 24. juli 2019

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
Tags: , ,
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt.

OPPGAVE 140 – TO SVÆRT ENKLE OPPGAVER

A) En fotball veier 1 kg. i tillegg til halvparten av sin egen vekt. Hvor mye veier fotballen?

B) En basketball veier 2 kg. i tillegg til 1/3 av sin egen vekt. Hvor mye veier basketballen?

 

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 139 – NOE VANSKELIG ALGEBRA

Gitt en tredjegradsligning

\displaystyle ax^3 + bx^2 + cx + d = 0

med tre løsninger. Den ene løsningen er den geometriske middelverdien av de to andre løsningene, dvs.

\displaystyle x_3 = \sqrt{x_1 x_2}

Finn sammenhengen mellom a, b, c og d.

Hint: Man skal ende opp med et uttrykk med kun a, b, c og d.

 

Løsningsforslag:

Man skriver først opp ligningen på redusert form ved å dividere med a:

\displaystyle ax^3 + bx^2 + cx + d = 0

\displaystyle x^3 + \frac{b}{a} x^2 + \frac{c}{a} x + \frac{d}{a} = 0

Følgende tre sammenhenger mellom løsningene og koeffisientene a, b, c, og d, gjelder alltid for en tredjegradsligning på redusert form:

\displaystyle x_1 + x_2 + x_3 = - \frac{b}{a}

\displaystyle x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = \frac{c}{a}

\displaystyle x_1 x_2 x_3 = - \frac{d}{a}

Siden

\displaystyle x_3 = \sqrt{x_1 x_2}

blir disse tre:

\displaystyle x_1 + x_2 + \sqrt{x_1 x_2} = - \frac{b}{a}

\displaystyle x_1 x_2 + x_1 \sqrt{x_1 x_2} + x_2 \sqrt{x_1 x_2} = \frac{c}{a}

\displaystyle x_1 x_2 \sqrt{x_1 x_2} = - \frac{d}{a}

 

\displaystyle x_1 x_2 \sqrt{x_1 x_2} = - \frac{d}{a}

\displaystyle \sqrt{x_{1}^2 x_{2}^2 x_1 x_2} = - \frac{d}{a}

\displaystyle \sqrt{x_{1}^3 x_{2}^3} = - \frac{d}{a}

\displaystyle (x_{1} x_{2})^{\frac{3}{2}} = - \frac{d}{a}

\displaystyle ((x_{1} x_{2})^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{3}} = (- \frac{d}{a})^{\frac{1}{3}}

\displaystyle (x_{1} x_{2})^{\frac{1}{2}} = (- \frac{d}{a})^{\frac{1}{3}}

\displaystyle \sqrt{x_1 x_2} = (- \frac{d}{a})^{\frac{1}{3}}

 

\displaystyle x_1 x_2 + x_1 \sqrt{x_1 x_2} + x_2 \sqrt{x_1 x_2} = \frac{c}{a}

\displaystyle \sqrt{x_1 x_2} (\sqrt{x_1 x_2} + x_1 + x_2) = \frac{c}{a}

\displaystyle \Downarrow

\displaystyle (- \frac{d}{a})^{\frac{1}{3}} (- \frac{b}{a})  = \frac{c}{a}

\displaystyle [(- \frac{d}{a})^{\frac{1}{3}} (- \frac{b}{a})]^3  = [\frac{c}{a}]^3

\displaystyle - \frac{d}{a} (- \frac{b^3}{a^3})  = \frac{c^3}{a^3}

\displaystyle \frac{b^3 d}{a^4}  = \frac{c^3}{a^3}

\displaystyle \frac{b^3 d}{a^4} - \frac{c^3}{a^3} = 0

\displaystyle \frac{b^3 d - ac^3}{a^4} = 0

\displaystyle \Downarrow

\displaystyle b^3 d - ac^3 = 0

 

Neste artikkel kommer i august. Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 139 20. juni 2019

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
Tags: , ,
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt.

OPPGAVE 139 – NOE VANSKELIG ALGEBRA

Gitt en tredjegradsligning

\displaystyle ax^3 + bx^2 + cx + d = 0

med tre løsninger. Den ene løsningen er den geometriske middelverdien av de to andre løsningene, dvs.

\displaystyle x_3 = \sqrt{x_1 x_2}

Finn sammenhengen mellom a, b, c og d.

Hint: Man skal ende opp med et uttrykk med kun a, b, c og d.

 

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 138 – GEOMETRISKE FORHOLD IV

Gitt en sirkel med radius r som på figuren under (svart farge).

 

 

 

 

 

 

 

 

Sirkelen inneholder to kvadrater (begge i blå farge). Hva blir forholdet mellom arealet av det største kvadratet og det minste kvadratet?

Hint: Finn begge kvadrater ved radius i sirkelen.

Først en ny skisse:

 

 

 

 

 

 

 

Arealet av det største kvadratet med sider s kan finnes ved pytagoras setning:

\displaystyle (\frac{s}{2})^2 + (\frac{s}{2})^2 = r^2

\displaystyle \frac{1}{4} s^2 + \frac{1}{4} s^2 = r^2

\displaystyle \frac{1}{2} s^2 = r^2

\displaystyle s^2 = 2r^2

 

Arealet av det minste kvadratet med sider l kan finnes ved pytagoras setning, og deretter regne en annengradsligning med l som den ukjente:

\displaystyle (\frac{1}{2} l)^2 + (l + \frac{1}{2} s)^2 = r^2

\displaystyle \frac{1}{4} l^2 + l^2 + l s + \frac{1}{4} s^2 = r^2

\displaystyle \frac{5}{4} l^2 + l s + \frac{1}{4} s^2 = r^2

 

\displaystyle s^2 = 2r^2 \Rightarrow s = \sqrt{2} r

 

\displaystyle \frac{5}{4} l^2 + l s + \frac{1}{4} s^2 = r^2 \indent \wedge \indent s^2 = 2r^2 \indent \wedge \indent s = \sqrt{2} r

\displaystyle \Downarrow

\displaystyle \frac{5}{4} l^2 + l (\sqrt{2} r) + \frac{1}{4} \cdot 2r^2 = r^2

\displaystyle \frac{5}{4} l^2 + \sqrt{2} r l = \frac{1}{2} r^2

\displaystyle l^2 + \frac{4 \sqrt{2}}{5} r l = \frac{2}{5} r^2

\displaystyle (l + \frac{4 \sqrt{2}}{10} r)^2 = \frac{2}{5} r^2 + (\frac{4 \sqrt{2}}{10} r)^2

\displaystyle (l + \frac{4 \sqrt{2}}{10} r)^2 = \frac{2}{5} r^2 + \frac{32}{100} r^2

\displaystyle (l + \frac{4 \sqrt{2}}{10} r)^2 = \frac{72}{100} r^2

\displaystyle \sqrt{(l + \frac{4 \sqrt{2}}{10} r)^2} = \sqrt{\frac{72}{100} r^2}

\displaystyle l + \frac{4 \sqrt{2}}{10} r = \pm \frac{\sqrt{72}}{10} r

\displaystyle l = \pm \frac{\sqrt{72}}{10} r - \frac{4 \sqrt{2}}{10} r

Siden l er en lengde blir

\displaystyle l = \frac{\sqrt{72}}{10} r - \frac{4 \sqrt{2}}{10} r = \frac{\sqrt{72} - 4 \sqrt{2}}{10} r = \frac{\sqrt{2}}{5} r

\displaystyle \Downarrow

\displaystyle l^2 = 0,08 r^2

 

Forholdet mellom arealet av det største kvadratet og det minste kvadratet blir:

\displaystyle s^2 : l^2 = 2 r^2 : 0,08 r^2 = 2 : 0,08 = 25 : 1

 

Neste artikkel kommer i juli. Hilsen erty56.

 

MATTENØTT NR. 138 22. mai 2019

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
Tags: , ,
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt. Denne ligner på forrige måneds mattenøtt. Se løsningsforslag nedenfor.

 

OPPGAVE 138 – GEOMETRISKE FORHOLD IV

Gitt en sirkel med radius r som på figuren under (svart farge).

 

 

 

 

 

 

 

Sirkelen inneholder to kvadrater (begge i blå farge). Hva blir forholdet mellom arealet av det største kvadratet og det minste kvadratet?

Hint: Finn begge kvadrater ved radius i sirkelen.

 

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 137 – GEOMETRISKE FORHOLD III

Gitt en sirkel med radius r som på figuren under (svart farge).

 

 

 

 

 

 

 

Den har et innskrevet og et omskrevet kvadrat (begge i blå farge). Hva blir forholdet mellom arealet av det omskrevne kvadratet og det innskrevne kvadratet?

Arealet av det omskrevne kvadratet med sider l:

\displaystyle l^2 = (2r)^2 = 4r^2

Arealet av det innskrevne kvadratet med sider s kan finnes ved pytagoras setning:

\displaystyle (\frac{s}{2})^2 + (\frac{s}{2})^2 = r^2

\displaystyle \frac{1}{4} s^2 + \frac{1}{4} s^2 = r^2

\displaystyle \frac{1}{2} s^2 = r^2

\displaystyle s^2 = 2r^2

Forholdet mellom arealet av det omskrevne kvadratet og det innskrevne kvadratet blir:

\displaystyle l^2 : s^2 = 4r^2 : 2r^2 = 4 : 2 = 2 : 1

 

Neste artikkel kommer i juni. Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 137 24. april 2019

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
Tags: , ,
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 137 – GEOMETRISKE FORHOLD III

Gitt en sirkel med radius r som på figuren under (svart farge).

 

 

 

 

 

 

 

Den har et innskrevet og et omskrevet kvadrat (begge i blå farge). Hva blir forholdet mellom arealet av det omskrevne kvadratet og det innskrevne kvadratet?

 

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 136 – KVADRATRØTTER

A) Gitt

\displaystyle \sqrt{6 + 5 \sqrt{2}} = \sqrt{6 + x \sqrt{2}}

Finn x

Denne oppgaven krever egentlig ingen regning. Uttrykket på venstre side(VS) er det samme som uttrykket på høyre side(HS) ved x = 5. Svaret er derfor x = 5.

B) Gitt

\displaystyle \sqrt{94 + 81 \sqrt{4}} = x + 8

Finn x

\displaystyle \sqrt{94 + 81 \sqrt{4}} = x + 8

\displaystyle \sqrt{94 + 81 \cdot 2} = x + 8

\displaystyle \sqrt{94 + 162} = x + 8

\displaystyle \sqrt{256} = x + 8

\displaystyle 16 = x + 8

\displaystyle x = 16 - 8 = 8

 

Neste artikkel kommer i mai. Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 136 17. mars 2019

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
Tags: , ,
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 136 – KVADRATRØTTER

A) Gitt

\displaystyle \sqrt{6 + 5 \sqrt{2}} = \sqrt{6 + x \sqrt{2}}

Finn x

B) Gitt

\displaystyle \sqrt{94 + 81 \sqrt{4}} = x + 8

Finn x

 

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 135 – FUNKSJON II

Gitt

\displaystyle  f(x) = \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}

Denne funksjonen har vært brukt tidligere i oppgave 84. Hensikten da var å studere funksjonens symmetri egenskaper. Hensikten denne gangen er å studere funksjonens verdimengde.

A) Regn ut

\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x) = \lim_{x\to-\infty}  \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}

\displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x) = \lim_{x\to\infty}  \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}

Hint:

\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x) = \lim_{x\to\infty} f(x)

 

\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x) = \lim_{x\to-\infty}  \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}

\displaystyle = \lim_{x\to-\infty} \frac{x^2 - 4}{x^2} = \lim_{x\to-\infty} \frac{(x^2 - 4) \cdot \frac{1}{x^2}}{x^2 \cdot \frac{1}{x^2}}

\displaystyle = \lim_{x\to-\infty}  \frac{1 - \frac{4}{x^2}}{1} = \frac{1 - 0}{1} = \frac{1}{1} = 1

 

\displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x) = \lim_{x\to\infty}  \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}

\displaystyle = \lim_{x\to\infty} \frac{x^2 - 4}{x^2} = \lim_{x\to\infty} \frac{(x^2 - 4) \cdot \frac{1}{x^2}}{x^2 \cdot \frac{1}{x^2}}

\displaystyle = \lim_{x\to\infty}  \frac{1 - \frac{4}{x^2}}{1} = \frac{1 - 0}{1} = \frac{1}{1} = 1

 

B) Regn ut

\displaystyle \lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^-}  \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}

\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^+}  \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}

Hint:

\displaystyle \lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^+} f(x)

 

\displaystyle \lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^-}  \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}

\displaystyle = \lim_{x\to 0^-}  \frac{x^2 - 4}{x^2} = \frac{\lim \limits_{x\to 0^-}x^2 - 4}{\lim \limits_{x\to 0^-} x^2}

\displaystyle = \frac{-4}{\lim \limits_{x\to 0^-} x^2} = -\infty

 

\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^+}  \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}

\displaystyle = \lim_{x\to 0^+}  \frac{x^2 - 4}{x^2} = \frac{\lim \limits_{x\to 0^+} x^2 - 4}{\lim \limits_{x\to 0^+} x^2}

\displaystyle = \frac{-4}{\lim \limits_{x\to 0^+} x^2} = -\infty

 

C) Definisjonsmengden D_f er x-verdiene der funksjonen er definert, og verdimengden V_f er f(x)-verdiene funksjonen har. Definisjonsmengden til f(x) er her alle reelle tall unntatt null, dvs  D_f \in \mathbb{R} \setminus \{0\}

Finn verdimengden V_f

Deriverer funksjonen:

\displaystyle  D[f(x)] = D[\frac{(x+2)(x-2)}{x^2}] = D[\frac{x^2 - 4}{x^2}]

\displaystyle  = \frac{D[x^2 - 4] x^2 - (x^2 - 4) D[x^2]}{(x^2)^2}

\displaystyle  = \frac{(2x - 0) x^2 - (x^2 - 4) 2x}{x^4} = \frac{2x^3 - 2x^3 + 8x}{x^4} = \frac{8x}{x^4}

\displaystyle 8x = 0 \indent \wedge \indent x^4 = 0

\displaystyle x = 0 \indent \wedge \indent x = 0

Fortegnsskjema:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Utifra fortegnsskjemaet og grenseverdiene i A) og B) er verdimengden

\displaystyle V_f \in \langle \gets , 1 \rangle

(Altså alle reelle tall mindre enn 1)

 

Her gjengis løsningsforslaget fra

JULENØTTER 2016

OPPGAVE 84 – FUNKSJON

Gitt

\displaystyle  f(x) = \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}

 

A) Vis at f(-2) = f(2)

 

\displaystyle  f(-2) = \frac{(-2+2)(-2-2)}{(-2)^2} = \frac{0(-4)}{4} = 0

\displaystyle f(2) = \frac{(2+2)(2-2)}{2^2} = \frac{4 \cdot 0}{4} = 0

\displaystyle  f(-2) = f(2) = 0

 

B) For hvilke a er f(-a)=f(a)?

 

\displaystyle f(-a) = f(a)

\displaystyle  \frac{(-a+2)(-a-2)}{(-a)^2}= \frac{(a+2)(a-2)}{a^2} 

\displaystyle  \frac{(a^2 + 2a - 2a -4)}{a^2}= \frac{(a^2 - 2a + 2a - 4)}{a^2} 

\displaystyle  \frac{a^2 - 4}{a^2}= \frac{a^2 - 4}{a^2}

\displaystyle  \frac{0}{a^2}= 0

 

Konklusjon: a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}

 

Funksjonen er altså symmetrisk om annenaksen i hele definisjonsmengden. Her er funksjonen tegnet opp:

 

 

 

 

 

 

Neste artikkel kommer i april. Hilsen erty56.

 

MATTENØTT NR. 135 24. februar 2019

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
Tags: , ,
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 135 – FUNKSJON II

Gitt

\displaystyle  f(x) = \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}

A) Regn ut

\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x) = \lim_{x\to-\infty}  \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}

\displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x) = \lim_{x\to\infty}  \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}

Hint:

\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x) = \lim_{x\to\infty} f(x)

 

B) Regn ut

\displaystyle \lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^-}  \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}

\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^+}  \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}

Hint:

\displaystyle \lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^+} f(x)

 

C) Definisjonsmengden D_f er x-verdiene der funksjonen er definert, og verdimengden V_f er f(x)-verdiene funksjonen har. Definisjonsmengden til f(x) er her alle reelle tall unntatt null, dvs  D_f \in \mathbb{R} \setminus \{0\}

Finn verdimengden V_f

 

Denne funksjonen har vært brukt tidligere i oppgave 84. Her gjengis løsningsforslaget fra

JULENØTTER 2016

OPPGAVE 84 – FUNKSJON

Gitt

\displaystyle  f(x) = \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}

 

A) Vis at f(-2) = f(2)

 

\displaystyle  f(-2) = \frac{(-2+2)(-2-2)}{(-2)^2} = \frac{0(-4)}{4} = 0

\displaystyle f(2) = \frac{(2+2)(2-2)}{2^2} = \frac{4 \cdot 0}{4} = 0

\displaystyle  f(-2) = f(2) = 0

 

B) For hvilke a er f(-a)=f(a)?

 

\displaystyle f(-a) = f(a)

\displaystyle  \frac{(-a+2)(-a-2)}{(-a)^2}= \frac{(a+2)(a-2)}{a^2} 

\displaystyle  \frac{(a^2 + 2a - 2a -4)}{a^2}= \frac{(a^2 - 2a + 2a - 4)}{a^2} 

\displaystyle  \frac{a^2 - 4}{a^2}= \frac{a^2 - 4}{a^2}

\displaystyle  \frac{0}{a^2}= 0

 

Konklusjon: a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}

 

 

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 134 – POLYNOMDIVISJON

\displaystyle (x + 1) er faktor i \displaystyle x^3 - 2x^2 - x + 2

Finn løsningene til

\displaystyle x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0

Den ene løsningen finnes ved

\displaystyle x + 1 = 0

\displaystyle x = -1

Utfører polynomdivisjon:

\displaystyle \underline{(x^3 - 2x^2 - x + 2)} : (x+1) = x^2 - 3x + 2

\displaystyle -(x^3 + x^2)

\displaystyle \underline{= -3x^2 - x + 2}

\displaystyle -(-3x^2 -3x)

\displaystyle \underline{= 2x + 2} 

\displaystyle -(2x + 2)

\displaystyle =0

De to andre løsningene finnes ved

\displaystyle x^2 - 3x + 2 = 0

\displaystyle (x - \frac{3}{2})^2 = -2 + (-\frac{3}{2})^2

\displaystyle (x - \frac{3}{2})^2 = -2 + (\frac{9}{4})

\displaystyle (x - \frac{3}{2})^2 = \frac{1}{4}

\displaystyle \sqrt{(x - \frac{3}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4}}

\displaystyle x - \frac{3}{2} = \pm \frac{1}{2}

\displaystyle x = \pm \frac{1}{2} + \frac{3}{2}

\displaystyle x = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \indent \vee \indent x = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = \frac{4}{2} = 2

\displaystyle \Downarrow

\displaystyle L = \{ -1, 1, 2 \}

 

Neste innlegg kommer i mars. Hilsen erty56.

%d bloggere like this: