Realfagshjørnet

JULENØTTER 2019 – FASIT 8. januar 2020

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

JULENØTTER 2019

Til slutt i innlegget følger en ny mattenøtt.

OPPGAVE 144 – KORTSTOKK

A) Man har 3 kort. Hvor mange rekkefølger kan de stokkes i?

B) Man har 5 kort. Hvor mange rekkefølger kan de stokkes i?

Generelt kan n elementer ordnes i n! rekkefølger.

$\displaystyle n! = n \cdot (n-1) \cdot ... \cdot 1$

A) Svar: 3! = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6

B) Svar: 5! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120

OPPGAVE 145 – TALLREKKE MED ET AVVIK

Gitt tallene 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 22, 34, 55. Hvilket tall hører ikke hjemme her?

Bytter man ut 22 med 21, vil hvert tall være summen av de to forrige tallene. Svar: 22 hører ikke hjemme her. Dette er forøvrig de første tallene i Fibonacci-tallfølgen. Det er en matematisk tallfølge man finner igjen i visse systemer i naturen.

OPPGAVE 146 – LETT GEOMETRI VI

Gitt en sirkel som på figuren under. Arealet av det skraverte(grå) området er A = ½π – 1

Hva blir arealet A av trekanten (blå farge) ?

Hint: Se OPPGAVE 143 – LETT GEOMETRI V

Arealet av kvartsirkelen er det samme som arealet av trekanten pluss arealet av det skraverte(grå) området.

$\displaystyle A(kvartsirkel) = A(trekant) + A(skravert)$

$\displaystyle \frac{1}{4} \pi r^2 = \frac{1}{2} r^2 + \frac{1}{2} \pi - 1$

$\displaystyle (\frac{1}{4} \pi - \frac{1}{2}) r^2 = \frac{1}{2} \pi - 1$

$\displaystyle r^2 = \frac{\frac{1}{2} \pi - 1}{\frac{1}{4} \pi - \frac{1}{2}} = \frac{2 (\frac{1}{4} \pi - \frac{1}{2})}{\frac{1}{4} \pi - \frac{1}{2}} = 2$

$\displaystyle \Downarrow$

$\displaystyle r = \sqrt{2}$

$\displaystyle A(trekant) = \frac{1}{2} r^2 = \frac{1}{2} (\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$

OPPGAVE 147 – REKKE AV PARTALL

Gitt en følge av n partall 2, 4, 6, … , 2n. Hva blir rekkens sum, dvs.

$\displaystyle \Sigma = 2 + 4 + 6 + ... + 2n$

Dette er en aritmetisk rekke med første ledd 2 og siste ledd 2n. Summen blir gjennomsnittet av første og siste ledd ganger antall ledd n, dvs:

$\displaystyle \Sigma = 2 + 4 + 6 + ... + 2n = \frac{2 + 2n}{2} \cdot n = \frac{2 (1 + n)}{2} \cdot n = n (n + 1)$

OPPGAVE 148 – NOE VANSKELIG GEOMETRI II

Gitt linjen XY. CZ står vinkelrett på linjen XY. AX og BY er parallelle med CZ. AY og BX skjærer hverandre i C. Se figur:

Vis at

$\displaystyle \frac{1}{CZ} = \frac{1}{AX} + \frac{1}{BY}$

Trekantene AXY og CZY er formlike:

$\displaystyle \Delta AXY \sim \Delta CZY$

$\displaystyle \frac{AX}{XY} = \frac{CZ}{ZY}$

$\displaystyle ZY = \frac{CZ \cdot XY}{AX}$

Trekantene CXZ og BXY er formlike:

$\displaystyle \Delta CXZ \sim \Delta BXY$

$\displaystyle \frac{CZ}{XZ} = \frac{BY}{XY}$

$\displaystyle XZ = \frac{CZ \cdot XY}{BY}$

$\displaystyle XZ + ZY = XY$

$\displaystyle \frac{CZ \cdot XY}{BY} + \frac{CZ \cdot XY}{AX} = XY$

$\displaystyle (\frac{CZ \cdot XY}{BY} + \frac{CZ \cdot XY}{AX}) \cdot \frac{1}{XY} = XY \cdot \frac{1}{XY}$

$\displaystyle \frac{CZ}{BY} + \frac{CZ}{AX} = 1$

$\displaystyle (\frac{CZ}{BY} + \frac{CZ}{AX}) \cdot \frac{1}{CZ} = 1 \cdot \frac{1}{CZ}$

$\displaystyle \frac{1}{BY} + \frac{1}{AX} = \frac{1}{CZ}$

$\displaystyle \frac{1}{CZ} = \frac{1}{AX} + \frac{1}{BY}$

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 149 – NOE VANSKELIG GEOMETRI III

Gitt følgende figur:

Trekanten ABC har en innskrevet sirkel som tangerer alle sidene i trekanten. En slik sirkel kalles innsirkelen. Halveringslinjene til vinklene skjærer hverandre i innsenteret I, det samme som sentrum i sirkelen.

Vis at arealet av trekanten er det samme som radius r ganger halvparten av trekantens omkrets p, dvs:

$\displaystyle A(\Delta ABC) = r \cdot p$

Neste artikkel kommer i februar. Hilsen erty56.

JULENØTTER 2019 19. desember 2019

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Denne gangen kommer julenøtter i form av noen nye matematiske quiz og grublerier:

OPPGAVE 144 – KORTSTOKK

A) Man har 3 kort. Hvor mange rekkefølger kan de stokkes i?

B) Man har 5 kort. Hvor mange rekkefølger kan de stokkes i?

OPPGAVE 145 – TALLREKKE MED ET AVVIK

Gitt tallene 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 22, 34, 55. Hvilket tall hører ikke hjemme her?

OPPGAVE 146 – LETT GEOMETRI VI

Gitt en sirkel som på figuren under. Arealet av det skraverte(grå) området er A = ½π – 1

Hva blir arealet A av trekanten (blå farge) ?

Hint: Se OPPGAVE 143 – LETT GEOMETRI V

OPPGAVE 147 – REKKE AV PARTALL

Gitt en følge av n partall 2, 4, 6, … , 2n. Hva blir rekkens sum, dvs.

$\displaystyle \Sigma = 2 + 4 + 6 + ... + 2n$

OPPGAVE 148 – NOE VANSKELIG GEOMETRI II

Gitt linjen XY. CZ står vinkelrett på linjen XY. AX og BY er parallelle med CZ. AY og BX skjærer hverandre i C. Se figur:

Vis at

$\displaystyle \frac{1}{CZ} = \frac{1}{AX} + \frac{1}{BY}$

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 143 – LETT GEOMETRI V

Gitt en sirkel (svart farge) med en trekant i blå farge som på figuren:

Arealet av trekanten er A=2. Hva blir radius r i sirkelen?

I trekanten er både grunnlinje og høyde det samme som radius i sirkelen. Ergo blir

$\displaystyle \frac{r^2}{2} = 2$

$\displaystyle r^2 = 4$

$\displaystyle r = 2$

Svar: Radius r=2.

Løsningsforslag til julenøttene (OPPGAVE 144 – 148) blir lagt ut her på Realfagshjørnet i januar. God jul! Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 143 24. november 2019

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt.

OPPGAVE 143 – LETT GEOMETRI V

Gitt en sirkel (svart farge) med en trekant i blå farge som på figuren:

Arealet av trekanten er A=2. Hva blir radius r i sirkelen?

Løsningsforslag kommer i neste måned. Da vil det også bli lagt ut julenøtter. Hilsen erty56.

GRUNNLEGGENDE MENGDELÆRE 13. oktober 2019

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
Tags: matematikk nøtter, matte nøtter, mattenøtter
add a comment

Hei igjen!

Denne artikkelen gir en innføring i mengdelære. Notasjonsforklaringer står til slutt.

1 Innledning

En mengde betegnes med tegnene { og }. Innholdet i mengden er elementer. F.eks. er {a , b} mengden av a og b.

Rekkefølgen av elementene har ingenting å si, så {a , b} = {b , a} osv. Gitt annengradsligningen

$\displaystyle x^2 - 3x + 2 = 0$

$\displaystyle \Downarrow$

$\displaystyle x = 1 \indent \vee \indent x = 2$

$\displaystyle \Updownarrow$

$\displaystyle L = \{1 , 2\}$

L er løsningsmengden. Dette kan også skrives

$\displaystyle x \in \{1 , 2\}$

Like mengder har eksakt de samme elementene. F.eks.

$\displaystyle \{1 , 2 , 3\} = \{1 , 3 , 2 \} = \{3 , 1 , 2 \}$

osv. Ekvivalente mengder har like mange elementer. F.eks.

$\displaystyle \{1 , 2 , 3\} \sim \{a , b , c \} \sim \{r , w , g \}$

osv. Det har ingenting å si hva elementene er igjen, bare antallet.

Den tomme mengde betegnes ∅. Den er helt tom og inneholder ingen elementer. Ikke engang null. Den kan skrives

$\displaystyle \emptyset = \{ \}$

Gitt annengradsligningen

$\displaystyle x^2 = -1$

$\displaystyle \Downarrow$

$\displaystyle L = \emptyset$

Løsningsmengden er tom. Det finnes jo ingen løsninger av denne ligningen.

Alle mengder har delmengder. Man kan konstruere $2^n$ delmengder av en mengde med n elementer. Gitt mengden {1 , 2 , 3}. Den har tre elementer. Dette gir 2³ = 8 delmengder:

$\displaystyle \{1 , 2 , 3\}$

$\displaystyle \{1 , 2\}$

$\displaystyle \{1 , 3\}$

$\displaystyle \{2 , 3\}$

$\displaystyle \{1\}$

$\displaystyle \{2\}$

$\displaystyle \{3\}$

$\displaystyle \{ \}$

Altså alt fra den tomme mengde til hele mengden.

2 Definisjoner ved illustrasjoner

Unionen av to mengder A og B skrives

$\displaystyle A \cup B$

Unionen av to mengder A og B er mengden av alle elementer som er med i A og B og begge. Se figur II.

Snittet av to mengder A og B skrives

$\displaystyle A \cap B$

Snittet av to mengder A og B er mengden av alle elementer som bare er med i både A og B. Se figur III. (Snittet er det skraverte).

En delmengde A av B skrives

$\displaystyle A \subseteq B$

A er en delmengde av B. Hele A ligger i B, men B kan være større enn A. Se figur I. (A er det skraverte).

På figuren er faktisk A en ekte delmengde av B, dvs. A ⊂ B. Med dette menes at B har minst ett element mer enn A.

Disjunkte mengder A og B har tomt snitt, dvs.

$\displaystyle A \cap B = \emptyset$

De er adskilte og har ingen felles mengde eller elementer. Figur:

3 Generelle definisjoner og setninger

Definisjon mengde

$\displaystyle (y \textrm{ \ er \ en \ mengde}) \Leftrightarrow (\exists x) (x \in y \vee y = \emptyset)$

Definisjon den tomme mengde

$\displaystyle \emptyset = x \Leftrightarrow (\forall y) (y \notin x)$

Definisjon union

$\displaystyle (A \cup B = y) \Leftrightarrow (\forall x)(x \in y \Leftrightarrow x \in A \vee x \in B)$

$\displaystyle \wedge \ (y \textrm{ \ er \ en \ mengde})$

Av dette følger at

$\displaystyle A \cup B = B \cup A$

$\displaystyle A \cup A = A$

$\displaystyle A \cup \emptyset = A$

Definisjon snitt

$\displaystyle (A \cap B = y) \Leftrightarrow (\forall x)(x \in y \Leftrightarrow x \in A \wedge x \in B)$

$\displaystyle \wedge \ (y \textrm{ \ er \ en \ mengde})$

Av dette følger at

$\displaystyle A \cap B = B \cap A$

$\displaystyle A \cap A = A$

$\displaystyle A \cap \emptyset = \emptyset$

Definisjon delmengde

$\displaystyle A \subseteq B \Leftrightarrow (\forall x) (x \in A \Rightarrow x \in B)$

Av dette følger at

$\displaystyle A \subseteq A$

$\displaystyle (A \subseteq B \wedge B \subseteq A) \Rightarrow A = B$

$\displaystyle A \subseteq \emptyset \Rightarrow A = \emptyset$

Definisjon ekte delmengde

$\displaystyle A \subset B \Leftrightarrow (A \subseteq B \wedge A \neq B)$

Av dette følger at

$\displaystyle A \subset B \Rightarrow A \subseteq B$

Definisjon differensmengde

$\displaystyle A \backslash B = y \Leftrightarrow (\forall x)(x \in y \Leftrightarrow x \in A \wedge x \notin B) \wedge (y \textrm{ \ er \ en \ mengde})$

Av dette følger at

$\displaystyle A \backslash A = \emptyset$

$\displaystyle (A \cup B) \backslash B = A \backslash B$

$\displaystyle (A \cap B) \backslash B = \emptyset$

4 Notasjonsforklaringer

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 142 – HARMONISK REKKE

Følgende rekke kalles den harmoniske rekke:

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} + ...$

Finn

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$

Løsningsforslag:

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$

$\displaystyle = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + ... + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) + ...$

$\displaystyle = (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} + ...) - (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n}+\frac{1}{n+1} + ...)$

$\displaystyle = 1 - \lim_{n\to\ \infty} \frac{1}{n+1} = 1 - \lim_{n\to\ \infty} \frac{\frac{1}{n}}{1 + \frac{1}{n}} = 1 - \frac{0}{1 + 0} = 1 - 0 = 1$

Neste artikkel kommer i november. Hilsen erty56.

Artikkelen kan lastes ned som pdf-fil her:

GRUNNLEGGENDE_MENGDELÆRE

MATTENØTT NR. 142 24. september 2019

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
Tags: matematikk nøtter, matte nøtter, mattenøtter
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt.

OPPGAVE 142 – HARMONISK REKKE

Følgende rekke kalles den harmoniske rekke:

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} + ...$

Finn

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 141 – KVADRATRØTTER II

Gitt

$\displaystyle \sqrt{x^4 - 4x^2 - 6x + 13} = -x + 3$

Finn x.

Hint: Det blir fire løsninger.

Løsningsforslag:

$\displaystyle \sqrt{x^4 - 4x^2 - 6x + 13} = -x + 3$

$\displaystyle (\sqrt{x^4 - 4x^2 - 6x + 13})^2 = (-x + 3)^2$

$\displaystyle x^4 - 4x^2 - 6x + 13 = x^2 - 6x + 9$

$\displaystyle x^4 - 5x^2 + 4 = 0$

Setter y = x² Dette gir:

$\displaystyle y^2 - 5y + 4 = 0$

$\displaystyle (y - \frac{5}{2})^2 = -4 + (-\frac{5}{2})^2$

$\displaystyle (y - \frac{5}{2})^2 = \frac{9}{4}$

$\displaystyle \sqrt{(y - \frac{5}{2})^2} = \sqrt{\frac{9}{4}}$

$\displaystyle y - \frac{5}{2} = \pm \frac{3}{2}$

$\displaystyle y = \pm \frac{3}{2} + \frac{5}{2}$

$\displaystyle y = 1 \indent \vee \indent y = 4$

Deretter

$\displaystyle x^2 = 1 \indent \vee \indent x^2 = 4$

$\displaystyle \sqrt{x^2} = \sqrt{1} \indent \vee \indent \sqrt{x^2} = \sqrt{4}$

$\displaystyle x = \pm 1 \indent \vee \indent x = \pm 2$

$\displaystyle x = -1 \indent \vee \indent x = 1 \indent \vee \indent x = -2 \indent \vee \indent x = 2$

Ved kvadrering legges iblant til falske løsninger. Det har imidlertid ikke skjedd her. Alle fire løsninger passer i det opprinnelige uttrykket.

Neste artikkel kommer i oktober. Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 141 18. august 2019

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
Tags: matematikk nøtter, matte nøtter, mattenøtter
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt.

OPPGAVE 141 – KVADRATRØTTER II

Gitt

$\displaystyle \sqrt{x^4 - 4x^2 - 6x + 13} = -x + 3$

Finn x.

Hint: Det blir fire løsninger.

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 140 – TO SVÆRT ENKLE OPPGAVER

A) En fotball veier 1 kg. i tillegg til halvparten av sin egen vekt. Hvor mye veier fotballen?

Kaller fotballens vekt for x. Dette gir:

$\displaystyle 1 \ kg. + \frac{1}{2}x = x$

$\displaystyle \frac{1}{2}x = 1 \ kg.$

$\displaystyle x = 2 \ kg.$

Svar: Fotballen veier 2 kg.

B) En basketball veier 2 kg. i tillegg til 1/3 av sin egen vekt. Hvor mye veier basketballen?

Kaller basketballens vekt for x. Dette gir:

$\displaystyle 2 \ kg. + \frac{1}{3}x = x$

$\displaystyle \frac{2}{3}x = 2 \ kg.$

$\displaystyle x = 3 \ kg.$

Svar: Basketballen veier 3 kg.

Neste artikkel kommer i september. Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 140 24. juli 2019

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
Tags: matematikk nøtter, matte nøtter, mattenøtter
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt.

OPPGAVE 140 – TO SVÆRT ENKLE OPPGAVER

A) En fotball veier 1 kg. i tillegg til halvparten av sin egen vekt. Hvor mye veier fotballen?

B) En basketball veier 2 kg. i tillegg til 1/3 av sin egen vekt. Hvor mye veier basketballen?

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 139 – NOE VANSKELIG ALGEBRA

Gitt en tredjegradsligning

$\displaystyle ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$

med tre løsninger. Den ene løsningen er den geometriske middelverdien av de to andre løsningene, dvs.

$\displaystyle x_3 = \sqrt{x_1 x_2}$

Finn sammenhengen mellom a, b, c og d.

Hint: Man skal ende opp med et uttrykk med kun a, b, c og d.

Løsningsforslag:

Man skriver først opp ligningen på redusert form ved å dividere med a:

$\displaystyle ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$

$\displaystyle x^3 + \frac{b}{a} x^2 + \frac{c}{a} x + \frac{d}{a} = 0$

Følgende tre sammenhenger mellom løsningene og koeffisientene a, b, c, og d, gjelder alltid for en tredjegradsligning på redusert form:

$\displaystyle x_1 + x_2 + x_3 = - \frac{b}{a}$

$\displaystyle x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = \frac{c}{a}$

$\displaystyle x_1 x_2 x_3 = - \frac{d}{a}$

Siden

$\displaystyle x_3 = \sqrt{x_1 x_2}$

blir disse tre:

$\displaystyle x_1 + x_2 + \sqrt{x_1 x_2} = - \frac{b}{a}$

$\displaystyle x_1 x_2 + x_1 \sqrt{x_1 x_2} + x_2 \sqrt{x_1 x_2} = \frac{c}{a}$

$\displaystyle x_1 x_2 \sqrt{x_1 x_2} = - \frac{d}{a}$

$\displaystyle \sqrt{x_{1}^2 x_{2}^2 x_1 x_2} = - \frac{d}{a}$

$\displaystyle \sqrt{x_{1}^3 x_{2}^3} = - \frac{d}{a}$

$\displaystyle (x_{1} x_{2})^{\frac{3}{2}} = - \frac{d}{a}$

$\displaystyle ((x_{1} x_{2})^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{3}} = (- \frac{d}{a})^{\frac{1}{3}}$

$\displaystyle (x_{1} x_{2})^{\frac{1}{2}} = (- \frac{d}{a})^{\frac{1}{3}}$

$\displaystyle \sqrt{x_1 x_2} = (- \frac{d}{a})^{\frac{1}{3}}$

$\displaystyle x_1 x_2 + x_1 \sqrt{x_1 x_2} + x_2 \sqrt{x_1 x_2} = \frac{c}{a}$

$\displaystyle \sqrt{x_1 x_2} (\sqrt{x_1 x_2} + x_1 + x_2) = \frac{c}{a}$

$\displaystyle \Downarrow$

$\displaystyle (- \frac{d}{a})^{\frac{1}{3}} (- \frac{b}{a}) = \frac{c}{a}$

$\displaystyle [(- \frac{d}{a})^{\frac{1}{3}} (- \frac{b}{a})]^3 = [\frac{c}{a}]^3$

$\displaystyle - \frac{d}{a} (- \frac{b^3}{a^3}) = \frac{c^3}{a^3}$

$\displaystyle \frac{b^3 d}{a^4} = \frac{c^3}{a^3}$

$\displaystyle \frac{b^3 d}{a^4} - \frac{c^3}{a^3} = 0$

$\displaystyle \frac{b^3 d - ac^3}{a^4} = 0$

$\displaystyle \Downarrow$

$\displaystyle b^3 d - ac^3 = 0$

Neste artikkel kommer i august. Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 139 20. juni 2019

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
Tags: matematikk nøtter, matte nøtter, mattenøtter
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt.

OPPGAVE 139 – NOE VANSKELIG ALGEBRA

Gitt en tredjegradsligning

$\displaystyle ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$

med tre løsninger. Den ene løsningen er den geometriske middelverdien av de to andre løsningene, dvs.

$\displaystyle x_3 = \sqrt{x_1 x_2}$

Finn sammenhengen mellom a, b, c og d.

Hint: Man skal ende opp med et uttrykk med kun a, b, c og d.

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 138 – GEOMETRISKE FORHOLD IV

Gitt en sirkel med radius r som på figuren under (svart farge).

Sirkelen inneholder to kvadrater (begge i blå farge). Hva blir forholdet mellom arealet av det største kvadratet og det minste kvadratet?

Hint: Finn begge kvadrater ved radius i sirkelen.

Først en ny skisse:

Arealet av det største kvadratet med sider s kan finnes ved pytagoras setning:

$\displaystyle (\frac{s}{2})^2 + (\frac{s}{2})^2 = r^2$

$\displaystyle \frac{1}{4} s^2 + \frac{1}{4} s^2 = r^2$

$\displaystyle \frac{1}{2} s^2 = r^2$

$\displaystyle s^2 = 2r^2$

Arealet av det minste kvadratet med sider l kan finnes ved pytagoras setning, og deretter regne en annengradsligning med l som den ukjente:

$\displaystyle (\frac{1}{2} l)^2 + (l + \frac{1}{2} s)^2 = r^2$

$\displaystyle \frac{1}{4} l^2 + l^2 + l s + \frac{1}{4} s^2 = r^2$

$\displaystyle \frac{5}{4} l^2 + l s + \frac{1}{4} s^2 = r^2$

$\displaystyle s^2 = 2r^2 \Rightarrow s = \sqrt{2} r$

$\displaystyle \frac{5}{4} l^2 + l s + \frac{1}{4} s^2 = r^2 \indent \wedge \indent s^2 = 2r^2 \indent \wedge \indent s = \sqrt{2} r$

$\displaystyle \Downarrow$

$\displaystyle \frac{5}{4} l^2 + l (\sqrt{2} r) + \frac{1}{4} \cdot 2r^2 = r^2$

$\displaystyle \frac{5}{4} l^2 + \sqrt{2} r l = \frac{1}{2} r^2$

$\displaystyle l^2 + \frac{4 \sqrt{2}}{5} r l = \frac{2}{5} r^2$

$\displaystyle (l + \frac{4 \sqrt{2}}{10} r)^2 = \frac{2}{5} r^2 + (\frac{4 \sqrt{2}}{10} r)^2$

$\displaystyle (l + \frac{4 \sqrt{2}}{10} r)^2 = \frac{2}{5} r^2 + \frac{32}{100} r^2$

$\displaystyle (l + \frac{4 \sqrt{2}}{10} r)^2 = \frac{72}{100} r^2$

$\displaystyle \sqrt{(l + \frac{4 \sqrt{2}}{10} r)^2} = \sqrt{\frac{72}{100} r^2}$

$\displaystyle l + \frac{4 \sqrt{2}}{10} r = \pm \frac{\sqrt{72}}{10} r$

$\displaystyle l = \pm \frac{\sqrt{72}}{10} r - \frac{4 \sqrt{2}}{10} r$

Siden l er en lengde blir

$\displaystyle l = \frac{\sqrt{72}}{10} r - \frac{4 \sqrt{2}}{10} r = \frac{\sqrt{72} - 4 \sqrt{2}}{10} r = \frac{\sqrt{2}}{5} r$

$\displaystyle \Downarrow$

$\displaystyle l^2 = 0,08 r^2$

Forholdet mellom arealet av det største kvadratet og det minste kvadratet blir:

$\displaystyle s^2 : l^2 = 2 r^2 : 0,08 r^2 = 2 : 0,08 = 25 : 1$

Neste artikkel kommer i juli. Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 138 22. mai 2019

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
Tags: matematikk nøtter, matte nøtter, mattenøtter
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt. Denne ligner på forrige måneds mattenøtt. Se løsningsforslag nedenfor.

OPPGAVE 138 – GEOMETRISKE FORHOLD IV

Gitt en sirkel med radius r som på figuren under (svart farge).

Sirkelen inneholder to kvadrater (begge i blå farge). Hva blir forholdet mellom arealet av det største kvadratet og det minste kvadratet?

Hint: Finn begge kvadrater ved radius i sirkelen.

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 137 – GEOMETRISKE FORHOLD III

Gitt en sirkel med radius r som på figuren under (svart farge).

Den har et innskrevet og et omskrevet kvadrat (begge i blå farge). Hva blir forholdet mellom arealet av det omskrevne kvadratet og det innskrevne kvadratet?

Arealet av det omskrevne kvadratet med sider l:

$\displaystyle l^2 = (2r)^2 = 4r^2$

Arealet av det innskrevne kvadratet med sider s kan finnes ved pytagoras setning:

$\displaystyle (\frac{s}{2})^2 + (\frac{s}{2})^2 = r^2$

$\displaystyle \frac{1}{4} s^2 + \frac{1}{4} s^2 = r^2$

$\displaystyle \frac{1}{2} s^2 = r^2$

$\displaystyle s^2 = 2r^2$

Forholdet mellom arealet av det omskrevne kvadratet og det innskrevne kvadratet blir:

$\displaystyle l^2 : s^2 = 4r^2 : 2r^2 = 4 : 2 = 2 : 1$

Neste artikkel kommer i juni. Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 137 24. april 2019

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
Tags: matematikk nøtter, matte nøtter, mattenøtter
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 137 – GEOMETRISKE FORHOLD III

Gitt en sirkel med radius r som på figuren under (svart farge).

Den har et innskrevet og et omskrevet kvadrat (begge i blå farge). Hva blir forholdet mellom arealet av det omskrevne kvadratet og det innskrevne kvadratet?

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 136 – KVADRATRØTTER

A) Gitt

$\displaystyle \sqrt{6 + 5 \sqrt{2}} = \sqrt{6 + x \sqrt{2}}$

Finn x

Denne oppgaven krever egentlig ingen regning. Uttrykket på venstre side(VS) er det samme som uttrykket på høyre side(HS) ved x = 5. Svaret er derfor x = 5.

B) Gitt

$\displaystyle \sqrt{94 + 81 \sqrt{4}} = x + 8$

Finn x

$\displaystyle \sqrt{94 + 81 \sqrt{4}} = x + 8$

$\displaystyle \sqrt{94 + 81 \cdot 2} = x + 8$

$\displaystyle \sqrt{94 + 162} = x + 8$

$\displaystyle \sqrt{256} = x + 8$

$\displaystyle 16 = x + 8$

$\displaystyle x = 16 - 8 = 8$

Neste artikkel kommer i mai. Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 136 17. mars 2019

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
Tags: matematikk nøtter, matte nøtter, mattenøtter
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 136 – KVADRATRØTTER

A) Gitt

$\displaystyle \sqrt{6 + 5 \sqrt{2}} = \sqrt{6 + x \sqrt{2}}$

Finn x

B) Gitt

$\displaystyle \sqrt{94 + 81 \sqrt{4}} = x + 8$

Finn x

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 135 – FUNKSJON II

Gitt

$\displaystyle f(x) = \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}$

Denne funksjonen har vært brukt tidligere i oppgave 84. Hensikten da var å studere funksjonens symmetri egenskaper. Hensikten denne gangen er å studere funksjonens verdimengde.

A) Regn ut

$\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x) = \lim_{x\to-\infty} \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}$

$\displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x) = \lim_{x\to\infty} \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}$

Hint:

$\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x) = \lim_{x\to\infty} f(x)$

$\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x) = \lim_{x\to-\infty} \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}$

$\displaystyle = \lim_{x\to-\infty} \frac{x^2 - 4}{x^2} = \lim_{x\to-\infty} \frac{(x^2 - 4) \cdot \frac{1}{x^2}}{x^2 \cdot \frac{1}{x^2}}$

$\displaystyle = \lim_{x\to-\infty} \frac{1 - \frac{4}{x^2}}{1} = \frac{1 - 0}{1} = \frac{1}{1} = 1$

$\displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x) = \lim_{x\to\infty} \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}$

$\displaystyle = \lim_{x\to\infty} \frac{x^2 - 4}{x^2} = \lim_{x\to\infty} \frac{(x^2 - 4) \cdot \frac{1}{x^2}}{x^2 \cdot \frac{1}{x^2}}$

$\displaystyle = \lim_{x\to\infty} \frac{1 - \frac{4}{x^2}}{1} = \frac{1 - 0}{1} = \frac{1}{1} = 1$

B) Regn ut

$\displaystyle \lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^-} \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}$

$\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^+} \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}$

Hint:

$\displaystyle \lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^+} f(x)$

$\displaystyle \lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^-} \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}$

$\displaystyle = \lim_{x\to 0^-} \frac{x^2 - 4}{x^2} = \frac{\lim \limits_{x\to 0^-}x^2 - 4}{\lim \limits_{x\to 0^-} x^2}$

$\displaystyle = \frac{-4}{\lim \limits_{x\to 0^-} x^2} = -\infty$

$\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^+} \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}$

$\displaystyle = \lim_{x\to 0^+} \frac{x^2 - 4}{x^2} = \frac{\lim \limits_{x\to 0^+} x^2 - 4}{\lim \limits_{x\to 0^+} x^2}$

$\displaystyle = \frac{-4}{\lim \limits_{x\to 0^+} x^2} = -\infty$

C) Definisjonsmengden $D_f$ er x-verdiene der funksjonen er definert, og verdimengden $V_f$ er f(x)-verdiene funksjonen har. Definisjonsmengden til f(x) er her alle reelle tall unntatt null, dvs $D_f \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$

Finn verdimengden $V_f$

Deriverer funksjonen:

$\displaystyle D[f(x)] = D[\frac{(x+2)(x-2)}{x^2}] = D[\frac{x^2 - 4}{x^2}]$

$\displaystyle = \frac{D[x^2 - 4] x^2 - (x^2 - 4) D[x^2]}{(x^2)^2}$

$\displaystyle = \frac{(2x - 0) x^2 - (x^2 - 4) 2x}{x^4} = \frac{2x^3 - 2x^3 + 8x}{x^4} = \frac{8x}{x^4}$

$\displaystyle 8x = 0 \indent \wedge \indent x^4 = 0$

$\displaystyle x = 0 \indent \wedge \indent x = 0$

Fortegnsskjema:

Utifra fortegnsskjemaet og grenseverdiene i A) og B) er verdimengden

$\displaystyle V_f \in \langle \gets , 1 \rangle$

(Altså alle reelle tall mindre enn 1)

Her gjengis løsningsforslaget fra

JULENØTTER 2016

OPPGAVE 84 – FUNKSJON

Gitt

$\displaystyle f(x) = \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}$

A) Vis at f(-2) = f(2)

$\displaystyle f(-2) = \frac{(-2+2)(-2-2)}{(-2)^2} = \frac{0(-4)}{4} = 0$

$\displaystyle f(2) = \frac{(2+2)(2-2)}{2^2} = \frac{4 \cdot 0}{4} = 0$

$\displaystyle f(-2) = f(2) = 0$

B) For hvilke a er f(-a)=f(a)?

$\displaystyle f(-a) = f(a)$

$\displaystyle \frac{(-a+2)(-a-2)}{(-a)^2}= \frac{(a+2)(a-2)}{a^2}$

$\displaystyle \frac{(a^2 + 2a - 2a -4)}{a^2}= \frac{(a^2 - 2a + 2a - 4)}{a^2}$

$\displaystyle \frac{a^2 - 4}{a^2}= \frac{a^2 - 4}{a^2}$

$\displaystyle \frac{0}{a^2}= 0$

Konklusjon: $a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$

Funksjonen er altså symmetrisk om annenaksen i hele definisjonsmengden. Her er funksjonen tegnet opp:

Neste artikkel kommer i april. Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 135 24. februar 2019

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
Tags: matematikk nøtter, matte nøtter, mattenøtter
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 135 – FUNKSJON II

Gitt

$\displaystyle f(x) = \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}$

A) Regn ut

$\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x) = \lim_{x\to-\infty} \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}$

$\displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x) = \lim_{x\to\infty} \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}$

Hint:

$\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x) = \lim_{x\to\infty} f(x)$

B) Regn ut

$\displaystyle \lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^-} \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}$

$\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^+} \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}$

Hint:

$\displaystyle \lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^+} f(x)$

Finn verdimengden $V_f$

Denne funksjonen har vært brukt tidligere i oppgave 84. Her gjengis løsningsforslaget fra

JULENØTTER 2016

OPPGAVE 84 – FUNKSJON

Gitt

$\displaystyle f(x) = \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}$

A) Vis at f(-2) = f(2)

$\displaystyle f(-2) = \frac{(-2+2)(-2-2)}{(-2)^2} = \frac{0(-4)}{4} = 0$

$\displaystyle f(2) = \frac{(2+2)(2-2)}{2^2} = \frac{4 \cdot 0}{4} = 0$

$\displaystyle f(-2) = f(2) = 0$

B) For hvilke a er f(-a)=f(a)?

$\displaystyle f(-a) = f(a)$

$\displaystyle \frac{(-a+2)(-a-2)}{(-a)^2}= \frac{(a+2)(a-2)}{a^2}$

$\displaystyle \frac{(a^2 + 2a - 2a -4)}{a^2}= \frac{(a^2 - 2a + 2a - 4)}{a^2}$

$\displaystyle \frac{a^2 - 4}{a^2}= \frac{a^2 - 4}{a^2}$

$\displaystyle \frac{0}{a^2}= 0$

Konklusjon: $a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 134 – POLYNOMDIVISJON

$\displaystyle (x + 1)$ er faktor i $\displaystyle x^3 - 2x^2 - x + 2$

Finn løsningene til

$\displaystyle x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0$

Den ene løsningen finnes ved

$\displaystyle x + 1 = 0$

$\displaystyle x = -1$

Utfører polynomdivisjon:

$\displaystyle \underline{(x^3 - 2x^2 - x + 2)} : (x+1) = x^2 - 3x + 2$

$\displaystyle -(x^3 + x^2)$

$\displaystyle \underline{= -3x^2 - x + 2}$

$\displaystyle -(-3x^2 -3x)$

$\displaystyle \underline{= 2x + 2}$

$\displaystyle -(2x + 2)$

$\displaystyle =0$

De to andre løsningene finnes ved

$\displaystyle x^2 - 3x + 2 = 0$

$\displaystyle (x - \frac{3}{2})^2 = -2 + (-\frac{3}{2})^2$

$\displaystyle (x - \frac{3}{2})^2 = -2 + (\frac{9}{4})$

$\displaystyle (x - \frac{3}{2})^2 = \frac{1}{4}$

$\displaystyle \sqrt{(x - \frac{3}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4}}$

$\displaystyle x - \frac{3}{2} = \pm \frac{1}{2}$

$\displaystyle x = \pm \frac{1}{2} + \frac{3}{2}$

$\displaystyle x = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \indent \vee \indent x = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$\displaystyle \Downarrow$

$\displaystyle L = \{ -1, 1, 2 \}$

Neste innlegg kommer i mars. Hilsen erty56.

JULENØTTER 2018 – FASIT 12. januar 2019

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
Tags: matematikk nøtter, matte nøtter, mattenøtter
add a comment

Hei igjen!

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

JULENØTTER 2018

Til slutt i innlegget følger en ny mattenøtt.

OPPGAVE 128 – BANKINNSKUDD

Per setter inn 15.000 kr på en innskuddskonto. Renten er 7 % årlig. Hva er beløpet vokst til etter 3 år?

Man anvender

$\displaystyle K = a (1 + \frac{p}{100})^n$

der a er innskudd, n antall år, p rente og K er resultatet.

$\displaystyle K = 15.000 \, kr \, (1 + \frac{7}{100})^3$

$\displaystyle K = 15.000 \, kr \, (1 + 0,07)^3$

$\displaystyle K = 15.000 \, kr \, (1,07)^3$

$\displaystyle K = 15.000 \, kr \, \cdot 1,225043 = 18.375,645 \, kr \,$

OPPGAVE 129 – ANTALL KULER

En eske inneholder blå, røde, gule, svarte og grønne kuler. For hver kule er det 5 til med samme farge. Hvor mange kuler er det i esken?

For hver kule er det 5 til, gir 6 kuler med samme farge. 5 forskjellige farger gir totalt 6 x 5 = 30 kuler.

OPPGAVE 130 – LETT GEOMETRI IV

Et kvadrat med sider lik 1 har en innskrevet sirkel. Det er et fargelagt kvadrat inne i sirkelen som vist på figuren:

A) Hva blir arealet av sirkelen?

En halv side gir radius r = ½. Arealet av sirkelen blir:

$\displaystyle A = \pi r^2 = \pi (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} \pi$

B) Hva blir arealet av det fargelagte kvadratet?

En side s i det fargelagte kvadratet finnes ved Pytagoras setning:

$\displaystyle (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 = s^2$

$\displaystyle s^2 = (\frac{1}{4}) + (\frac{1}{4})$

$\displaystyle s^2 = (\frac{2}{4})$

$\displaystyle s^2 = (\frac{1}{2})$

$\displaystyle s = \sqrt{\frac{1}{2}}$

Arealet av det fargelagte kvadratet blir:

$\displaystyle A = s^2 = (\sqrt{\frac{1}{2}})^2 = \frac{1}{2}$

OPPGAVE 131 – VOLUM FORHOLD

Gitt en terning med sider 1, og en sylinder med radius r=1 og høyde h=1. Hva blir forholdet mellom volumet av sylinderen og terningen?

$\displaystyle V_{sylinder} : V_{terning} = \pi r^2 h : s^3 = \pi \cdot 1^2 \cdot 1 : 1^3 = \pi : 1$

OPPGAVE 132 – TREDJEGRADSLIGNING

$\displaystyle (2x - 1)(x + 2)(x + 3) = ax^3 + bx^2 + cx + d$

Regn ut

$\displaystyle a + b + c + d$

$\displaystyle (2x - 1)(x + 2)(x + 3) = ax^3 + bx^2 + cx + d$

$\displaystyle (2x - 1)(x^2 + 3x + 2x + 6) = ax^3 + bx^2 + cx + d$

$\displaystyle (2x - 1)(x^2 + 5x + 6) = ax^3 + bx^2 + cx + d$

$\displaystyle (2x^3 + 10x^2 + 12x - x^2 - 5x - 6) = ax^3 + bx^2 + cx + d$

$\displaystyle 2x^3 + 9x^2 + 7x - 6 = ax^3 + bx^2 + cx + d$

Så

$\displaystyle a=2, b=9, c=7, d=-6$

Altså blir

$\displaystyle a + b + c + d = 2 + 9 + 7 - 6 = 12$

OPPGAVE 133 – FUNKSJONSOPPGAVE II

Gitt $\displaystyle f(x) = 2x^2 - 13x + n$ og $\displaystyle f(n) = -18$

Hva blir $\displaystyle f(4)$ ?

Mer om løsning av annengradsligninger finnes her:

ANNENGRADSLIGNINGER OG PARABELEN

Løsningsforslag:

$\displaystyle f(n) = -18$

$\displaystyle 2n^2 - 13n + n = -18$

$\displaystyle 2n^2 - 12n = -18$

$\displaystyle n^2 - 6n = -9$

$\displaystyle (n - 3)^2 = -9 + (-3)^2$

$\displaystyle (n - 3)^2 = 0$

$\displaystyle \sqrt{(n - 3)^2} = \sqrt{0}$

$\displaystyle (n - 3) = 0$

$\displaystyle n = 3$

Til slutt:

$\displaystyle f(x) = 2x^2 - 13x + n = 2x^2 - 13x + 3$

$\displaystyle f(4) = 2 \cdot 4^2 - 13 \cdot 4 + 3 = 2 \cdot 16 - 52 + 3 = 32 - 49 = -17$

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 134 – POLYNOMDIVISJON

$\displaystyle (x + 1)$ er faktor i $\displaystyle x^3 - 2x^2 - x + 2$

Finn løsningene til

$\displaystyle x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0$

Neste innlegg kommer i februar. Hilsen erty56.

JULENØTTER 2018 17. desember 2018

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
Tags: matematikk nøtter, matte nøtter, mattenøtter
add a comment

Hei igjen!

Denne gangen kommer julenøtter i form av noen nye matematiske quiz og grublerier:

OPPGAVE 128 – BANKINNSKUDD

Per setter inn 15.000 kr på en innskuddskonto. Renten er 7 % årlig. Hva er beløpet vokst til etter 3 år?

OPPGAVE 129 – ANTALL KULER

En eske inneholder blå, røde, gule, svarte og grønne kuler. For hver kule er det 5 til med samme farge. Hvor mange kuler er det i esken?

OPPGAVE 130 – LETT GEOMETRI IV

Et kvadrat med sider lik 1 har en innskrevet sirkel. Det er et fargelagt kvadrat inne i sirkelen som vist på figuren:

A) Hva blir arealet av sirkelen?

B) Hva blir arealet av det fargelagte kvadratet?

OPPGAVE 131 – VOLUM FORHOLD

Gitt en terning med sider 1, og en sylinder med radius r=1 og høyde h=1. Hva blir forholdet mellom volumet av sylinderen og terningen?

OPPGAVE 132 – TREDJEGRADSLIGNING

$\displaystyle (2x - 1)(x + 2)(x + 3) = ax^3 + bx^2 + cx + d$

Regn ut

$\displaystyle a + b + c + d$

OPPGAVE 133 – FUNKSJONSOPPGAVE II

Gitt $\displaystyle f(x) = 2x^2 - 13x + n$ og $\displaystyle f(n) = -18$

Hva blir $\displaystyle f(4)$ ?

Mer om løsning av annengradsligninger finnes her:

ANNENGRADSLIGNINGER OG PARABELEN

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 127 – TREKANTER IV

Gitt en halvsirkel med radius r = 1. CD er forlengelsen av diameteren med lengden CD = 1. AD er tangent til halvsirkelen. B ligger midt på sirkelbuen AC. Figur:

A) Hva blir lengden av AD ?

Først en ny skisse:

I og med at AD er tangent til halvsirkelen, er vinkelen EAD 90 grader. Pytagoras setning gir:

$\displaystyle (EA)^2 + (AD)^2 = (ED)^2$

$\displaystyle (r)^2 + (AD)^2 = (r+1)^2$

$\displaystyle (1)^2 + (AD)^2 = (1+1)^2$

$\displaystyle (AD)^2 = (2)^2 - 1$

$\displaystyle (AD)^2 = 4 - 1$

$\displaystyle (AD)^2 = 3$

$\displaystyle AD = \sqrt{3}$

B) Hva blir lengden av BD ?

Sinussetningen gir:

$\displaystyle \frac{\sin 2\alpha}{AD} = \frac{\sin 90^{\circ}}{ED}$

$\displaystyle \sin 2\alpha = \frac{AD \sin 90^{\circ}}{ED}$

$\displaystyle \sin 2\alpha = \frac{\sqrt{3} \cdot 1}{2}$

$\displaystyle \sin 2\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\displaystyle 2\alpha = 60^{\circ}$

$\displaystyle \alpha = 30^{\circ}$

Cosinussetningen gir:

$\displaystyle BD^2 = EB^2 + ED^2 - 2 \cdot EB \cdot ED \cos \alpha$

$\displaystyle BD^2 = r^2 + 2^2 - 2 \cdot r \cdot 2 \cos 30^{\circ}$

$\displaystyle BD^2 = 1^2 + 2^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2 \cos 30^{\circ}$

$\displaystyle BD^2 = 1 + 4 - 2 \cdot 1 \cdot 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\displaystyle BD^2 = 5 - 2 \sqrt{3}$

$\displaystyle BD = \sqrt{5 - 2 \sqrt{3}}$

Løsningsforslag til julenøttene blir lagt ut her på Realfagshjørnet i januar. God jul! Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 127 30. november 2018

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
Tags: matematikk nøtter, matte nøtter, mattenøtter
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 127 – TREKANTER IV

Gitt en halvsirkel med radius r = 1. CD er forlengelsen av diameteren med lengden CD = 1. AD er tangent til halvsirkelen. B ligger midt på sirkelbuen AC. Figur:

A) Hva blir lengden av AD ?

B) Hva blir lengden av BD ?

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 126 – SPESIELL EKSPONENT

Gitt

$\displaystyle 3^{2x^2 - 7x + 3} = 4^{x^2 - x -6}$

Finn verdiene av x.

Hint: Man kan løse denne ved å først ta logaritmen til begge sider, og deretter regne en annengradsligning. Det blir to reelle løsninger. Mer om løsning av annengradsligninger finnes her:

ANNENGRADSLIGNINGER OG PARABELEN

Løsningsforslag etter hintet:

$\displaystyle 3^{2x^2 - 7x + 3} = 4^{x^2 - x -6}$

$\displaystyle \ln (3^{2x^2 - 7x + 3}) = \ln (4^{x^2 - x -6})$

$\displaystyle (2x^2 - 7x + 3) \ln 3 = (x^2 - x -6) \ln 4$

$\displaystyle x^2 (2 \ln 3 - \ln 4) + x (-7 \ln 3 + \ln 4) + 3 \ln 3 + 6 \ln 4 = 0$

$\displaystyle x = \frac{7 \ln 3 - \ln 4 \pm \sqrt{(-7 \ln 3 + \ln 4)^2 - 4 (2 \ln 3 - \ln 4)(3 \ln 3 + 6 \ln 4)}}{2 (2 \ln 3 - \ln 4)}$

$\displaystyle x = \frac{7 \ln 3 - \ln 4 \pm \sqrt{49 (\ln 3)^2 - 14 \ln 3 \ln 4 + (\ln 4)^2 + (-8 \ln 3 + 4 \ln 4)(3 \ln 3 + 6 \ln 4)}}{2 (2 \ln 3 - \ln 4)}$

$\displaystyle x = \frac{7 \ln 3 - \ln 4 \pm \sqrt{49 (\ln 3)^2 - 14 \ln 3 \ln 4 + (\ln 4)^2 - 24(\ln 3)^2 - 36 (\ln 3)(\ln 4) + 24 (\ln 4)^2)}}{2 (2 \ln 3 - \ln 4)}$

$\displaystyle x = \frac{7 \ln 3 - \ln 4 \pm \sqrt{25 (\ln 3)^2 - 50 \ln 3 \ln 4 + 25 (\ln 4)^2}}{2 (2 \ln 3 - \ln 4)}$

$\displaystyle x = \frac{7 \ln 3 - \ln 4 \pm \sqrt{5^2 (\ln 3 - \ln 4)^2}}{2 (2 \ln 3 - \ln 4)}$

$\displaystyle x = \frac{7 \ln 3 - \ln 4 \pm 5 (\ln 3 - \ln 4)}{2 (2 \ln 3 - \ln 4)}$

$\displaystyle x = \frac{7 \ln 3 - \ln 4 + 5 (\ln 3 - \ln 4)}{2 (2 \ln 3 - \ln 4)} \vee x = \frac{7 \ln 3 - \ln 4 - 5 (\ln 3 - \ln 4)}{2 (2 \ln 3 - \ln 4)}$

$\displaystyle x = \frac{12 \ln 3 - 6 \ln 4}{2 (2 \ln 3 - \ln 4)} \vee x = \frac{2 \ln 3 + 4 \ln 4}{4 \ln 3 - 2 \ln 4}$

$\displaystyle x = \frac{6 (2 \ln 3 - \ln 4)}{2 (2 \ln 3 - \ln 4)} \vee x = \frac{\ln 3 + 2 \ln 4}{2 \ln 3 - \ln 4}$

$\displaystyle x = \frac{6}{2} \vee x = \frac{\ln 3 + \ln (4^2)}{\ln (3^2) - \ln 4}$

$\displaystyle x = 3 \vee x = \frac{\ln 3 + \ln 16}{\ln 9 - \ln 4}$

$\displaystyle x = 3 \vee x = \frac{\ln 48}{\ln 9 - \ln 4}$

Julenøtter kommer i desember. Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 126 + UTLEDNING NR. 125 22. oktober 2018

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
Tags: matematikk nøtter, matte nøtter, mattenøtter
add a comment

Hei igjen!

Denne gangen kommer en ny mattenøtt og løsningsforslag til forrige måneds oppgave 125. Til slutt følger utledning av teoremet man bruker for å løse oppgave 125. Først en ny mattenøtt:

OPPGAVE 126 – SPESIELL EKSPONENT

Gitt

$\displaystyle 3^{2x^2 - 7x + 3} = 4^{x^2 - x -6}$

Finn verdiene av x.

Hint: Man kan løse denne ved å først ta logaritmen til begge sider, og deretter regne en annengradsligning. Det blir to reelle løsninger. Mer om løsning av annengradsligninger finnes her:

ANNENGRADSLIGNINGER OG PARABELEN

Løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 125 – PARALLELLOGRAM

Gitt et parallellogram med sider √12 og √50 og lengste diagonal 9. Figur:

Hva blir lengden av den korte diagonalen x (blå farge) ?

Løsningsforslag:

I et parallellogram er kvadratet av lengden av sidene det samme som kvadratet av lengden av diagonalene. Det gir:

$\displaystyle \sqrt{50}^2 + \sqrt{12}^2 +\sqrt{50}^2 + \sqrt{12}^2 = 9^2 + x^2$

$\displaystyle 50 + 12 + 50 + 12 = 81 + x^2$

$\displaystyle x^2 + 81 = 124$

$\displaystyle x^2 = 43$

$\displaystyle \Downarrow$

$\displaystyle x = \sqrt{43}$

Her følger utledning av teoremet man har brukt til å løse oppgave 125:

I et parallellogram er de to korte sidene parallelle og like lange og de to lange sidene er parallelle og like lange. En vektor er et orientert linjestykke, dvs. den har både lengde og retning. Kaller vektoren langs den lange siden for $\vec{v}$ og langs den korte siden for $\vec{u}$ . Dermed blir den lengste diagonalen $\vec{v} + \vec{u}$ og den korte diagonalen $\vec{v} - \vec{u}$ Se figur:

Lengden av en vektor $\vec{v}$ betegnes $\mid \vec{v} \mid$

Skalarproduktet av to vektorer $\vec{v}$ og $\vec{u}$ er definert

$\displaystyle \vec{v} \cdot \vec{u} = \mid \vec{v} \mid \cdot \mid \vec{u} \mid \cdot \cos \alpha$

der $\alpha$ er vinkelen mellom $\vec{v}$ og $\vec{u}$

Skalarproduktet av to like vektorer blir altså

$\displaystyle \vec{v}^2 = \vec{v} \cdot \vec{v} = \mid \vec{v} \mid \cdot \mid \vec{v} \mid \cdot \cos 0^{\circ} = \mid \vec{v} \mid \cdot \mid \vec{v} \mid = \mid \vec{v} \mid^2$

Skalarproduktet m.h.p. $\vec{v} \cdot \vec{u}$ og $- \vec{v} \cdot \vec{u}$ blir

$\displaystyle \vec{v} \cdot \vec{u} - \vec{v} \cdot \vec{u} = \mid \vec{v} \mid \cdot \mid \vec{u} \mid \cdot \cos \alpha - (\mid \vec{v} \mid \cdot \mid \vec{u} \mid \cdot \cos \alpha) = 0$

Man regner ut kvadratet av lengden av diagonalene:

$\displaystyle \mid \vec{v} + \vec{u} \mid ^2 + \mid \vec{v} - \vec{u} \mid ^2$

$\displaystyle = (\vec{v} + \vec{u})^2 + (\vec{v} - \vec{u})^2$

$\displaystyle = (\vec{v} + \vec{u})(\vec{v} + \vec{u}) + (\vec{v} - \vec{u})(\vec{v} - \vec{u})$

$\displaystyle = \vec{v}^2 + 2 \vec{v} \vec{u} + \vec{u}^2 + \vec{v}^2 - 2 \vec{v} \vec{u} + \vec{u}^2$

$\displaystyle = 2\vec{v}^2 + 2\vec{u}^2 + 2(\vec{v} \vec{u} - \vec{v} \vec{u})$

$\displaystyle = 2\vec{v}^2 + 2\vec{u}^2$

$\displaystyle = 2 \mid \vec{v} \mid^2 + 2 \mid \vec{u} \mid^2$

Altså er:

$\displaystyle \mid \vec{v} \mid^2 + \mid \vec{u} \mid^2 + \mid \vec{v} \mid^2 + \mid \vec{u} \mid^2 = \mid \vec{v} + \vec{u} \mid ^2 + \mid \vec{v} - \vec{u} \mid ^2$

Man har vist at i et parallellogram er kvadratet av lengden av sidene det samme som kvadratet av lengden av diagonalene.

Neste artikkel kommer i november. Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 125 28. september 2018

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
Tags: matematikk nøtter, matte nøtter, mattenøtter
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 125 – PARALLELLOGRAM

Gitt et parallellogram med sider √12 og √50 og lengste diagonal 9. Figur:

Hva blir lengden av den korte diagonalen x (blå farge) ?

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 124 – TO KVADRATER

A) Regn ut

$\displaystyle (\sqrt{11} + \sqrt{176})^2$

$\displaystyle (\sqrt{11} + \sqrt{176})^2 = (\sqrt{11} + \sqrt{16 \cdot 11})^2$

$\displaystyle = (\sqrt{11} + \sqrt{4^2 \cdot 11})^2 = (\sqrt{11} + 4 \sqrt{11})^2$

$\displaystyle = (5 \sqrt{11})^2 = 5^2 \cdot 11 = 25 \cdot 11 = 275$

B) Regn ut

$\displaystyle (\sqrt{13} + \sqrt{52} + \sqrt{117})^2$

$\displaystyle (\sqrt{13} + \sqrt{52} + \sqrt{117})^2 = (\sqrt{13} + \sqrt{4 \cdot 13} + \sqrt{9 \cdot 13})^2$

$\displaystyle = (\sqrt{13} + \sqrt{2^2 \cdot 13} + \sqrt{3^2 \cdot 13})^2 = (\sqrt{13} + 2 \cdot \sqrt{13} + 3 \cdot \sqrt{13})^2$

$\displaystyle = (6 \sqrt{13})^2 = 6^2 \cdot 13 = 36 \cdot 13 = 468$

Neste artikkel kommer i oktober. Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 124 29. august 2018

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
Tags: matematikk nøtter, matte nøtter, mattenøtter
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 124 – TO KVADRATER

A) Regn ut

$\displaystyle (\sqrt{11} + \sqrt{176})^2$

B) Regn ut

$\displaystyle (\sqrt{13} + \sqrt{52} + \sqrt{117})^2$

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 123 – SIRKLER III

Et regulært heksagon(6-kant med like sider) er innskrevet i en sirkel. Figur:

Arealet av heksagonet er $A = 9 \sqrt{3}$

Hva blir radius i sirkelen?

Først en ny skisse:

$\displaystyle \alpha = \frac{360 ^{\circ}}{6} = 60^{\circ}$

$\displaystyle A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot p = \frac{1}{2} \cdot a \cdot 6s = 3 \cdot a \cdot s$

$\displaystyle cos (\frac{1}{2} \alpha) = \frac{a}{r} \indent og \indent sin (\frac{1}{2} \alpha) = \frac{\frac{1}{2} s}{r} = \frac{s}{2r}$

$\displaystyle a = r \cdot cos (\frac{1}{2} \alpha) \indent og \indent s = 2r \cdot sin (\frac{1}{2} \alpha)$

$\displaystyle 3 \cdot a \cdot s = A$

$\displaystyle 3 \cdot r \cdot cos (\frac{1}{2} \alpha) \cdot 2r \cdot sin (\frac{1}{2} \alpha) = A$

$\displaystyle 6 \cdot r^2 \cdot cos (\frac{1}{2} \alpha) \cdot sin (\frac{1}{2} \alpha) = A$

$\displaystyle 6 \cdot r^2 \cdot cos (30^{\circ}) \cdot sin (30^{\circ}) = 9 \sqrt{3}$

$\displaystyle 6 \cdot r^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} = 9 \sqrt{3}$

$\displaystyle r^2 = \frac{2 \cdot 2 \cdot 9 \cdot \sqrt{3}}{6 \cdot \sqrt{3}} = 6$

$\displaystyle \Downarrow$

$\displaystyle r = \sqrt{6}$

Neste artikkel kommer i september. Hilsen erty56.

MATTENØTT NR.123 24. juli 2018

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
Tags: matematikk nøtter, matte nøtter, mattenøtter
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 123 – SIRKLER III

Et regulært heksagon(6-kant med like sider) er innskrevet i en sirkel. Figur:

Arealet av heksagonet er $A = 9 \sqrt{3}$

Hva blir radius i sirkelen?

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 122 – SIRKLER II

Gitt to sirkler som på figuren under. Korden i den største sirkelen (blå strek) tangerer den minste sirkelen. Sentrum i den store og lille sirkelen faller sammen. Figur:

Korden har lengden 10. Hva blir arealet av området mellom den lille og store sirkelen?

Først en ny skisse:

$\displaystyle x + x = 10$

$\displaystyle 2x = 10$

$\displaystyle x = 5$

Pytagoras setning gir:

$\displaystyle r^2 + x^2 = R^2$

$\displaystyle R^2 - r^2 = x^2$

$\displaystyle R^2 - r^2 = 5^2$

$\displaystyle R^2 - r^2 = 25$

Arealet av området mellom den lille og store sirkelen blir:

$\displaystyle \Delta A = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi (R^2 - r^2) = 25 \pi$

Neste artikkel kommer i august. Løsningsforslag til mattenøttene legges alltid ut i neste innlegg(neste måned). Hilsen erty56.

MATTENØTT NR.122 17. juni 2018

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
Tags: matematikk nøtter, matte nøtter, mattenøtter
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 122 – SIRKLER II

Gitt to sirkler som på figuren under. Korden i den største sirkelen (blå strek) tangerer den minste sirkelen. Sentrum i den store og lille sirkelen faller sammen. Figur:

Korden har lengden 10. Hva blir arealet av området mellom den lille og store sirkelen?

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 121 – OMVENDTE FUNKSJONER

Gitt $f(x) = \sqrt{x + 3}$

A) Finn definisjonsmengden og verdimengden til $f(x)$

Definisjonsmengden $D_f$ er x-verdiene der funksjonen er definert, og verdimengden $V_f$ er f(x)-verdiene funksjonen har. Radikanden(tallet inne i kvadratroten) må være større enn eller lik null.

$\displaystyle x + 3 \geq 0$

$\displaystyle x \geq -3$

$\displaystyle \Downarrow$

Svar: $D_f \in [-3 , \rightarrow \rangle$ og $V_f \in [ 0 , \rightarrow \rangle$

B) Finn den omvendte funksjonen til $f(x)$ , dvs. $f ^{-1} (x)$

Man har gitt funksjonen $y = f(x)$ og skal finne den omvendte funksjonen $x = g(y)$

$\displaystyle y = f(x)$

$\displaystyle y = \sqrt{x + 3}$

$\displaystyle y^2 = x + 3$

$\displaystyle x = y^2 - 3$

$\displaystyle g(y) = y^2 - 3$

Man foretar skiftet $y \rightarrow x$ og $g(y) \rightarrow f ^{-1} (x)$

Svar: $f ^{-1} (x) = x^2 - 3$ der $x \geq 0$

C) Finn definisjonsmengden og verdimengden til $f ^{-1} (x)$

For alle omvendte funksjoner $y = f(x)$ og $x = g(y)$ er

$\displaystyle D_f = V_g \indent V_f = D_g$

$\displaystyle D_g \in [ 0 , \rightarrow \rangle \indent V_g \in [-3 , \rightarrow \rangle$

Svar: $D_{f ^{-1}} \in [ 0 , \rightarrow \rangle$ og $V_{f ^{-1}} \in [-3 , \rightarrow \rangle$

Her er $f(x) = \sqrt{x + 3}$ og $f ^{-1} (x) = x^2 - 3$ tegnet opp. $f(x)$ i lilla farge og $f ^{-1} (x)$ i blå farge.

To omvendte funksjoner ligger alltid symmetrisk om en symmetrilinje som på figuren.

Neste artikkel kommer i juli. Hilsen erty56.

« older posts

Realfagshjørnet

JULENØTTER 2019 – FASIT 8. januar 2020

JULENØTTER 2019 19. desember 2019

MATTENØTT NR. 143 24. november 2019

GRUNNLEGGENDE MENGDELÆRE 13. oktober 2019

1 Innledning

2 Definisjoner ved illustrasjoner

3 Generelle definisjoner og setninger

4 Notasjonsforklaringer

MATTENØTT NR. 142 24. september 2019

MATTENØTT NR. 141 18. august 2019

MATTENØTT NR. 140 24. juli 2019

MATTENØTT NR. 139 20. juni 2019

MATTENØTT NR. 138 22. mai 2019

MATTENØTT NR. 137 24. april 2019

MATTENØTT NR. 136 17. mars 2019

MATTENØTT NR. 135 24. februar 2019

JULENØTTER 2018 – FASIT 12. januar 2019

JULENØTTER 2018 17. desember 2018

MATTENØTT NR. 127 30. november 2018

MATTENØTT NR. 126 + UTLEDNING NR. 125 22. oktober 2018

MATTENØTT NR. 125 28. september 2018

MATTENØTT NR. 124 29. august 2018

MATTENØTT NR.123 24. juli 2018

MATTENØTT NR.122 17. juni 2018

Kategorier

Arkiv

Kilder

Realfagshjørnet

JULENØTTER 2019 – FASIT 8. januar 2020

Share this:

Lik dette:

JULENØTTER 2019 19. desember 2019

Share this:

Lik dette:

MATTENØTT NR. 143 24. november 2019

Share this:

Lik dette:

GRUNNLEGGENDE MENGDELÆRE 13. oktober 2019

1 Innledning

2 Definisjoner ved illustrasjoner

3 Generelle definisjoner og setninger

4 Notasjonsforklaringer

Share this:

Lik dette:

MATTENØTT NR. 142 24. september 2019

Share this:

Lik dette:

MATTENØTT NR. 141 18. august 2019

Share this:

Lik dette:

MATTENØTT NR. 140 24. juli 2019

Share this:

Lik dette:

MATTENØTT NR. 139 20. juni 2019

Share this:

Lik dette:

MATTENØTT NR. 138 22. mai 2019

Share this:

Lik dette:

MATTENØTT NR. 137 24. april 2019

Share this:

Lik dette:

MATTENØTT NR. 136 17. mars 2019

Share this:

Lik dette:

MATTENØTT NR. 135 24. februar 2019

Share this:

Lik dette:

JULENØTTER 2018 – FASIT 12. januar 2019

Share this:

Lik dette:

JULENØTTER 2018 17. desember 2018

Share this:

Lik dette:

MATTENØTT NR. 127 30. november 2018

Share this:

Lik dette:

MATTENØTT NR. 126 + UTLEDNING NR. 125 22. oktober 2018

Share this:

Lik dette:

MATTENØTT NR. 125 28. september 2018

Share this:

Lik dette:

MATTENØTT NR. 124 29. august 2018

Share this:

Lik dette:

MATTENØTT NR.123 24. juli 2018

Share this:

Lik dette:

MATTENØTT NR.122 17. juni 2018

Share this:

Lik dette:

Kategorier

Arkiv

Blogroll

Kilder