Realfagshjørnet

MATTENØTT NR. 136 17. mars 2019

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 136 – KVADRATRØTTER

A) Gitt

$\displaystyle \sqrt{6 + 5 \sqrt{2}} = \sqrt{6 + x \sqrt{2}}$

Finn x

B) Gitt

$\displaystyle \sqrt{94 + 81 \sqrt{4}} = x + 8$

Finn x

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 135 – FUNKSJON II

Gitt

$\displaystyle f(x) = \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}$

Denne funksjonen har vært brukt tidligere i oppgave 84. Hensikten da var å studere funksjonens symmetri egenskaper. Hensikten denne gangen er å studere funksjonens verdimengde.

A) Regn ut

$\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x) = \lim_{x\to-\infty} \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}$

$\displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x) = \lim_{x\to\infty} \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}$

Hint:

$\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x) = \lim_{x\to\infty} f(x)$

$\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x) = \lim_{x\to-\infty} \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}$

$\displaystyle = \lim_{x\to-\infty} \frac{x^2 - 4}{x^2} = \lim_{x\to-\infty} \frac{(x^2 - 4) \cdot \frac{1}{x^2}}{x^2 \cdot \frac{1}{x^2}}$

$\displaystyle = \lim_{x\to-\infty} \frac{1 - \frac{4}{x^2}}{1} = \frac{1 - 0}{1} = \frac{1}{1} = 1$

$\displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x) = \lim_{x\to\infty} \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}$

$\displaystyle = \lim_{x\to\infty} \frac{x^2 - 4}{x^2} = \lim_{x\to\infty} \frac{(x^2 - 4) \cdot \frac{1}{x^2}}{x^2 \cdot \frac{1}{x^2}}$

$\displaystyle = \lim_{x\to\infty} \frac{1 - \frac{4}{x^2}}{1} = \frac{1 - 0}{1} = \frac{1}{1} = 1$

B) Regn ut

$\displaystyle \lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^-} \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}$

$\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^+} \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}$

Hint:

$\displaystyle \lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^+} f(x)$

$\displaystyle \lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^-} \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}$

$\displaystyle = \lim_{x\to 0^-} \frac{x^2 - 4}{x^2} = \frac{\lim_{x\to 0^-} x^2 - 4}{\lim_{x\to 0^-} x^2}$

$\displaystyle = \frac{-4}{\lim_{x\to 0^-} x^2} = -\infty$

$\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^+} \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}$

$\displaystyle = \lim_{x\to 0^+} \frac{x^2 - 4}{x^2} = \frac{\lim_{x\to 0^+} x^2 - 4}{\lim_{x\to 0^+} x^2}$

$\displaystyle = \frac{-4}{\lim_{x\to 0^+} x^2} = -\infty$

C) Definisjonsmengden $D_f$ er x-verdiene der funksjonen er definert, og verdimengden $V_f$ er f(x)-verdiene funksjonen har. Definisjonsmengden til f(x) er her alle reelle tall unntatt null, dvs $D_f \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$

Finn verdimengden $V_f$

Deriverer funksjonen:

$\displaystyle D[f(x)] = D[\frac{(x+2)(x-2)}{x^2}] = D[\frac{x^2 - 4}{x^2}]$

$\displaystyle = \frac{D[x^2 - 4] x^2 - (x^2 - 4) D[x^2]}{(x^2)^2}$

$\displaystyle = \frac{(2x - 0) x^2 - (x^2 - 4) 2x}{x^4} = \frac{2x^3 - 2x^3 + 8x}{x^4} = \frac{8x}{x^4}$

$\displaystyle 8x = 0 \indent \wedge \indent x^4 = 0$

$\displaystyle x = 0 \indent \wedge \indent x = 0$

Fortegnsskjema:

Utifra fortegnsskjemaet og grenseverdiene i A) og B) er verdimengden

$\displaystyle V_f \in \langle \gets , 1 \rangle$

(Altså alle reelle tall mindre enn 1)

Her gjengis løsningsforslaget fra

JULENØTTER 2016

OPPGAVE 84 – FUNKSJON

Gitt

$\displaystyle f(x) = \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}$

A) Vis at f(-2) = f(2)

$\displaystyle f(-2) = \frac{(-2+2)(-2-2)}{(-2)^2} = \frac{0(-4)}{4} = 0$

$\displaystyle f(2) = \frac{(2+2)(2-2)}{2^2} = \frac{4 \cdot 0}{4} = 0$

$\displaystyle f(-2) = f(2) = 0$

B) For hvilke a er f(-a)=f(a)?

$\displaystyle f(-a) = f(a)$

$\displaystyle \frac{(-a+2)(-a-2)}{(-a)^2}= \frac{(a+2)(a-2)}{a^2}$

$\displaystyle \frac{(a^2 + 2a - 2a -4)}{a^2}= \frac{(a^2 - 2a + 2a - 4)}{a^2}$

$\displaystyle \frac{a^2 - 4}{a^2}= \frac{a^2 - 4}{a^2}$

$\displaystyle \frac{0}{a^2}= 0$

Konklusjon: $a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$

Funksjonen er altså symmetrisk om annenaksen i hele definisjonsmengden. Her er funksjonen tegnet opp:

Neste artikkel kommer i april. Hilsen erty56.

Reklamer

MATTENØTT NR. 135 24. februar 2019

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 135 – FUNKSJON II

Gitt

$\displaystyle f(x) = \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}$

A) Regn ut

$\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x) = \lim_{x\to-\infty} \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}$

$\displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x) = \lim_{x\to\infty} \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}$

Hint:

$\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x) = \lim_{x\to\infty} f(x)$

B) Regn ut

$\displaystyle \lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^-} \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}$

$\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^+} \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}$

Hint:

$\displaystyle \lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^+} f(x)$

Finn verdimengden $V_f$

Denne funksjonen har vært brukt tidligere i oppgave 84. Her gjengis løsningsforslaget fra

JULENØTTER 2016

OPPGAVE 84 – FUNKSJON

Gitt

$\displaystyle f(x) = \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}$

A) Vis at f(-2) = f(2)

$\displaystyle f(-2) = \frac{(-2+2)(-2-2)}{(-2)^2} = \frac{0(-4)}{4} = 0$

$\displaystyle f(2) = \frac{(2+2)(2-2)}{2^2} = \frac{4 \cdot 0}{4} = 0$

$\displaystyle f(-2) = f(2) = 0$

B) For hvilke a er f(-a)=f(a)?

$\displaystyle f(-a) = f(a)$

$\displaystyle \frac{(-a+2)(-a-2)}{(-a)^2}= \frac{(a+2)(a-2)}{a^2}$

$\displaystyle \frac{(a^2 + 2a - 2a -4)}{a^2}= \frac{(a^2 - 2a + 2a - 4)}{a^2}$

$\displaystyle \frac{a^2 - 4}{a^2}= \frac{a^2 - 4}{a^2}$

$\displaystyle \frac{0}{a^2}= 0$

Konklusjon: $a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 134 – POLYNOMDIVISJON

$\displaystyle (x + 1)$ er faktor i $\displaystyle x^3 - 2x^2 - x + 2$

Finn løsningene til

$\displaystyle x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0$

Den ene løsningen finnes ved

$\displaystyle x + 1 = 0$

$\displaystyle x = -1$

Utfører polynomdivisjon:

$\displaystyle \underline{(x^3 - 2x^2 - x + 2)} : (x+1) = x^2 - 3x + 2$

$\displaystyle -(x^3 + x^2)$

$\displaystyle \underline{= -3x^2 - x + 2}$

$\displaystyle -(-3x^2 -3x)$

$\displaystyle \underline{= 2x + 2}$

$\displaystyle -(2x + 2)$

$\displaystyle =0$

De to andre løsningene finnes ved

$\displaystyle x^2 - 3x + 2 = 0$

$\displaystyle (x - \frac{3}{2})^2 = -2 + (-\frac{3}{2})^2$

$\displaystyle (x - \frac{3}{2})^2 = -2 + (\frac{9}{4})$

$\displaystyle (x - \frac{3}{2})^2 = \frac{1}{4}$

$\displaystyle \sqrt{(x - \frac{3}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4}}$

$\displaystyle x - \frac{3}{2} = \pm \frac{1}{2}$

$\displaystyle x = \pm \frac{1}{2} + \frac{3}{2}$

$\displaystyle x = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \indent \vee \indent x = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$\displaystyle \Downarrow$

$\displaystyle L = \{ -1, 1, 2 \}$

Neste innlegg kommer i mars. Hilsen erty56.

JULENØTTER 2018 – FASIT 12. januar 2019

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

JULENØTTER 2018

Til slutt i innlegget følger en ny mattenøtt.

OPPGAVE 128 – BANKINNSKUDD

Per setter inn 15.000 kr på en innskuddskonto. Renten er 7 % årlig. Hva er beløpet vokst til etter 3 år?

Man anvender

$\displaystyle K = a (1 + \frac{p}{100})^n$

der a er innskudd, n antall år, p rente og K er resultatet.

$\displaystyle K = 15.000 \, kr \, (1 + \frac{7}{100})^3$

$\displaystyle K = 15.000 \, kr \, (1 + 0,07)^3$

$\displaystyle K = 15.000 \, kr \, (1,07)^3$

$\displaystyle K = 15.000 \, kr \, \cdot 1,225043 = 18.375,645 \, kr \,$

OPPGAVE 129 – ANTALL KULER

En eske inneholder blå, røde, gule, svarte og grønne kuler. For hver kule er det 5 til med samme farge. Hvor mange kuler er det i esken?

For hver kule er det 5 til, gir 6 kuler med samme farge. 5 forskjellige farger gir totalt 6 x 5 = 30 kuler.

OPPGAVE 130 – LETT GEOMETRI IV

Et kvadrat med sider lik 1 har en innskrevet sirkel. Det er et fargelagt kvadrat inne i sirkelen som vist på figuren:

A) Hva blir arealet av sirkelen?

En halv side gir radius r = ½. Arealet av sirkelen blir:

$\displaystyle A = \pi r^2 = \pi (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} \pi$

B) Hva blir arealet av det fargelagte kvadratet?

En side s i det fargelagte kvadratet finnes ved Pytagoras setning:

$\displaystyle (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 = s^2$

$\displaystyle s^2 = (\frac{1}{4}) + (\frac{1}{4})$

$\displaystyle s^2 = (\frac{2}{4})$

$\displaystyle s^2 = (\frac{1}{2})$

$\displaystyle s = \sqrt{\frac{1}{2}}$

Arealet av det fargelagte kvadratet blir:

$\displaystyle A = s^2 = (\sqrt{\frac{1}{2}})^2 = \frac{1}{2}$

OPPGAVE 131 – VOLUM FORHOLD

Gitt en terning med sider 1, og en sylinder med radius r=1 og høyde h=1. Hva blir forholdet mellom volumet av sylinderen og terningen?

$\displaystyle V_{sylinder} : V_{terning} = \pi r^2 h : s^3 = \pi \cdot 1^2 \cdot 1 : 1^3 = \pi : 1$

OPPGAVE 132 – TREDJEGRADSLIGNING

$\displaystyle (2x - 1)(x + 2)(x + 3) = ax^3 + bx^2 + cx + d$

Regn ut

$\displaystyle a + b + c + d$

$\displaystyle (2x - 1)(x + 2)(x + 3) = ax^3 + bx^2 + cx + d$

$\displaystyle (2x - 1)(x^2 + 3x + 2x + 6) = ax^3 + bx^2 + cx + d$

$\displaystyle (2x - 1)(x^2 + 5x + 6) = ax^3 + bx^2 + cx + d$

$\displaystyle (2x^3 + 10x^2 + 12x - x^2 - 5x - 6) = ax^3 + bx^2 + cx + d$

$\displaystyle 2x^3 + 9x^2 + 7x - 6 = ax^3 + bx^2 + cx + d$

Så

$\displaystyle a=2, b=9, c=7, d=-6$

Altså blir

$\displaystyle a + b + c + d = 2 + 9 + 7 - 6 = 12$

OPPGAVE 133 – FUNKSJONSOPPGAVE II

Gitt $\displaystyle f(x) = 2x^2 - 13x + n$ og $\displaystyle f(n) = -18$

Hva blir $\displaystyle f(4)$ ?

Mer om løsning av annengradsligninger finnes her:

ANNENGRADSLIGNINGER OG PARABELEN

Løsningsforslag:

$\displaystyle f(n) = -18$

$\displaystyle 2n^2 - 13n + n = -18$

$\displaystyle 2n^2 - 12n = -18$

$\displaystyle n^2 - 6n = -9$

$\displaystyle (n - 3)^2 = -9 + (-3)^2$

$\displaystyle (n - 3)^2 = 0$

$\displaystyle \sqrt{(n - 3)^2} = \sqrt{0}$

$\displaystyle (n - 3) = 0$

$\displaystyle n = 3$

Til slutt:

$\displaystyle f(x) = 2x^2 - 13x + n = 2x^2 - 13x + 3$

$\displaystyle f(4) = 2 \cdot 4^2 - 13 \cdot 4 + 3 = 2 \cdot 16 - 52 + 3 = 32 - 49 = -17$

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 134 – POLYNOMDIVISJON

$\displaystyle (x + 1)$ er faktor i $\displaystyle x^3 - 2x^2 - x + 2$

Finn løsningene til

$\displaystyle x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0$

Neste innlegg kommer i februar. Hilsen erty56.

JULENØTTER 2018 17. desember 2018

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Denne gangen kommer julenøtter i form av noen nye matematiske quiz og grublerier:

OPPGAVE 128 – BANKINNSKUDD

Per setter inn 15.000 kr på en innskuddskonto. Renten er 7 % årlig. Hva er beløpet vokst til etter 3 år?

OPPGAVE 129 – ANTALL KULER

En eske inneholder blå, røde, gule, svarte og grønne kuler. For hver kule er det 5 til med samme farge. Hvor mange kuler er det i esken?

OPPGAVE 130 – LETT GEOMETRI IV

Et kvadrat med sider lik 1 har en innskrevet sirkel. Det er et fargelagt kvadrat inne i sirkelen som vist på figuren:

A) Hva blir arealet av sirkelen?

B) Hva blir arealet av det fargelagte kvadratet?

OPPGAVE 131 – VOLUM FORHOLD

Gitt en terning med sider 1, og en sylinder med radius r=1 og høyde h=1. Hva blir forholdet mellom volumet av sylinderen og terningen?

OPPGAVE 132 – TREDJEGRADSLIGNING

$\displaystyle (2x - 1)(x + 2)(x + 3) = ax^3 + bx^2 + cx + d$

Regn ut

$\displaystyle a + b + c + d$

OPPGAVE 133 – FUNKSJONSOPPGAVE II

Gitt $\displaystyle f(x) = 2x^2 - 13x + n$ og $\displaystyle f(n) = -18$

Hva blir $\displaystyle f(4)$ ?

Mer om løsning av annengradsligninger finnes her:

ANNENGRADSLIGNINGER OG PARABELEN

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 127 – TREKANTER IV

Gitt en halvsirkel med radius r = 1. CD er forlengelsen av diameteren med lengden CD = 1. AD er tangent til halvsirkelen. B ligger midt på sirkelbuen AC. Figur:

A) Hva blir lengden av AD ?

Først en ny skisse:

I og med at AD er tangent til halvsirkelen, er vinkelen EAD 90 grader. Pytagoras setning gir:

$\displaystyle (EA)^2 + (AD)^2 = (ED)^2$

$\displaystyle (r)^2 + (AD)^2 = (r+1)^2$

$\displaystyle (1)^2 + (AD)^2 = (1+1)^2$

$\displaystyle (AD)^2 = (2)^2 - 1$

$\displaystyle (AD)^2 = 4 - 1$

$\displaystyle (AD)^2 = 3$

$\displaystyle AD = \sqrt{3}$

B) Hva blir lengden av BD ?

Sinussetningen gir:

$\displaystyle \frac{\sin 2\alpha}{AD} = \frac{\sin 90^{\circ}}{ED}$

$\displaystyle \sin 2\alpha = \frac{AD \sin 90^{\circ}}{ED}$

$\displaystyle \sin 2\alpha = \frac{\sqrt{3} \cdot 1}{2}$

$\displaystyle \sin 2\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\displaystyle 2\alpha = 60^{\circ}$

$\displaystyle \alpha = 30^{\circ}$

Cosinussetningen gir:

$\displaystyle BD^2 = EB^2 + ED^2 - 2 \cdot EB \cdot ED \cos \alpha$

$\displaystyle BD^2 = r^2 + 2^2 - 2 \cdot r \cdot 2 \cos 30^{\circ}$

$\displaystyle BD^2 = 1^2 + 2^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2 \cos 30^{\circ}$

$\displaystyle BD^2 = 1 + 4 - 2 \cdot 1 \cdot 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\displaystyle BD^2 = 5 - 2 \sqrt{3}$

$\displaystyle BD = \sqrt{5 - 2 \sqrt{3}}$

Løsningsforslag til julenøttene blir lagt ut her på Realfagshjørnet i januar. God jul! Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 127 30. november 2018

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 127 – TREKANTER IV

Gitt en halvsirkel med radius r = 1. CD er forlengelsen av diameteren med lengden CD = 1. AD er tangent til halvsirkelen. B ligger midt på sirkelbuen AC. Figur:

A) Hva blir lengden av AD ?

B) Hva blir lengden av BD ?

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 126 – SPESIELL EKSPONENT

Gitt

$\displaystyle 3^{2x^2 - 7x + 3} = 4^{x^2 - x -6}$

Finn verdiene av x.

Hint: Man kan løse denne ved å først ta logaritmen til begge sider, og deretter regne en annengradsligning. Det blir to reelle løsninger. Mer om løsning av annengradsligninger finnes her:

ANNENGRADSLIGNINGER OG PARABELEN

Løsningsforslag etter hintet:

$\displaystyle 3^{2x^2 - 7x + 3} = 4^{x^2 - x -6}$

$\displaystyle \ln (3^{2x^2 - 7x + 3}) = \ln (4^{x^2 - x -6})$

$\displaystyle (2x^2 - 7x + 3) \ln 3 = (x^2 - x -6) \ln 4$

$\displaystyle x^2 (2 \ln 3 - \ln 4) + x (-7 \ln 3 + \ln 4) + 3 \ln 3 + 6 \ln 4 = 0$

$\displaystyle x = \frac{7 \ln 3 - \ln 4 \pm \sqrt{(-7 \ln 3 + \ln 4)^2 - 4 (2 \ln 3 - \ln 4)(3 \ln 3 + 6 \ln 4)}}{2 (2 \ln 3 - \ln 4)}$

$\displaystyle x = \frac{7 \ln 3 - \ln 4 \pm \sqrt{49 (\ln 3)^2 - 14 \ln 3 \ln 4 + (\ln 4)^2 + (-8 \ln 3 + 4 \ln 4)(3 \ln 3 + 6 \ln 4)}}{2 (2 \ln 3 - \ln 4)}$

$\displaystyle x = \frac{7 \ln 3 - \ln 4 \pm \sqrt{49 (\ln 3)^2 - 14 \ln 3 \ln 4 + (\ln 4)^2 - 24(\ln 3)^2 - 36 (\ln 3)(\ln 4) + 24 (\ln 4)^2)}}{2 (2 \ln 3 - \ln 4)}$

$\displaystyle x = \frac{7 \ln 3 - \ln 4 \pm \sqrt{25 (\ln 3)^2 - 50 \ln 3 \ln 4 + 25 (\ln 4)^2}}{2 (2 \ln 3 - \ln 4)}$

$\displaystyle x = \frac{7 \ln 3 - \ln 4 \pm \sqrt{5^2 (\ln 3 - \ln 4)^2}}{2 (2 \ln 3 - \ln 4)}$

$\displaystyle x = \frac{7 \ln 3 - \ln 4 \pm 5 (\ln 3 - \ln 4)}{2 (2 \ln 3 - \ln 4)}$

$\displaystyle x = \frac{7 \ln 3 - \ln 4 + 5 (\ln 3 - \ln 4)}{2 (2 \ln 3 - \ln 4)} \vee x = \frac{7 \ln 3 - \ln 4 - 5 (\ln 3 - \ln 4)}{2 (2 \ln 3 - \ln 4)}$

$\displaystyle x = \frac{12 \ln 3 - 6 \ln 4}{2 (2 \ln 3 - \ln 4)} \vee x = \frac{2 \ln 3 + 4 \ln 4}{4 \ln 3 - 2 \ln 4}$

$\displaystyle x = \frac{6 (2 \ln 3 - \ln 4)}{2 (2 \ln 3 - \ln 4)} \vee x = \frac{\ln 3 + 2 \ln 4}{2 \ln 3 - \ln 4}$

$\displaystyle x = \frac{6}{2} \vee x = \frac{\ln 3 + \ln (4^2)}{\ln (3^2) - \ln 4}$

$\displaystyle x = 3 \vee x = \frac{\ln 3 + \ln 16}{\ln 9 - \ln 4}$

$\displaystyle x = 3 \vee x = \frac{\ln 48}{\ln 9 - \ln 4}$

Julenøtter kommer i desember. Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 126 + UTLEDNING NR. 125 22. oktober 2018

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Denne gangen kommer en ny mattenøtt og løsningsforslag til forrige måneds oppgave 125. Til slutt følger utledning av teoremet man bruker for å løse oppgave 125. Først en ny mattenøtt:

OPPGAVE 126 – SPESIELL EKSPONENT

Gitt

$\displaystyle 3^{2x^2 - 7x + 3} = 4^{x^2 - x -6}$

Finn verdiene av x.

Hint: Man kan løse denne ved å først ta logaritmen til begge sider, og deretter regne en annengradsligning. Det blir to reelle løsninger. Mer om løsning av annengradsligninger finnes her:

ANNENGRADSLIGNINGER OG PARABELEN

Løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 125 – PARALLELLOGRAM

Gitt et parallellogram med sider √12 og √50 og lengste diagonal 9. Figur:

Hva blir lengden av den korte diagonalen x (blå farge) ?

Løsningsforslag:

I et parallellogram er kvadratet av lengden av sidene det samme som kvadratet av lengden av diagonalene. Det gir:

$\displaystyle \sqrt{50}^2 + \sqrt{12}^2 +\sqrt{50}^2 + \sqrt{12}^2 = 9^2 + x^2$

$\displaystyle 50 + 12 + 50 + 12 = 81 + x^2$

$\displaystyle x^2 + 81 = 124$

$\displaystyle x^2 = 43$

$\displaystyle \Downarrow$

$\displaystyle x = \sqrt{43}$

Her følger utledning av teoremet man har brukt til å løse oppgave 125:

I et parallellogram er de to korte sidene parallelle og like lange og de to lange sidene er parallelle og like lange. En vektor er et orientert linjestykke, dvs. den har både lengde og retning. Kaller vektoren langs den lange siden for $\vec{v}$ og langs den korte siden for $\vec{u}$ . Dermed blir den lengste diagonalen $\vec{v} + \vec{u}$ og den korte diagonalen $\vec{v} - \vec{u}$ Se figur:

Lengden av en vektor $\vec{v}$ betegnes $\mid \vec{v} \mid$

Skalarproduktet av to vektorer $\vec{v}$ og $\vec{u}$ er definert

$\displaystyle \vec{v} \cdot \vec{u} = \mid \vec{v} \mid \cdot \mid \vec{u} \mid \cdot \cos \alpha$

der $\alpha$ er vinkelen mellom $\vec{v}$ og $\vec{u}$

Skalarproduktet av to like vektorer blir altså

$\displaystyle \vec{v}^2 = \vec{v} \cdot \vec{v} = \mid \vec{v} \mid \cdot \mid \vec{v} \mid \cdot \cos 0^{\circ} = \mid \vec{v} \mid \cdot \mid \vec{v} \mid = \mid \vec{v} \mid^2$

Skalarproduktet m.h.p. $\vec{v} \cdot \vec{u}$ og $- \vec{v} \cdot \vec{u}$ blir

$\displaystyle \vec{v} \cdot \vec{u} - \vec{v} \cdot \vec{u} = \mid \vec{v} \mid \cdot \mid \vec{u} \mid \cdot \cos \alpha - (\mid \vec{v} \mid \cdot \mid \vec{u} \mid \cdot \cos \alpha) = 0$

Man regner ut kvadratet av lengden av diagonalene:

$\displaystyle \mid \vec{v} + \vec{u} \mid ^2 + \mid \vec{v} - \vec{u} \mid ^2$

$\displaystyle = (\vec{v} + \vec{u})^2 + (\vec{v} - \vec{u})^2$

$\displaystyle = (\vec{v} + \vec{u})(\vec{v} + \vec{u}) + (\vec{v} - \vec{u})(\vec{v} - \vec{u})$

$\displaystyle = \vec{v}^2 + 2 \vec{v} \vec{u} + \vec{u}^2 + \vec{v}^2 - 2 \vec{v} \vec{u} + \vec{u}^2$

$\displaystyle = 2\vec{v}^2 + 2\vec{u}^2 + 2(\vec{v} \vec{u} - \vec{v} \vec{u})$

$\displaystyle = 2\vec{v}^2 + 2\vec{u}^2$

$\displaystyle = 2 \mid \vec{v} \mid^2 + 2 \mid \vec{u} \mid^2$

Altså er:

$\displaystyle \mid \vec{v} \mid^2 + \mid \vec{u} \mid^2 + \mid \vec{v} \mid^2 + \mid \vec{u} \mid^2 = \mid \vec{v} + \vec{u} \mid ^2 + \mid \vec{v} - \vec{u} \mid ^2$

Man har vist at i et parallellogram er kvadratet av lengden av sidene det samme som kvadratet av lengden av diagonalene.

Neste artikkel kommer i november. Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 125 28. september 2018

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 125 – PARALLELLOGRAM

Gitt et parallellogram med sider √12 og √50 og lengste diagonal 9. Figur:

Hva blir lengden av den korte diagonalen x (blå farge) ?

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 124 – TO KVADRATER

A) Regn ut

$\displaystyle (\sqrt{11} + \sqrt{176})^2$

$\displaystyle (\sqrt{11} + \sqrt{176})^2 = (\sqrt{11} + \sqrt{16 \cdot 11})^2$

$\displaystyle = (\sqrt{11} + \sqrt{4^2 \cdot 11})^2 = (\sqrt{11} + 4 \sqrt{11})^2$

$\displaystyle = (5 \sqrt{11})^2 = 5^2 \cdot 11 = 25 \cdot 11 = 275$

B) Regn ut

$\displaystyle (\sqrt{13} + \sqrt{52} + \sqrt{117})^2$

$\displaystyle (\sqrt{13} + \sqrt{52} + \sqrt{117})^2 = (\sqrt{13} + \sqrt{4 \cdot 13} + \sqrt{9 \cdot 13})^2$

$\displaystyle = (\sqrt{13} + \sqrt{2^2 \cdot 13} + \sqrt{3^2 \cdot 13})^2 = (\sqrt{13} + 2 \cdot \sqrt{13} + 3 \cdot \sqrt{13})^2$

$\displaystyle = (6 \sqrt{13})^2 = 6^2 \cdot 13 = 36 \cdot 13 = 468$

Neste artikkel kommer i oktober. Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 124 29. august 2018

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 124 – TO KVADRATER

A) Regn ut

$\displaystyle (\sqrt{11} + \sqrt{176})^2$

B) Regn ut

$\displaystyle (\sqrt{13} + \sqrt{52} + \sqrt{117})^2$

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 123 – SIRKLER III

Et regulært heksagon(6-kant med like sider) er innskrevet i en sirkel. Figur:

Arealet av heksagonet er $A = 9 \sqrt{3}$

Hva blir radius i sirkelen?

Først en ny skisse:

$\displaystyle \alpha = \frac{360 ^{\circ}}{6} = 60^{\circ}$

$\displaystyle A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot p = \frac{1}{2} \cdot a \cdot 6s = 3 \cdot a \cdot s$

$\displaystyle cos (\frac{1}{2} \alpha) = \frac{a}{r} \indent og \indent sin (\frac{1}{2} \alpha) = \frac{\frac{1}{2} s}{r} = \frac{s}{2r}$

$\displaystyle a = r \cdot cos (\frac{1}{2} \alpha) \indent og \indent s = 2r \cdot sin (\frac{1}{2} \alpha)$

$\displaystyle 3 \cdot a \cdot s = A$

$\displaystyle 3 \cdot r \cdot cos (\frac{1}{2} \alpha) \cdot 2r \cdot sin (\frac{1}{2} \alpha) = A$

$\displaystyle 6 \cdot r^2 \cdot cos (\frac{1}{2} \alpha) \cdot sin (\frac{1}{2} \alpha) = A$

$\displaystyle 6 \cdot r^2 \cdot cos (30^{\circ}) \cdot sin (30^{\circ}) = 9 \sqrt{3}$

$\displaystyle 6 \cdot r^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} = 9 \sqrt{3}$

$\displaystyle r^2 = \frac{2 \cdot 2 \cdot 9 \cdot \sqrt{3}}{6 \cdot \sqrt{3}} = 6$

$\displaystyle \Downarrow$

$\displaystyle r = \sqrt{6}$

Neste artikkel kommer i september. Hilsen erty56.

MATTENØTT NR.123 24. juli 2018

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 123 – SIRKLER III

Et regulært heksagon(6-kant med like sider) er innskrevet i en sirkel. Figur:

Arealet av heksagonet er $A = 9 \sqrt{3}$

Hva blir radius i sirkelen?

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 122 – SIRKLER II

Gitt to sirkler som på figuren under. Korden i den største sirkelen (blå strek) tangerer den minste sirkelen. Sentrum i den store og lille sirkelen faller sammen. Figur:

Korden har lengden 10. Hva blir arealet av området mellom den lille og store sirkelen?

Først en ny skisse:

$\displaystyle x + x = 10$

$\displaystyle 2x = 10$

$\displaystyle x = 5$

Pytagoras setning gir:

$\displaystyle r^2 + x^2 = R^2$

$\displaystyle R^2 - r^2 = x^2$

$\displaystyle R^2 - r^2 = 5^2$

$\displaystyle R^2 - r^2 = 25$

Arealet av området mellom den lille og store sirkelen blir:

$\displaystyle \Delta A = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi (R^2 - r^2) = 25 \pi$

Neste artikkel kommer i august. Løsningsforslag til mattenøttene legges alltid ut i neste innlegg(neste måned). Hilsen erty56.

MATTENØTT NR.122 17. juni 2018

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 122 – SIRKLER II

Gitt to sirkler som på figuren under. Korden i den største sirkelen (blå strek) tangerer den minste sirkelen. Sentrum i den store og lille sirkelen faller sammen. Figur:

Korden har lengden 10. Hva blir arealet av området mellom den lille og store sirkelen?

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 121 – OMVENDTE FUNKSJONER

Gitt $f(x) = \sqrt{x + 3}$

A) Finn definisjonsmengden og verdimengden til $f(x)$

Definisjonsmengden $D_f$ er x-verdiene der funksjonen er definert, og verdimengden $V_f$ er f(x)-verdiene funksjonen har. Radikanden(tallet inne i kvadratroten) må være større enn eller lik null.

$\displaystyle x + 3 \geq 0$

$\displaystyle x \geq -3$

$\displaystyle \Downarrow$

Svar: $D_f \in [-3 , \rightarrow \rangle$ og $V_f \in [ 0 , \rightarrow \rangle$

B) Finn den omvendte funksjonen til $f(x)$ , dvs. $f ^{-1} (x)$

Man har gitt funksjonen $y = f(x)$ og skal finne den omvendte funksjonen $x = g(y)$

$\displaystyle y = f(x)$

$\displaystyle y = \sqrt{x + 3}$

$\displaystyle y^2 = x + 3$

$\displaystyle x = y^2 - 3$

$\displaystyle g(y) = y^2 - 3$

Man foretar skiftet $y \rightarrow x$ og $g(y) \rightarrow f ^{-1} (x)$

Svar: $f ^{-1} (x) = x^2 - 3$ der $x \geq 0$

C) Finn definisjonsmengden og verdimengden til $f ^{-1} (x)$

For alle omvendte funksjoner $y = f(x)$ og $x = g(y)$ er

$\displaystyle D_f = V_g \indent V_f = D_g$

$\displaystyle D_g \in [ 0 , \rightarrow \rangle \indent V_g \in [-3 , \rightarrow \rangle$

Svar: $D_{f ^{-1}} \in [ 0 , \rightarrow \rangle$ og $V_{f ^{-1}} \in [-3 , \rightarrow \rangle$

Her er $f(x) = \sqrt{x + 3}$ og $f ^{-1} (x) = x^2 - 3$ tegnet opp. $f(x)$ i lilla farge og $f ^{-1} (x)$ i blå farge.

To omvendte funksjoner ligger alltid symmetrisk om en symmetrilinje som på figuren.

Neste artikkel kommer i juli. Hilsen erty56.

MATTENØTT NR.121 23. mai 2018

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 121 – OMVENDTE FUNKSJONER

Gitt $f(x) = \sqrt{x + 3}$

A) Finn definisjonsmengden og verdimengden til $f(x)$

B) Finn den omvendte funksjonen til $f(x)$ , dvs. $f ^{-1} (x)$

C) Finn definisjonsmengden og verdimengden til $f ^{-1} (x)$

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 120 – RØTTER I POLYNOM

A) Regn ut

$\displaystyle 2(3x - 5)(x + 6)^2 (2x + 8)(4x - 7)^2$

Dvs. til et uttrykk på formen $a_6 x^6 + a_5 x^5 + a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$ (*)

Løsningsforslag:

$\displaystyle 2(3x - 5)(x + 6)^2 (2x + 8)(4x - 7)^2$

$\displaystyle = 2(3x - 5)(2x + 8)(x + 6)^2 (4x - 7)^2$

$\displaystyle = 2(6x^2 + 24x - 10x - 40) (x^2 + 12x + 36) (16x^2 - 56x + 49)$

$\displaystyle = 2(6x^2 + 14x - 40) (x^2 + 12x + 36) (16x^2 - 56x + 49)$

$\displaystyle = (12x^2 + 28x - 80) (x^2 + 12x + 36) (16x^2 - 56x + 49)$

$\displaystyle = (12x^4 + 144x^3 + 432x^2 + 28x^3 + 336x^2 + 1008x$

$\displaystyle - 80x^2 - 960x - 2880) (16x^2 - 56x + 49)$

$\displaystyle = (12x^4 + 172x^3 + 688x^2 + 48x - 2880) (16x^2 - 56x + 49)$

$\displaystyle = 192x^6 - 672x^5 + 588x^4 + 2752x^5 - 9632x^4 + 8428x^3$

$\displaystyle + 11008x^4 - 38528x^3 + 33712x^2 + 768x^3 - 2688x^2$

$\displaystyle + 2352x - 46080x^2 + 161280x - 141120$

$\displaystyle = 192x^6 + 2080x^5 + 1964x^4 - 29332x^3 - 15056x^2$

$\displaystyle + 163632x - 141120$

En rot i en ligning er det samme som en løsning av en ligning.

B) Vis at summen av røttene i A) er $- \frac{65}{6}$ , dvs:

$\displaystyle r_1 + 2r_2 + r_3 + 2r_4 = - \frac{65}{6}$

( $r_2$ og $r_4$ er dobbeltrøtter)

I utgangspunktet finnes røttene ved

$\displaystyle 192x^6 + 2080x^5 + 1964x^4 - 29332x^3 - 15056x^2$

$\displaystyle + 163632x - 141120 = 0$

Men

$\displaystyle 2(3x - 5)(x + 6)^2 (2x + 8)(4x - 7)^2$

$\displaystyle = 192x^6 + 2080x^5 + 1964x^4 - 29332x^3 - 15056x^2$

$\displaystyle + 163632x - 141120$

Så røttene kan finnes ved

$\displaystyle 2(3x - 5)(x + 6)^2 (2x + 8)(4x - 7)^2 = 0$

$\displaystyle (3x - 5)(x + 6)^2 (2x + 8)(4x - 7)^2 = 0$

$\displaystyle \Downarrow$

$\displaystyle (3x - 5) = 0 \indent \vee \indent (x + 6)^2 = 0 \indent \vee$

$\displaystyle (2x + 8) = 0 \indent \vee \indent (4x - 7)^2 = 0$

$\displaystyle \Downarrow$

$\displaystyle x = \frac{5}{3} \indent \vee \indent x = -6 \indent \vee \indent x = -6 \indent \vee$

$\displaystyle x = -4 \indent \vee \indent x = \frac{7}{4} \indent \vee \indent x = \frac{7}{4}$

Røttene blir altså

$\displaystyle r_1 = \frac{5}{3}$

$\displaystyle r_2 = -6$

$\displaystyle r_3 = -4$

$\displaystyle r_4 = \frac{7}{4}$

( $r_2$ og $r_4$ er dobbeltrøtter)

$\displaystyle r_1 + 2r_2 + r_3 + 2r_4$

$\displaystyle = \frac{5}{3} + 2 (-6) - 4 + 2 \frac{7}{4}$

$\displaystyle = \frac{5}{3} - 12 - 4 + \frac{7}{2}$

$\displaystyle = \frac{5 \cdot 2 - 12 \cdot 3 \cdot 2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 + 7 \cdot 3}{3 \cdot 2}$

$\displaystyle = \frac{10 - 72 - 24 + 21}{6}$

$\displaystyle = - \frac{65}{6}$

C) Vis at produktet av røttene i A) er $-735$ , dvs:

$\displaystyle r_1 \cdot (r_2)^2 \cdot r_3 \cdot (r_4)^2 = -735$

( $r_2$ og $r_4$ er dobbeltrøtter)

(Hint B) og C) : Man trenger ikke å betrakte (*) for å finne røttene)

$\displaystyle r_1 \cdot (r_2)^2 \cdot r_3 \cdot (r_4)^2$

$\displaystyle = \frac{5}{3} \cdot (-6)^2 \cdot (-4) \cdot (\frac{7}{4})^2$

$\displaystyle = \frac{5}{3} \cdot 36 \cdot (-4) \cdot (\frac{49}{16})$

$\displaystyle = \frac{5 \cdot 36 \cdot (-4) \cdot 49}{3 \cdot 16}$

$\displaystyle = \frac{-35280}{48} = -735$

Neste artikkel kommer i juni. Hilsen erty56.

PÅSKENØTTER 2018 – FASIT 20. april 2018

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

PÅSKENØTTER 2018

OPPGAVE 115 – LETT GEOMETRI III

To kvadrater tangerer hverandre som vist på figuren:

Sidene i kvadratene er 2. Hva blir avstanden mellom deres sentre (blå strek) ?

Først en ny skisse:

$\displaystyle 1^2 + 1^2 = x^2$

$\displaystyle 1 + 1 = x^2$

$\displaystyle x^2 = 2$

$\displaystyle x = \sqrt{2}$

Avstanden mellom deres sentre er 2x.

Svar: $2x = 2 \cdot \sqrt{2}$

OPPGAVE 116 – TO PENTAGONER

To pentagoner ligger inntil hverandre som vist på figuren:

Arealet av hvert pentagon er A = 15 og hver av sidene i dem er 3. Hva blir avstanden mellom deres sentre (blå strek) ?

(Hint: Et pentagon er et regulært polygon. Arealformelen for regulære polygoner er $A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot p$ der a er apothem og p er omkretsen. Apothem a er lengden fra sentrum i polygonet og vinkelrett ned på midten av en side)

$\displaystyle A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot p$

$\displaystyle a = \frac{2A}{p} = \frac{2A}{5s} = \frac{2 \cdot 15}{5 \cdot 3} = \frac{30}{15} = 2$

Avstanden mellom deres sentre er 2a.

Svar: $2a = 2 \cdot 2 = 4$

OPPGAVE 117 – FINN SUMMEN II

A) Hva blir

$\displaystyle 2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2$

(8 ledd)

$\displaystyle 2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2$

$\displaystyle = 8 \cdot 2^2 = 2^3 \cdot 2^2 = 2^{3+2} = 2^5$

B) Hva blir

$\displaystyle 3^{15} + 3^{15} + 3^{15} + 3^{15} + 3^{15} + 3^{15} + 3^{15} + 3^{15} + 3^{15}$

(9 ledd)

$\displaystyle 3^{15} + 3^{15} + 3^{15} + 3^{15} + 3^{15} + 3^{15} + 3^{15} + 3^{15} + 3^{15}$

$\displaystyle = 9 \cdot 3^{15} = 3^2 \cdot 3^{15} = 3^{2+15} = 3^{17}$

OPPGAVE 118 – MAKSIMALT AREAL

Gitt en likebent trekant med sider 3, 3 og y.

Finn den verdien av y som gir maksimalt mulig areal for trekanten.

(Hint: Arealet er gitt ved $A = \frac{y \cdot h}{2}$ der h er høyden i trekanten)

Først en ny skisse:

$\displaystyle (\frac{1}{2} y)^2 + h^2 = 3^2$

$\displaystyle \frac{1}{4} y^2 + h^2 = 9$

$\displaystyle h^2 = 9 - \frac{1}{4} y^2$

$\displaystyle h = \sqrt{9 - \frac{1}{4} y^2}$

$\displaystyle A = \frac{y \cdot h}{2} = \frac{1}{2} y \sqrt{9 - \frac{1}{4} y^2}$

$\displaystyle D[A] = D[(\frac{1}{2} y \sqrt{9 - \frac{1}{4} y^2})]$

$\displaystyle D[A] = \frac{1}{2} \sqrt{9 - \frac{1}{4} y^2} + \frac{1}{2} y \frac{1 \cdot D[(9 - \frac{1}{4} y^2)] }{2 \sqrt{9 - \frac{1}{4} y^2}}$

$\displaystyle D[A] = \frac{1}{2} \sqrt{9 - \frac{1}{4} y^2} + \frac{1}{2} y \frac{\frac{-2y}{4}}{2 \sqrt{9 - \frac{1}{4} y^2}}$

$\displaystyle D[A] = \frac{1}{2} \sqrt{9 - \frac{1}{4} y^2} - \frac{y^2}{8 \sqrt{9 - \frac{1}{4} y^2}}$

$\displaystyle D[A] = \frac{\sqrt{9 - \frac{1}{4} y^2} \sqrt{9 - \frac{1}{4} y^2} \cdot 4 - y^2}{2 \cdot 4 \sqrt{9 - \frac{1}{4} y^2}}$

$\displaystyle D[A] = \frac{4 (9 - \frac{1}{4} y^2) - y^2}{8 \sqrt{9 - \frac{1}{4} y^2}}$

$\displaystyle D[A] = \frac{36 - y^2 - y^2}{8 \sqrt{9 - \frac{1}{4} y^2}}$

$\displaystyle D[A] = \frac{36 - 2y^2}{8 \sqrt{9 - \frac{1}{4} y^2}}$

$\displaystyle D[A] = \frac{18 - y^2}{4 \sqrt{9 - \frac{1}{4} y^2}}$

$\displaystyle D[A] = 0 \indent \wedge \indent y > 0$

$\displaystyle 18 - y^2 = 0$

$\displaystyle y^2 = 18$

$\displaystyle y = \pm \sqrt{18}$

$\displaystyle 18 - y^2 = (\sqrt{18} - y)(\sqrt{18} + y)$

$\displaystyle 4 \sqrt{9 - \frac{1}{4} y^2} = 0$

$\displaystyle \sqrt{4^2 (9 - \frac{1}{4} y^2)} = 0$

$\displaystyle \sqrt{144 - 4y^2} = 0$

$\displaystyle (\sqrt{144 - 4y^2})^2 = 0^2$

$\displaystyle 144 - 4y^2 = 0$

$\displaystyle 4y^2 = 144$

$\displaystyle y^2 = 36$

$\displaystyle y = \pm 6$

FORTEGNSSKJEMA:

$\displaystyle A_{maks} \indent ved \indent y = \sqrt{18}$

Svar: $y = \sqrt{18}$

OPPGAVE 119 – FUNKSJONSOPPGAVE

Gitt $f(x) = 3x^2 - 13x + m$ og $f(m) = -12$ . Hva blir $f(2)$ ?

Løsningsforslag:

$\displaystyle f(m) = -12$

$\displaystyle 3m^2 - 13m + m = -12$

$\displaystyle 3m^2 - 12m = -12$

$\displaystyle m^2 - 4m = -4$

$\displaystyle (m - 2)^2 = -4 + (-2)^2$

$\displaystyle (m - 2)^2 = 0$

$\displaystyle \sqrt{(m - 2)^2} = \sqrt{0}$

$\displaystyle m - 2 = 0$

$\displaystyle m = 2$

$\displaystyle \Downarrow$

1) Enten ved:

$\displaystyle f(2) = f(m) = -12$

2) Eller ved:

$\displaystyle f(x) = 3x^2 - 13x + m = 3x^2 - 13x + 2$

$\displaystyle f(2) = 3 \cdot 2^2 - 13 \cdot 2 + 2 = 3 \cdot 4 - 26 + 2 = 12 - 24 = -12$

Mer om løsning av annengradsligninger finnes her:

ANNENGRADSLIGNINGER OG PARABELEN

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 120 – RØTTER I POLYNOM

A) Regn ut

$\displaystyle 2(3x - 5)(x + 6)^2 (2x + 8)(4x - 7)^2$

Dvs. til et uttrykk på formen $a_6 x^6 + a_5 x^5 + a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$ (*)

En rot i en ligning er det samme som en løsning av en ligning.

B) Vis at summen av røttene i A) er $- \frac{65}{6}$ , dvs:

$\displaystyle r_1 + 2r_2 + r_3 + 2r_4 = - \frac{65}{6}$

( $r_2$ og $r_4$ er dobbeltrøtter)

C) Vis at produktet av røttene i A) er $-735$ , dvs:

$\displaystyle r_1 \cdot (r_2)^2 \cdot r_3 \cdot (r_4)^2 = -735$

( $r_2$ og $r_4$ er dobbeltrøtter)

(Hint B) og C) : Man trenger ikke å betrakte (*) for å finne røttene)

Neste artikkel kommer i mai. Hilsen erty56.

PÅSKENØTTER 2018 27. mars 2018

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
1 comment so far

Hei igjen!

Her kommer noen nye matematiske quiz og grublerier:

OPPGAVE 115 – LETT GEOMETRI III

To kvadrater tangerer hverandre som vist på figuren:

Sidene i kvadratene er 2. Hva blir avstanden mellom deres sentre (blå strek) ?

OPPGAVE 116 – TO PENTAGONER

To pentagoner ligger inntil hverandre som vist på figuren:

Arealet av hvert pentagon er A = 15 og hver av sidene i dem er 3. Hva blir avstanden mellom deres sentre (blå strek) ?

OPPGAVE 117 – FINN SUMMEN II

A) Hva blir

$\displaystyle 2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2$

(8 ledd)

B) Hva blir

$\displaystyle 3^{15} + 3^{15} + 3^{15} + 3^{15} + 3^{15} + 3^{15} + 3^{15} + 3^{15} + 3^{15}$

(9 ledd)

OPPGAVE 118 – MAKSIMALT AREAL

Gitt en likebent trekant med sider 3, 3 og y.

Finn den verdien av y som gir maksimalt mulig areal for trekanten.

(Hint: Arealet er gitt ved $A = \frac{y \cdot h}{2}$ der h er høyden i trekanten)

OPPGAVE 119 – FUNKSJONSOPPGAVE

Gitt $f(x) = 3x^2 - 13x + m$ og $f(m) = -12$ . Hva blir $f(2)$ ?

Løsningsforslag til påskenøttene blir lagt ut her på Realfagshjørnet i april. Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 114 – SYKLISK FIRKANT

En syklisk firkant ABCD har en omskrevet sirkel. Se figur:

Diagonalen BD i firkanten er BD = 3 og vinkelen $\alpha = 60^{\circ}$ . Finn radius i sirkelen.

Først en ny skisse:

Man anvender prinsippet at en sentralvinkel (2α) er det dobbelte av periferivinkelen (α) over den samme sirkelbuen. Cosinussetningen gir:

$\displaystyle BD^2 = r^2 + r^2 - 2 \cdot r \cdot r \cdot \cos 2\alpha$

$\displaystyle 3^2 = 2r^2 - 2r^2 \cdot \cos 120^{\circ}$

$\displaystyle 9 = 2r^2 - 2r^2 \cdot (-0,5)$

$\displaystyle 9 = 2r^2 + r^2$

$\displaystyle 3r^2 = 9$

$\displaystyle r^2 = 3$

$\displaystyle r = \sqrt{3}$

Neste artikkel kommer i april. Hilsen erty56.

MATTENØTT NR.114 25. februar 2018

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 114 – SYKLISK FIRKANT

En syklisk firkant ABCD har en omskrevet sirkel. Se figur:

Diagonalen BD i firkanten er BD = 3 og vinkelen $\alpha = 60^{\circ}$ . Finn radius i sirkelen.

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 113 – ENKEL REGNING II

Gitt $\displaystyle x + y = 1$ og $\displaystyle x^3 + y^3 = 2$ Regn ut $\displaystyle x^2 + y^2$

Løsningsforslag:

$\displaystyle x + y = 1$

$\displaystyle y = 1 - x$

$\displaystyle x^3 + y^3 = 2$

$\displaystyle x^3 + (1 - x)^3 = 2$

$\displaystyle x^3 + (1 - x)(1 - 2x + x^2) = 2$

$\displaystyle x^3 + 1 - 2x + x^2 - x + 2x^2 - x^3 = 2$

$\displaystyle 3x^2 - 3x - 1 = 0$

$\displaystyle x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3}$

$\displaystyle x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{6}$

$\displaystyle x = \frac{3 + \sqrt{21}}{6}$

$\displaystyle y = 1 - x = 1 - \frac{3 + \sqrt{21}}{6} = \frac{3 - \sqrt{21}}{6}$

$\displaystyle x = \frac{3 - \sqrt{21}}{6}$

$\displaystyle y = 1 - x = 1 - \frac{3 - \sqrt{21}}{6} = \frac{3 + \sqrt{21}}{6}$

$\displaystyle x^2 + y^2$

vil bli det samme for både 1. og 2. ved inspeksjon. Regner ut for 1:

$\displaystyle x^2 + y^2 = (\frac{3 + \sqrt{21}}{6})^2 + (\frac{3 - \sqrt{21}}{6})^2$

$\displaystyle = \frac{9 + 6\sqrt{21} + 21}{36} + \frac{9 - 6 \sqrt{21} + 21}{36}$

$\displaystyle = \frac{9 + 6\sqrt{21} + 21 + 9 - 6 \sqrt{21} + 21}{36} = \frac{60}{36} = \frac{5}{3}$

Mer om løsning av annengradsligninger finnes her:

ANNENGRADSLIGNINGER OG PARABELEN

Neste artikkel kommer i mars. Hilsen erty56.

JULENØTTER 2017 – FASIT 16. januar 2018

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

JULENØTTER 2017

OPPGAVE 107 – OPPMÅLING

Tor har en stor kartong fløte. Han skal måle opp 1 dl. av fløten. Han har imidlertid bare et 3 dl. og et 5 dl. målebeger. Hvordan kan Tor få målt opp 1 dl. fløte?

1. Tor heller først 3 dl. målebegeret fullt.

2. Han har alt dette i 5 dl. målebegeret.

3. Han heller 3 dl. målebegeret fullt en gang til.

4. Han heller den del av dette til 5 dl. målebegeret er fullt.

5. Dermed er det igjen 1 dl. fløte i 3 dl. målebegeret.

OPPGAVE 108 – GEOMETRISKE FORHOLD II

a) Gitt en firkant med en bestemt omkrets. Firkanten har maksimalt mulig areal. Er firkanten et rektangel eller et kvadrat?

Firkanten er et kvadrat. Kvadratet er alltid største type rektangel gitt en bestemt omkrets (et kvadrat er et spesialtilfelle av et rektangel).

b) En sylinder og en kjegle har lik radius i grunnplanet og lik høyde. Hva er forholdet mellom volumet til kjeglen og sylinderen?

$\displaystyle V_{kjegle} : V_{sylinder} = \frac{\pi r^2 h}{3} : \pi r^2 h = \frac{1}{3} : 1 = 1 : 3$

OPPGAVE 109 – VANSKELIG ARITMETIKK

Gitt $x^2 = y + a$ og $y^2 = x + a$ der a er et heltall. Finn uttrykk for a som gir heltallsløsninger for x og y. Merknad: Med heltall menes her 0, 1, 2, 3, …

Løsningsforslag:

$\displaystyle x = y^2 - a$

$\displaystyle x^2 = y + a$

$\displaystyle (y^2 - a)^2 = y + a$

$\displaystyle y^4 - 2ay^2 + a^2 = y + a$

$\displaystyle a^2 + a(-2y^2 - 1) + y^4 - y = 0$

$\displaystyle a = \frac{2y^2 + 1 \pm \sqrt{(-2y^2 - 1)^2 - 4 \cdot 1 (y^4 - y)}}{2}$

$\displaystyle a = \frac{2y^2 + 1 \pm \sqrt{4y^4 + 4y^2 + 1 - 4y^4 + 4y}}{2}$

$\displaystyle a = \frac{2y^2 + 1 \pm \sqrt{4y^2 + 4y + 1}}{2}$

$\displaystyle a = \frac{2y^2 + 1 \pm \sqrt{4 (y + \frac{1}{2})^2}}{2}$

$\displaystyle a = \frac{2y^2 + 1 \pm 2 (y + \frac{1}{2})}{2}$

$\displaystyle a = y^2 + \frac{1}{2} \pm (y + \frac{1}{2})$

$\Downarrow$

$\displaystyle a = y^2 + \frac{1}{2} + y + \frac{1}{2} \indent \vee \indent a = y^2 + \frac{1}{2} - y - \frac{1}{2}$

$\displaystyle y^2 + y + 1 - a = 0 \indent \vee \indent y^2 - y - a = 0$

Resultatet blir det samme for x:

$\displaystyle x^2 + x + 1 - a = 0 \indent \vee \indent x^2 - x - a = 0$

$\Downarrow$

$\displaystyle x = y = \frac{-1 \pm \sqrt{4a - 3}}{2}$

$\displaystyle x = y = \frac{1 \pm \sqrt{4a + 1}}{2}$

Dersom x og y skal bli heltall 0, 1, 2, 3, … må tellerne i brøkene være 0 eller alle partall. Dette gir at kvadratroten(med fortegn) i teller i den første brøken må være alle oddetall, altså 2n – 1 der n = 1, 2, 3 , …

$+\sqrt{4a - 3} = 2n - 1$

$4a - 3 = (2n - 1)^2$

$4a - 3 = 4n^2 - 4n + 1$

$4a = 4n^2 - 4n + 4$

$a = n^2 - n + 1 = n(n - 1) + 1$ ,der n = 1, 2, 3, …

I den andre brøken må kvadratroten(med fortegn) være -1 eller alle oddetall, altså

$-\sqrt{4a + 1} = -1 \indent \vee \indent +\sqrt{4a + 1} = (2m - 1)$ ,der m = 1, 2, 3, …

$4a + 1 = 1 \indent \vee \indent 4a + 1 = (2m - 1)^2$

$4a = 0 \indent \vee \indent 4a + 1 = 4m^2 - 4m + 1$

$a = 0 \indent \vee \indent 4a = 4m^2 - 4m$

$a = 0 \indent \vee \indent a = m^2 - m = m(m - 1)$

m = 1 gir a = 0, så:

$\displaystyle a = m(m - 1)$ , der m = 1, 2, 3, …

Man får altså to uttrykk for a som gir heltallsløsninger for x og y:

$a = n(n - 1) + 1$ ,der n = 1, 2, 3, …

$\displaystyle a = m(m - 1)$ , der m = 1, 2, 3, …

(Merknad: Faktisk vil disse uttrykkene for a i utgangspunktet gi hele $\displaystyle \mathbb{Z}$ for x og y, og ikke bare det man har definert som heltall i denne oppgaven)

OPPGAVE 110 – LETT GEOMETRI I

En likebent trekant er innskrevet i et kvadrat. Arealet av trekanten er 1/2. Hva er sidene i kvadratet?

Høyden og grunnlinjen i trekanten og sidene i kvadratet er alle de samme. Kaller denne x.

$\displaystyle A = \frac{g \cdot h}{2} = \frac{x \cdot x}{2} = \frac{1}{2}$

$\Downarrow$

$\displaystyle \frac{x^2}{2} = \frac{1}{2}$

$\displaystyle x^2 = 1$

$\displaystyle x = \pm 1 = 1$ (x > 0 da dette er en lengde)

Svar: Sidene i kvadratet er 1.

OPPGAVE 111 – LETT GEOMETRI II

Et oktaeder er et platonsk legeme. Overflaten består av 8 likesidede trekanter. En side i trekanten er $\sqrt{2}$ . Hva blir volumet av legemet ?

Først betraktes en trekant:

$\displaystyle (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + x^2 = (\sqrt{2})^2$

$\displaystyle x^2 = 2 - \frac{1}{2}$

$\displaystyle x^2 = \frac{3}{2}$

Deretter høyden i den ene pyramiden i oktaederet:

$\displaystyle (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + h^2 = x^2$

$\displaystyle h^2 = x^2 - \frac{1}{2}$

$\displaystyle h^2 = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$

$\displaystyle h^2 = 1$

$\displaystyle h = 1$

Volumet av oktaederet blir dermed:

$\displaystyle V = 2 \frac{G \cdot h}{3} = 2 \frac{\sqrt{2} \sqrt{2} \cdot 1}{3} = 2 \frac{ 2 \cdot 1}{3} = \frac{4}{3}$

OPPGAVE 112 – VANSKELIG GEOMETRI

Gitt en rettvinklet trekant ABC. CF er medianen til hypotenusen AB (midt på AB), CE deler/halverer vinkelen ACB og CD står vinkelrett på AB. Vis at vinklene DCE og ECF er like.

Hint: Man trenger ikke finne hvor mange grader de er, bare at de er like.

Ny skisse:

Kaller vinkelen DCE for $\beta_1$ og vinkelen ECF for $\beta_2$

$\displaystyle \alpha + \alpha = 90^{\circ} \Rightarrow \alpha = 45^{\circ}$

$\displaystyle \gamma + 2\alpha + \delta = 180^{\circ} \Rightarrow \gamma + \delta = 90^{\circ}$

Betrakter trekanten BCD:

$\displaystyle \gamma + \alpha - \beta_1 + 90^{\circ} = 180^{\circ} \Rightarrow \beta_1 = -45^{\circ} + \gamma$

CF = BF = FA, så trekanten ACF er likebent:

$\displaystyle \alpha - \beta_2 = \delta \Rightarrow \beta_2 = \alpha - \delta$

Setter

$\displaystyle \beta_1 = \beta_2$

$\displaystyle -45^{\circ} + \gamma = \alpha - \delta$

$\displaystyle \gamma + \delta = 90^{\circ}$

$\displaystyle 90^{\circ} = 90^{\circ}$

VS = HS

$\displaystyle \Downarrow$

Vinklene DCE og ECF er like.

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 113 – ENKEL REGNING II

Gitt $\displaystyle x + y = 1$ og $\displaystyle x^3 + y^3 = 2$ Regn ut $\displaystyle x^2 + y^2$

Neste artikkel kommer i februar. Hilsen erty56.

JULENØTTER 2017 12. desember 2017

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
2 comments

Hei igjen!

Her kommer julenøtter i form av 6 nye mattenøtter:

OPPGAVE 107 – OPPMÅLING

Tor har en stor kartong fløte. Han skal måle opp 1 dl. av fløten. Han har imidlertid bare et 3 dl. og et 5 dl. målebeger. Hvordan kan Tor få målt opp 1 dl. fløte?

OPPGAVE 108 – GEOMETRISKE FORHOLD II

a) Gitt en firkant med en bestemt omkrets. Firkanten har maksimalt mulig areal. Er firkanten et rektangel eller et kvadrat?

b) En sylinder og en kjegle har lik radius i grunnplanet og lik høyde. Hva er forholdet mellom volumet til kjeglen og sylinderen?

OPPGAVE 109 – VANSKELIG ARITMETIKK

Gitt $x^2 = y + a$ og $y^2 = x + a$ der a er et heltall. Finn uttrykk for a som gir heltallsløsninger for x og y. Merknad: Med heltall menes her 0, 1, 2, 3, …

OPPGAVE 110 – LETT GEOMETRI I

En likebent trekant er innskrevet i et kvadrat. Arealet av trekanten er 1/2. Hva er sidene i kvadratet?

OPPGAVE 111 – LETT GEOMETRI II

Et oktaeder er et platonsk legeme. Overflaten består av 8 likesidede trekanter. En side i trekanten er $\sqrt{2}$ . Hva blir volumet av legemet ?

OPPGAVE 112 – VANSKELIG GEOMETRI

Gitt en rettvinklet trekant ABC. CF er medianen til hypotenusen AB (midt på AB), CE deler/halverer vinkelen ACB og CD står vinkelrett på AB. Vis at vinklene DCE og ECF er like.

Hint: Man trenger ikke finne hvor mange grader de er, bare at de er like.

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 106 – QUIZ

Fr. Kolnæs bestemte seg for å slutte å røke. Hun skulle bare røke de 27 sigarettene hun hadde igjen, og så slutte helt. Hun røkte 2/3 av hver sigarett. Dermed ble det igjen tobakk til 1 ny sigarett av tre sneiper. Med utgangspunkt i de 27 sigarettene, hvor mange (hele) sigaretter røkte hun før hun sluttet?

Antall sigaretter blir:

$27 + 27 \frac{1}{3} + 9 \frac{1}{3} + 3 \frac{1}{3} + 1 \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \frac{1}{3} + \frac{1}{9} \frac{1}{3} + ...$

$= 27 + 9 + 3 + 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + ...$

$= 27 + 9 + 3 + 1 + \frac{1}{2}$

$= 40 \frac{1}{2}$

Man finner at brøkene konvergerer mot $\frac{1}{2}$ ved

$\displaystyle\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} (\frac{1}{3})^i = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{3} \cdot \frac{((\frac{1}{3})^n - 1)}{(\frac{1}{3} - 1)}$

$\displaystyle =\frac{1}{3} \cdot \frac{(0 - 1)}{(- \frac{2}{3})} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$

Siden man her spurte etter hele sigaretter blir svaret 40 sigaretter.

Løsningsforslag til julenøttene blir lagt ut her på Realfagshjørnet i januar 2018. God jul og godt nyttår! Hilsen erty56.

MATTENØTT NR.106 25. november 2017

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 106 – QUIZ

Totalt er det nå lagt ut 106 mattenøtter her på Realfagshjørnet. Løsningsforslag ligger alltid i innlegget etter(neste måned). Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 105 – HVILKEN FIGUR

a) Hvilken matematisk figur er gitt ved

$x^2 + y^2 = 4$

Dette er formelen for en sirkel med radius 2.

b) Hvor i koordinatsystemet ligger den?

En sirkel med sentrum i origo og radius r=2 overalt utifra origo.

Ved å regne ut $y = \sqrt{4 - x^2}$ eller $y = -\sqrt{4 - x^2}$ ,

og tegne disse to halvsirklene vil man få figuren:

Den skjærer x-aksen i (-2 , 0) og (2 , 0) og y-aksen i (0 , -2) og (0 , 2).

Generelt er

$x^2 + y^2 = r^2$

formelen for en sirkel med sentrum i origo og radius r.

Julenøtter kommer i desember. Hilsen erty56.

NY MATTENØTT 25. oktober 2017

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 105 – HVILKEN FIGUR

a) Hvilken matematisk figur er gitt ved

$x^2 + y^2 = 4$

b) Hvor i koordinatsystemet ligger den?

Her er løsningsforslag til forrige måneds mattenøtt:

OPPGAVE 104 – SANNSYNLIGHETSREGNING II

8 % av alle menn og 0,64 % av alle kvinner er fargeblinde. 10 kvinner og 14 menn deltar i et middagselskap. Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person i selskapet er fargeblind?

Andelen kvinner x 0,64 % + andelen menn x 8 %

$=\frac{10}{24} \, x \, 0,64 \% + \frac{14}{24} \, x \, 8 \%$

$=4,93333... \%$

Svar: Ca. 4,9 %

Neste artikkel kommer i november. Hilsen erty56.

EPSILON-DELTA METODEN 14. september 2017

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Grenseverdier kan regnes ut ved regneoperasjoner. Man kan også bevise at disse verdiene er riktig ved $\epsilon-\delta$ metoden. $\epsilon$ er den greske bokstaven epsilon, og $\delta$ den greske bokstaven delta.

1 Innledning

Gitt følgen $a_{n} = \frac{1}{n}$ . Man skal finne hvor nært følgen er $\frac{1}{50}$ med en sikkerhet på $\frac{1}{100}$ .

$\displaystyle \mid \frac{1}{n} - \frac{1}{50} \mid < \frac{1}{100}$

$\displaystyle -\frac{1}{100} < \frac{1}{n} - \frac{1}{50} < \frac{1}{100}$

$\displaystyle \frac{1}{n} - \frac{1}{50} + \frac{1}{100} > 0 \indent \wedge \indent \frac{1}{n} - \frac{1}{50} - \frac{1}{100} < 0$

$\displaystyle\frac{1}{n} + \frac{-2 + 1}{100} > 0 \indent \wedge \indent \frac{1}{n} + \frac{-2 -1}{100} < 0$

$\displaystyle\frac{1}{n} + \frac{-1}{100} > 0 \indent \wedge \indent \frac{1}{n} + \frac{-3}{100} < 0$

$\displaystyle \frac{100 - n}{100n} > 0 \indent \wedge \indent \frac{100 - 3n}{100n} < 0$

$\displaystyle 1. \indent 100 - n = 0 \indent \textrm{og} \indent 100n = 0$

$\displaystyle n = 100 \indent \textrm{og} \indent n = 0$

$\displaystyle \frac{100 - n}{100n} > 0$

$\displaystyle \Downarrow$

$\displaystyle n \in <0 , 100>$

$\displaystyle 2. \indent 100 - 3n = 0 \indent \textrm{og} \indent 100n = 0$

$\displaystyle n = 100/3 \indent \textrm{og} \indent n = 0$

$\displaystyle \frac{100 - 3n}{100n} < 0$

$\displaystyle\Downarrow$

$\displaystyle n \in <\gets , 0> \cup <100/3 , \to>$

Snittet av 1., 2. og alle naturlige tall blir

$\displaystyle n \in <0 , 100> \indent \wedge \indent n \in <\gets , 0> \cup <100/3 , \to>$

$\displaystyle \wedge \indent n \in \mathbb{N}$

$\displaystyle\Downarrow$

$\displaystyle n \in <100/3 , 100> \indent \wedge \indent n \in \mathbb{N}$

$\displaystyle \Downarrow$

$\displaystyle\lbrace n \in \mathbb{N} \mid 100/3 < n < 100 \rbrace$

Altså alle naturlige tall f.o.m. 34 og t.o.m. 99 gir svaret med en sikkerhet på $\frac{1}{100}$

2 Formell definisjon

$a_n$ konvergerer mot a dersom

$\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = a$

Dette kan regnes ut ved regneoperasjoner. En mer formell definisjon er:

$a_{n}$ konvergerer mot a dersom det for ethvert reelt tall $\epsilon > 0$ , finnes et tall $\delta > 0$ slik at

$\displaystyle\mid a_{n} - a \mid < \epsilon \indent \textrm{dersom} \indent n > \delta \indent (\ast)$

Dette innebærer at

$\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = a$

$\epsilon$ må ikke være et bestemt tall. Vanligvis setter man $\epsilon$ mindre eller lik 1. Men det kan være ethvert positivt reelt tall. $\epsilon$ sier noe om hvor nært $a_{n}$ ligger a.

$\displaystyle\mid a_{n} - a \mid = \mid a - a_{n} \mid$

Så jo mindre $\epsilon$ er, jo nærmere ligger $a_{n}$ og a. Det er en sammenheng mellom $\epsilon$ og $\delta$ . Høyere $\delta$ (økende mot uendelig) gir lavere $\epsilon$ . Ifølge definisjonen er $\delta$ et reelt tall. Men for følger $a_{n}$ er n et naturlig tall $\mathbb{N}$ . Så man kan innskrenke seg til kun å se på naturlige tall i både innledningen og 3 Eksempel.

I innledningen hadde vi $(\ast)$ der $\epsilon$ = 1/100 og a = 1/50, men ikke $n > \delta$ (et annet type intervall for n). Altså noe av det samme som $(\ast)$ , men ikke helt det samme. Algoritmen for å regne ut intervallet er imidlertid akkurat den samme. Se 3 Eksempel:

\

3 Eksempel

$\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0$

Ønsker å bevise dette med epsilon-delta metoden. Algoritmen for å vise dette er akkurat den samme som i innledningen.

$\displaystyle\mid \frac{1}{n} - 0 \mid < \epsilon$

$\displaystyle \mid \frac{1}{n} \mid < \epsilon$

$\displaystyle -\epsilon < \frac{1}{n} < \epsilon$

$\displaystyle\frac{1}{n} + \epsilon > 0 \indent \wedge \indent \frac{1}{n} - \epsilon < 0$

$\displaystyle\frac{1 + n\epsilon}{n} > 0 \indent \wedge \indent \frac{1 - n\epsilon}{n} < 0$

$\displaystyle 1. \indent 1 + n\epsilon = 0 \indent \textrm{og} \indent n = 0$

$\displaystyle n = - \frac{1}{\epsilon} \indent \textrm{og} \indent n = 0$

$\displaystyle\frac{1 + n\epsilon}{n} > 0$

$\displaystyle\Downarrow$

$\displaystyle n\in <\gets , -1/\epsilon> \cup <0 , \to>$

$\displaystyle 2. \indent 1 - n\epsilon = 0 \indent \textrm{og} \indent n = 0$

$\displaystyle n = \frac{1}{\epsilon} \indent \textrm{og} \indent n = 0$

$\displaystyle \frac{1 - n\epsilon}{n} < 0$

$\displaystyle \Downarrow$

$\displaystyle n\in <\gets , 0> \cup <1/\epsilon , \to>$

Snittet av 1. og 2. og alle naturlige tall blir

$\displaystyle n\in <\gets , -1/\epsilon> \cup <0 , \to> \indent \wedge \indent n \in <\gets , 0> \cup <1/\epsilon , \to>$

$\displaystyle \wedge \indent n \in \mathbb{N}$

$\displaystyle\Downarrow$

$\displaystyle n \in <\gets , -1/\epsilon> \cup <1/\epsilon , \to> \indent \wedge \indent n \in \mathbb{N}$

$\displaystyle\Downarrow$

$\displaystyle \lbrace n \in \mathbb{N} \mid n > 1/\epsilon \rbrace$

Her er $\delta = \frac{1}{\epsilon}$ . Man har altså:

$\displaystyle\mid \frac{1}{n} - 0 \mid < \epsilon \indent \textrm{dersom} \indent n > \delta = \frac{1}{\epsilon}$

Skjema:

Jo mindre $\epsilon$ settes, desto mindre er avstanden mellom $\frac{1}{n}$ og 0. Lavere $\epsilon$ gir økende n. n nærmer seg altså mer og mer uendelig.

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds mattenøtt:

OPPGAVE 103 – ENKEL FIGUR

En sirkel med areal π er innskrevet i et kvadrat. Hva er arealet av kvadratet? (På figuren er radius anmerket med r).

$\displaystyle A = \pi r^2$

$\displaystyle \pi = \pi r^2$

$\displaystyle r^2 = 1$

$\displaystyle r = \pm 1 = 1$

En side i kvadratet er s = 2r = 2. Arealet av kvadratet blir:

$\displaystyle A = s^2 = 2^2 = 4$

Til slutt en ny mattenøtt:

OPPGAVE 104 – SANNSYNLIGHETSREGNING II

8 % av alle menn og 0,64 % av alle kvinner er fargeblinde. 10 kvinner og 14 menn deltar i et middagselskap. Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person i selskapet er fargeblind?

Neste artikkel kommer i oktober. Hilsen erty56. Artikkelen kan lastes ned som pdf-fil her:

epsilon_delta

NY MATTENØTT + FASIT OPPGAVE 102 23. august 2017

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 102 – TO MENGDER

Man har 2 mengder. Den ene har 50 elementer med gjennomsnittstallet 32. Den andre har 70 elementer med gjennomsnittstallet 53. Dersom man legger sammen mengdene, hva blir det nye (totale) gjennomsnittstallet?

$\displaystyle andel_1 \cdot gjennomsnittstall_1 + andel_2 \cdot gjennomsnittstall_2$

$\displaystyle = \frac{50}{120} \cdot 32 + \frac{70}{120} \cdot 53 = 44,25$

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 103 – ENKEL FIGUR

En sirkel med areal π er innskrevet i et kvadrat. Hva er arealet av kvadratet? (På figuren er radius anmerket med r).

Totalt er det nå lagt ut 103 mattenøtter her på Realfagshjørnet. Løsningsforslag til mattenøttene legges alltid ut i neste innlegg(neste måned).

Neste artikkel kommer i september. Hilsen erty56.

« older posts

Realfagshjørnet

MATTENØTT NR. 136 17. mars 2019

MATTENØTT NR. 135 24. februar 2019

JULENØTTER 2018 – FASIT 12. januar 2019

JULENØTTER 2018 17. desember 2018

MATTENØTT NR. 127 30. november 2018

MATTENØTT NR. 126 + UTLEDNING NR. 125 22. oktober 2018

MATTENØTT NR. 125 28. september 2018

MATTENØTT NR. 124 29. august 2018

MATTENØTT NR.123 24. juli 2018

MATTENØTT NR.122 17. juni 2018

MATTENØTT NR.121 23. mai 2018

PÅSKENØTTER 2018 – FASIT 20. april 2018

PÅSKENØTTER 2018 27. mars 2018

MATTENØTT NR.114 25. februar 2018

JULENØTTER 2017 – FASIT 16. januar 2018

JULENØTTER 2017 12. desember 2017

MATTENØTT NR.106 25. november 2017

NY MATTENØTT 25. oktober 2017