jump to navigation

LITT OM MATEMATISK ANALYSE 31. januar 2014

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
trackback

Hei igjen!

Idag tenkte jeg å si litt om matematisk analyse. I grunnskolen består jo matematikkfaget stort sett av enkel regning. I videregående skole kommer en mer formell og teoretisk matematikk. På universitetsnivå blir matematikkfaget enda mer teoretisk og mye mer abstrakt. Man betrakter bl.a. matematisk analyse. Det er riktignok et skille mellom universitet og høyskoler. Universitetsmatematikk har ikke nødvendigvis engang noen anvendelse utenfor matematikken selv. Mens den på høyskolene gjerne er mer praktisk, typisk for bruk i f.eks. økonomi eller ingeniørfag.

Matematikken har et grunnsett av aksiomer. Dette er absolutte sannheter som må godtas og de kan ikke bevises. Et eksempel på et aksiom er: Et plan er definert av en linje og et punkt der punktet ikke ligger på linjen, eller av tre punkter der man ikke kan trekke en rett linje gjennom alle tre. Utifra aksiomene har man utledede teoremer ved hjelp av streng logikk. Matematiske prinsipper (utenom aksiomene) må bevises for å vedtas. Et slikt bevis har meget strenge krav for å kunne godtas. Kun et mot-eksempel forkaster en hypotese vi gjerne ville ha bevist, selv om hypotesen skulle være gyldig på aldri så mange andre eksempler. Det finnes diskusjoner omkring aksiomer og matematisk teori generelt. Aksiomene må selvsagt ikke være i strid med hverandre. Det er forøvrig ikke slik at vi idag har en komplett matematisk teori. Det er faktisk ting vi ikke vet. Vi har bl.a. paradokser innen mengdelæren og oppgaver som er uløste osv. Det er t.o.m. utlovet store priser og pengebeløp til de som måtte kunne klare å gi en (strengt logisk, selvsagt) løsning av uløste matematiske gåter.

Noe av det første man tar for seg i matematisk analyse er aritmetikkens fundamentalteorem. Et naturlig tall er alle hele og positive tall. Dvs. 1,2,3,…… Aritmetikkens fundamentalteorem sier at alle naturlige tall n>1 kun kan faktoriseres til primtall på en måte. Dvs. som et produkt av primtall, men at rekkefølgen til tallene i produktet er likegyldig. F.eks:

6 = 2 x 3 = 3 x 2

24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 2 x 3 x 2 x 2

osv.

En neste grunnleggende ting innen matematisk analyse er gjerne analysens fundamentalteorem. Det sier kort fortalt: Gitt en funksjon definert på en lukket mengde [a , b] som er kontinuerlig. En kontinuerlig funksjon er en sammenhengende funksjon. Da er funksjonen integrerbar på ethvert intervall [a , x] der a ≤ x ≤ b. Funksjonen

int

er deriverbar og

der

Analysens fundamentalteorem har også et ganske spennende aspekt ved seg. Vi kan finne arealet under en graf ved å integrere funksjonen til denne grafen. Matematisk skrives dette A(x) = ∫ f(x) dx
A(x) er arealet og ∫ f(x) dx er den integrerte av funksjonen. Her følger et teoretisk oppsett fra en bok jeg har skrevet som viser dette:

a(x)


Merknad: I en praktisk oppgave ville vi gjerne hatt at dx er over et intervall på x-aksen. F.eks. at arealet under grafen mellom x=2 og x=3, vil være integralet av f(x) over dx fra 2 til 3. Her kommer løsningsforslag av forrige måneds:


OPPGAVE 36 – ENKLE ANNENGRADSLIGNINGER

x² – px + 20 = 0        (1)

x² – 20x + p = 0        (2)

Ved inspeksjon av (1) og (2) ser man at de blir den samme ligningen ved p = 20:

x² – 20x + 20 = 0

(x – 10)² = -20 + (-10)²

√(x – 10)² = √80

x – 10 = ± 4√5

x = ± 4√5  + 10

Når p ≠ 20 får vi følgende ved å sette (1) og (2) lik hverandre:

x² – px + 20 = x² – 20x + p

-px + 20x = p – 20

x(20 – p) = p – 20

x = -(20 – p)/(20 – p) = -1

Konklusjon: x = ± 4√5  + 10  når  p = 20 og  x=-1  når p ≠ 20


Vi avslutter med en ny mattenøtt:

OPPGAVE 37 – LIGNING MED KVADRATROT

Løs ligningen √(x-2) = -3

(menes kvadratroten av hele parentesen, x-2)


Neste artikkel kommer i februar. Hilsen erty56.

Reklamer

Kommentarer»

No comments yet — be the first.

Legg igjen en kommentar

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut /  Endre )

Google-bilde

Du kommenterer med bruk av din Google konto. Logg ut /  Endre )

Twitter-bilde

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut /  Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut /  Endre )

Kobler til %s

Dette nettstedet bruker Akismet for å redusere spam. Lær hvordan dine kommentardata behandles..

%d bloggere like this: