jump to navigation

ULIKE MATEMATISKE ROM OG KOORDINATSYSTEMER 21. juli 2014

Posted by erty56 in Matematikk.
trackback

Hei igjen!

Til daglig tenker man gjerne at det finnes tre dimensjoner fordi det er det vi ser. Videre assosierer man gjerne at dette rommet med tre dimensjoner har bestemte egenskaper. Det rommet vi oppfatter til daglig ligner noe man i matematikken kaller et euklidsk rom.

Matematikken er imidlertid en teoretisk og abstrakt vitenskap. I teorien har man t.o.m. ulike former for geometri. Euklidsk geometri er den mest vanlige. Her gjelder det såkalte parallellpostulatet: Gitt en rett linje I adskilt fra et punkt. Det kan kun trekkes en bestemt rett linje II gjennom dette punktet som er parallell med linjen I. Andre egenskaper er bl.a. at summen av vinklene i en trekant vil alltid være 180 grader osv. Geometrien på f.eks. en kuleoverflate vil imidlertid være noe annerledes. Her kan linjer som «vanligvis» er parallelle faktisk krysse hverandre. En trekant vil «bøyes» på kuleoverflaten slik at vinkelsummen blir over 180 grader osv.

Euklidske rom er oppkalt etter den greske matematikeren Euklid. Han skrev sitt verk «Elementene» på 13 bind ca. 300 år f.Kr. Han studerte bl.a. geometriske egenskaper i planet og rommet. Verket er også historiens første omfattende og formelle verk. Med formell menes grovt sagt oppsett av aksiomer og utledninger av disse. Matematikken består av en basis med aksiomer. Dette er absolutte sannheter som ikke bevises. Videre utledes andre setninger ved hjelp av streng logikk. Selv om vi idag vet at det også finnes ikke-euklidsk geometri, er fortsatt «Elementene» et av matematikkens viktigste verker.

Videre i artikkelen holder jeg meg til euklidske rom. Det euklidske rom kan ha ulike dimensjoner: Et punkt har ingen dimensjon. En linje har 1 dimensjon. Et plan har to dimensjoner. Rommet har tre dimensjoner. Slik kan vi holde på så lenge man vil, la oss si n dimensjoner der n=10 eller n=100 eller enda mer. Det eneste som teller er at dette n-rommet tilfredsstiller kravene til euklidske rom. (Med n-rom her menes rom med flere enn tre dimensjoner). Vanligvis er et euklidsk rom endeligdimensjonalt. Dvs. at n må være et naturlig tall, og ikke uendelig. Dette kan igjen utvides til uendeligdimensjonale rom, såkalte Hilbertrom.

Planet har 2 dimensjoner og 2 akser og rommet har 3 dimensjoner og 3 akser. Aksene står vinkelrett på hverandre og man bruker vanligvis kartesiske koordinater. Dvs. x og y i planet og x, y og z i rommet. Illustrasjon av XYZ-rommet:

Å8c2

På figuren over vises punktet (x, y, z). Man kan konstruere vektoren fra origo(0, 0, 0) til (x, y, z) ved

Å8d

Det finnes også andre typer koordinater enn kartesiske. F.eks. polarkoordinater i planet. Disse angis med r og vinkelen θ. Utvider man til rommet bruker man r, θ og z (sylinderkoordinater). Illustrasjon av polarkoordinater:

Å8b2

Grunnen til at man utfører en transformasjon fra kartesiske koordinater til andre koordinater, er at det rett og slett blir mer hensiktsmessig i løsning av visse typer oppgaver. Men kartesiske koordinater er som sagt mest vanlig. Et tredje system igjen er kulekoordinater angitt av kun en lengde og to vinkler i et tre-dimensjonalt rom.

Her kommer løsningsforslag av forrige måneds:

OPPGAVE 41 – ENKEL GEOMETRI III

Det skraverte området er 1/4 av den store sirkelen minus (2 halve og ¼)  av de små sirklene. 2 halve og ¼ = 5/4. Radius for liten sirkel angitt i blått på figuren:

Å8

Kaller stor sirkels radius R. R=3 etter oppgaveteksten.

Videre blir 2r + r = 3. Dette gir r = 1

Arealet blir:

A = ¼ π R² –  5/4 π r² = ¼ π 3² –  5/4 π 1² = 9/4 π – 5/4 π = π

 

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 42 – ENKEL ARITMETIKK II

Gitt a = 3 + ¹/3  og  b = a + ¹/a. Hva blir b?

Neste artikkel kommer i august. Hilsen erty56.

Reklamer

Legg igjen en kommentar

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut /  Endre )

Google-bilde

Du kommenterer med bruk av din Google konto. Logg ut /  Endre )

Twitter-bilde

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut /  Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut /  Endre )

Kobler til %s

Dette nettstedet bruker Akismet for å redusere spam. Lær hvordan dine kommentardata behandles..

%d bloggere like this: