jump to navigation

FASIT TIL HØSTQUIZ 21. november 2014

Posted by erty56 in Matematikk.
trackback

Hei igjen!

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds høstquiz, oppgavene 45-47:

OPPGAVE 45 – TO SVÆRT LETTE OPPGAVER

A) Finn 0,25  dividert på 1/4

0,25 = ¼

¼ / ¼ = 1

B) Finn 3/4 dividert på 0,75

0,75 = ¾

¾ / ¾ = 1

 

OPPGAVE 46 – TO ENKLE OPPGAVER

 Å11b

A) (½ s)² + h² = s²   etter Pytagoras setning

h² = s² – (½ s)² =  s²  –  ¼ s² = ¾ s²

h = ½ √3 s

A = (grunnlinje · høyde) / 2

A = (s · h) / 2

A = (s · ½ √3 s)/2 = ¼ √3 s² = 8√3

s² = 32

s = 4√2

Omkretsen er

3s = 3 · 4√2 = 12√2

B) Arealet består grovt sagt av 3 deler (se figur).

Å12a

Del 1: To kvarte sirkler, A1 = ¼π r² + ¼π r² = ½ π r²

Del 2: Et rektangel, A2 = r · 2r = 2 r²

Del 3: To stykker av et kvadrat minus en kvart sirkel,

A3 = r · r – ¼π r² + r · r – ¼π r² = 2r² – ½ π r²

Totalt areal blir dermed

A = A1 + A2 + A3 = ½ π r² + 2 r² + 2r² – ½ π r² = 4 r²

 

OPPGAVE 47 – NOE VANSKELIG OPPGAVE

Å11a

Man tar utgangspunkt i følgende:

AP + QP = AQ  ⇒  QP = AQ – AP

AP = ½AB + x (her er lengden x = MP)

AB + BQ = AQ  ⇒  AB = AQ – BQ

For å skrive QP uttrykket ved AQ, BQ og x:

QP = AQ – AP = AQ – (½AB + x) = AQ – (½ (AQ – BQ) + x) = ½AQ + ½BQ – x

Deretter:

(QP)² = AQ · BQ

(½AQ + ½BQ – x)² = AQ · BQ

Etter noe mellomregning blir dette:

x² – (AQ + BQ)x + (¼ (AQ)² – ½ AQ · BQ + ¼ (BQ)²) = 0

Siden x er minste rot i

x² – 10x + 4 = 0

blir

-(AQ + BQ) = -10  ⇒  BQ = -AQ + 10

¼ (AQ)² – ½ AQ · BQ + ¼ (BQ)² = 4

¼ (AQ)² – ½ AQ · (-AQ + 10) + ¼ (-AQ + 10)² = 4

Etter noe mellomregning blir dette

(AQ)² – 10 AQ + 21 = 0

AQ = ±2 + 5  og  BQ = -AQ + 10

(AQ = 7  ∧  BQ = 3)  ∨  (AQ = 3  ∧  BQ = 7)

Ifølge skissen må AQ > BQ, altså er

AQ = 7  ∧  BQ = 3

(QP)² = AQ · BQ = 7 · 3 = 21

QP = √21

QP = ½AQ + ½BQ – x

x(MP) = ½AQ + ½BQ – QP = (½ · 7 + ½ · 3) – √21 = 5 – √21

Til slutt regne ut

x² – 10x + 4 = 0

√(x – 5)² = √(-4 + (-5)²)

x = ± √21 + 5

x(MIN) = 5 – √21

Konklusjon: x(MP) = x(MIN)

 

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 48 – LIGNING

Har

x² + y² + z² = (ax + by + cz) (Ax + By + Cz)

noen løsning?

(a, b, c, A, B og C er konstanter, kan være både reelle og komplekse)

Neste innlegg kommer i desember. Hilsen erty56.

Reklamer

Kommentarer»

No comments yet — be the first.

Legg igjen en kommentar

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut /  Endre )

Google-bilde

Du kommenterer med bruk av din Google konto. Logg ut /  Endre )

Twitter-bilde

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut /  Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut /  Endre )

Kobler til %s

Dette nettstedet bruker Akismet for å redusere spam. Lær hvordan dine kommentardata behandles..

%d bloggere like this: