jump to navigation

EPSILON-DELTA METODEN 14. september 2017

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Grenseverdier kan regnes ut ved regneoperasjoner. Man kan også bevise at disse verdiene er riktig ved \epsilon-\delta metoden. \epsilon er den greske bokstaven epsilon, og \delta den greske bokstaven delta.

 

Innledning

Gitt følgen a_{n} = \frac{1}{n}. Man skal finne hvor nært følgen er \frac{1}{50} med en sikkerhet på \frac{1}{100}.

\displaystyle \mid \frac{1}{n} - \frac{1}{50} \mid < \frac{1}{100}

 

\displaystyle -\frac{1}{100} < \frac{1}{n} - \frac{1}{50} < \frac{1}{100}

 

\displaystyle \frac{1}{n} - \frac{1}{50} + \frac{1}{100} > 0 \indent \wedge \indent \frac{1}{n} - \frac{1}{50} - \frac{1}{100} < 0

 

\displaystyle\frac{1}{n} + \frac{-2 + 1}{100} > 0 \indent \wedge \indent \frac{1}{n} + \frac{-2 -1}{100} < 0

 

\displaystyle\frac{1}{n} + \frac{-1}{100} > 0 \indent \wedge \indent \frac{1}{n} + \frac{-3}{100} < 0

 

\displaystyle \frac{100 - n}{100n} > 0 \indent \wedge \indent \frac{100 - 3n}{100n} < 0

 

\displaystyle 1. \indent 100 - n = 0 \indent \textrm{og} \indent 100n = 0

 

\displaystyle n = 100 \indent \textrm{og} \indent n = 0

 

 

 

 

 

 

 

\displaystyle \frac{100 - n}{100n} > 0

\displaystyle \Downarrow

\displaystyle n \in <0 , 100>

 

\displaystyle 2. \indent 100 - 3n = 0 \indent \textrm{og} \indent 100n = 0

 

\displaystyle n = 100/3 \indent \textrm{og} \indent n = 0

 

 

 

 

 

 

 

\displaystyle \frac{100 - 3n}{100n} < 0

\displaystyle\Downarrow

\displaystyle n \in <\gets , 0> \cup <100/3 , \to>

 

Snittet av 1., 2. og alle naturlige tall blir

 

\displaystyle n \in <0 , 100> \indent \wedge \indent n \in <\gets , 0> \cup <100/3 , \to>

\displaystyle \wedge \indent n \in \mathbb{N}

\displaystyle\Downarrow

\displaystyle n \in <100/3 , 100> \indent \wedge \indent n \in \mathbb{N}

\displaystyle \Downarrow

\displaystyle\lbrace n \in \mathbb{N} \mid 100/3 < n < 100 \rbrace

 

Altså alle naturlige tall f.o.m. 34 og t.o.m. 99 gir svaret med en sikkerhet på \frac{1}{100}

 

Formell definisjon

a_n konvergerer mot a dersom

\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = a

Dette kan regnes ut ved regneoperasjoner. En mer formell definisjon er:

a_{n} konvergerer mot a dersom det for ethvert reelt tall \epsilon > 0, finnes et tall \delta > 0 slik at

\displaystyle\mid a_{n} - a \mid < \epsilon \indent \textrm{dersom} \indent n > \delta \indent (\ast)

 

Dette innebærer at

\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = a

 

\epsilon må ikke være et bestemt tall. Vanligvis setter man \epsilon mindre eller lik 1. Men det kan være ethvert positivt reelt tall. \epsilon sier noe om hvor nært a_{n} ligger a.

\displaystyle\mid a_{n} - a \mid = \mid a - a_{n} \mid

Så jo mindre \epsilon er, jo nærmere ligger a_{n} og a. Det er en sammenheng mellom \epsilon og \delta. Høyere \delta (økende mot uendelig) gir lavere \epsilon. Ifølge definisjonen er \delta et reelt tall. Men for følger a_{n} er n et naturlig tall \mathbb{N}. Så man kan innskrenke seg til kun å se på naturlige tall i både innledningen og 3 Eksempel.

I innledningen hadde vi (\ast) der \epsilon = 1/100 og a = 1/50, men ikke n > \delta (et annet type intervall for n). Altså noe av det samme som (\ast), men ikke helt det samme. Algoritmen for å regne ut intervallet er imidlertid akkurat den samme. Se 3 Eksempel:

\

Eksempel

\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0

 

Ønsker å bevise dette med epsilon-delta metoden. Algoritmen for å vise dette er akkurat den samme som i innledningen.

\displaystyle\mid \frac{1}{n} - 0 \mid < \epsilon

 

\displaystyle  \mid \frac{1}{n} \mid < \epsilon

 

\displaystyle -\epsilon < \frac{1}{n} < \epsilon

 

\displaystyle\frac{1}{n} + \epsilon > 0 \indent \wedge \indent \frac{1}{n} - \epsilon < 0

 

\displaystyle\frac{1 + n\epsilon}{n} > 0 \indent \wedge \indent \frac{1 - n\epsilon}{n} < 0

 

\displaystyle 1. \indent 1 + n\epsilon = 0 \indent \textrm{og} \indent n = 0

 

\displaystyle n = - \frac{1}{\epsilon} \indent \textrm{og} \indent n = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

\displaystyle\frac{1 + n\epsilon}{n} > 0

\displaystyle\Downarrow

\displaystyle n\in <\gets , -1/\epsilon> \cup <0 , \to> 

 

\displaystyle 2. \indent 1 - n\epsilon = 0 \indent \textrm{og} \indent n = 0

\displaystyle n = \frac{1}{\epsilon} \indent \textrm{og} \indent n = 0

 

 

 

 

 

 

 

\displaystyle \frac{1 - n\epsilon}{n} < 0

\displaystyle \Downarrow

\displaystyle n\in <\gets , 0> \cup <1/\epsilon , \to> 

 

Snittet av 1. og 2. og alle naturlige tall blir

 

\displaystyle n\in <\gets , -1/\epsilon> \cup <0 , \to> \indent \wedge \indent n \in <\gets , 0> \cup <1/\epsilon , \to>

\displaystyle \wedge \indent n \in \mathbb{N} 

\displaystyle\Downarrow

\displaystyle  n \in <\gets , -1/\epsilon> \cup <1/\epsilon , \to> \indent \wedge \indent n \in \mathbb{N}

\displaystyle\Downarrow

\displaystyle \lbrace n \in \mathbb{N} \mid n > 1/\epsilon \rbrace

 

Her er \delta = \frac{1}{\epsilon}. Man har altså:

\displaystyle\mid \frac{1}{n} - 0 \mid < \epsilon \indent \textrm{dersom} \indent n > \delta = \frac{1}{\epsilon}

 

Skjema:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Jo mindre \epsilon settes, desto mindre er avstanden mellom \frac{1}{n} og 0. Lavere \epsilon gir økende n. n nærmer seg altså mer og mer uendelig.

 

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds mattenøtt:

OPPGAVE 103 – ENKEL FIGUR

 

 

 

 

 

 

 

En sirkel med areal π er innskrevet i et kvadrat. Hva er arealet av kvadratet? (På figuren er radius anmerket med r).

\displaystyle A = \pi r^2

\displaystyle \pi = \pi r^2

\displaystyle r^2 = 1

\displaystyle r = \pm 1 = 1

En side i kvadratet er s = 2r = 2. Arealet av kvadratet blir:

\displaystyle A = s^2 = 2^2 = 4

 

Til slutt en ny mattenøtt:

OPPGAVE 104 – SANNSYNLIGHETSREGNING II

8 % av alle menn og 0,64 % av alle kvinner er fargeblinde. 10 kvinner og 14 menn deltar i et middagselskap. Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person i selskapet er fargeblind?

 

Neste artikkel kommer i oktober. Hilsen erty56. Artikkelen kan lastes ned som pdf-fil her:

epsilon_delta

Advertisements

NY MATTENØTT + FASIT OPPGAVE 102 23. august 2017

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 102 – TO MENGDER

Man har 2 mengder. Den ene har 50 elementer med gjennomsnittstallet 32. Den andre har 70 elementer med gjennomsnittstallet 53. Dersom man legger sammen mengdene, hva blir det nye (totale) gjennomsnittstallet?

\displaystyle andel_1 \cdot gjennomsnittstall_1 + andel_2 \cdot gjennomsnittstall_2

\displaystyle = \frac{50}{120} \cdot 32 + \frac{70}{120} \cdot 53 = 44,25

 

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 103 – ENKEL FIGUR

 

 

 

 

 

 

 

 

En sirkel med areal π er innskrevet i et kvadrat. Hva er arealet av kvadratet? (På figuren er radius anmerket med r).

 

Totalt er det nå lagt ut 103 mattenøtter her på Realfagshjørnet. Løsningsforslag til mattenøttene legges alltid ut i neste innlegg(neste måned).

Neste artikkel kommer i september. Hilsen erty56.

SOMMERQUIZ – NYE MATTENØTTER – FASIT 19. juli 2017

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

SOMMERQUIZ – NYE MATTENØTTER

 

OPPGAVE 99 – SANNSYNLIGHETSREGNING

I en kommune hadde 85 % av husstandene radio, 75 % hadde TV, og 70 % hadde både radio og TV. Hvor mange prosent hadde hverken TV eller radio?

Tips: Anvend sammenhengen P(radio eller TV) + P(ingen) = 1.

Man kan tegne følgende figur:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P(radio eller TV) + P(ingen) = 1

P(ingen) = 1 – P(radio eller TV)

= 1 – (P(radio) + P(radio og TV) + P(TV))

= 1 – (0,15 + 0,70 + 0,05)

= 1 – 0,90

= 0,10

Svar: 10 % hadde hverken TV eller radio.

 

OPPGAVE 100 – SYSTEM I TALLREKKE

Gitt tallene

16, 39, 85, 177, 361, x

Finn x.

Løsningsmetode 1:

Tallene         16        39      85        177        361             729

Differensen       23       46       92         184         368

Differensen dobles hele tiden

\displaystyle x = 361 + 2 \cdot 184 = 361 + 368 = 729

Løsningsmetode 2:

Alle tall i rekken er 2y + 7, der y er tallet foran

\displaystyle x = 2 \cdot 361 + 7 = 729

 

OPPGAVE 101 – INNSKREVET FIGUR

 

 

 

 

 

 

 

En likesidet trekant er innskrevet i en sirkel med radius r = 1. Hva blir arealet av trekanten?

Denne oppgaven kan løses på mange måter. Her følger to av dem.

Løsningsmetode 1:

Ny illustrasjon:

 

 

 

 

 

 

 

\displaystyle A = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin 120^{\circ}

\displaystyle A = \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}

\displaystyle A = \frac{3 \sqrt{3}}{4}

Løsningsmetode 2:

Ny illustrasjon:

 

 

 

 

 

 

 

I en 30°-60º-90º-trekant er den minste kateten halvparten av hypotenusen, dvs. 1/2 og 1.

\displaystyle x^2 + (\frac{1}{2})^2 = 1^2

\displaystyle x^2 + \frac{1}{4} = 1

\displaystyle x^2 = \frac{3}{4}

\displaystyle x = \frac{\sqrt{3}}{2}

\displaystyle A = \frac{g \cdot h}{2}

\displaystyle A = \frac{2x \cdot (r + \frac{1}{2})}{2}

\displaystyle A = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (1 + \frac{1}{2})}{2}

\displaystyle A = \frac{\sqrt{3} \cdot \frac{3}{2}}{2}

\displaystyle A = \frac{3 \sqrt{3}}{4}

 

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 102 – TO MENGDER

Man har 2 mengder. Den ene har 50 elementer med gjennomsnittstallet 32. Den andre har 70 elementer med gjennomsnittstallet 53. Dersom man legger sammen mengdene, hva blir det nye (totale) gjennomsnittstallet?

 

Neste artikkel kommer i august. Løsningsforslag til mattenøttene legges alltid ut i neste innlegg(neste måned). Hilsen erty56.

SOMMERQUIZ – NYE MATTENØTTER 23. juni 2017

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
Tags: , ,
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en liten sommerquiz, i form av tre nye mattenøtter:

 

OPPGAVE 99 – SANNSYNLIGHETSREGNING

I en kommune hadde 85 % av husstandene radio, 75 % hadde TV, og 70 % hadde både radio og TV. Hvor mange prosent hadde hverken TV eller radio?

Tips: Anvend sammenhengen P(radio eller TV) + P(ingen) = 1.

 

OPPGAVE 100 – SYSTEM I TALLREKKE

Gitt tallene

16, 39, 85, 177, 361, x

Finn x.

 

OPPGAVE 101 – INNSKREVET FIGUR

 

 

 

 

 

 

 

En likesidet trekant er innskrevet i en sirkel med radius r = 1. Hva blir arealet av trekanten?

 

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 98 – RENTER PÅ KONTO

Jon setter inn 10.000 kr i banken 1.januar 2005, og lar dette stå til 1.januar 2008 uten noen flere innskudd eller uttak. Renten er hele tiden 5 % årlig.

A) Hvor mye står det på kontoen 1.januar 2006?

\displaystyle K = a (1 + \frac{p}{100})^n = 10.000 \, kr \, (1 + \frac{5}{100})^1

\displaystyle = 10.000 \, kr \, \cdot 1,05 = 10.500 \, kr \,

B) Hva er beløpet vokst til 1.januar 2008?

\displaystyle K = a (1 + \frac{p}{100})^n = 10.000 \, kr \, (1 + \frac{5}{100})^3

\displaystyle = 10.000 \, kr \, \cdot (1,05)^3 = 10.000 \, kr \, \cdot 1,157625

\displaystyle = 11.576,25 \, kr \,

 

Neste artikkel kommer i juli. Løsningsforslag til mattenøttene legges alltid ut i neste innlegg(neste måned). Hilsen erty56.

PÅSKENØTTER – FASIT 15. mai 2017

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

PÅSKENØTTER

 

OPPGAVE 94 – ENKEL TALLREKKE

Gitt tallene 49, 25, 64, 16, 11, 36 og 81. Et av tallene hører ikke hjemme blant de andre. Hvilket er det?

Alle tallene er kvadrattall, utenom 11 som er et primtall. Kvadrattall er
7² = 49, 5² = 25 osv. Primtall er tall som bare er delelig med 1 og seg selv.

Svar: 11

 

OPPGAVE 95 – ENKEL ALGEBRA II

Finnes det to tall w og z slik at

\displaystyle w - z = 5 \indent og \indent \frac{w}{z} = 5

Hva er isåfall w og z?

\displaystyle \frac{w}{z} = 5

\displaystyle w = 5z

\displaystyle w - z = 5

\displaystyle 5z - z = 5

\displaystyle 4z = 5

\displaystyle z = 1,25

\displaystyle w = 5z = 5 \cdot 1,25 = 6,25

Svar: w og z finnes og de er w = 6,25 og z = 1,25

 

OPPGAVE 96 – TREKANTER III

 

 

 

 

 

 

 

 

 

En likesidet trekant er innskrevet oppned i en annen likesidet trekant med sider lik 1. Den indre trekanten skjærer den store midt på hver side. Hva er arealet av den indre trekanten?

Det finnes mange måter å løse denne oppgaven på. Her følger en av dem. Først en ny skisse:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

En likesidet trekant har bare vinkler på 60º. Man kan regne ut arealet av hele trekanten A1, og deretter trekke fra de 3 trekantene(A2) omkring den indre trekanten. Disse tre har hjørne markert med 60º i blå farge på figuren over.

\displaystyle A1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin 60^{\circ}

\displaystyle A1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}

\displaystyle A1 = \frac{\sqrt{3}}{4}

\displaystyle A2 = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin 60^{\circ}

\displaystyle A2 = \frac{3}{8} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}

\displaystyle A2 = \frac{3 \sqrt{3}}{16}

Arealet av den indre trekanten blir dermed:

\displaystyle A = A1 - A2

\displaystyle A = \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{3 \sqrt{3}}{16}

\displaystyle A = \frac{4 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{16} 

\displaystyle A = \frac{\sqrt{3}}{16} 

 

OPPGAVE 97 – DIVISJON

(x – a) er faktor i x² + 2ax – 3. Med dette menes at divisjonen

\displaystyle \frac{(x^2 + 2ax - 3)}{(x - a)}

skal gå opp. Finn verdiene til a

 

\displaystyle \underline{(x^2 + 2ax - 3)} : (x - a) = x + 3a

\displaystyle - (x^2 - ax)

\displaystyle \underline{= 3ax - 3}

\displaystyle - (3ax - 3a^2)

\displaystyle = 3a^2 - 3

For at divisjonen skal gå opp må resten

\displaystyle 3a^2 - 3 = 0

\displaystyle a^2 - 1 = 0

\displaystyle a^2 = 1

\displaystyle a = \pm 1

Svar: a = -1 eller a = 1

 

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 98 – RENTER PÅ KONTO

Jon setter inn 10.000 kr i banken 1.januar 2005, og lar dette stå til 1.januar 2008 uten noen flere innskudd eller uttak. Renten er hele tiden 5 % årlig.

A) Hvor mye står det på kontoen 1.januar 2006?

B) Hva er beløpet vokst til 1.januar 2008?

 

Neste artikkel kommer i juni. Løsningsforslag til mattenøttene legges alltid ut i neste innlegg(neste måned). Hilsen erty56.

 

Populære norske blogger

PÅSKENØTTER 21. april 2017

Posted by erty56 in Matematikk, Moderne Fysikk, quiz og grublerier.
1 comment so far

Hei igjen!

Her kommer noen nye mattenøtter:

OPPGAVE 94 – ENKEL TALLREKKE

Gitt tallene 49, 25, 64, 16, 11, 36 og 81. Et av tallene hører ikke hjemme blant de andre. Hvilket er det?

 

OPPGAVE 95 – ENKEL ALGEBRA II

Finnes det to tall w og z slik at

\displaystyle w - z = 5 \indent og \indent \frac{w}{z} = 5

Hva er isåfall w og z?

 

OPPGAVE 96 – TREKANTER III

 

 

 

 

 

 

 

 

 

En likesidet trekant er innskrevet oppned i en annen likesidet trekant med sider lik 1. Den indre trekanten skjærer den store midt på hver side. Hva er arealet av den indre trekanten?

 

OPPGAVE 97 – DIVISJON

(x – a) er faktor i x² + 2ax – 3. Med dette menes at divisjonen

\displaystyle \frac{(x^2 + 2ax - 3)}{(x - a)}

skal gå opp. Finn verdiene til a.

 

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 93 – FINN HØYDEN

En ball kastes oppover med startfarten v_0 = 10 m/s . Etter hvor mange sekunder er ballen nede på bakken igjen? (Tips: man kan bruke en enkel formel fra mekanikk: h = v_0 t - \frac{1}{2} gt^2 , der h er høyden, t er tiden og g= 9,81 m/s^2 er tyngdens akselerasjon).

h = 0 gir t ved kast og ballen nede på bakken igjen

\displaystyle h = v_0 t - \frac{1}{2} gt^2 = 0 

\displaystyle 10 \cdot t - \frac{1}{2} \cdot 9,81 \cdot t^2 = 0 

\displaystyle -4,905t^2 + 10t = 0 

\displaystyle t^2 - 2,038736t = 0

\displaystyle t (t - 2,038736) = 0

\displaystyle t = 0 \indent \vee \indent t = 2,038736 \approx 2,04

Svar: Ballen er nede på bakken igjen etter ca. 2,04 sekunder.

 

Neste artikkel kommer i mai. Løsningsforslag til mattenøttene legges alltid ut i neste innlegg(neste måned). Hilsen erty56.

Populære norske blogger

ANNENGRADSLIGNINGER OG PARABELEN 30. mars 2017

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Dagens artikkel omhandler annengradsligninger, og deres grafer parabler.

I. Annengradsligninger


I.1 Abc-formelen

En annengradsligning er generelt gitt på formen

\displaystyle ax^2 + bx + c = 0

der a, b og c er vilkårlige tall, men a \neq 0

 

Utledning av abc-formelen:

\displaystyle ax^2 + bx + c = 0

\displaystyle \frac{ax^2}{a} +\frac{bx}{a} + \frac{c}{a} = \frac{0}{a}

\displaystyle x^2 +\frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0

\displaystyle x^2 +\frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}

Man lager et fullstendig kvadrat:

\displaystyle (x + \frac{b}{2a})^2 = -\frac{c}{a} + (\frac{b}{2a})^2

\displaystyle (x + \frac{b}{2a})^2 = -\frac{4a \cdot c}{4a \cdot a} + \frac{b^2}{4a^2}

\displaystyle (x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}

Man trekker ut kvadratroten på begge sider:

\displaystyle \sqrt{(x + \frac{b}{2a})^2} = \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}

\displaystyle (x + \frac{b}{2a}) = \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}

\displaystyle x = - \frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

\displaystyle x = \frac {-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} (abc-formelen)

 

Diskriminanten b^2 - 4ac avgjør løsningene

\displaystyle b^2 - 4ac < 0 \Rightarrow ingen løsning (*)

\displaystyle b^2 - 4ac = 0 \Rightarrow en løsning

\displaystyle b^2 - 4ac > 0 \Rightarrow to løsninger

 

De to løsningene er

\displaystyle x = \frac {-b +\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \indent \vee \indent x = \frac {-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

(*) Dette skyldes at man ikke kan trekke ut kvadratroten av negative tall.


I.2 Eksempel

Gitt

\displaystyle x^2 - 3x + 2 = 0

Her er a = 1, b = -3 og c = 2 .

Algoritmen for løsningen er akkurat den samme som utledningen av abc-formelen:

\displaystyle x^2 - 3x + 2 = 0

\displaystyle x^2 - 3x = -2

Man lager et fullstendig kvadrat:

\displaystyle (x - \frac{3}{2})^2 = -2 + (-\frac{3}{2})^2

\displaystyle (x - \frac{3}{2})^2 = -2 + 2 \frac{1}{4}

\displaystyle (x - \frac{3}{2})^2 = \frac{1}{4}

Man trekker ut kvadratroten på begge sider:

\displaystyle \sqrt{(x - \frac{3}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4}}

\displaystyle (x - \frac{3}{2}) = \pm \frac{1}{2}

\displaystyle x = \frac{3}{2} \pm \frac{1}{2}

\displaystyle x = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2 \indent \vee \indent x = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1


II. Parabelen

Annengradsfunksjoner kalles parabler.

Parabler er grafiske fremstillinger av annengradsligninger. Gitt ved

\displaystyle f(x) = ax^2 + bx + c

der a, b og c er vilkårlige tall, men a \neq 0

Illustrasjon av parabler

 

Dersom a > 0 \Rightarrow Grafen har bunnpunkt

Dersom a < 0 \Rightarrow Grafen har toppunkt

 

Langs x-aksen er y=0. Ved å beregne

\displaystyle y = f(x) = ax^2 + bx + c = 0

finner man grafens skjæringspunkter med x-aksen. Dette gir selvsagt det samme svaret som abc-formelen:

\displaystyle x = \frac {-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Man vil ha følgende:

\displaystyle b^2 - 4ac < 0 \Rightarrow ingen skjæringspunkter med x-aksen

\displaystyle b^2 - 4ac = 0 \Rightarrow et skjæringspunkt med x-aksen

\displaystyle b^2 - 4ac > 0 \Rightarrow to skjæringspunkter med x-aksen

 

En parabel har alltid en symmetrilinje. Denne finnes ved å beregne gjennomsnittet av de to generelle løsningene i abc-formelen:

x_{sym} = \frac {\frac {-b +\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} + \frac {-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}}{2} = -\frac{b}{2a}

Dette gjelder uansett, også når diskriminanten er negativ (blir borte i regnestykket). En parabel ligger altså alltid symmetrisk om symmetrilinjen x_{sym} .

 

Langs y-aksen er x=0. Ved å beregne

\displaystyle f(0) = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = c

finner man grafens skjæringspunkt med y-aksen. En parabel f(x) = ax^2 + bx + c skjærer altså alltid y-aksen ved c.


III. Komplekse røtter


III.1 Teori

En rot (eller flere røtter) er en betegnelse på en løsning av en ligning. I I. Annengradsligninger med utledning av abc-formelen arbeidet vi innenfor det reelle tallsystemet . Reelle tall er alle vanlige tall langs tallinjen. Illustrasjon:

 

 

 

 


Kvadratroten av negative tall er ikke definert innenfor det reelle tallsystemet.

Man kan utvide til det komplekse tallsystemet, der kvadratroten til negative tall også er definert. Da vil også annengradsligninger med

\displaystyle b^2 - 4ac < 0

ha løsninger. Et komplekst tall er et tall på formen

\displaystyle z = x + iy

der x og y er reelle tall og i = \sqrt{-1}

Et komplekst tall vil ligge i et plan istedenfor langs en linje:

 

Realdelen (x) til z ligger langs førsteaksen og imaginærdelen (y) til z ligger langs annenaksen.

Punktet (a , b) på figuren er en geometrisk fremstilling av tallet a + ib

En grafisk fremstilling av annengradsfunksjoner der b^2 - 4ac < 0 :

Parabelen vil enten ha bunnpunkt over x-aksen (a > 0), eller toppunkt under x-aksen (a < 0) . I begge tilfeller ingen skjæringspunkter med x-aksen. Her har vi altså ingen reelle løsninger av

\displaystyle y = f(x) = ax^2 + bx + c = 0

 

Man har derimot de komplekse løsningene:

\displaystyle x = \frac {-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

\displaystyle x = \frac {-b \pm \sqrt{-1 \cdot (-(b^2 - 4ac))}}{2a}

\displaystyle x = \frac {-b \pm \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-(b^2 - 4ac)}}{2a}

\displaystyle x = \frac {-b \pm i \sqrt{-(b^2 - 4ac)}}{2a}

\displaystyle x = \frac {-b + i \sqrt{-(b^2 - 4ac)}}{2a} \indent \vee \indent x = \frac {-b - i \sqrt{-(b^2 - 4ac)}}{2a}

 

Antall komplekse løsninger av ligninger opptrer alltid i par, dvs. de må være 0, 2, 4, osv.

En annengradsligning vil derfor alltid ha en av følgende løsninger basert på diskriminanten b^2 - 4ac :

\displaystyle b^2 - 4ac < 0 \Rightarrow ingen reelle løsninger og to komplekse løsninger

\displaystyle b^2 - 4ac = 0 \Rightarrow en reell løsning (en dobbeltrot)

\displaystyle b^2 - 4ac > 0 \Rightarrow to reelle løsninger


III.2 Eksempel

Gitt

\displaystyle x^2 - 2x + 2 = 0

Denne gangen sløyfer jeg utregningen, og setter a = 1, b = -2 og c=2 inn i abc-formelen:

\displaystyle x = \frac {-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} (abc-formelen, (*))

\displaystyle x = \frac {- (-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}

\displaystyle x = \frac {2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2}

\displaystyle x = \frac {2 \pm \sqrt{-4}}{2}

\displaystyle x = \frac {2 \pm \sqrt{-1 \cdot 4}}{2}

\displaystyle x = \frac {2 \pm \sqrt{-1} \sqrt{4}}{2}

\displaystyle x = \frac {2 \pm i \cdot 2}{2}

\displaystyle x = 1 \pm i

\displaystyle x = 1 + i \indent \vee \indent x = 1 - i

(*) Utregningen ender uansett opp med abc-formelen.

 

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 93 – FINN HØYDEN

En ball kastes oppover med startfarten v_0 = 10 m/s . Etter hvor mange sekunder er ballen nede på bakken igjen? (Tips: man kan bruke en enkel formel fra mekanikk: h = v_0 t - \frac{1}{2} gt^2 , der h er høyden, t er tiden og g= 9,81 m/s^2 er tyngdens akselerasjon).

 

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 92 – ENKLE TALLREKKER

A) Hvilket tall x mangler i rekke nr.2 ?

1, 2, 3, 4, 5, 6

1, 4, 9, x , 25, 36

Tallene i rekke nr.2 er kvadratet av tallene i rekke nr.1, altså 4² = 16

Svar: x = 16

B) Hvilket tall x mangler til sist i denne rekken?

1, 2, 3, 5, 7, x

Dette er de første primtallene. Primtall er tall som bare er delelig med 1 og seg selv: 1, 2, 3, 5, 7, 11

Svar: x = 11

 

Neste artikkel kommer i april. Løsningsforslag til mattenøttene legges alltid ut i neste innlegg(neste måned). Hilsen erty56.

Artikkelen kan lastes ned som pdf-fil her:

ANNENGRADSLIGNINGER OG PARABELEN

 

Populære norske blogger

STATISTIKK – STØRRELSER 26. februar 2017

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Dagens innlegg omhandler noen få, enkle statistiske størrelser. Deretter en ny mattenøtt og løsningsforslag til forrige måneds mattenøtt.

Gitt at vi har et tallmateriale med n observasjoner. Absolutt hyppighet h(x) er hvor mange ganger denne x forekommer i tallmaterialet. Relativ hyppighet er definert

\displaystyle r(x) = \frac{h(x)}{n}

Relativ hyppighet er ekvivalent med prosent ved:

\displaystyle r(x)\in[0 , 1] \indent \Leftrightarrow \indent p \% \in [0 , 100] \%

r(x) = 0,15 gir 15 %, r(x) = 0,37 gir 37 % osv.

 

Gitt at man har n tall: \displaystyle x_1, x_2, ... , x_n Gjennomsnitt er definert:

\displaystyle \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}

Dette er det aritmetiske gjennomsnittet. For mer om forskjellige typer gjennomsnitt osv., se:

FØLGER, REKKER OG GJENNOMSNITT

 

Dersom man ordner n observasjoner etter størrelse, er medianen den midterste observasjonen ved n lik et oddetall. Ved n er et partall er medianen gjennomsnittet av de to midterste observasjonene.

Gitt de ni første naturlige tallene:

\displaystyle 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

\displaystyle Md = 5

Md  er forkortelse for median.

Gitt tallene

\displaystyle 2, 6, 8, 4, 10, 14

må man først ordne de etter størrelse:

\displaystyle 2, 4, 6, 8, 10, 14

\displaystyle Md = \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7

Et typetall for et tallmateriale er den observasjonsverdien som har størst hyppighet.

Gitt tallmateriale

\displaystyle 2, 4, 2, 3, 4, 2, 3, 2, 3

Typetallet er 2 (forekommer 4 ganger, mens 3 forekommer 3 ganger og 4 forekommer 2 ganger).

 

Den kumulerte hyppigheten for en observasjonsverdi x er summen av hyppighetene for de observasjonsverdiene som er mindre enn eller lik x.

Variasjonsbredden for et tallmateriale er differensen mellom største og minste observasjonsverdi.

Kvartilbredden for et tallmateriale er differensen mellom tredje kvartil (Q3) og første kvartil (Q1). Q1 er observasjon nr. n/4 og Q3 er observasjon nr. 3n/4. (Dersom n ikke er delelig med 4, må man forhøye n/4 og 3n/4 opp til nærmeste hele tall).

Kvartiler, densiler og prosentiler er fraktiler. Kvartiler deler et tallmateriale i fire deler. Densiler deler et tallmateriale i ti deler. Prosentiler deler et tallmateriale i hundre deler.

Dette er et lite utdrag fra en bok jeg har skrevet:

MATEMATIKKLEKSIKON FOR VIDEREGÅENDE SKOLE

Her finner man også alle andre emner innen den videregående skoles matematikk. Ved å trykke på lenken vil man få opp oversikt over bokens kapitler og noe generell omtale, samt mulighet til å bestille boken.

 

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 92 – ENKLE TALLREKKER

A) Hvilket tall x mangler i rekke nr.2 ?

1, 2, 3, 4, 5, 6

1, 4, 9, x , 25, 36

B) Hvilket tall x mangler til sist i denne rekken?

1, 2, 3, 5, 7, x

 

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 91 – REGNING MED FORHOLD

Anne skal blande to kaffesorter I og II. I koster 50 kr/kg. og II koster 70 kr/kg. Av disse vil hun lage en blanding på 10 kg., slik at prisen blir 63 kr/kg. Hvor mye må Anne bruke av hhv. I og II ?

t22

 

 

 

 

 

 

\displaystyle 50x + 70(10 - x) = 63 \cdot 10

\displaystyle 50x + 700 - 70x = 630

\displaystyle - 20x = -70

\displaystyle x = 3,5

\displaystyle 10 - x = 10 - 3,5 = 6,5

Svar: 3,5 kg. av I og 6,5 kg. av II

 

Løsningsforslag til mattenøttene legges alltid ut i neste innlegg(neste måned). Hilsen erty56.

JULENØTTER 2016 – FASIT 21. januar 2017

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer løsningsforslag til julenøtter 2016:

JULENØTTER 2016

 

OPPGAVE 85 – ALDER TIL FAR OG DATTER

Eva er 8 år gammel og faren hennes er 31 år. Et visst antall år frem i tid er faren dobbelt så gammel som henne. Hvor mange år blir Eva da?

Kaller et visst antall år for x. Kaller da alder til Eva for y og faren for 2y (dobbelt så gammel):

\displaystyle 8 + x = y

\displaystyle 31 + x = 2y

\displaystyle 31 + x = 2(8 + x)

\displaystyle 31 + x = 16 + 2x

\displaystyle x = 15

\displaystyle y = 8 + x = 8 + 15 = 23

Svar: 23 år

 

OPPGAVE 86 – EN BRØK

\displaystyle x = 3y \indent og \indent y = 4z

Hva blir

\displaystyle \frac{x^2 + y^2 + z^2}{yz}

\displaystyle x = 3y = 3(4z) = 12z

\displaystyle \frac{x^2 + y^2 + z^2}{yz} = \frac{(12z)^2 + (4z)^2 + z^2}{4z z}

\displaystyle \frac{x^2 + y^2 + z^2}{yz} = \frac{144 z^2 + 16z^2 + z^2}{4z^2}

\displaystyle \frac{x^2 + y^2 + z^2}{yz} = \frac{161 z^2}{4 z^2} = 40,25

 

OPPGAVE 87 – BOKTRYKKERIET

Et trykkeri trykker opp en bok. Trykkemaskinen bruker 1.896 siffer for å angi sidetallene på hver bok. Hvor mange sider er det i denne boken?

Sidene 1-9 har et siffer for å angi sidetallet, sidene 10-99 har to siffer, og sidene f.o.m. 100 har tre siffer.

\displaystyle 1-9 \indent 9 \cdot 1 = 9 

\displaystyle 10-99 \indent 90 \cdot 2 = 180

\displaystyle 1.896 - (9 + 180) = 1.707

\displaystyle \frac{1.707}{3} = 569 (sider)

Svar: 99 sider + 569 sider = 668 sider

 

OPPGAVE 88 – ENKEL GEOMETRI-NØTT

Her følger en figur der lengdene av halvsirklene er angitt ved hhv. L=12 π for den store halvsirkelen og L = 6 π for de to små. 

t20a

 

 

 

 

 

 

 

Hva blir arealet av det fargede(lilla) området på figuren?

t21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

OPPGAVE 89 – UKEPENGER

Per og far har en krangel om ukelønnen i uke 1. Per vil ha 100 kr i uken, men faren nekter å gi mer enn 40 kr. Per er et hakk skarpere enn faren når det kommer til tall. Han foreslår at faren skal gi ham 1 kr i uke 1, 2 kr i uke 2, 4 kr i uke 3, osv (altså doble beløpet hver uke). Far tenker at dette kan ikke bli rare kronene, og går med på forslaget. Hvor mye må faren gi Per innen året er omme, altså i løpet av 52 uker?

1 + 2 + 4 +  … osv. er en geometrisk rekke med kvotient 2:

\displaystyle 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^{51}

Summen blir:

\displaystyle\sum_{i=0}^{51} 2^i = \frac{1(2^{52} - 1)}{2 - 1} = 2^{52} - 1

\displaystyle\sum_{i=0}^{51} 2^i = 4.503.599.627.370.495

 
Formelen for summen er generelt gitt ved:

\displaystyle a_1 \sum_{i=0}^{n-1} k^i = a_1 \frac{(k^n - 1)}{k - 1}

med kvotient k og første ledd a_1

 

OPPGAVE 90 – NOE VANSKELIG GEOMETRI-NØTT

t20b

 

 

 

 

 

 

 

 

P deler AD i 2 like deler (AP=PD). AB = 9, BC = 8, DC = 7. Hva blir arealet av firkanten APQB (lilla farge på figuren) ?

Man finner først arealet av hele firkanten ABCD, og trekker deretter fra arealet til firkanten CDPQ. Ny skisse:

t21b

 

 

 

 

 

 

 

 

Arealet til hele firkanten blir:

A_1 = 8 \cdot 7 + \frac{2 \cdot 8}{2} = 56 + 8 = 64

Deretter arealet til firkanten CDPQ ved:

8^2 + 2^2 = AD^2

AD^2 = 68

AD = \sqrt{68}

z = PD = \frac{AD}{2} = \frac {\sqrt{68}}{2} = \sqrt{17}

tan \alpha = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}

\alpha = 14,036243^{\circ}

\alpha + \beta + 90^{\circ} = 180^{\circ}

\beta = 90^{\circ} - \alpha

\beta + 90^{\circ} + \gamma = 180^{\circ}

\gamma = 90^{\circ} - \beta = 90^{\circ} - (90^{\circ} - \alpha) = \alpha

tan \gamma = \frac{x}{7}

x = 7 \cdot tan \gamma =  7 \cdot tan \alpha = 7 \cdot \frac{1}{4} = \frac{7}{4}

cos \alpha = \frac{z}{y} = \frac{\sqrt{17}}{y}

y = \frac {\sqrt{17}}{cos \alpha}

Arealet til firkanten CDPQ blir:

A_2 = \frac{1}{2} sin \alpha \cdot z \cdot y + 7 \cdot y + \frac{x \cdot 7}{2}

A_2 = \frac{1}{2} sin \alpha \cdot \sqrt{17} \cdot \frac{\sqrt{17}}{cos \alpha} + 7 \cdot \frac{\sqrt{17}}{cos \alpha} + \frac{\frac{7}{4} \cdot 7}{2}

A_2 = \frac{1}{2} tan \alpha \cdot 17 + \frac{7 \cdot \sqrt{17}}{cos 14,036243^{\circ}} + \frac{49}{8}

A_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot 17 + 29,75 + 6,125

A_2 = 2,125 + 29,75 + 6,125 = 38

 

Arealet av firkanten APQB blir dermed:

A = A_1 - A_2 = 64 - 38 = 26

 

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 91 – REGNING MED FORHOLD

Anne skal blande to kaffesorter I og II. I koster 50 kr/kg. og II koster 70 kr/kg. Av disse vil hun lage en blanding på 10 kg., slik at prisen blir 63 kr/kg. Hvor mye må Anne bruke av hhv. I og II ?

 

Løsningsforslag til mattenøttene legges alltid ut i neste innlegg(neste måned). Hilsen erty56.

JULENØTTER 2016 18. desember 2016

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
1 comment so far

Hei igjen!

Her kommer noen nye matematiske quiz og grublerier i form av seks oppgaver:

 

OPPGAVE 85 – ALDER TIL FAR OG DATTER

Eva er 8 år gammel og faren hennes er 31 år. Et visst antall år frem i tid er faren dobbelt så gammel som henne. Hvor mange år blir Eva da?

 

OPPGAVE 86 – EN BRØK

\displaystyle x = 3y \indent og \indent y = 4z

Hva blir

\displaystyle \frac{x^2 + y^2 + z^2}{yz}

 

OPPGAVE 87 – BOKTRYKKERIET

Et trykkeri trykker opp en bok. Trykkemaskinen bruker 1.896 siffer for å angi sidetallene på hver bok. Hvor mange sider er det i denne boken?

 

OPPGAVE 88 – ENKEL GEOMETRI-NØTT

Her følger en figur der lengdene av halvsirklene er angitt ved hhv. L=12 π for den store halvsirkelen og L = 6 π for de to små. 

t20a

 

 

 

 

 

 

 

Hva blir arealet av det fargede(lilla) området på figuren?

 

OPPGAVE 89 – UKEPENGER

Per og far har en krangel om ukelønnen i uke 1. Per vil ha 100 kr i uken, men faren nekter å gi mer enn 40 kr. Per er et hakk skarpere enn faren når det kommer til tall. Han foreslår at faren skal gi ham 1 kr i uke 1, 2 kr i uke 2, 4 kr i uke 3, osv (altså doble beløpet hver uke). Far tenker at dette kan ikke bli rare kronene, og går med på forslaget. Hvor mye må faren gi Per innen året er omme, altså i løpet av 52 uker?

 

OPPGAVE 90 – NOE VANSKELIG GEOMETRI-NØTT

t20b

 

 

 

 

 

 

 

 

P deler AD i 2 like deler (AP=PD). AB = 9, BC = 8, DC = 7. Hva blir arealet av firkanten APQB (lilla farge på figuren) ?

 

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 84 – FUNKSJON

Gitt

\displaystyle  f(x) = \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}

 

A) Vis at f(-2) = f(2)

 

\displaystyle  f(-2) = \frac{(-2+2)(-2-2)}{(-2)^2} = \frac{0(-4)}{4} = 0

\displaystyle f(2) = \frac{(2+2)(2-2)}{2^2} = \frac{4 \cdot 0}{4} = 0

\displaystyle  f(-2) = f(2) = 0

 

B) For hvilke a er f(-a)=f(a)?

 

\displaystyle f(-a) = f(a)

\displaystyle  \frac{(-a+2)(-a-2)}{(-a)^2}= \frac{(a+2)(a-2)}{a^2} 

\displaystyle  \frac{(a^2 + 2a - 2a -4)}{a^2}= \frac{(a^2 - 2a + 2a - 4)}{a^2} 

\displaystyle  \frac{a^2 - 4}{a^2}= \frac{a^2 - 4}{a^2}

\displaystyle  \frac{0}{a^2}= 0


Konklusjon: a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}

 

Løsningsforslag til julenøttene (OPPGAVE 85-90) blir lagt ut her på Realfagshjørnet i januar. God jul og godt nyttår! Hilsen erty56.

PYTAGORAS SETNING 26. november 2016

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her følger to enkle måter å vise pytagoras setning på. Deretter et bevis ved hjelp av vektorregning.

Pytagoras setning sier at

 a^2 + b^2 = c^2

for en rettvinklet trekant (en trekant med en vinkel på 90 grader).

t18a

 

 

 

 

 

I. Klassisk geometri I

Man tar utgangspunkt i figuren under.

t18b

 

 

 

 

 

 

 

 

Arealet av de fire trekantene pluss arealet av den lille firkanten i midten, er det samme som arealet av hele firkanten.

\frac{a \cdot b}{2} \cdot 4 + c^2 = (a + b)^2

2ab + c^2 = a^2 + 2ab + b^2

c^2 = a^2 + b^2

a^2 + b^2 = c^2

gg

II. Klassisk geometri II

Man tar utgangspunkt i figuren under.

t18c

 

 

 

 

 

 

 

 

Arealet av firkanten er lik arealet av de fire trekantene og den lille firkanten i midten. Trekantene har kateter a og b og hypotenus c. Den lille firkanten har sider (a – b)

c^2 = 4 \frac{ab}{2} + (a - b)^2

c^2 = 2 ab + a^2 - 2ab + b^2

c^2 = a^2 + b^2

a^2 + b^2 = c^2

gg

III. Bevis ved analytisk geometri

Den tredje måten er noe mer innfløkt, og bruker vektorregning. En vektor er et linjestykke med retning. Man legger to vektorer vinkelrett på hverandre i et koordinatsystem:

\vec{v} = [a , b]

\vec{u} = [c , d]

t18d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Man ønsker å vise pytagoras setning for trekanten bestående av de tre blå linjene. Dvs:

\mid\vec{v} \mid ^2 + \mid\vec{u} \mid ^2 = \mid \vec{v} - \vec{u} \mid ^2

 

Lengden til en vektor er definert:

\mid \vec{v} \mid = \sqrt{x^2 + y^2}

 

Man finner kvadratet av lengdene:

\mid\vec{v} \mid ^2 = \sqrt{a^2 + b^2}^2 = a^2 + b^2

\mid\vec{u} \mid ^2 = \sqrt{c^2 + d^2}^2 = c^2 + d^2

 

Vektoren \vec{v}- \vec{u} er

\vec{v} -\vec{u} = [a - c , b - d]

 

Kvadratet av lengden til \vec{v} - \vec{u} er

\mid\vec{v} - \vec{u} \mid ^2 = \sqrt{(a - c)^2 + (b - d)^2}^2

\mid \vec{v} - \vec{u} \mid ^2 = (a - c)^2 + (b - d)^2

\mid \vec{v} - \vec{u} \mid ^2 = a^2 - 2ac + c^2 + b^2 - 2bd + d^2

\mid \vec{v} - \vec{u} \mid ^2 = a^2 + c^2 + b^2 + d^2 - 2(ac + bd)

 

Skalarproduktet til to vektorer er definert

\vec{v} \cdot\vec{u} = \mid \vec{v} \mid\cdot \mid \vec{u} \mid \cdot cos \alpha

der \alpha er vinkelen mellom \vec{v} og \vec{u}

\vec{v} \cdot\vec{u} = [a , b] \cdot [c , d] = \sqrt{a^2 + b^2}\cdot \sqrt{c^2 + d^2}\cdot \cos 90^{\circ} = 0

ac + bd = 0

 

Dermed blir

\mid \vec{v}- \vec{u} \mid ^2 = a^2 + c^2 + b^2 + d^2 - 2(ac + bd) = a^2 + c^2 + b^2 + d^2

 

Man har nå vist at

\mid \vec{v} \mid ^2 = a^2 + b^2

\mid \vec{u} \mid ^2 = c^2 + d^2

\mid \vec{v} - \vec{u} \mid ^2 = a^2 + c^2 + b^2 + d^2

 

Altså er

\mid\vec{v} \mid ^2 + \mid\vec{u} \mid ^2 = \mid \vec{v} - \vec{u} \mid ^2

 

Det finnes en rekke flere måter å illustrere eller bevise pytagoras setning på. Her kommer en ny mattenøtt:

 

OPPGAVE 84 – FUNKSJON

Gitt

f(x) = \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}

A) Vis at f(-2) = f(2)

B) For hvilke a er f(-a)=f(a)?

 

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds mattenøtt:

 

OPPGAVE 83 – STØRSTE OG MINSTE TALL

A) Gitt 5 tall:

\frac{\pi}{2},\indent \sqrt{\frac{\pi^2}{4}},\indent\frac{\pi}{3},\indent \frac{\pi}{4} \indent \sqrt{\frac{\pi^2}{9}}

Hvilket er minst?

\sqrt\frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi}{2}

\sqrt{\frac{\pi^2}{9}} = \frac{\pi}{3}

\frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}

 

Svar: \frac{\pi}{4} er minst.

 

B) Gitt 6 tall:

9^6 ,\indent 2^{20},\indent 3^{12},\indent 16^5, \indent9^7,\indent 4^{10}

Hvilket er størst?

9^6 = (3^2)^6 = 3^{12}

9^7 = (3^2)^7 = 3^{14}

16^5 = (2^4)^5 = 2^{20}

4^{10} = (2^2)^{10} = 2^{20}

3^{14} > 2^{20} > 3^{12}

 

Svar: 9^7 er størst

 

Neste artikkel kommer i desember. Hilsen erty56.

FASIT OPPGAVE 82 31. oktober 2016

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds mattenøtt:

OPPGAVE 82 – TREKANTER II

En rettvinklet trekant har en side 3 ganger så lang som den minste siden. Fra et punkt inne i trekanten nedfelles en linje rett ned på hver av sidene med lengde 2 til hver side. Figur:

t18e

Linjene normalt på sidene har blå farge på figuren. Hva er arealet av trekanten? Ny skisse:

t18f

x^2 + y^2 = (3x)^2

x^2 + y^2 = 9x^2

y^2 = 8x^2

y = \sqrt{8} x = 2 \sqrt{2} x

Arealet av trekantene med høyde 2 er lik arealet av hele trekanten.

\frac{3x \cdot 2}{2} + \frac{x \cdot 2}{2} + \frac{y \cdot 2}{2} = \frac{x \cdot y}{2}

\frac{3x \cdot 2}{2} + \frac{x \cdot 2}{2} + \frac{ \sqrt{8} x \cdot 2}{2} = \frac{x \cdot \sqrt{8}x}{2}

3x + x + \sqrt{8} x = \sqrt{2} x^2

\sqrt{2} x^2 - (4 + \sqrt{8})x = 0

x (\sqrt{2} x - (4 + \sqrt{8})= 0

x = 0 \indent \vee \indent x = \frac{4 + \sqrt{8}}{\sqrt{2}} = 2 \sqrt{2} + 2

Arealet blir dermed

A = \frac{x \cdot y}{2} = \frac{x \cdot \sqrt{8}x}{2} = \sqrt{2} x^2 = \sqrt{2} (2\sqrt{2} + 2)^2

A = \sqrt{2} (4 \cdot 2 + 8 \sqrt{2} + 4) = \sqrt{2} (12 + 8 \sqrt{2})

A = 12\sqrt{2} + 8 \cdot 2 = 16 + 12\sqrt{2}

 

En ny mattenøtt:

OPPGAVE 83 – STØRSTE OG MINSTE TALL

A) Gitt 5 tall:

\frac{\pi}{2},\indent \sqrt{\frac{\pi^2}{4}},\indent\frac{\pi}{3},\indent \frac{\pi}{4}, \indent \sqrt{\frac{\pi^2}{9}}

Hvilket er minst?

B) Gitt 6 tall:

 9^6 ,\indent 2^{20},\indent 3^{12},\indent 16^5, \indent9^7,\indent 4^{10}

Hvilket er størst?

 

Neste artikkel kommer i november. Hilsen erty56.

NY MATTENØTT 29. september 2016

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 82 – TREKANTER II

En rettvinklet trekant har en side 3 ganger så lang som den minste siden. Fra et punkt inne i trekanten nedfelles en linje rett ned på hver av sidene med lengde 2 til hver side. Figur:

t17a

Linjene normalt på sidene har blå farge på figuren. Hva er arealet av trekanten?

 

 

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds mattenøtt:

OPPGAVE 81 – TREKANTER

Figuren viser en likesidet trekant med fire innskrevne trekanter. To likesidede med omkrets 15 og 30 og to like med omkrets x.

t17b

 

 

 

 

 

 

 

Hva er omkretsen til den store trekanten?

I en likesidet trekant er alle tre sider like lange. De to likesidede trekantene har altså sider 5 og 10.

Dette gir side 5 + 10 = 15 i den store trekanten. Omkretsen er altså 15 ⋅ 3 = 45 i den store trekanten.

Neste artikkel kommer i oktober. Hilsen erty56.

FASIT TIL SOMMERQUIZ 21. august 2016

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds sommerquiz:

OPPGAVE 78 – ENKELT UTVALG

Man har to esker. Eske 1 har 45 {\%} røde kuler og den andre 50 {\%} blå kuler. Det er totalt 144 røde kuler og 300 kuler av begge fargene i eskene. Hvor mange kuler er det i eske 1?

Kaller antall kuler i eske 1 for x

\displaystyle x \cdot 0,45 + 0,5 (300 - x) = 144

\displaystyle 0,45x + 150 - 0,5x = 144

\displaystyle -0,05x = -6

\displaystyle x = 120

Svar: Det er 120 kuler i eske 1.

 

OPPGAVE 79 – ENKEL ARITMETIKK

\displaystyle (x + y)^2 = 2(x^2 - y^2)

{x + y = 2} . Hva er (x – y) ?

 

\displaystyle (x + y)^2 = 2(x^2 - y^2)

\displaystyle (x + y)^2 = 2(x + y)(x - y)

\displaystyle (x + y) = 2(x - y)

\displaystyle (x - y) = \frac{x + y}{2} = \frac{2}{2} = 1

 

OPPGAVE 80 – NOE VANSKELIG ARITMETIKK

Løsningene til {x^2 + bx + c = 0} er lik kvadratet av løsningene til

\displaystyle x^2 + x + 1 = 0

Finn b og c.

 

Finner først løsningene til

\displaystyle x^2 + x + 1 = 0

\displaystyle (x+ \frac{1}{2})^2 = -1 + (\frac{1}{2})^2

\displaystyle (x+ \frac{1}{2})^2 = -1 + \frac{1}{4}

\displaystyle (x+ \frac{1}{2})^2 = -\frac{3}{4}

\displaystyle \sqrt{(x+ \frac{1}{2})^2} = \sqrt{ -\frac{3}{4}}

\displaystyle x + \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} i \indent \indent ( i = \sqrt{-1})

\displaystyle x = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2} i

 

Deretter kvadratet av løsningene:

\displaystyle (x_1)^2 = (-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i)^2

\displaystyle (x_1)^2 = \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2}i - \frac{3}{4}

\displaystyle (x_1)^2 = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i

\displaystyle (x_2)^2 = (-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i)^2

\displaystyle (x_2)^2 = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2}i - \frac{3}{4}

\displaystyle (x_2)^2 = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i

 

Setter {(x_1)^2 og (x_2)^2} inn i {x^2 + bx + c = 0}

 

\displaystyle x_1

\displaystyle (-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i)^2 + b(-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i) + c = 0

\displaystyle -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i + b(-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i) + c = 0

 

\displaystyle x_2

\displaystyle (-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i)^2 + b(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) + c = 0

\displaystyle -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i + b(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) + c = 0

 

\displaystyle -c = -c

\displaystyle -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i + b(-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i) = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i + b(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i)

\displaystyle b(- \frac{\sqrt{3}}{2}i - \frac{\sqrt{3}}{2}i) = - \frac{\sqrt{3}}{2}i - \frac{\sqrt{3}}{2}i

\displaystyle b (-\sqrt{3} i) = - \sqrt{3}i

\displaystyle b = 1

 

\displaystyle -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i + b(-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i) + c =0

\displaystyle -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i + 1 \cdot (-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i) + c = 0

\displaystyle -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i + c = 0

\displaystyle c = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}

\displaystyle c = 1

 

Konklusjon: b = 1 og c = 1.

 

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 81 – TREKANTER

Figuren viser en likesidet trekant med fire innskrevne trekanter. To likesidede med omkrets 15 og 30 og to like med omkrets x.

t16a

 

 

 

 

 

 

 

Hva er omkretsen til den store trekanten?

 

Neste artikkel kommer i september. Hilsen erty56.

SOMMERQUIZ 22. juli 2016

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Denne gangen kommer en sommerquiz i form av tre mattenøtter:

OPPGAVE 78 – ENKELT UTVALG

Man har to esker. Eske 1 har 45 {\%} røde kuler og den andre 50 {\%} blå kuler. Det er totalt 144 røde kuler og 300 kuler av begge fargene i eskene. Hvor mange kuler er det i eske 1?

 

OPPGAVE 79 – ENKEL ARITMETIKK

\displaystyle (x + y)^2 = 2(x^2 - y^2)

{x + y = 2} . Hva er (x – y) ?

 

OPPGAVE 80 – NOE VANSKELIG ARITMETIKK

Løsningene til {x^2 + bx + c = 0} er lik kvadratet av løsningene til

\displaystyle x^2 + x + 1 = 0

Finn b og c.

 

Her kommer løsningsforslag av forrige måneds:

OPPGAVE 77 – GEOMETRISK REKREASJON II

t15a

 

 

 

 

 

 

Gitt figuren over som viser en halvsirkel med en innskrevet trekant. Den ene siden i trekanten er 10 og arealet av halvsirkelen er {18,625 \pi}. Finn arealet av trekanten. Tips: Halvsirkelens radius r er tegnet med blått på figuren.

Man finner r ved:

\displaystyle \frac{1}{2} \pi r^2 = 18,625 \pi

\displaystyle r^2 = 18,625 \cdot 2

\displaystyle r^2 = 37,25

\displaystyle r = \sqrt{37,25}

 

Ny skisse:

t15b

 

 

 

 

 

 

Kaller den ene siden i trekanten for x(angitt med rødt på figuren). Pytagoras setning gir:

\displaystyle 10^2 + x^2 = (2r)^2

\displaystyle x^2 = (2 \cdot \sqrt{37,25})^2 - 100

\displaystyle x^2 = 4 \cdot 37,25 - 100

\displaystyle x^2 = 149 - 100

\displaystyle x^2 = 49

\displaystyle x = 7

 

Arealet av trekanten:

\displaystyle A = \frac{10 \cdot 7}{2} = \frac{70}{2} = 35

 

Neste artikkel kommer i august. Hilsen erty56.

TIDSREISER 25. juni 2016

Posted by erty56 in Matematikk, Moderne Fysikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Er tidsreiser mulige? Svaret er både ja og nei. Nei ved små hastigheter, men ja ved svært høye hastigheter. Her følger 2 eksempler:

1. Doppler-effekten

Lydens hastighet er ca. 340 m/s i luft og vi betrakter dette med såkalte klassiske ligninger. Dette innebærer ingen reise i tid. En radiomast varsler flyalarm-prøve. En bil A kjører mot masten(kilden) og en annen bil B kjører fra kilden.

t14a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Hastighetene til observatører i bilene kan betraktes enkelt og greit som:

vobservatør = vlyd + vbil A

vobservatør = vlyd – vbil B

Slike typer ligninger gjelder kun når v << c. Vi har en formelsammenheng mellom hastigheten v og frekvensen f.

Denne gir

fobservatør  = flyd (vlyd +/- vbil  )/vlyd

Observatører i bil A hører altså lyd med en høyere frekvens enn utgangspunktet flyd, og de i bil B en lyd med lavere frekvens enn flyd. Rent intuitivt skulle man kanskje tro at slik vil regnestykkene alltid bli. Men da vil vi kunne få hastigheter høyere enn c, og dette er ikke mulig ifølge relativitetsteorien.

2. Romskip med høy hastighet

Vi later som et romskip har en hastighet tilsvarende 60% av lysets hastighet og betrakter dette med såkalte relativistiske ligninger. Lysets hastighet er definert c = 299.792.458 m/s i vakuum. Her reiser romskipet fremover i tid. Dagens teknologi kan ikke i nærheten gi denne hastigheten, men teorien begrenser oss i utgangspunktet kun til lysets hastighet. Her er hastigheten såpass høy at vi bruker relativistiske ligninger. Romskipet kjører en liten ferd på et døgn. For romskipet vil dette være tiden t0 = 1 døgn. Vi på jorden vil imidlertid betrakte at tiden


t15b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

er gått. Romskipet har altså reist 1 døgn, mens det for observatører på jorden er gått 1,25 døgn.

Konklusjon: Når v er svært lav, får man t = γ t0 ≈ t0.  Dette gir ingen tidsforskjell mellom forskjellige observatører. Altså ingen reise i tid. Eksempel 1 er et slikt tilfelle. Når v er svært høy, vil man få en tidsforskjell mellom forskjellige observatører. 2. Romskip med høy hastighet er et eksempel på dette. Altså en reise i tid.

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 77 – GEOMETRISK REKREASJON II

 

t14c

 

 

 

 

 

 

Gitt figuren over som viser en halvsirkel med en innskrevet trekant. Den ene siden i trekanten er 10 og arealet av halvsirkelen er {18,625 \pi}. Finn arealet av trekanten. Tips: Halvsirkelens radius r er tegnet med blått på figuren.

 

Her kommer løsningsforslag av forrige måneds:

OPPGAVE 76 – ENKEL ALGEBRA

A) 60 {\%} av et tall er 150. Hva er tallet?

Kaller tallet x

\displaystyle x \cdot 0,6 = 150

\displaystyle x = \frac{150}{0,6} = 250

Tallet er 250


B) {\sqrt{4^3}} er lik et naturlig tall (hele og positive). Hvilket?


\displaystyle \sqrt{4^3} = \sqrt{4^2 \cdot 4} = 4 \sqrt{4} = 4 \cdot 2 = 8


C) {\sqrt{2^8}} er også lik et naturlig tall. Hvilket?


\displaystyle \sqrt{2^8} = \Huge 2^{\frac{8}{2}} = 2^4 = 2^2 \cdot 2^2 = 4 \cdot 4 = 16


Neste artikkel kommer i juli. Hilsen erty56.

FASIT GEOMETRI QUIZ 22. mai 2016

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds geometri quiz:

OPPGAVE 73 – SVÆRT ENKEL GEOMETRI

t13a

 

 

 

 

 

 

 

 

Figuren over viser en likebent trekant med to like vinkler og en vinkel på {20^{\circ}}. Inne i denne trekanten ligger en annen trekant med vinklene {\alpha}, {50^{\circ}} og en tredje vinkel. Finn vinkelen {\alpha}

Ny skisse:

t13b

 

 

 

 

 

 

 

 

Summen av vinklene i en trekant er 180{^{\circ}}

\displaystyle \beta + \beta + 20^{\circ} = 180^{\circ}

\displaystyle 2\beta = 160^{\circ}

\displaystyle \beta = 80^{\circ}

 

Deretter trekanten med vinkelen {\alpha} :

\displaystyle \alpha + \beta + 50^{\circ} = 180^{\circ}

\displaystyle \alpha = 180^{\circ} - 50^{\circ} - \beta

\displaystyle \alpha = 180^{\circ} - 50^{\circ} - 80^{\circ}

\displaystyle \alpha = 50^{\circ}

 

OPPGAVE 74 – OMSKREVNE FIGURER

t13c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Figuren over viser 4 små like sirkler med radius {r = \sqrt{8}}. Sirklene har et omskrevet kvadrat med sider s. Kvadratet har en omskrevet sirkel (i blå farge) med radius R. Finn R.

Man kan «klippe ut» følgende skisse av den opprinnelige figuren:

t13d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Man ser at {\frac{1}{2}s = 2r}. Pytagoras setning gir

\displaystyle (\frac{1}{2}s)^2 + (\frac{1}{2}s)^2 = R^2

\displaystyle (2r)^2 + (2r)^2 = R^2

\displaystyle 4r^2 + 4r^2 = R^2

\displaystyle R^2 = 8r^2

\displaystyle R = \sqrt{8}r = \sqrt{8} \sqrt{8} = 8

 

OPPGAVE 75 – SPESIELL TREKANT

t13e

 

 

 

 

 

 

 

 

Trekanten over er en likesidet trekant med sider 4. Lengdene langs siden CA har sammenhengen 2CF = 2 FE = EA og lengdene langs siden CB har sammenhengen {\frac{5}{3}}CD = DB. Finn arealet av trekanten DEF, angitt med blå farge på skissen. (Med trekanten DEF menes trekanten med hjørnene D, E og F.) Hint: Likesidet trekant, så CF + FE + EA = 4, CD + DB = 4 og AB = 4.

Denne oppgaven kan løses på flere måter. Mange geometri-oppgaver kan ofte løses på flere forskjellige måter. En metode er å regne ut arealet av firkanten AFDB og trekke fra arealet til firkanten ABDE. En enklere metode er å regne ut arealet av trekanten CED og trekke fra arealet av trekanten CFD. Denne følger nedenfor.

2CF = 2 FE = EA

CF + FE + EA = 4

x + x + 2x = 4

x = 1

Altså er CF = 1 og CE = CF + FE = 1 + 1 =2.

{\frac{5}{3}}CD = DB

CD + DB = 4

x + {\frac{5}{3}}x = 4

x = 1,5

Altså er CD = 1,5.

Dette er en likesidet trekant, så alle vinklene er 60{^{\circ}}.

 

\displaystyle A(\Delta DEF) = A(\Delta CED) - A(\Delta CFD)

\displaystyle A(\Delta DEF) = \frac{1}{2} \cdot \sin 60^{\circ} \cdot CE \cdot CD - \frac{1}{2} \cdot \sin 60^{\circ} \cdot CF \cdot CD

\displaystyle A(\Delta DEF) = \frac{1}{2} \cdot \sin 60^{\circ} \cdot 2 \cdot 1,5 - \frac{1}{2} \cdot \sin 60^{\circ} \cdot 1 \cdot 1,5

\displaystyle A(\Delta DEF) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 3 - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{2}

\displaystyle A(\Delta DEF) = \frac{3\sqrt{3}}{4} - \frac{3\sqrt{3}}{8} = \frac{3\sqrt{3}}{8}

 

Til slutt en ny mattenøtt:

 

OPPGAVE 76 – ENKEL ALGEBRA

A) 60 {\%} av et tall er 150. Hva er tallet?

B) {\sqrt{4^3}} er lik et naturlig tall (hele og positive). Hvilket?

C) {\sqrt{2^8}} er også lik et naturlig tall. Hvilket?

 

Neste artikkel kommer i juni. Hilsen erty56.

GEOMETRI QUIZ 29. april 2016

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Denne gangen kommer tre mattenøtter som alle er geometriske:

OPPGAVE 73 – SVÆRT ENKEL GEOMETRI

t12a

 

 

 

 

 

 

 

 

Figuren over viser en likebent trekant med to like vinkler og en vinkel på {20^{\circ}}. Inne i denne trekanten ligger en annen trekant med vinklene {\alpha}, {50^{\circ}} og en tredje vinkel. Finn vinkelen {\alpha}

 

OPPGAVE 74 – OMSKREVNE FIGURER

t12b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Figuren over viser 4 små like sirkler med radius {r = \sqrt{8}}. Sirklene har et omskrevet kvadrat med sider s. Kvadratet har en omskrevet sirkel (i blå farge) med radius R. Finn R.

 

OPPGAVE 75 – SPESIELL TREKANT

t12c

 

 

 

 

 

 

 

 

Trekanten over er en likesidet trekant med sider 4. Lengdene langs siden CA har sammenhengen 2CF = 2 FE = EA og lengdene langs siden CB har sammenhengen {\frac{5}{3}}CD = DB. Finn arealet av trekanten DEF, angitt med blå farge på skissen. (Med trekanten DEF menes trekanten med hjørnene D, E og F.)
Hint: Likesidet trekant, så CF + FE + EA = 4, CD + DB = 4 og AB = 4.

Tips: Man finner ingen opplysninger ved å måle på figuren i noen av oppgavene 73-75. Alt må finnes ved regning. Figurene er kun skisser.

 

Her kommer løsningsforslag av forrige måneds:

OPPGAVE 72 – MIDDELVERDIER

A) Gitt tallene 2, 4, 8, 16 og 1024. Finn {\overline{X}_{G.M.}}

\displaystyle \overline{X}_{G.M.} = \sqrt[5]{2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot 16 \cdot 1024} = \sqrt[5]{1048576} =16

 

B) Gitt en aritmetisk rekke fra 1 til 100.

1) Finn {\overline{X}_{A.M.}}

\displaystyle \overline{X}_{A.M.} = \frac{a_1 + a_n}{2} = \frac{1 + 100}{2} = \frac{101}{2} = 50,5

 

2) d= 1. Finn rekkens sum.

\displaystyle a_n = a_1 + (n - 1)d

\displaystyle 100 = 1 + (n - 1) \cdot 1

\displaystyle 99 = n - 1

\displaystyle n = 100

\displaystyle \sum a_n = \frac{a_1 + a_n}{2} n = 50,5 \cdot 100 = 5.050

 

C) Gitt de fem første naturlige tallene 1, 2, 3, 4 og 5.

Finn {\overline{X}_{H.M.}}

\displaystyle \overline{X}_{H.M.} = ({\frac{x_1^{-1} + ... + x_n^{-1}}{n}})^{-1} = \frac{n}{x_1^{-1} + ... + x_n^{-1}}

\displaystyle = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + ... + \frac{1}{x_n}}

\displaystyle = \frac{5}{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}}

\displaystyle =\frac{5}{\frac{60 + 1 \cdot 30 + 1 \cdot 20 + 1 \cdot 15 + 1 \cdot 12}{60}}

\displaystyle = \frac{5 \cdot 60}{60 + 30 + 20 + 15 + 12} = \frac{300}{137}

 

Neste artikkel kommer i mai. Hilsen erty56.

FØLGER, REKKER OG GJENNOMSNITT 29. mars 2016

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
Tags: , , , , , , ,
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en kort og enkel artikkel om tallfølger, rekker og middelverdi(gjennomsnitt). Jeg har lagt inn noen eksempler underveis, for å vise litt om dette i praksis. F.eks. å beregne typer av gjennomsnitt for flere tall. Man finner mer om artikkelens tema i en bok jeg har skrevet:

MATEMATIKKLEKSIKON FOR VIDEREGÅENDE SKOLE

Her finner man også alle andre emner innen den videregående skoles matematikk. Ved å trykke på linken vil man få opp oversikt over bokens kapitler og noe generell omtale, samt mulighet til å bestille boken.

1. Innledning

En tallfølge er en serie med tall som kommer etter hverandre i en bestemt rekkefølge. Kvadrattallene fra 1 til 4 er {1^2, 2^2, 3^2, 4^2 } eller

\displaystyle 1, 4, 9, 16

Dette er en endelig tallfølge. De naturlige tallene

\displaystyle 1, 2, 3, 4 , ...

er en uendelig tallfølge

En rekke består av summen av alle ledd i en tallfølge.

Rekken av kvadrattallene fra 1 til 4 blir


\displaystyle \sum = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30


Den greske bokstaven {\sum} betegner en sum i matematikk.

Rekken av de naturlige tallene gir ikke et endelig tall.

2. Progresjoner

En aritmetisk progresjon er en følge av tall med konstant differanse. Matematisk skrives dette

\displaystyle a_n = a_{n-1} + d

En tallfølge med dette systemet er en aritmetisk tallfølge. Hvert ledd(bortsett fra det første) er lik leddet foran addert et fast tall d(kalles divergens).

De naturlige tallene er en (uendelig) aritmetisk tallfølge med d = 1.

De 10 første partallene

2, 4, 6 , 8 , 10, 12, 14, 16, 18, 20

er en (endelig) aritmetisk tallfølge med d = 2.


En geometrisk progresjon er en følge av tall multiplisert med det samme tallet. Matematisk skrives dette

\displaystyle a_n = a_{n-1} \cdot k

En tallfølge med dette systemet er en geometrisk tallfølge. Hvert ledd(bortsett fra det første) er lik leddet foran multiplisert med et fast tall k(kalles kvotient).

Tallfølgene gir opphav til aritmetisk rekke:


\displaystyle \sum a_n = \frac{a_1 + a_n}{2} n


Og geometrisk rekke:


\displaystyle \sum a_n = \frac{a_1 (k^n - 1)}{k - 1}


For de 10 første partallene blir summen:


\displaystyle \sum a_n = \frac{a_1 + a_n}{2} n = \frac{2 + 20}{2} \cdot 10 = \frac{22}{2} \cdot 10 = 11 \cdot 10 = 110

3. Konvergens

I en endelig tallfølge ser man lett hva det siste tallet er. For en uendelig tallfølge kan det variere om man kan finne et slikt «siste» ledd. En tallfølge konvergerer dersom det «siste» leddet har en definert, endelig verdi, dvs:

\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} a_n = a

{\infty} er et symbol for uendelig. Man skal altså kunne gå «uendelig» langt ut langs leddene, og få en definert, endelig verdi a.

Gitt den (uendelige) tallfølgen

\displaystyle 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, ... , (\frac{1}{2})^n , ... \indent (k = \frac{1}{2})


\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} (\frac{1}{2})^n = 0


Så denne tallfølgen konvergerer.

Alle endelige rekker gir en konkret sum. I det ikke-endelige tilfellet, altså med uendelig mange ledd, vil det variere om rekken har en konkret sum eller ikke. En rekke konvergerer dersom den har en definert, endelig sum for alle ledd, dvs:

\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} \sum a_n = a


Følger og rekker som ikke konvergerer, kalles divergente. Rekken av de naturlige tallene er divergent.

4. Gjennomsnitt

Gitt at vi har n forskjellige tall {x_1 , ... , x_n}. Aritmetisk middelverdi(gjennomsnitt) defineres:

\displaystyle \overline{X}_{A.M.} = \frac{x_1 + ... + x_n}{n}


{\overline{X}_{A.M.}} skrives ofte bare {\overline{X}}


Har man de fire tallene 2, 5, 7 og 2 blir


\displaystyle \overline{X} = \frac{2 + 5 + 7 + 2}{4} = \frac{16}{4} = 4


For den aritmetiske rekken/følgen over blir:

\displaystyle \overline{X}_{A.M.} = \frac{a_1 + a_n}{2}


Gitt at vi har n forskjellige tall {x_1 , ... , x_n}. Geometrisk middelverdi(gjennomsnitt)) defineres:


\displaystyle \overline{X}_{G.M.} = \sqrt[n]{x_1 \cdot ... \cdot x_n}


Har man fem tall: 3, 12, 48, 192 og 768 blir

\displaystyle \overline{X}_{G.M.} = \sqrt[5]{3 \cdot 12 \cdot 48 \cdot 192 \cdot 768} = \sqrt[5]{254803968}

\displaystyle = 254803968^{1/5} = 48


For den geometriske rekken/følgen over blir:


\displaystyle \overline{X}_{G.M.} = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_1 k \cdot a_1 k^2 \cdot ... \cdot a_1 k^{n-2} \cdot a_1 k^{n-1}}


\displaystyle = (a_1)^{\frac{n}{n}} \sqrt[n]{k \cdot k^2 \cdot ... \cdot k^{n-2} \cdot k^{n-1}}


\displaystyle =\Large a_1 \sqrt[n]{(k^n)^{\frac{n-1}{2}} }


\displaystyle =\textstyle a_1 \cdot k^{\frac{n(n-1)}{n \cdot 2}}


\displaystyle =\displaystyle a_1 \cdot k^{\frac{n-1}{2}}


En tredje middelverdi er det harmoniske gjennomsnittet {\overline{X}_{H.M.}} Gitt at vi har n forskjellige tall {x_1 , ... , x_n}. Harmonisk middelverdi defineres:

\displaystyle \overline{X}_{H.M.} = ({\frac{x_1^{-1} + ... + x_n^{-1}}{n}})^{-1} = \frac{n}{x_1^{-1} + ... + x_n^{-1}} = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + ... + \frac{1}{x_n}}


Følgende rekke kalles den harmoniske rekken:

\displaystyle 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} + ...


Man kan betrakte de fem første leddene

\displaystyle 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}


\displaystyle \overline{X}_{H.M.} = \frac{n}{x_1^{-1} + ... + x_n^{-1}}

\displaystyle = \frac{5}{1 + 2 + 3 + 4 + 5} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}


Det harmoniske snittet for denne rekken er altså det samme som leddet midt i rekken. Betrakter man videre de seks første leddene

\displaystyle 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6}

vil


\displaystyle \overline{X}_{H.M.} = \frac{n}{x_1^{-1} + ... + x_n^{-1}}

\displaystyle = \frac{6}{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6} = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}


Dette er også leddet «i midten»:

\displaystyle \frac{1}{3}, \frac{1}{3,5}, \frac{1}{4}

\displaystyle \frac{1}{3,5} = \frac{2}{7}


Når antall ledd i den harmoniske rekken er et oddetall finner vi harmonisk middel direkte midt i rekken. Når antall ledd er et partall, blir det harmoniske middel 1 delt på gjennomsnittet {\overline{X}_{A.M.}} av tallene i nevner for de to midterste ledd. Altså noe som ligner å finne median.

Sammenhengen mellom de tre middelverdier er


\displaystyle \overline{X}_{H.M.} \leq \overline{X}_{G.M.} \leq \overline{X}_{A.M.}

 

Her kommer løsningsforslag av forrige måneds:

OPPGAVE 71 – FINN SUMMEN

De naturlige tallene er hele og positive tall: 1, 2, 3, …

Rekken av oddetallene kan skrives 1 + 3 + 5 + 7 + … + 2n – 1

der n er et naturlig tall. Kan du finne en sum for rekken av oddetallene uttrykket ved n?

(antar her at n er endelig, altså ikke en uendelig rekke av oddetall)

Svar:

Dette er summen for en aritmetisk rekke

\displaystyle \sum a_n = \frac{a_1 + a_n}{2} n

der første ledd er {a_1 = 1} og siste ledd er {a_n = 2n - 1}


\displaystyle 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 2n - 1 = \frac{1 + 2n -1}{2} n = \frac{2n}{2} n = n \cdot n = n^2


Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 72 – MIDDELVERDIER

A) Gitt tallene 2, 4, 8, 16 og 1024. Finn {\overline{X}_{G.M.}}

B) Gitt en aritmetisk rekke fra 1 til 100.

1) Finn {\overline{X}_{A.M.}}

2) d= 1. Finn rekkens sum.

C) Gitt de fem første naturlige tallene 1, 2, 3, 4 og 5.

Finn {\overline{X}_{H.M.}}

Neste artikkel kommer i april. Hilsen erty56.

Artikkelen kan lastes ned som pdf-fil her:

folger_rekker_middelverdi

NY MATTENØTT + FASIT OPPGAVE 70 27. februar 2016

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Denne gangen kommer bare en ny mattenøtt. Innlegget neste måned vil gå nøyere inn på teori tilknyttet oppgave 71.

 

OPPGAVE 71 – FINN SUMMEN

De naturlige tallene er hele og positive tall: 1, 2, 3, …

Rekken av oddetallene kan skrives 1 + 3 + 5 + 7 + … + 2n – 1

der n er et naturlig tall

Kan du finne en sum for rekken av oddetallene uttrykket ved n?

(antar her at n er endelig, altså ikke en uendelig rekke av oddetall)

 

Her kommer løsningsforslag av forrige måneds:

OPPGAVE 70 – GEOMETRISKE FORHOLD

Et kvadrat er innskrevet i en sirkel. Sirkelen er innskrevet i en likesidet trekant. Finn forholdet mellom arealet av kvadratet {A_1}, sirkelen {A_2} og trekanten {A_3}, altså {A_1 : A_2 : A_3} . Skisse:

t10b

 

 

 

 

 

 

 

 

(Hint: Uttrykk alle tre arealene ved radius i sirkelen r. Trekanten er et polygon, så benytt arealformelen {A = \frac{1}{2} a \cdot p})

t10c

 

 

 

 

 

 

 

 

Sirkelen:

\displaystyle A_2 = \pi \cdot r^2

Kvadratet:

\displaystyle x^2 + x^2 = (2r)^2

\displaystyle 2x^2 = 4r^2

\displaystyle x^2 = 2r^2

\displaystyle A_1 = x^2 = 2r^2

Trekanten:

\displaystyle \tan 30^{\circ} = \frac {r}{\frac{1}{2} s}

\displaystyle \frac{1}{2} s = \frac{r}{\tan 30^{\circ}}

\displaystyle s = \frac{2r}{\tan 30^{\circ}}

Trekanten er et regulært polygon med apothem {a = r} og omkrets {p = 3s}

\displaystyle A_3 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot p

\displaystyle A_3 = \frac{1}{2} \cdot r \cdot 3s

\displaystyle A_3 = \frac{1}{2} \cdot r \cdot 3 \cdot \frac{2r}{\tan 30^{\circ}}

\displaystyle A_3 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}} \cdot r^2

\displaystyle A_3 = 3 \sqrt{3} r^2

 

Konklusjon:

\displaystyle A_1 : A_2 : A_3 = 2r^2 : \pi r^2 : 3 \sqrt{3} r^2 = 2 : \pi : 3 \sqrt{3}

 

Neste artikkel kommer i mars. Hilsen erty56.

%d bloggers like this: