jump to navigation

ARITMETISK OG GEOMETRISK RENTE 31. oktober 2013

Posted by erty56 in Matematikk.
trackback

Hei igjen!

Denne gangen tar jeg for meg forskjellen mellom geometrisk og aritmetisk rente, og hva dette innebærer. Dersom man plasserer 100 kr i banken med pålydende 10% rente blir dette verdt 110 kr etter et år. Verdien etter 3 år er imidlertid ikke 100 kr + 10 kr + 10 kr + 10 kr = 130 kr. Den er

100 kr x 1,1 x 1,1 x 1,1 = 100 kr x 1,1³  = 133,10 kr

Differensen 133,10 kr – 130 kr = 3,10 kr kalles gjerne en rentesrente-effekt. Bankinnskudd osv. følger en geometrisk rente og ikke den vanlige aritmetiske renten. Den pålydende renten er alltid oppgitt i aritmetisk rente. Generelt gjelder: La kapitalen a forrente seg med p % rente. Etter n år har kapitalen a vokst til

K = a (1 + p/100)n

(1 + p/100) kalles vekstfaktoren. Vekstfaktoren kan også benyttes for regnestykker der p er negativ. La oss si at boligprisene hadde 0 % endring gjennom 5 år, og Per kjøpte en bolig til 1000 kr. Denne hadde en slitasje som gjorde den 3% mindre verdt pr. år. Da ville regnestykket blitt slik:

K = 1000 kr (1 – 3/100)= 1000 kr x 0,975 = 858,73403 kr = ca. 859 kr

Investeringen har altså gitt et tap på ca. (1000 – 859) kr = 141 kr. I dette tilfellet er den aritmetiske summen (3% x 1000 kr x 5) = (0,03 x 1000 kr x 5) = 150 kr. Her blir effekten av geometrisk betraktning altså at a(1000 kr) avtar mindre enn ved aritmetisk betraktning. Det er den geometriske som er riktig i praksis. Inflasjonen er holdt utenfor i begge tilfeller. Svært mye innen økonomien beveger seg med geometrisk endring. Meningen i dette innlegget er kun å belyse de teoretiske sidene ved dette. Men skal man lage realistiske modeller som gjelder i praksis må også inflasjon, skatt osv. taes med. Systemet som imidlertid alltid vil dukke opp er at dersom p>0 vil man få en rentesrente-effekt og dersom p<0 vil a avta litt saktere enn et rent aritmetisk oppsett. Dette ser vi på vekstfaktoren som bestemmer endring pr. år:

p>0  (1+p/100) > 1

p<0  (1+p/100) < 1

Multipliserer man a med et tall større enn 1, vil dette være større enn a. Multipliserer man a med et tall mindre enn 1, vil dette være mindre enn a. Vekstfaktoren opphøyes i n og gjennom n år vil vekstfaktoren forsterke enn økning og redusere en nedgang, målt mot aritmetisk betraktning. n må ikke være eksakt et år. Formelen kan anvendes dersom n er en dag eller hva det måtte være slags fast tidsperiode.

Man kan også sette opp regnestykker med forskjellige vekstfaktorer. La oss si at Per eide et aksjefond og dette endret seg slik i løpet av 5 dager:

dag            endring

1                 1,2%
2                 2,0%
3                -3,4 %
4                 2,9%
5                 1,6%

Den aritmetisk summen (1,2 + 2,0 -3,4 + 2,9 + 1,6) % = 4,3 % er ikke Pers totale avkastning. Man multipliserer vekstfaktorene

(1 +1,2/100)(1 + 2,0/100)(1-3,4/100)(1+2,9/100)(1+1,6/100) = 1,042478

(1 + p/100) = 1,042478

p/100 = 1,042478 – 1

p = 0,042478 x 100 = 4,2478 %

Avkastningen blir altså 4,2478 %. Her er det veldig liten forskjell på aritmetisk og geometrisk avkastning. Over lang tid kan imidlertid forskjellen bli større. Skal vi finne den daglige geometriske avkastingen blir formelen

(1 + p/100)5 = 1,042478

(1 + p/100)5 x 0,2 = 1,0424780,2

1 + p/100 = 1,0083548

p/100 = 1,0083548 – 1

p = 0,0083548 x 100 = 0,83548 %

Skal vi finne den daglige aritmetiske avkastningen blir den enkelt og greit 4,3 % / 5 = 0,86 % Aritmetisk gjennomsnitt/middelverdi for n forskjellige tall  x1 ,x2 , … , xn er definert slik:

 x_middel

For å illustrere prosentregning i videre forstand tar vi for oss følgende eksempel: En aksje faller fra 100 kr til 50 kr og stiger deretter tilbake til 100 kr. Først er endringen -50 kr/100 kr = – 0,5, altså -50 %. Neste endring er 50 kr/50 kr = 1, altså 100 % Som dere kanskje har sett hittil i dette innlegget tilsvarer slike intervaller 0-1 i deler 0-100 i prosent. Oppgaven denne gangen blir å finne et tall der man anvender teori angitt i dette innlegget:

OPPGAVE 30 – AKSJE MED ENORME SVINGNINGER

En aksje synker 50,4 % første dag, endrer seg x % andre dag og stiger 27,9 % tredje dag. Dersom prisen var 100 kr ved inngangen til første dag og endte på 120 kr etter tredje dags stigning, hva er x?

Her kommer løsningsforslag av forrige måned mattenøtt:

OPPGAVE 29 – FINN BRØKEN

løsninga

løsningb

 

Neste artikkel kommer i november. Hilsen erty56

Reklamer

Kommentarer»

No comments yet — be the first.

Legg igjen en kommentar

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut /  Endre )

Google-bilde

Du kommenterer med bruk av din Google konto. Logg ut /  Endre )

Twitter-bilde

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut /  Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut /  Endre )

Kobler til %s

Dette nettstedet bruker Akismet for å redusere spam. Lær hvordan dine kommentardata behandles..

%d bloggere like this: