Realfagshjørnet

MATTENØTT NR.122 17. juni 2018

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 122 – SIRKLER II

Gitt to sirkler som på figuren under. Korden i den største sirkelen (blå strek) tangerer den minste sirkelen. Sentrum i den store og lille sirkelen faller sammen. Figur:

Korden har lengden 10. Hva blir arealet av området mellom den lille og store sirkelen?

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 121 – OMVENDTE FUNKSJONER

Gitt $f(x) = \sqrt{x + 3}$

A) Finn definisjonsmengden og verdimengden til $f(x)$

Definisjonsmengden $D_f$ er x-verdiene der funksjonen er definert, og verdimengden $V_f$ er f(x)-verdiene funksjonen har. Radikanden(tallet inne i kvadratroten) må være større enn eller lik null.

$\displaystyle x + 3 \geq 0$

$\displaystyle x \geq -3$

$\displaystyle \Downarrow$

Svar: $D_f \in [-3 , \rightarrow \rangle$ og $V_f \in [ 0 , \rightarrow \rangle$

B) Finn den omvendte funksjonen til $f(x)$ , dvs. $f ^{-1} (x)$

Man har gitt funksjonen $y = f(x)$ og skal finne den omvendte funksjonen $x = g(y)$

$\displaystyle y = f(x)$

$\displaystyle y = \sqrt{x + 3}$

$\displaystyle y^2 = x + 3$

$\displaystyle x = y^2 - 3$

$\displaystyle g(y) = y^2 - 3$

Man foretar skiftet $y \rightarrow x$ og $g(y) \rightarrow f ^{-1} (x)$

Svar: $f ^{-1} (x) = x^2 - 3$ der $x \geq 0$

C) Finn definisjonsmengden og verdimengden til $f ^{-1} (x)$

For alle omvendte funksjoner $y = f(x)$ og $x = g(y)$ er

$\displaystyle D_f = V_g \indent V_f = D_g$

$\displaystyle D_g \in [ 0 , \rightarrow \rangle \indent V_g \in [-3 , \rightarrow \rangle$

Svar: $D_{f ^{-1}} \in [ 0 , \rightarrow \rangle$ og $V_{f ^{-1}} \in [-3 , \rightarrow \rangle$

Her er $f(x) = \sqrt{x + 3}$ og $f ^{-1} (x) = x^2 - 3$ tegnet opp. $f(x)$ i lilla farge og $f ^{-1} (x)$ i blå farge.

To omvendte funksjoner ligger alltid symmetrisk om en symmetrilinje som på figuren.

Neste artikkel kommer i juli. Hilsen erty56.

Reklamer

MATTENØTT NR.121 23. mai 2018

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 121 – OMVENDTE FUNKSJONER

Gitt $f(x) = \sqrt{x + 3}$

A) Finn definisjonsmengden og verdimengden til $f(x)$

B) Finn den omvendte funksjonen til $f(x)$ , dvs. $f ^{-1} (x)$

C) Finn definisjonsmengden og verdimengden til $f ^{-1} (x)$

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 120 – RØTTER I POLYNOM

A) Regn ut

$\displaystyle 2(3x - 5)(x + 6)^2 (2x + 8)(4x - 7)^2$

Dvs. til et uttrykk på formen $a_6 x^6 + a_5 x^5 + a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$ (*)

Løsningsforslag:

$\displaystyle 2(3x - 5)(x + 6)^2 (2x + 8)(4x - 7)^2$

$\displaystyle = 2(3x - 5)(2x + 8)(x + 6)^2 (4x - 7)^2$

$\displaystyle = 2(6x^2 + 24x - 10x - 40) (x^2 + 12x + 36) (16x^2 - 56x + 49)$

$\displaystyle = 2(6x^2 + 14x - 40) (x^2 + 12x + 36) (16x^2 - 56x + 49)$

$\displaystyle = (12x^2 + 28x - 80) (x^2 + 12x + 36) (16x^2 - 56x + 49)$

$\displaystyle = (12x^4 + 144x^3 + 432x^2 + 28x^3 + 336x^2 + 1008x$

$\displaystyle - 80x^2 - 960x - 2880) (16x^2 - 56x + 49)$

$\displaystyle = (12x^4 + 172x^3 + 688x^2 + 48x - 2880) (16x^2 - 56x + 49)$

$\displaystyle = 192x^6 - 672x^5 + 588x^4 + 2752x^5 - 9632x^4 + 8428x^3$

$\displaystyle + 11008x^4 - 38528x^3 + 33712x^2 + 768x^3 - 2688x^2$

$\displaystyle + 2352x - 46080x^2 + 161280x - 141120$

$\displaystyle = 192x^6 + 2080x^5 + 1964x^4 - 29332x^3 - 15056x^2$

$\displaystyle + 163632x - 141120$

En rot i en ligning er det samme som en løsning av en ligning.

B) Vis at summen av røttene i A) er $- \frac{65}{6}$ , dvs:

$\displaystyle r_1 + 2r_2 + r_3 + 2r_4 = - \frac{65}{6}$

( $r_2$ og $r_4$ er dobbeltrøtter)

I utgangspunktet finnes røttene ved

$\displaystyle 192x^6 + 2080x^5 + 1964x^4 - 29332x^3 - 15056x^2$

$\displaystyle + 163632x - 141120 = 0$

Men

$\displaystyle 2(3x - 5)(x + 6)^2 (2x + 8)(4x - 7)^2$

$\displaystyle = 192x^6 + 2080x^5 + 1964x^4 - 29332x^3 - 15056x^2$

$\displaystyle + 163632x - 141120$

Så røttene kan finnes ved

$\displaystyle 2(3x - 5)(x + 6)^2 (2x + 8)(4x - 7)^2 = 0$

$\displaystyle (3x - 5)(x + 6)^2 (2x + 8)(4x - 7)^2 = 0$

$\displaystyle \Downarrow$

$\displaystyle (3x - 5) = 0 \indent \vee \indent (x + 6)^2 = 0 \indent \vee$

$\displaystyle (2x + 8) = 0 \indent \vee \indent (4x - 7)^2 = 0$

$\displaystyle \Downarrow$

$\displaystyle x = \frac{5}{3} \indent \vee \indent x = -6 \indent \vee \indent x = -6 \indent \vee$

$\displaystyle x = -4 \indent \vee \indent x = \frac{7}{4} \indent \vee \indent x = \frac{7}{4}$

Røttene blir altså

$\displaystyle r_1 = \frac{5}{3}$

$\displaystyle r_2 = -6$

$\displaystyle r_3 = -4$

$\displaystyle r_4 = \frac{7}{4}$

( $r_2$ og $r_4$ er dobbeltrøtter)

$\displaystyle r_1 + 2r_2 + r_3 + 2r_4$

$\displaystyle = \frac{5}{3} + 2 (-6) - 4 + 2 \frac{7}{4}$

$\displaystyle = \frac{5}{3} - 12 - 4 + \frac{7}{2}$

$\displaystyle = \frac{5 \cdot 2 - 12 \cdot 3 \cdot 2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 + 7 \cdot 3}{3 \cdot 2}$

$\displaystyle = \frac{10 - 72 - 24 + 21}{6}$

$\displaystyle = - \frac{65}{6}$

C) Vis at produktet av røttene i A) er $-735$ , dvs:

$\displaystyle r_1 \cdot (r_2)^2 \cdot r_3 \cdot (r_4)^2 = -735$

( $r_2$ og $r_4$ er dobbeltrøtter)

(Hint B) og C) : Man trenger ikke å betrakte (*) for å finne røttene)

$\displaystyle r_1 \cdot (r_2)^2 \cdot r_3 \cdot (r_4)^2$

$\displaystyle = \frac{5}{3} \cdot (-6)^2 \cdot (-4) \cdot (\frac{7}{4})^2$

$\displaystyle = \frac{5}{3} \cdot 36 \cdot (-4) \cdot (\frac{49}{16})$

$\displaystyle = \frac{5 \cdot 36 \cdot (-4) \cdot 49}{3 \cdot 16}$

$\displaystyle = \frac{-35280}{48} = -735$

Neste artikkel kommer i juni. Hilsen erty56.

PÅSKENØTTER 2018 – FASIT 20. april 2018

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

PÅSKENØTTER 2018

OPPGAVE 115 – LETT GEOMETRI III

To kvadrater tangerer hverandre som vist på figuren:

Sidene i kvadratene er 2. Hva blir avstanden mellom deres sentre (blå strek) ?

Først en ny skisse:

$\displaystyle 1^2 + 1^2 = x^2$

$\displaystyle 1 + 1 = x^2$

$\displaystyle x^2 = 2$

$\displaystyle x = \sqrt{2}$

Avstanden mellom deres sentre er 2x.

Svar: $2x = 2 \cdot \sqrt{2}$

OPPGAVE 116 – TO PENTAGONER

To pentagoner ligger inntil hverandre som vist på figuren:

Arealet av hvert pentagon er A = 15 og hver av sidene i dem er 3. Hva blir avstanden mellom deres sentre (blå strek) ?

(Hint: Et pentagon er et regulært polygon. Arealformelen for regulære polygoner er $A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot p$ der a er apothem og p er omkretsen. Apothem a er lengden fra sentrum i polygonet og vinkelrett ned på midten av en side)

$\displaystyle A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot p$

$\displaystyle a = \frac{2A}{p} = \frac{2A}{5s} = \frac{2 \cdot 15}{5 \cdot 3} = \frac{30}{15} = 2$

Avstanden mellom deres sentre er 2a.

Svar: $2a = 2 \cdot 2 = 4$

OPPGAVE 117 – FINN SUMMEN II

A) Hva blir

$\displaystyle 2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2$

(8 ledd)

$\displaystyle 2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2$

$\displaystyle = 8 \cdot 2^2 = 2^3 \cdot 2^2 = 2^{3+2} = 2^5$

B) Hva blir

$\displaystyle 3^{15} + 3^{15} + 3^{15} + 3^{15} + 3^{15} + 3^{15} + 3^{15} + 3^{15} + 3^{15}$

(9 ledd)

$\displaystyle 3^{15} + 3^{15} + 3^{15} + 3^{15} + 3^{15} + 3^{15} + 3^{15} + 3^{15} + 3^{15}$

$\displaystyle = 9 \cdot 3^{15} = 3^2 \cdot 3^{15} = 3^{2+15} = 3^{17}$

OPPGAVE 118 – MAKSIMALT AREAL

Gitt en likebent trekant med sider 3, 3 og y.

Finn den verdien av y som gir maksimalt mulig areal for trekanten.

(Hint: Arealet er gitt ved $A = \frac{y \cdot h}{2}$ der h er høyden i trekanten)

Først en ny skisse:

$\displaystyle (\frac{1}{2} y)^2 + h^2 = 3^2$

$\displaystyle \frac{1}{4} y^2 + h^2 = 9$

$\displaystyle h^2 = 9 - \frac{1}{4} y^2$

$\displaystyle h = \sqrt{9 - \frac{1}{4} y^2}$

$\displaystyle A = \frac{y \cdot h}{2} = \frac{1}{2} y \sqrt{9 - \frac{1}{4} y^2}$

$\displaystyle D[A] = D[(\frac{1}{2} y \sqrt{9 - \frac{1}{4} y^2})]$

$\displaystyle D[A] = \frac{1}{2} \sqrt{9 - \frac{1}{4} y^2} + \frac{1}{2} y \frac{1 \cdot D[(9 - \frac{1}{4} y^2)] }{2 \sqrt{9 - \frac{1}{4} y^2}}$

$\displaystyle D[A] = \frac{1}{2} \sqrt{9 - \frac{1}{4} y^2} + \frac{1}{2} y \frac{\frac{-2y}{4}}{2 \sqrt{9 - \frac{1}{4} y^2}}$

$\displaystyle D[A] = \frac{1}{2} \sqrt{9 - \frac{1}{4} y^2} - \frac{y^2}{8 \sqrt{9 - \frac{1}{4} y^2}}$

$\displaystyle D[A] = \frac{\sqrt{9 - \frac{1}{4} y^2} \sqrt{9 - \frac{1}{4} y^2} \cdot 4 - y^2}{2 \cdot 4 \sqrt{9 - \frac{1}{4} y^2}}$

$\displaystyle D[A] = \frac{4 (9 - \frac{1}{4} y^2) - y^2}{8 \sqrt{9 - \frac{1}{4} y^2}}$

$\displaystyle D[A] = \frac{36 - y^2 - y^2}{8 \sqrt{9 - \frac{1}{4} y^2}}$

$\displaystyle D[A] = \frac{36 - 2y^2}{8 \sqrt{9 - \frac{1}{4} y^2}}$

$\displaystyle D[A] = \frac{18 - y^2}{4 \sqrt{9 - \frac{1}{4} y^2}}$

$\displaystyle D[A] = 0 \indent \wedge \indent y > 0$

$\displaystyle 18 - y^2 = 0$

$\displaystyle y^2 = 18$

$\displaystyle y = \pm \sqrt{18}$

$\displaystyle 18 - y^2 = (\sqrt{18} - y)(\sqrt{18} + y)$

$\displaystyle 4 \sqrt{9 - \frac{1}{4} y^2} = 0$

$\displaystyle \sqrt{4^2 (9 - \frac{1}{4} y^2)} = 0$

$\displaystyle \sqrt{144 - 4y^2} = 0$

$\displaystyle (\sqrt{144 - 4y^2})^2 = 0^2$

$\displaystyle 144 - 4y^2 = 0$

$\displaystyle 4y^2 = 144$

$\displaystyle y^2 = 36$

$\displaystyle y = \pm 6$

FORTEGNSSKJEMA:

$\displaystyle A_{maks} \indent ved \indent y = \sqrt{18}$

Svar: $y = \sqrt{18}$

OPPGAVE 119 – FUNKSJONSOPPGAVE

Gitt $f(x) = 3x^2 - 13x + m$ og $f(m) = -12$ . Hva blir $f(2)$ ?

Løsningsforslag:

$\displaystyle f(m) = -12$

$\displaystyle 3m^2 - 13m + m = -12$

$\displaystyle 3m^2 - 12m = -12$

$\displaystyle m^2 - 4m = -4$

$\displaystyle (m - 2)^2 = -4 + (-2)^2$

$\displaystyle (m - 2)^2 = 0$

$\displaystyle \sqrt{(m - 2)^2} = \sqrt{0}$

$\displaystyle m - 2 = 0$

$\displaystyle m = 2$

$\displaystyle \Downarrow$

1) Enten ved:

$\displaystyle f(2) = f(m) = -12$

2) Eller ved:

$\displaystyle f(x) = 3x^2 - 13x + m = 3x^2 - 13x + 2$

$\displaystyle f(2) = 3 \cdot 2^2 - 13 \cdot 2 + 2 = 3 \cdot 4 - 26 + 2 = 12 - 24 = -12$

Mer om løsning av annengradsligninger finnes her:

ANNENGRADSLIGNINGER OG PARABELEN

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 120 – RØTTER I POLYNOM

A) Regn ut

$\displaystyle 2(3x - 5)(x + 6)^2 (2x + 8)(4x - 7)^2$

Dvs. til et uttrykk på formen $a_6 x^6 + a_5 x^5 + a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$ (*)

En rot i en ligning er det samme som en løsning av en ligning.

B) Vis at summen av røttene i A) er $- \frac{65}{6}$ , dvs:

$\displaystyle r_1 + 2r_2 + r_3 + 2r_4 = - \frac{65}{6}$

( $r_2$ og $r_4$ er dobbeltrøtter)

C) Vis at produktet av røttene i A) er $-735$ , dvs:

$\displaystyle r_1 \cdot (r_2)^2 \cdot r_3 \cdot (r_4)^2 = -735$

( $r_2$ og $r_4$ er dobbeltrøtter)

(Hint B) og C) : Man trenger ikke å betrakte (*) for å finne røttene)

Neste artikkel kommer i mai. Hilsen erty56.

PÅSKENØTTER 2018 27. mars 2018

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
1 comment so far

Hei igjen!

Her kommer noen nye matematiske quiz og grublerier:

OPPGAVE 115 – LETT GEOMETRI III

To kvadrater tangerer hverandre som vist på figuren:

Sidene i kvadratene er 2. Hva blir avstanden mellom deres sentre (blå strek) ?

OPPGAVE 116 – TO PENTAGONER

To pentagoner ligger inntil hverandre som vist på figuren:

Arealet av hvert pentagon er A = 15 og hver av sidene i dem er 3. Hva blir avstanden mellom deres sentre (blå strek) ?

OPPGAVE 117 – FINN SUMMEN II

A) Hva blir

$\displaystyle 2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2$

(8 ledd)

B) Hva blir

$\displaystyle 3^{15} + 3^{15} + 3^{15} + 3^{15} + 3^{15} + 3^{15} + 3^{15} + 3^{15} + 3^{15}$

(9 ledd)

OPPGAVE 118 – MAKSIMALT AREAL

Gitt en likebent trekant med sider 3, 3 og y.

Finn den verdien av y som gir maksimalt mulig areal for trekanten.

(Hint: Arealet er gitt ved $A = \frac{y \cdot h}{2}$ der h er høyden i trekanten)

OPPGAVE 119 – FUNKSJONSOPPGAVE

Gitt $f(x) = 3x^2 - 13x + m$ og $f(m) = -12$ . Hva blir $f(2)$ ?

Løsningsforslag til påskenøttene blir lagt ut her på Realfagshjørnet i april. Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 114 – SYKLISK FIRKANT

En syklisk firkant ABCD har en omskrevet sirkel. Se figur:

Diagonalen BD i firkanten er BD = 3 og vinkelen $\alpha = 60^{\circ}$ . Finn radius i sirkelen.

Først en ny skisse:

Man anvender prinsippet at en sentralvinkel (2α) er det dobbelte av periferivinkelen (α) over den samme sirkelbuen. Cosinussetningen gir:

$\displaystyle BD^2 = r^2 + r^2 - 2 \cdot r \cdot r \cdot \cos 2\alpha$

$\displaystyle 3^2 = 2r^2 - 2r^2 \cdot \cos 120^{\circ}$

$\displaystyle 9 = 2r^2 - 2r^2 \cdot (-0,5)$

$\displaystyle 9 = 2r^2 + r^2$

$\displaystyle 3r^2 = 9$

$\displaystyle r^2 = 3$

$\displaystyle r = \sqrt{3}$

Neste artikkel kommer i april. Hilsen erty56.

MATTENØTT NR.114 25. februar 2018

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 114 – SYKLISK FIRKANT

En syklisk firkant ABCD har en omskrevet sirkel. Se figur:

Diagonalen BD i firkanten er BD = 3 og vinkelen $\alpha = 60^{\circ}$ . Finn radius i sirkelen.

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 113 – ENKEL REGNING II

Gitt $\displaystyle x + y = 1$ og $\displaystyle x^3 + y^3 = 2$ Regn ut $\displaystyle x^2 + y^2$

Løsningsforslag:

$\displaystyle x + y = 1$

$\displaystyle y = 1 - x$

$\displaystyle x^3 + y^3 = 2$

$\displaystyle x^3 + (1 - x)^3 = 2$

$\displaystyle x^3 + (1 - x)(1 - 2x + x^2) = 2$

$\displaystyle x^3 + 1 - 2x + x^2 - x + 2x^2 - x^3 = 2$

$\displaystyle 3x^2 - 3x - 1 = 0$

$\displaystyle x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3}$

$\displaystyle x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{6}$

$\displaystyle x = \frac{3 + \sqrt{21}}{6}$

$\displaystyle y = 1 - x = 1 - \frac{3 + \sqrt{21}}{6} = \frac{3 - \sqrt{21}}{6}$

$\displaystyle x = \frac{3 - \sqrt{21}}{6}$

$\displaystyle y = 1 - x = 1 - \frac{3 - \sqrt{21}}{6} = \frac{3 + \sqrt{21}}{6}$

$\displaystyle x^2 + y^2$

vil bli det samme for både 1. og 2. ved inspeksjon. Regner ut for 1:

$\displaystyle x^2 + y^2 = (\frac{3 + \sqrt{21}}{6})^2 + (\frac{3 - \sqrt{21}}{6})^2$

$\displaystyle = \frac{9 + 6\sqrt{21} + 21}{36} + \frac{9 - 6 \sqrt{21} + 21}{36}$

$\displaystyle = \frac{9 + 6\sqrt{21} + 21 + 9 - 6 \sqrt{21} + 21}{36} = \frac{60}{36} = \frac{5}{3}$

Mer om løsning av annengradsligninger finnes her:

ANNENGRADSLIGNINGER OG PARABELEN

Neste artikkel kommer i mars. Hilsen erty56.

JULENØTTER 2017 – FASIT 16. januar 2018

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

JULENØTTER 2017

OPPGAVE 107 – OPPMÅLING

Tor har en stor kartong fløte. Han skal måle opp 1 dl. av fløten. Han har imidlertid bare et 3 dl. og et 5 dl. målebeger. Hvordan kan Tor få målt opp 1 dl. fløte?

1. Tor heller først 3 dl. målebegeret fullt.

2. Han har alt dette i 5 dl. målebegeret.

3. Han heller 3 dl. målebegeret fullt en gang til.

4. Han heller den del av dette til 5 dl. målebegeret er fullt.

5. Dermed er det igjen 1 dl. fløte i 3 dl. målebegeret.

OPPGAVE 108 – GEOMETRISKE FORHOLD II

a) Gitt en firkant med en bestemt omkrets. Firkanten har maksimalt mulig areal. Er firkanten et rektangel eller et kvadrat?

Firkanten er et kvadrat. Kvadratet er alltid største type rektangel gitt en bestemt omkrets (et kvadrat er et spesialtilfelle av et rektangel).

b) En sylinder og en kjegle har lik radius i grunnplanet og lik høyde. Hva er forholdet mellom volumet til kjeglen og sylinderen?

$\displaystyle V_{kjegle} : V_{sylinder} = \frac{\pi r^2 h}{3} : \pi r^2 h = \frac{1}{3} : 1 = 1 : 3$

OPPGAVE 109 – VANSKELIG ARITMETIKK

Gitt $x^2 = y + a$ og $y^2 = x + a$ der a er et heltall. Finn uttrykk for a som gir heltallsløsninger for x og y. Merknad: Med heltall menes her 0, 1, 2, 3, …

Løsningsforslag:

$\displaystyle x = y^2 - a$

$\displaystyle x^2 = y + a$

$\displaystyle (y^2 - a)^2 = y + a$

$\displaystyle y^4 - 2ay^2 + a^2 = y + a$

$\displaystyle a^2 + a(-2y^2 - 1) + y^4 - y = 0$

$\displaystyle a = \frac{2y^2 + 1 \pm \sqrt{(-2y^2 - 1)^2 - 4 \cdot 1 (y^4 - y)}}{2}$

$\displaystyle a = \frac{2y^2 + 1 \pm \sqrt{4y^4 + 4y^2 + 1 - 4y^4 + 4y}}{2}$

$\displaystyle a = \frac{2y^2 + 1 \pm \sqrt{4y^2 + 4y + 1}}{2}$

$\displaystyle a = \frac{2y^2 + 1 \pm \sqrt{4 (y + \frac{1}{2})^2}}{2}$

$\displaystyle a = \frac{2y^2 + 1 \pm 2 (y + \frac{1}{2})}{2}$

$\displaystyle a = y^2 + \frac{1}{2} \pm (y + \frac{1}{2})$

$\Downarrow$

$\displaystyle a = y^2 + \frac{1}{2} + y + \frac{1}{2} \indent \vee \indent a = y^2 + \frac{1}{2} - y - \frac{1}{2}$

$\displaystyle y^2 + y + 1 - a = 0 \indent \vee \indent y^2 - y - a = 0$

Resultatet blir det samme for x:

$\displaystyle x^2 + x + 1 - a = 0 \indent \vee \indent x^2 - x - a = 0$

$\Downarrow$

$\displaystyle x = y = \frac{-1 \pm \sqrt{4a - 3}}{2}$

$\displaystyle x = y = \frac{1 \pm \sqrt{4a + 1}}{2}$

Dersom x og y skal bli heltall 0, 1, 2, 3, … må tellerne i brøkene være 0 eller alle partall. Dette gir at kvadratroten(med fortegn) i teller i den første brøken må være alle oddetall, altså 2n – 1 der n = 1, 2, 3 , …

$+\sqrt{4a - 3} = 2n - 1$

$4a - 3 = (2n - 1)^2$

$4a - 3 = 4n^2 - 4n + 1$

$4a = 4n^2 - 4n + 4$

$a = n^2 - n + 1 = n(n - 1) + 1$ ,der n = 1, 2, 3, …

I den andre brøken må kvadratroten(med fortegn) være -1 eller alle oddetall, altså

$-\sqrt{4a + 1} = -1 \indent \vee \indent +\sqrt{4a + 1} = (2m - 1)$ ,der m = 1, 2, 3, …

$4a + 1 = 1 \indent \vee \indent 4a + 1 = (2m - 1)^2$

$4a = 0 \indent \vee \indent 4a + 1 = 4m^2 - 4m + 1$

$a = 0 \indent \vee \indent 4a = 4m^2 - 4m$

$a = 0 \indent \vee \indent a = m^2 - m = m(m - 1)$

m = 1 gir a = 0, så:

$\displaystyle a = m(m - 1)$ , der m = 1, 2, 3, …

Man får altså to uttrykk for a som gir heltallsløsninger for x og y:

$a = n(n - 1) + 1$ ,der n = 1, 2, 3, …

$\displaystyle a = m(m - 1)$ , der m = 1, 2, 3, …

(Merknad: Faktisk vil disse uttrykkene for a i utgangspunktet gi hele $\displaystyle \mathbb{Z}$ for x og y, og ikke bare det man har definert som heltall i denne oppgaven)

OPPGAVE 110 – LETT GEOMETRI I

En likebent trekant er innskrevet i et kvadrat. Arealet av trekanten er 1/2. Hva er sidene i kvadratet?

Høyden og grunnlinjen i trekanten og sidene i kvadratet er alle de samme. Kaller denne x.

$\displaystyle A = \frac{g \cdot h}{2} = \frac{x \cdot x}{2} = \frac{1}{2}$

$\Downarrow$

$\displaystyle \frac{x^2}{2} = \frac{1}{2}$

$\displaystyle x^2 = 1$

$\displaystyle x = \pm 1 = 1$ (x > 0 da dette er en lengde)

Svar: Sidene i kvadratet er 1.

OPPGAVE 111 – LETT GEOMETRI II

Et oktaeder er et platonsk legeme. Overflaten består av 8 likesidede trekanter. En side i trekanten er $\sqrt{2}$ . Hva blir volumet av legemet ?

Først betraktes en trekant:

$\displaystyle (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + x^2 = (\sqrt{2})^2$

$\displaystyle x^2 = 2 - \frac{1}{2}$

$\displaystyle x^2 = \frac{3}{2}$

Deretter høyden i den ene pyramiden i oktaederet:

$\displaystyle (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + h^2 = x^2$

$\displaystyle h^2 = x^2 - \frac{1}{2}$

$\displaystyle h^2 = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$

$\displaystyle h^2 = 1$

$\displaystyle h = 1$

Volumet av oktaederet blir dermed:

$\displaystyle V = 2 \frac{G \cdot h}{3} = 2 \frac{\sqrt{2} \sqrt{2} \cdot 1}{3} = 2 \frac{ 2 \cdot 1}{3} = \frac{4}{3}$

OPPGAVE 112 – VANSKELIG GEOMETRI

Gitt en rettvinklet trekant ABC. CF er medianen til hypotenusen AB (midt på AB), CE deler/halverer vinkelen ACB og CD står vinkelrett på AB. Vis at vinklene DCE og ECF er like.

Hint: Man trenger ikke finne hvor mange grader de er, bare at de er like.

Ny skisse:

Kaller vinkelen DCE for $\beta_1$ og vinkelen ECF for $\beta_2$

$\displaystyle \alpha + \alpha = 90^{\circ} \Rightarrow \alpha = 45^{\circ}$

$\displaystyle \gamma + 2\alpha + \delta = 180^{\circ} \Rightarrow \gamma + \delta = 90^{\circ}$

Betrakter trekanten BCD:

$\displaystyle \gamma + \alpha - \beta_1 + 90^{\circ} = 180^{\circ} \Rightarrow \beta_1 = -45^{\circ} + \gamma$

CF = BF = FA, så trekanten ACF er likebent:

$\displaystyle \alpha - \beta_2 = \delta \Rightarrow \beta_2 = \alpha - \delta$

Setter

$\displaystyle \beta_1 = \beta_2$

$\displaystyle -45^{\circ} + \gamma = \alpha - \delta$

$\displaystyle \gamma + \delta = 90^{\circ}$

$\displaystyle 90^{\circ} = 90^{\circ}$

VS = HS

$\displaystyle \Downarrow$

Vinklene DCE og ECF er like.

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 113 – ENKEL REGNING II

Gitt $\displaystyle x + y = 1$ og $\displaystyle x^3 + y^3 = 2$ Regn ut $\displaystyle x^2 + y^2$

Neste artikkel kommer i februar. Hilsen erty56.

JULENØTTER 2017 12. desember 2017

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
2 comments

Hei igjen!

Her kommer julenøtter i form av 6 nye mattenøtter:

OPPGAVE 107 – OPPMÅLING

Tor har en stor kartong fløte. Han skal måle opp 1 dl. av fløten. Han har imidlertid bare et 3 dl. og et 5 dl. målebeger. Hvordan kan Tor få målt opp 1 dl. fløte?

OPPGAVE 108 – GEOMETRISKE FORHOLD II

a) Gitt en firkant med en bestemt omkrets. Firkanten har maksimalt mulig areal. Er firkanten et rektangel eller et kvadrat?

b) En sylinder og en kjegle har lik radius i grunnplanet og lik høyde. Hva er forholdet mellom volumet til kjeglen og sylinderen?

OPPGAVE 109 – VANSKELIG ARITMETIKK

Gitt $x^2 = y + a$ og $y^2 = x + a$ der a er et heltall. Finn uttrykk for a som gir heltallsløsninger for x og y. Merknad: Med heltall menes her 0, 1, 2, 3, …

OPPGAVE 110 – LETT GEOMETRI I

En likebent trekant er innskrevet i et kvadrat. Arealet av trekanten er 1/2. Hva er sidene i kvadratet?

OPPGAVE 111 – LETT GEOMETRI II

Et oktaeder er et platonsk legeme. Overflaten består av 8 likesidede trekanter. En side i trekanten er $\sqrt{2}$ . Hva blir volumet av legemet ?

OPPGAVE 112 – VANSKELIG GEOMETRI

Gitt en rettvinklet trekant ABC. CF er medianen til hypotenusen AB (midt på AB), CE deler/halverer vinkelen ACB og CD står vinkelrett på AB. Vis at vinklene DCE og ECF er like.

Hint: Man trenger ikke finne hvor mange grader de er, bare at de er like.

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 106 – QUIZ

Fr. Kolnæs bestemte seg for å slutte å røke. Hun skulle bare røke de 27 sigarettene hun hadde igjen, og så slutte helt. Hun røkte 2/3 av hver sigarett. Dermed ble det igjen tobakk til 1 ny sigarett av tre sneiper. Med utgangspunkt i de 27 sigarettene, hvor mange (hele) sigaretter røkte hun før hun sluttet?

Antall sigaretter blir:

$27 + 27 \frac{1}{3} + 9 \frac{1}{3} + 3 \frac{1}{3} + 1 \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \frac{1}{3} + \frac{1}{9} \frac{1}{3} + ...$

$= 27 + 9 + 3 + 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + ...$

$= 27 + 9 + 3 + 1 + \frac{1}{2}$

$= 40 \frac{1}{2}$

Man finner at brøkene konvergerer mot $\frac{1}{2}$ ved

$\displaystyle\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} (\frac{1}{3})^i = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{3} \cdot \frac{((\frac{1}{3})^n - 1)}{(\frac{1}{3} - 1)}$

$\displaystyle =\frac{1}{3} \cdot \frac{(0 - 1)}{(- \frac{2}{3})} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$

Siden man her spurte etter hele sigaretter blir svaret 40 sigaretter.

Løsningsforslag til julenøttene blir lagt ut her på Realfagshjørnet i januar 2018. God jul og godt nyttår! Hilsen erty56.

MATTENØTT NR.106 25. november 2017

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 106 – QUIZ

Totalt er det nå lagt ut 106 mattenøtter her på Realfagshjørnet. Løsningsforslag ligger alltid i innlegget etter(neste måned). Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 105 – HVILKEN FIGUR

a) Hvilken matematisk figur er gitt ved

$x^2 + y^2 = 4$

Dette er formelen for en sirkel med radius 2.

b) Hvor i koordinatsystemet ligger den?

En sirkel med sentrum i origo og radius r=2 overalt utifra origo.

Ved å regne ut $y = \sqrt{4 - x^2}$ eller $y = -\sqrt{4 - x^2}$ ,

og tegne disse to halvsirklene vil man få figuren:

Den skjærer x-aksen i (-2 , 0) og (2 , 0) og y-aksen i (0 , -2) og (0 , 2).

Generelt er

$x^2 + y^2 = r^2$

formelen for en sirkel med sentrum i origo og radius r.

Julenøtter kommer i desember. Hilsen erty56.

NY MATTENØTT 25. oktober 2017

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 105 – HVILKEN FIGUR

a) Hvilken matematisk figur er gitt ved

$x^2 + y^2 = 4$

b) Hvor i koordinatsystemet ligger den?

Her er løsningsforslag til forrige måneds mattenøtt:

OPPGAVE 104 – SANNSYNLIGHETSREGNING II

8 % av alle menn og 0,64 % av alle kvinner er fargeblinde. 10 kvinner og 14 menn deltar i et middagselskap. Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person i selskapet er fargeblind?

Andelen kvinner x 0,64 % + andelen menn x 8 %

$=\frac{10}{24} \, x \, 0,64 \% + \frac{14}{24} \, x \, 8 \%$

$=4,93333... \%$

Svar: Ca. 4,9 %

Neste artikkel kommer i november. Hilsen erty56.

EPSILON-DELTA METODEN 14. september 2017

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Grenseverdier kan regnes ut ved regneoperasjoner. Man kan også bevise at disse verdiene er riktig ved $\epsilon-\delta$ metoden. $\epsilon$ er den greske bokstaven epsilon, og $\delta$ den greske bokstaven delta.

1 Innledning

Gitt følgen $a_{n} = \frac{1}{n}$ . Man skal finne hvor nært følgen er $\frac{1}{50}$ med en sikkerhet på $\frac{1}{100}$ .

$\displaystyle \mid \frac{1}{n} - \frac{1}{50} \mid < \frac{1}{100}$

$\displaystyle -\frac{1}{100} < \frac{1}{n} - \frac{1}{50} < \frac{1}{100}$

$\displaystyle \frac{1}{n} - \frac{1}{50} + \frac{1}{100} > 0 \indent \wedge \indent \frac{1}{n} - \frac{1}{50} - \frac{1}{100} < 0$

$\displaystyle\frac{1}{n} + \frac{-2 + 1}{100} > 0 \indent \wedge \indent \frac{1}{n} + \frac{-2 -1}{100} < 0$

$\displaystyle\frac{1}{n} + \frac{-1}{100} > 0 \indent \wedge \indent \frac{1}{n} + \frac{-3}{100} < 0$

$\displaystyle \frac{100 - n}{100n} > 0 \indent \wedge \indent \frac{100 - 3n}{100n} < 0$

$\displaystyle 1. \indent 100 - n = 0 \indent \textrm{og} \indent 100n = 0$

$\displaystyle n = 100 \indent \textrm{og} \indent n = 0$

$\displaystyle \frac{100 - n}{100n} > 0$

$\displaystyle \Downarrow$

$\displaystyle n \in <0 , 100>$

$\displaystyle 2. \indent 100 - 3n = 0 \indent \textrm{og} \indent 100n = 0$

$\displaystyle n = 100/3 \indent \textrm{og} \indent n = 0$

$\displaystyle \frac{100 - 3n}{100n} < 0$

$\displaystyle\Downarrow$

$\displaystyle n \in <\gets , 0> \cup <100/3 , \to>$

Snittet av 1., 2. og alle naturlige tall blir

$\displaystyle n \in <0 , 100> \indent \wedge \indent n \in <\gets , 0> \cup <100/3 , \to>$

$\displaystyle \wedge \indent n \in \mathbb{N}$

$\displaystyle\Downarrow$

$\displaystyle n \in <100/3 , 100> \indent \wedge \indent n \in \mathbb{N}$

$\displaystyle \Downarrow$

$\displaystyle\lbrace n \in \mathbb{N} \mid 100/3 < n < 100 \rbrace$

Altså alle naturlige tall f.o.m. 34 og t.o.m. 99 gir svaret med en sikkerhet på $\frac{1}{100}$

2 Formell definisjon

$a_n$ konvergerer mot a dersom

$\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = a$

Dette kan regnes ut ved regneoperasjoner. En mer formell definisjon er:

$a_{n}$ konvergerer mot a dersom det for ethvert reelt tall $\epsilon > 0$ , finnes et tall $\delta > 0$ slik at

$\displaystyle\mid a_{n} - a \mid < \epsilon \indent \textrm{dersom} \indent n > \delta \indent (\ast)$

Dette innebærer at

$\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = a$

$\epsilon$ må ikke være et bestemt tall. Vanligvis setter man $\epsilon$ mindre eller lik 1. Men det kan være ethvert positivt reelt tall. $\epsilon$ sier noe om hvor nært $a_{n}$ ligger a.

$\displaystyle\mid a_{n} - a \mid = \mid a - a_{n} \mid$

Så jo mindre $\epsilon$ er, jo nærmere ligger $a_{n}$ og a. Det er en sammenheng mellom $\epsilon$ og $\delta$ . Høyere $\delta$ (økende mot uendelig) gir lavere $\epsilon$ . Ifølge definisjonen er $\delta$ et reelt tall. Men for følger $a_{n}$ er n et naturlig tall $\mathbb{N}$ . Så man kan innskrenke seg til kun å se på naturlige tall i både innledningen og 3 Eksempel.

I innledningen hadde vi $(\ast)$ der $\epsilon$ = 1/100 og a = 1/50, men ikke $n > \delta$ (et annet type intervall for n). Altså noe av det samme som $(\ast)$ , men ikke helt det samme. Algoritmen for å regne ut intervallet er imidlertid akkurat den samme. Se 3 Eksempel:

\

3 Eksempel

$\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0$

Ønsker å bevise dette med epsilon-delta metoden. Algoritmen for å vise dette er akkurat den samme som i innledningen.

$\displaystyle\mid \frac{1}{n} - 0 \mid < \epsilon$

$\displaystyle \mid \frac{1}{n} \mid < \epsilon$

$\displaystyle -\epsilon < \frac{1}{n} < \epsilon$

$\displaystyle\frac{1}{n} + \epsilon > 0 \indent \wedge \indent \frac{1}{n} - \epsilon < 0$

$\displaystyle\frac{1 + n\epsilon}{n} > 0 \indent \wedge \indent \frac{1 - n\epsilon}{n} < 0$

$\displaystyle 1. \indent 1 + n\epsilon = 0 \indent \textrm{og} \indent n = 0$

$\displaystyle n = - \frac{1}{\epsilon} \indent \textrm{og} \indent n = 0$

$\displaystyle\frac{1 + n\epsilon}{n} > 0$

$\displaystyle\Downarrow$

$\displaystyle n\in <\gets , -1/\epsilon> \cup <0 , \to>$

$\displaystyle 2. \indent 1 - n\epsilon = 0 \indent \textrm{og} \indent n = 0$

$\displaystyle n = \frac{1}{\epsilon} \indent \textrm{og} \indent n = 0$

$\displaystyle \frac{1 - n\epsilon}{n} < 0$

$\displaystyle \Downarrow$

$\displaystyle n\in <\gets , 0> \cup <1/\epsilon , \to>$

Snittet av 1. og 2. og alle naturlige tall blir

$\displaystyle n\in <\gets , -1/\epsilon> \cup <0 , \to> \indent \wedge \indent n \in <\gets , 0> \cup <1/\epsilon , \to>$

$\displaystyle \wedge \indent n \in \mathbb{N}$

$\displaystyle\Downarrow$

$\displaystyle n \in <\gets , -1/\epsilon> \cup <1/\epsilon , \to> \indent \wedge \indent n \in \mathbb{N}$

$\displaystyle\Downarrow$

$\displaystyle \lbrace n \in \mathbb{N} \mid n > 1/\epsilon \rbrace$

Her er $\delta = \frac{1}{\epsilon}$ . Man har altså:

$\displaystyle\mid \frac{1}{n} - 0 \mid < \epsilon \indent \textrm{dersom} \indent n > \delta = \frac{1}{\epsilon}$

Skjema:

Jo mindre $\epsilon$ settes, desto mindre er avstanden mellom $\frac{1}{n}$ og 0. Lavere $\epsilon$ gir økende n. n nærmer seg altså mer og mer uendelig.

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds mattenøtt:

OPPGAVE 103 – ENKEL FIGUR

En sirkel med areal π er innskrevet i et kvadrat. Hva er arealet av kvadratet? (På figuren er radius anmerket med r).

$\displaystyle A = \pi r^2$

$\displaystyle \pi = \pi r^2$

$\displaystyle r^2 = 1$

$\displaystyle r = \pm 1 = 1$

En side i kvadratet er s = 2r = 2. Arealet av kvadratet blir:

$\displaystyle A = s^2 = 2^2 = 4$

Til slutt en ny mattenøtt:

OPPGAVE 104 – SANNSYNLIGHETSREGNING II

8 % av alle menn og 0,64 % av alle kvinner er fargeblinde. 10 kvinner og 14 menn deltar i et middagselskap. Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person i selskapet er fargeblind?

Neste artikkel kommer i oktober. Hilsen erty56. Artikkelen kan lastes ned som pdf-fil her:

epsilon_delta

NY MATTENØTT + FASIT OPPGAVE 102 23. august 2017

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 102 – TO MENGDER

Man har 2 mengder. Den ene har 50 elementer med gjennomsnittstallet 32. Den andre har 70 elementer med gjennomsnittstallet 53. Dersom man legger sammen mengdene, hva blir det nye (totale) gjennomsnittstallet?

$\displaystyle andel_1 \cdot gjennomsnittstall_1 + andel_2 \cdot gjennomsnittstall_2$

$\displaystyle = \frac{50}{120} \cdot 32 + \frac{70}{120} \cdot 53 = 44,25$

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 103 – ENKEL FIGUR

En sirkel med areal π er innskrevet i et kvadrat. Hva er arealet av kvadratet? (På figuren er radius anmerket med r).

Totalt er det nå lagt ut 103 mattenøtter her på Realfagshjørnet. Løsningsforslag til mattenøttene legges alltid ut i neste innlegg(neste måned).

Neste artikkel kommer i september. Hilsen erty56.

SOMMERQUIZ – NYE MATTENØTTER – FASIT 19. juli 2017

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

SOMMERQUIZ – NYE MATTENØTTER

OPPGAVE 99 – SANNSYNLIGHETSREGNING

I en kommune hadde 85 % av husstandene radio, 75 % hadde TV, og 70 % hadde både radio og TV. Hvor mange prosent hadde hverken TV eller radio?

Tips: Anvend sammenhengen P(radio eller TV) + P(ingen) = 1.

Man kan tegne følgende figur:

P(radio eller TV) + P(ingen) = 1

P(ingen) = 1 – P(radio eller TV)

= 1 – (P(radio) + P(radio og TV) + P(TV))

= 1 – (0,15 + 0,70 + 0,05)

= 1 – 0,90

= 0,10

Svar: 10 % hadde hverken TV eller radio.

OPPGAVE 100 – SYSTEM I TALLREKKE

Gitt tallene

16, 39, 85, 177, 361, x

Finn x.

Løsningsmetode 1:

Tallene 16 39 85 177 361 729

Differensen 23 46 92 184 368

Differensen dobles hele tiden

$\displaystyle x = 361 + 2 \cdot 184 = 361 + 368 = 729$

Løsningsmetode 2:

Alle tall i rekken er 2y + 7, der y er tallet foran

$\displaystyle x = 2 \cdot 361 + 7 = 729$

OPPGAVE 101 – INNSKREVET FIGUR

En likesidet trekant er innskrevet i en sirkel med radius r = 1. Hva blir arealet av trekanten?

Denne oppgaven kan løses på mange måter. Her følger to av dem.

Løsningsmetode 1:

Ny illustrasjon:

$\displaystyle A = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin 120^{\circ}$

$\displaystyle A = \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\displaystyle A = \frac{3 \sqrt{3}}{4}$

Løsningsmetode 2:

Ny illustrasjon:

I en 30°-60º-90º-trekant er den minste kateten halvparten av hypotenusen, dvs. 1/2 og 1.

$\displaystyle x^2 + (\frac{1}{2})^2 = 1^2$

$\displaystyle x^2 + \frac{1}{4} = 1$

$\displaystyle x^2 = \frac{3}{4}$

$\displaystyle x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\displaystyle A = \frac{g \cdot h}{2}$

$\displaystyle A = \frac{2x \cdot (r + \frac{1}{2})}{2}$

$\displaystyle A = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (1 + \frac{1}{2})}{2}$

$\displaystyle A = \frac{\sqrt{3} \cdot \frac{3}{2}}{2}$

$\displaystyle A = \frac{3 \sqrt{3}}{4}$

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 102 – TO MENGDER

Neste artikkel kommer i august. Løsningsforslag til mattenøttene legges alltid ut i neste innlegg(neste måned). Hilsen erty56.

SOMMERQUIZ – NYE MATTENØTTER 23. juni 2017

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
Tags: matematikk nøtter, matte nøtter, mattenøtter
1 comment so far

Hei igjen!

Her kommer en liten sommerquiz, i form av tre nye mattenøtter:

OPPGAVE 99 – SANNSYNLIGHETSREGNING

I en kommune hadde 85 % av husstandene radio, 75 % hadde TV, og 70 % hadde både radio og TV. Hvor mange prosent hadde hverken TV eller radio?

Tips: Anvend sammenhengen P(radio eller TV) + P(ingen) = 1.

OPPGAVE 100 – SYSTEM I TALLREKKE

Gitt tallene

16, 39, 85, 177, 361, x

Finn x.

OPPGAVE 101 – INNSKREVET FIGUR

En likesidet trekant er innskrevet i en sirkel med radius r = 1. Hva blir arealet av trekanten?

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 98 – RENTER PÅ KONTO

Jon setter inn 10.000 kr i banken 1.januar 2005, og lar dette stå til 1.januar 2008 uten noen flere innskudd eller uttak. Renten er hele tiden 5 % årlig.

A) Hvor mye står det på kontoen 1.januar 2006?

$\displaystyle K = a (1 + \frac{p}{100})^n = 10.000 \, kr \, (1 + \frac{5}{100})^1$

$\displaystyle = 10.000 \, kr \, \cdot 1,05 = 10.500 \, kr \,$

B) Hva er beløpet vokst til 1.januar 2008?

$\displaystyle K = a (1 + \frac{p}{100})^n = 10.000 \, kr \, (1 + \frac{5}{100})^3$

$\displaystyle = 10.000 \, kr \, \cdot (1,05)^3 = 10.000 \, kr \, \cdot 1,157625$

$\displaystyle = 11.576,25 \, kr \,$

Neste artikkel kommer i juli. Løsningsforslag til mattenøttene legges alltid ut i neste innlegg(neste måned). Hilsen erty56.

PÅSKENØTTER – FASIT 15. mai 2017

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

PÅSKENØTTER

OPPGAVE 94 – ENKEL TALLREKKE

Gitt tallene 49, 25, 64, 16, 11, 36 og 81. Et av tallene hører ikke hjemme blant de andre. Hvilket er det?

Alle tallene er kvadrattall, utenom 11 som er et primtall. Kvadrattall er
7² = 49, 5² = 25 osv. Primtall er tall som bare er delelig med 1 og seg selv.

Svar: 11

OPPGAVE 95 – ENKEL ALGEBRA II

Finnes det to tall w og z slik at

$\displaystyle w - z = 5 \indent og \indent \frac{w}{z} = 5$

Hva er isåfall w og z?

$\displaystyle \frac{w}{z} = 5$

$\displaystyle w = 5z$

$\displaystyle w - z = 5$

$\displaystyle 5z - z = 5$

$\displaystyle 4z = 5$

$\displaystyle z = 1,25$

$\displaystyle w = 5z = 5 \cdot 1,25 = 6,25$

Svar: w og z finnes og de er w = 6,25 og z = 1,25

OPPGAVE 96 – TREKANTER III

En likesidet trekant er innskrevet oppned i en annen likesidet trekant med sider lik 1. Den indre trekanten skjærer den store midt på hver side. Hva er arealet av den indre trekanten?

Det finnes mange måter å løse denne oppgaven på. Her følger en av dem. Først en ny skisse:

En likesidet trekant har bare vinkler på 60º. Man kan regne ut arealet av hele trekanten A1, og deretter trekke fra de 3 trekantene(A2) omkring den indre trekanten. Disse tre har hjørne markert med 60º i blå farge på figuren over.

$\displaystyle A1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin 60^{\circ}$

$\displaystyle A1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\displaystyle A1 = \frac{\sqrt{3}}{4}$

$\displaystyle A2 = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin 60^{\circ}$

$\displaystyle A2 = \frac{3}{8} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\displaystyle A2 = \frac{3 \sqrt{3}}{16}$

Arealet av den indre trekanten blir dermed:

$\displaystyle A = A1 - A2$

$\displaystyle A = \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{3 \sqrt{3}}{16}$

$\displaystyle A = \frac{4 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{16}$

$\displaystyle A = \frac{\sqrt{3}}{16}$

OPPGAVE 97 – DIVISJON

(x – a) er faktor i x² + 2ax – 3. Med dette menes at divisjonen

$\displaystyle \frac{(x^2 + 2ax - 3)}{(x - a)}$

skal gå opp. Finn verdiene til a

$\displaystyle \underline{(x^2 + 2ax - 3)} : (x - a) = x + 3a$

$\displaystyle - (x^2 - ax)$

$\displaystyle \underline{= 3ax - 3}$

$\displaystyle - (3ax - 3a^2)$

$\displaystyle = 3a^2 - 3$

For at divisjonen skal gå opp må resten

$\displaystyle 3a^2 - 3 = 0$

$\displaystyle a^2 - 1 = 0$

$\displaystyle a^2 = 1$

$\displaystyle a = \pm 1$

Svar: a = -1 eller a = 1

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 98 – RENTER PÅ KONTO

Jon setter inn 10.000 kr i banken 1.januar 2005, og lar dette stå til 1.januar 2008 uten noen flere innskudd eller uttak. Renten er hele tiden 5 % årlig.

A) Hvor mye står det på kontoen 1.januar 2006?

B) Hva er beløpet vokst til 1.januar 2008?

Neste artikkel kommer i juni. Løsningsforslag til mattenøttene legges alltid ut i neste innlegg(neste måned). Hilsen erty56.

PÅSKENØTTER 21. april 2017

Posted by erty56 in Matematikk, Moderne Fysikk, quiz og grublerier.
1 comment so far

Hei igjen!

Her kommer noen nye mattenøtter:

OPPGAVE 94 – ENKEL TALLREKKE

Gitt tallene 49, 25, 64, 16, 11, 36 og 81. Et av tallene hører ikke hjemme blant de andre. Hvilket er det?

OPPGAVE 95 – ENKEL ALGEBRA II

Finnes det to tall w og z slik at

$\displaystyle w - z = 5 \indent og \indent \frac{w}{z} = 5$

Hva er isåfall w og z?

OPPGAVE 96 – TREKANTER III

En likesidet trekant er innskrevet oppned i en annen likesidet trekant med sider lik 1. Den indre trekanten skjærer den store midt på hver side. Hva er arealet av den indre trekanten?

OPPGAVE 97 – DIVISJON

(x – a) er faktor i x² + 2ax – 3. Med dette menes at divisjonen

$\displaystyle \frac{(x^2 + 2ax - 3)}{(x - a)}$

skal gå opp. Finn verdiene til a.

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 93 – FINN HØYDEN

En ball kastes oppover med startfarten $v_0 = 10 m/s$ . Etter hvor mange sekunder er ballen nede på bakken igjen? (Tips: man kan bruke en enkel formel fra mekanikk: $h = v_0 t - \frac{1}{2} gt^2$ , der h er høyden, t er tiden og $g= 9,81 m/s^2$ er tyngdens akselerasjon).

h = 0 gir t ved kast og ballen nede på bakken igjen

$\displaystyle h = v_0 t - \frac{1}{2} gt^2 = 0$

$\displaystyle 10 \cdot t - \frac{1}{2} \cdot 9,81 \cdot t^2 = 0$

$\displaystyle -4,905t^2 + 10t = 0$

$\displaystyle t^2 - 2,038736t = 0$

$\displaystyle t (t - 2,038736) = 0$

$\displaystyle t = 0 \indent \vee \indent t = 2,038736 \approx 2,04$

Svar: Ballen er nede på bakken igjen etter ca. 2,04 sekunder.

Neste artikkel kommer i mai. Løsningsforslag til mattenøttene legges alltid ut i neste innlegg(neste måned). Hilsen erty56.

ANNENGRADSLIGNINGER OG PARABELEN 30. mars 2017

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
2 comments

Hei igjen!

Dagens artikkel omhandler annengradsligninger, og deres grafer parabler.

I. Annengradsligninger

I.1 Abc-formelen

En annengradsligning er generelt gitt på formen

$\displaystyle ax^2 + bx + c = 0$

der a, b og c er vilkårlige tall, men $a \neq 0$

Utledning av abc-formelen:

$\displaystyle ax^2 + bx + c = 0$

$\displaystyle \frac{ax^2}{a} +\frac{bx}{a} + \frac{c}{a} = \frac{0}{a}$

$\displaystyle x^2 +\frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$

$\displaystyle x^2 +\frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$

Man lager et fullstendig kvadrat:

$\displaystyle (x + \frac{b}{2a})^2 = -\frac{c}{a} + (\frac{b}{2a})^2$

$\displaystyle (x + \frac{b}{2a})^2 = -\frac{4a \cdot c}{4a \cdot a} + \frac{b^2}{4a^2}$

$\displaystyle (x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$

Man trekker ut kvadratroten på begge sider:

$\displaystyle \sqrt{(x + \frac{b}{2a})^2} = \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}$

$\displaystyle (x + \frac{b}{2a}) = \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}$

$\displaystyle x = - \frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$\displaystyle x = \frac {-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ (abc-formelen)

Diskriminanten $b^2 - 4ac$ avgjør løsningene

$\displaystyle b^2 - 4ac < 0 \Rightarrow$ ingen løsning (*)

$\displaystyle b^2 - 4ac = 0 \Rightarrow$ en løsning

$\displaystyle b^2 - 4ac > 0 \Rightarrow$ to løsninger

De to løsningene er

$\displaystyle x = \frac {-b +\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \indent \vee \indent x = \frac {-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

(*) Dette skyldes at man ikke kan trekke ut kvadratroten av negative tall.

I.2 Eksempel

Gitt

$\displaystyle x^2 - 3x + 2 = 0$

Her er $a = 1, b = -3$ og $c = 2$ .

Algoritmen for løsningen er akkurat den samme som utledningen av abc-formelen:

$\displaystyle x^2 - 3x + 2 = 0$

$\displaystyle x^2 - 3x = -2$

Man lager et fullstendig kvadrat:

$\displaystyle (x - \frac{3}{2})^2 = -2 + (-\frac{3}{2})^2$

$\displaystyle (x - \frac{3}{2})^2 = -2 + 2 \frac{1}{4}$

$\displaystyle (x - \frac{3}{2})^2 = \frac{1}{4}$

Man trekker ut kvadratroten på begge sider:

$\displaystyle \sqrt{(x - \frac{3}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4}}$

$\displaystyle (x - \frac{3}{2}) = \pm \frac{1}{2}$

$\displaystyle x = \frac{3}{2} \pm \frac{1}{2}$

$\displaystyle x = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2 \indent \vee \indent x = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1$

II. Parabelen

Annengradsfunksjoner kalles parabler.

Parabler er grafiske fremstillinger av annengradsligninger. Gitt ved

$\displaystyle f(x) = ax^2 + bx + c$

der a, b og c er vilkårlige tall, men $a \neq 0$

Illustrasjon av parabler

Dersom $a > 0 \Rightarrow$ Grafen har bunnpunkt

Dersom $a < 0 \Rightarrow$ Grafen har toppunkt

Langs x-aksen er y=0. Ved å beregne

$\displaystyle y = f(x) = ax^2 + bx + c = 0$

finner man grafens skjæringspunkter med x-aksen. Dette gir selvsagt det samme svaret som abc-formelen:

$\displaystyle x = \frac {-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Man vil ha følgende:

$\displaystyle b^2 - 4ac < 0 \Rightarrow$ ingen skjæringspunkter med x-aksen

$\displaystyle b^2 - 4ac = 0 \Rightarrow$ et skjæringspunkt med x-aksen

$\displaystyle b^2 - 4ac > 0 \Rightarrow$ to skjæringspunkter med x-aksen

En parabel har alltid en symmetrilinje. Denne finnes ved å beregne gjennomsnittet av de to generelle løsningene i abc-formelen:

$x_{sym} = \frac {\frac {-b +\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} + \frac {-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}}{2} = -\frac{b}{2a}$

Dette gjelder uansett, også når diskriminanten er negativ (blir borte i regnestykket). En parabel ligger altså alltid symmetrisk om symmetrilinjen $x_{sym}$ .

Langs y-aksen er x=0. Ved å beregne

$\displaystyle f(0) = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = c$

finner man grafens skjæringspunkt med y-aksen. En parabel $f(x) = ax^2 + bx + c$ skjærer altså alltid y-aksen ved c.

III. Komplekse røtter

III.1 Teori

En rot (eller flere røtter) er en betegnelse på en løsning av en ligning. I I. Annengradsligninger med utledning av abc-formelen arbeidet vi innenfor det reelle tallsystemet . Reelle tall er alle vanlige tall langs tallinjen. Illustrasjon:

Kvadratroten av negative tall er ikke definert innenfor det reelle tallsystemet.

Man kan utvide til det komplekse tallsystemet, der kvadratroten til negative tall også er definert. Da vil også annengradsligninger med

$\displaystyle b^2 - 4ac < 0$

ha løsninger. Et komplekst tall er et tall på formen

$\displaystyle z = x + iy$

der x og y er reelle tall og $i = \sqrt{-1}$

Et komplekst tall vil ligge i et plan istedenfor langs en linje:

Realdelen (x) til z ligger langs førsteaksen og imaginærdelen (y) til z ligger langs annenaksen.

Punktet (a , b) på figuren er en geometrisk fremstilling av tallet a + ib

En grafisk fremstilling av annengradsfunksjoner der $b^2 - 4ac < 0$ :

Parabelen vil enten ha bunnpunkt over x-aksen (a > 0), eller toppunkt under x-aksen (a < 0) . I begge tilfeller ingen skjæringspunkter med x-aksen. Her har vi altså ingen reelle løsninger av

$\displaystyle y = f(x) = ax^2 + bx + c = 0$

Man har derimot de komplekse løsningene:

$\displaystyle x = \frac {-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$\displaystyle x = \frac {-b \pm \sqrt{-1 \cdot (-(b^2 - 4ac))}}{2a}$

$\displaystyle x = \frac {-b \pm \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-(b^2 - 4ac)}}{2a}$

$\displaystyle x = \frac {-b \pm i \sqrt{-(b^2 - 4ac)}}{2a}$

$\displaystyle x = \frac {-b + i \sqrt{-(b^2 - 4ac)}}{2a} \indent \vee \indent x = \frac {-b - i \sqrt{-(b^2 - 4ac)}}{2a}$

Antall komplekse løsninger av ligninger opptrer alltid i par, dvs. de må være 0, 2, 4, osv.

En annengradsligning vil derfor alltid ha en av følgende løsninger basert på diskriminanten $b^2 - 4ac$ :

$\displaystyle b^2 - 4ac < 0 \Rightarrow$ ingen reelle løsninger og to komplekse løsninger

$\displaystyle b^2 - 4ac = 0 \Rightarrow$ en reell løsning (en dobbeltrot)

$\displaystyle b^2 - 4ac > 0 \Rightarrow$ to reelle løsninger

III.2 Eksempel

Gitt

$\displaystyle x^2 - 2x + 2 = 0$

Denne gangen sløyfer jeg utregningen, og setter $a = 1, b = -2$ og $c=2$ inn i abc-formelen:

$\displaystyle x = \frac {-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ (abc-formelen, (*))

$\displaystyle x = \frac {- (-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

$\displaystyle x = \frac {2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2}$

$\displaystyle x = \frac {2 \pm \sqrt{-4}}{2}$

$\displaystyle x = \frac {2 \pm \sqrt{-1 \cdot 4}}{2}$

$\displaystyle x = \frac {2 \pm \sqrt{-1} \sqrt{4}}{2}$

$\displaystyle x = \frac {2 \pm i \cdot 2}{2}$

$\displaystyle x = 1 \pm i$

$\displaystyle x = 1 + i \indent \vee \indent x = 1 - i$

(*) Utregningen ender uansett opp med abc-formelen.

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 93 – FINN HØYDEN

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 92 – ENKLE TALLREKKER

A) Hvilket tall x mangler i rekke nr.2 ?

1, 2, 3, 4, 5, 6

1, 4, 9, x , 25, 36

Tallene i rekke nr.2 er kvadratet av tallene i rekke nr.1, altså 4² = 16

Svar: x = 16

B) Hvilket tall x mangler til sist i denne rekken?

1, 2, 3, 5, 7, x

Dette er de første primtallene. Primtall er tall som bare er delelig med 1 og seg selv: 1, 2, 3, 5, 7, 11

Svar: x = 11

Neste artikkel kommer i april. Løsningsforslag til mattenøttene legges alltid ut i neste innlegg(neste måned). Hilsen erty56.

Artikkelen kan lastes ned som pdf-fil her:

ANNENGRADSLIGNINGER OG PARABELEN

STATISTIKK – STØRRELSER 26. februar 2017

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Dagens innlegg omhandler noen få, enkle statistiske størrelser. Deretter en ny mattenøtt og løsningsforslag til forrige måneds mattenøtt.

Gitt at vi har et tallmateriale med n observasjoner. Absolutt hyppighet h(x) er hvor mange ganger denne x forekommer i tallmaterialet. Relativ hyppighet er definert

$\displaystyle r(x) = \frac{h(x)}{n}$

Relativ hyppighet er ekvivalent med prosent ved:

$\displaystyle r(x)\in[0 , 1] \indent \Leftrightarrow \indent p \% \in [0 , 100] \%$

r(x) = 0,15 gir 15 %, r(x) = 0,37 gir 37 % osv.

Gitt at man har n tall: $\displaystyle x_1, x_2, ... , x_n$ Gjennomsnitt er definert:

$\displaystyle \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}$

Dette er det aritmetiske gjennomsnittet. For mer om forskjellige typer gjennomsnitt osv., se:

FØLGER, REKKER OG GJENNOMSNITT

Dersom man ordner n observasjoner etter størrelse, er medianen den midterste observasjonen ved n lik et oddetall. Ved n er et partall er medianen gjennomsnittet av de to midterste observasjonene.

Gitt de ni første naturlige tallene:

$\displaystyle 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$

$\displaystyle Md = 5$

Md er forkortelse for median.

Gitt tallene

$\displaystyle 2, 6, 8, 4, 10, 14$

må man først ordne de etter størrelse:

$\displaystyle 2, 4, 6, 8, 10, 14$

$\displaystyle Md = \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7$

Et typetall for et tallmateriale er den observasjonsverdien som har størst hyppighet.

Gitt tallmateriale

$\displaystyle 2, 4, 2, 3, 4, 2, 3, 2, 3$

Typetallet er 2 (forekommer 4 ganger, mens 3 forekommer 3 ganger og 4 forekommer 2 ganger).

Den kumulerte hyppigheten for en observasjonsverdi x er summen av hyppighetene for de observasjonsverdiene som er mindre enn eller lik x.

Variasjonsbredden for et tallmateriale er differensen mellom største og minste observasjonsverdi.

Kvartilbredden for et tallmateriale er differensen mellom tredje kvartil (Q3) og første kvartil (Q1). Q1 er observasjon nr. n/4 og Q3 er observasjon nr. 3n/4. (Dersom n ikke er delelig med 4, må man forhøye n/4 og 3n/4 opp til nærmeste hele tall).

Kvartiler, densiler og prosentiler er fraktiler. Kvartiler deler et tallmateriale i fire deler. Densiler deler et tallmateriale i ti deler. Prosentiler deler et tallmateriale i hundre deler.

Dette er et lite utdrag fra en bok jeg har skrevet:

MATEMATIKKLEKSIKON FOR VIDEREGÅENDE SKOLE

Her finner man også alle andre emner innen den videregående skoles matematikk. Ved å trykke på lenken vil man få opp oversikt over bokens kapitler og noe generell omtale, samt mulighet til å bestille boken.

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 92 – ENKLE TALLREKKER

A) Hvilket tall x mangler i rekke nr.2 ?

1, 2, 3, 4, 5, 6

1, 4, 9, x , 25, 36

B) Hvilket tall x mangler til sist i denne rekken?

1, 2, 3, 5, 7, x

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 91 – REGNING MED FORHOLD

Anne skal blande to kaffesorter I og II. I koster 50 kr/kg. og II koster 70 kr/kg. Av disse vil hun lage en blanding på 10 kg., slik at prisen blir 63 kr/kg. Hvor mye må Anne bruke av hhv. I og II ?

$\displaystyle 50x + 70(10 - x) = 63 \cdot 10$

$\displaystyle 50x + 700 - 70x = 630$

$\displaystyle - 20x = -70$

$\displaystyle x = 3,5$

$\displaystyle 10 - x = 10 - 3,5 = 6,5$

Svar: 3,5 kg. av I og 6,5 kg. av II

Løsningsforslag til mattenøttene legges alltid ut i neste innlegg(neste måned). Hilsen erty56.

JULENØTTER 2016 – FASIT 21. januar 2017

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer løsningsforslag til julenøtter 2016:

JULENØTTER 2016

OPPGAVE 85 – ALDER TIL FAR OG DATTER

Eva er 8 år gammel og faren hennes er 31 år. Et visst antall år frem i tid er faren dobbelt så gammel som henne. Hvor mange år blir Eva da?

Kaller et visst antall år for x. Kaller da alder til Eva for y og faren for 2y (dobbelt så gammel):

$\displaystyle 8 + x = y$

$\displaystyle 31 + x = 2y$

$\displaystyle 31 + x = 2(8 + x)$

$\displaystyle 31 + x = 16 + 2x$

$\displaystyle x = 15$

$\displaystyle y = 8 + x = 8 + 15 = 23$

Svar: 23 år

OPPGAVE 86 – EN BRØK

$\displaystyle x = 3y \indent og \indent y = 4z$

Hva blir

$\displaystyle \frac{x^2 + y^2 + z^2}{yz}$

$\displaystyle x = 3y = 3(4z) = 12z$

$\displaystyle \frac{x^2 + y^2 + z^2}{yz} = \frac{(12z)^2 + (4z)^2 + z^2}{4z z}$

$\displaystyle \frac{x^2 + y^2 + z^2}{yz} = \frac{144 z^2 + 16z^2 + z^2}{4z^2}$

$\displaystyle \frac{x^2 + y^2 + z^2}{yz} = \frac{161 z^2}{4 z^2} = 40,25$

OPPGAVE 87 – BOKTRYKKERIET

Et trykkeri trykker opp en bok. Trykkemaskinen bruker 1.896 siffer for å angi sidetallene på hver bok. Hvor mange sider er det i denne boken?

Sidene 1-9 har et siffer for å angi sidetallet, sidene 10-99 har to siffer, og sidene f.o.m. 100 har tre siffer.

$\displaystyle 1-9 \indent 9 \cdot 1 = 9$

$\displaystyle 10-99 \indent 90 \cdot 2 = 180$

$\displaystyle 1.896 - (9 + 180) = 1.707$

$\displaystyle \frac{1.707}{3} = 569 (sider)$

Svar: 99 sider + 569 sider = 668 sider

OPPGAVE 88 – ENKEL GEOMETRI-NØTT

Her følger en figur der lengdene av halvsirklene er angitt ved hhv. L=12 π for den store halvsirkelen og L = 6 π for de to små.

Hva blir arealet av det fargede(lilla) området på figuren?

OPPGAVE 89 – UKEPENGER

Per og far har en krangel om ukelønnen i uke 1. Per vil ha 100 kr i uken, men faren nekter å gi mer enn 40 kr. Per er et hakk skarpere enn faren når det kommer til tall. Han foreslår at faren skal gi ham 1 kr i uke 1, 2 kr i uke 2, 4 kr i uke 3, osv (altså doble beløpet hver uke). Far tenker at dette kan ikke bli rare kronene, og går med på forslaget. Hvor mye må faren gi Per innen året er omme, altså i løpet av 52 uker?

1 + 2 + 4 + … osv. er en geometrisk rekke med kvotient 2:

$\displaystyle 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^{51}$

Summen blir:

$\displaystyle\sum_{i=0}^{51} 2^i = \frac{1(2^{52} - 1)}{2 - 1} = 2^{52} - 1$

$\displaystyle\sum_{i=0}^{51} 2^i = 4.503.599.627.370.495$

Formelen for summen er generelt gitt ved:

$\displaystyle a_1 \sum_{i=0}^{n-1} k^i = a_1 \frac{(k^n - 1)}{k - 1}$

med kvotient k og første ledd $a_1$

OPPGAVE 90 – NOE VANSKELIG GEOMETRI-NØTT

P deler AD i 2 like deler (AP=PD). AB = 9, BC = 8, DC = 7. Hva blir arealet av firkanten APQB (lilla farge på figuren) ?

Man finner først arealet av hele firkanten ABCD, og trekker deretter fra arealet til firkanten CDPQ. Ny skisse:

Arealet til hele firkanten blir:

$A_1 = 8 \cdot 7 + \frac{2 \cdot 8}{2} = 56 + 8 = 64$

Deretter arealet til firkanten CDPQ ved:

$8^2 + 2^2 = AD^2$

$AD^2 = 68$

$AD = \sqrt{68}$

$z = PD = \frac{AD}{2} = \frac {\sqrt{68}}{2} = \sqrt{17}$

$tan \alpha = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

$\alpha = 14,036243^{\circ}$

$\alpha + \beta + 90^{\circ} = 180^{\circ}$

$\beta = 90^{\circ} - \alpha$

$\beta + 90^{\circ} + \gamma = 180^{\circ}$

$\gamma = 90^{\circ} - \beta = 90^{\circ} - (90^{\circ} - \alpha) = \alpha$

$tan \gamma = \frac{x}{7}$

$x = 7 \cdot tan \gamma = 7 \cdot tan \alpha = 7 \cdot \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$

$cos \alpha = \frac{z}{y} = \frac{\sqrt{17}}{y}$

$y = \frac {\sqrt{17}}{cos \alpha}$

Arealet til firkanten CDPQ blir:

$A_2 = \frac{1}{2} sin \alpha \cdot z \cdot y + 7 \cdot y + \frac{x \cdot 7}{2}$

$A_2 = \frac{1}{2} sin \alpha \cdot \sqrt{17} \cdot \frac{\sqrt{17}}{cos \alpha} + 7 \cdot \frac{\sqrt{17}}{cos \alpha} + \frac{\frac{7}{4} \cdot 7}{2}$

$A_2 = \frac{1}{2} tan \alpha \cdot 17 + \frac{7 \cdot \sqrt{17}}{cos 14,036243^{\circ}} + \frac{49}{8}$

$A_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot 17 + 29,75 + 6,125$

$A_2 = 2,125 + 29,75 + 6,125 = 38$

Arealet av firkanten APQB blir dermed:

$A = A_1 - A_2 = 64 - 38 = 26$

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 91 – REGNING MED FORHOLD

Løsningsforslag til mattenøttene legges alltid ut i neste innlegg(neste måned). Hilsen erty56.

JULENØTTER 2016 18. desember 2016

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
1 comment so far

Hei igjen!

Her kommer noen nye matematiske quiz og grublerier i form av seks oppgaver:

OPPGAVE 85 – ALDER TIL FAR OG DATTER

Eva er 8 år gammel og faren hennes er 31 år. Et visst antall år frem i tid er faren dobbelt så gammel som henne. Hvor mange år blir Eva da?

OPPGAVE 86 – EN BRØK

$\displaystyle x = 3y \indent og \indent y = 4z$

Hva blir

$\displaystyle \frac{x^2 + y^2 + z^2}{yz}$

OPPGAVE 87 – BOKTRYKKERIET

Et trykkeri trykker opp en bok. Trykkemaskinen bruker 1.896 siffer for å angi sidetallene på hver bok. Hvor mange sider er det i denne boken?

OPPGAVE 88 – ENKEL GEOMETRI-NØTT

Her følger en figur der lengdene av halvsirklene er angitt ved hhv. L=12 π for den store halvsirkelen og L = 6 π for de to små.

Hva blir arealet av det fargede(lilla) området på figuren?

OPPGAVE 89 – UKEPENGER

OPPGAVE 90 – NOE VANSKELIG GEOMETRI-NØTT

P deler AD i 2 like deler (AP=PD). AB = 9, BC = 8, DC = 7. Hva blir arealet av firkanten APQB (lilla farge på figuren) ?

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 84 – FUNKSJON

Gitt

$\displaystyle f(x) = \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}$

A) Vis at f(-2) = f(2)

$\displaystyle f(-2) = \frac{(-2+2)(-2-2)}{(-2)^2} = \frac{0(-4)}{4} = 0$

$\displaystyle f(2) = \frac{(2+2)(2-2)}{2^2} = \frac{4 \cdot 0}{4} = 0$

$\displaystyle f(-2) = f(2) = 0$

B) For hvilke a er f(-a)=f(a)?

$\displaystyle f(-a) = f(a)$

$\displaystyle \frac{(-a+2)(-a-2)}{(-a)^2}= \frac{(a+2)(a-2)}{a^2}$

$\displaystyle \frac{(a^2 + 2a - 2a -4)}{a^2}= \frac{(a^2 - 2a + 2a - 4)}{a^2}$

$\displaystyle \frac{a^2 - 4}{a^2}= \frac{a^2 - 4}{a^2}$

$\displaystyle \frac{0}{a^2}= 0$

Konklusjon: $a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$

Løsningsforslag til julenøttene (OPPGAVE 85-90) blir lagt ut her på Realfagshjørnet i januar. God jul og godt nyttår! Hilsen erty56.

PYTAGORAS SETNING 26. november 2016

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her følger to enkle måter å vise pytagoras setning på. Deretter et bevis ved hjelp av vektorregning.

Pytagoras setning sier at

$a^2 + b^2 = c^2$

for en rettvinklet trekant (en trekant med en vinkel på 90 grader).

I. Klassisk geometri I

Man tar utgangspunkt i figuren under.

Arealet av de fire trekantene pluss arealet av den lille firkanten i midten, er det samme som arealet av hele firkanten.

$\frac{a \cdot b}{2} \cdot 4 + c^2 = (a + b)^2$

$2ab + c^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$c^2 = a^2 + b^2$

$a^2 + b^2 = c^2$

gg

II. Klassisk geometri II

Man tar utgangspunkt i figuren under.

Arealet av firkanten er lik arealet av de fire trekantene og den lille firkanten i midten. Trekantene har kateter a og b og hypotenus c. Den lille firkanten har sider (a – b)

$c^2 = 4 \frac{ab}{2} + (a - b)^2$

$c^2 = 2 ab + a^2 - 2ab + b^2$

$c^2 = a^2 + b^2$

$a^2 + b^2 = c^2$

III. Bevis ved analytisk geometri

Den tredje måten er noe mer innfløkt, og bruker vektorregning. En vektor er et linjestykke med retning. Man legger to vektorer vinkelrett på hverandre i et koordinatsystem:

$\vec{v} = [a , b]$

$\vec{u} = [c , d]$

Man ønsker å vise pytagoras setning for trekanten bestående av de tre blå linjene. Dvs:

$\mid\vec{v} \mid ^2 + \mid\vec{u} \mid ^2 = \mid \vec{v} - \vec{u} \mid ^2$

Lengden til en vektor er definert:

$\mid \vec{v} \mid = \sqrt{x^2 + y^2}$

Man finner kvadratet av lengdene:

$\mid\vec{v} \mid ^2 = \sqrt{a^2 + b^2}^2 = a^2 + b^2$

$\mid\vec{u} \mid ^2 = \sqrt{c^2 + d^2}^2 = c^2 + d^2$

Vektoren $\vec{v}- \vec{u}$ er

$\vec{v} -\vec{u} = [a - c , b - d]$

Kvadratet av lengden til $\vec{v} - \vec{u}$ er

$\mid\vec{v} - \vec{u} \mid ^2 = \sqrt{(a - c)^2 + (b - d)^2}^2$

$\mid \vec{v} - \vec{u} \mid ^2 = (a - c)^2 + (b - d)^2$

$\mid \vec{v} - \vec{u} \mid ^2 = a^2 - 2ac + c^2 + b^2 - 2bd + d^2$

$\mid \vec{v} - \vec{u} \mid ^2 = a^2 + c^2 + b^2 + d^2 - 2(ac + bd)$

Skalarproduktet til to vektorer er definert

$\vec{v} \cdot\vec{u} = \mid \vec{v} \mid\cdot \mid \vec{u} \mid \cdot cos \alpha$

der $\alpha$ er vinkelen mellom $\vec{v}$ og $\vec{u}$

$\vec{v} \cdot\vec{u} = [a , b] \cdot [c , d] = \sqrt{a^2 + b^2}\cdot \sqrt{c^2 + d^2}\cdot \cos 90^{\circ} = 0$

$ac + bd = 0$

Dermed blir

$\mid \vec{v}- \vec{u} \mid ^2 = a^2 + c^2 + b^2 + d^2 - 2(ac + bd) = a^2 + c^2 + b^2 + d^2$

Man har nå vist at

$\mid \vec{v} \mid ^2 = a^2 + b^2$

$\mid \vec{u} \mid ^2 = c^2 + d^2$

$\mid \vec{v} - \vec{u} \mid ^2 = a^2 + c^2 + b^2 + d^2$

Altså er

$\mid\vec{v} \mid ^2 + \mid\vec{u} \mid ^2 = \mid \vec{v} - \vec{u} \mid ^2$

Det finnes en rekke flere måter å illustrere eller bevise pytagoras setning på. Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 84 – FUNKSJON

Gitt

$f(x) = \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}$

A) Vis at f(-2) = f(2)

B) For hvilke a er f(-a)=f(a)?

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds mattenøtt:

OPPGAVE 83 – STØRSTE OG MINSTE TALL

A) Gitt 5 tall:

$\frac{\pi}{2},\indent \sqrt{\frac{\pi^2}{4}},\indent\frac{\pi}{3},\indent \frac{\pi}{4} \indent \sqrt{\frac{\pi^2}{9}}$

Hvilket er minst?

$\sqrt\frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi}{2}$

$\sqrt{\frac{\pi^2}{9}} = \frac{\pi}{3}$

$\frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}$

Svar: $\frac{\pi}{4}$ er minst.

B) Gitt 6 tall:

$9^6 ,\indent 2^{20},\indent 3^{12},\indent 16^5, \indent9^7,\indent 4^{10}$

Hvilket er størst?

$9^6 = (3^2)^6 = 3^{12}$

$9^7 = (3^2)^7 = 3^{14}$

$16^5 = (2^4)^5 = 2^{20}$

$4^{10} = (2^2)^{10} = 2^{20}$

$3^{14} > 2^{20} > 3^{12}$

Svar: $9^7$ er størst

Neste artikkel kommer i desember. Hilsen erty56.

« older posts

Realfagshjørnet

MATTENØTT NR.122 17. juni 2018

MATTENØTT NR.121 23. mai 2018

PÅSKENØTTER 2018 – FASIT 20. april 2018

PÅSKENØTTER 2018 27. mars 2018

MATTENØTT NR.114 25. februar 2018

JULENØTTER 2017 – FASIT 16. januar 2018

JULENØTTER 2017 12. desember 2017

MATTENØTT NR.106 25. november 2017

NY MATTENØTT 25. oktober 2017

EPSILON-DELTA METODEN 14. september 2017

1 Innledning

2 Formell definisjon

\

3 Eksempel

NY MATTENØTT + FASIT OPPGAVE 102 23. august 2017

SOMMERQUIZ – NYE MATTENØTTER – FASIT 19. juli 2017

SOMMERQUIZ – NYE MATTENØTTER 23. juni 2017

PÅSKENØTTER – FASIT 15. mai 2017

PÅSKENØTTER 21. april 2017

ANNENGRADSLIGNINGER OG PARABELEN 30. mars 2017

I. Annengradsligninger

I.1 Abc-formelen

I.2 Eksempel

II. Parabelen

III. Komplekse røtter

III.1 Teori

III.2 Eksempel

STATISTIKK – STØRRELSER 26. februar 2017

JULENØTTER 2016 – FASIT 21. januar 2017

JULENØTTER 2016 18. desember 2016

PYTAGORAS SETNING 26. november 2016

I. Klassisk geometri I

gg

II. Klassisk geometri II

III. Bevis ved analytisk geometri

Kategorier

Arkiv

Feeds

Realfagshjørnet

MATTENØTT NR.122 17. juni 2018

Share this:

Lik dette:

MATTENØTT NR.121 23. mai 2018

Share this:

Lik dette:

PÅSKENØTTER 2018 – FASIT 20. april 2018

Share this:

Lik dette:

PÅSKENØTTER 2018 27. mars 2018

Share this:

Lik dette:

MATTENØTT NR.114 25. februar 2018

Share this:

Lik dette:

JULENØTTER 2017 – FASIT 16. januar 2018

Share this:

Lik dette:

JULENØTTER 2017 12. desember 2017

Share this:

Lik dette:

MATTENØTT NR.106 25. november 2017

Share this:

Lik dette:

NY MATTENØTT 25. oktober 2017

Share this:

Lik dette:

EPSILON-DELTA METODEN 14. september 2017

1 Innledning

2 Formell definisjon

\

3 Eksempel

Share this:

Lik dette:

NY MATTENØTT + FASIT OPPGAVE 102 23. august 2017

Share this:

Lik dette:

SOMMERQUIZ – NYE MATTENØTTER – FASIT 19. juli 2017

Share this:

Lik dette:

SOMMERQUIZ – NYE MATTENØTTER 23. juni 2017

Share this:

Lik dette:

PÅSKENØTTER – FASIT 15. mai 2017

Share this:

Lik dette:

PÅSKENØTTER 21. april 2017

Share this:

Lik dette:

ANNENGRADSLIGNINGER OG PARABELEN 30. mars 2017

I. Annengradsligninger

I.1 Abc-formelen

I.2 Eksempel

II. Parabelen

III. Komplekse røtter

III.1 Teori

III.2 Eksempel

Share this:

Lik dette:

STATISTIKK – STØRRELSER 26. februar 2017

Share this:

Lik dette:

JULENØTTER 2016 – FASIT 21. januar 2017

Share this:

Lik dette:

JULENØTTER 2016 18. desember 2016

Share this:

Lik dette:

PYTAGORAS SETNING 26. november 2016

I. Klassisk geometri I

gg

II. Klassisk geometri II

III. Bevis ved analytisk geometri

Share this:

Lik dette:

Kategorier

Arkiv

Blogroll

Feeds