jump to navigation

TALLTEORI + NYE MATTENØTTER 27. februar 2015

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
trackback

Hei igjen!

De fleste assosierer naturlig nok matematikk med regning og predikering av ting ved hjelp av regning. Kjernen i matematikken består imidlertid av mer enn dette. Den består grovt sagt av logikk, mengdelære og predikatkalkulus. Siste punkt har med predikering av ting ved regning. Logikk og mengdelære vil kanskje se mer ut som filosofi ved første øyekast. Men de er dog viktige elementer. Både for hvordan matematikken er bygget opp og faktisk også problemløsning.

Hvis vi går utover kjernen finner man selvsagt en rekke emner. Tallteori er en ting. Forskjellige typer tall er delt inn i tallsystemer. Hele og positive tall kalles naturlige tall. Ζ betegner mengden av alle hele tall og null, altså { … , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , …}. Ved faktorisering ønsker man å dele opp et tall i andre tall som ikke kan faktoriseres igjen. Primtall er de tallene som bare er delelige med 1 og seg selv. En faktorisering er altså et tall skrevet som et produkt av primtall. De reelle tallene er de tallene man finner langs tallinjen

Å15a

Altså alle tall. Det finnes ikke et minste og største tall på tallinjen. Uansett hvor lite tallet er, kan man lage et mindre. Og uansett hvor stort et tall er, kan man lage et større. -∞ og +∞ er begreper og ikke vanlige tall.  Den reelle tallinjen består igjen av rasjonale og irrasjonale tall. Rasjonale tall er alle tall som kan skrives som brøker. De irrasjonale tallene kan ikke skrives som brøker. F.eks.

π = 3,14…

√2 = 1,41…

Tallinjen over har uendelig mange tall. Jeg innskrenker meg til intervallet [0 , 1] som betyr alle tall f.o.m. 0 og t.o.m. 1.

Å15b

Ved å betrakte denne vil man finne det samme – uendelig mange tall. Det kan nok virke rart at både hele tallinjen og dette lille intervallet begge har uendelig mange tall. Men jeg kan stykke opp [0 , 1] i et enda mindre intervall igjen, la oss si [0 , 0,1], og fortsatt ha uendelig mange tall. Jeg kan faktisk holde på så lenge jeg vil, f.eks. [0, 0,01] osv. Dette er et eksempel på et av mengdelærens paradokser.

Innenfor det reelle tallsystemet eksisterer ikke kvadratroten av negative tall, f.eks. √(-2). En viktig setning – algebraens fundamentalteorem  – sier imidlertid at ethvert polynom P(x) kan faktoriseres til et produkt med sine røtter, dvs:

Noen ganger vil en (eller flere) røtter forekomme flere ganger. En løsning som forekommer en gang har multiplisitet 1 og en løsning som forekommer m ganger har multiplisitet m.

Noen polynomer har kun reelle røtter. Men skal vi betrakte f.eks.

x² + 1 = 0

har denne ingen løsning innenfor det reelle tallsystemet. Matematikerne måtte derfor innføre nok et tallsystem for å løse slike ligninger, det komplekse tallsystemet. Der angis et tall ved

z = x + iy    

der x og y er reelle tall og i =√-1

Man kan illustrere et komplekst tall i planet angitt ved (x , y)  der X-aksen er den reelle aksen og Y-aksen den imaginære aksen. Polarkoordinater kan være til hjelp:

Å8b2

Utifra tegningen ser man at man kan uttrykke (x , y) ved (r , θ):

z = x + iy = r cos θ + i r sin θ = r (cos θ + i sin θ)

Det komplekse tallsystem garanterer altså at en faktorisering av ethvert polynom er mulig. Dessverre er det ikke slik at dette medfølger at løsning av enhver ligning har en enkel oppskrift. Førstegradsligninger og annengradsligninger har relativt enkle løsningsmetoder. Tredje- og fjerdegradsligningers algoritmer er ganske mye mer innviklede. Når det gjelder femtegradsligninger (og ligninger av høyere grad enn 5) finnes ikke engang generelle algoritmer. Dette ble i sin tid bevist av den norske matematikeren Niels Henrik Abel. Men man har selvsagt noe til hjelp. Ofte er løsning innlysende, f.eks. x = 1, x = 2, osv. Videre opptrer alltid komplekse løsninger i såkalte konjugerte par. Dvs. at dersom x = a + ib er en løsning, er også x = a – ib en løsning. En tredje metode er f.eks. ved substitusjon:

Å15d
Slik får man en annengradsligning, og etter tilbake-substitusjon til slutt alle 4 svar.

Avslutningsvis noen nye mattenøtter:

OPPGAVE 51 – ENKLE TALLBEREGNINGER

A) Hva er 1 – 3 + 5 – … – 99 + 101 ?

Å15e

OPPGAVE 52 – TID OG LENGDE

A) Et ekspresstog kjører i 45 km/t forbi et annet tog som kjører i motsatt retning med farten 36 km/t. En passasjer i ekspresstoget observerer passeringen til å vare 6 sekunder. Hvor langt er det andre toget?

B) Et tog kjører fra Oslo til Bergen i 60 km/t. Et annet tog kjører fra Bergen til Oslo i 40 km/t. Togene starter samtidig. Hvor langt fra hverandre er togene 1 time før de passerer hverandre? (man neglisjerer lengden av selve togene her)


OPPGAVE 53 – INNFØRING I MENGDELÆRE

A) Hva er forskjellen på mengdene {1, 2, n} og {n, 2, 1} ?

B) Snittet av to mengder er definert som kun de elementer mengdene har felles. Hva er snittet av {1, 2, 3, 4, 7, 9} og {5, 6, 8} ?

C) Hvor mange delmengder kan man lage av mengden {1, 2, 3}, og hva er de? (Hint: Man kan lage 2n delmengder av en mengde med n elementer)


Her kommer løsningsforslag av forrige måneds oppgave:

OPPGAVE 50 – TRE ENKLE MATEMATISKE REKREASJONER

A) En katt og en hund veier tilsammen 27 kg. Dersom hunden veier dobbelt så mye som katten, hva veier hver av dem?

Oppgaveteksten gir x for katten og 2x for hunden:

x + 2x = 27 kg.

3x = 27 kg.

x = 9 kg.

Katten veier x = 9 kg. og hunden 2x = 18 kg.

B) Uttrykk tallet 13 ved en multiplikasjon av to hele tall.

13 er et primtall, så svaret blir:

1 · 13 = 13  eller  (-1) · (-13) = 13

C) En trekant har sidene 17, 35 og 52 som vist på figuren.

Å14c

Hva er arealet av trekanten?

Arealet er null. For enhver trekant gjelder at summen av de to korteste sidene må være større enn den største siden. Her er de like, 17+35=52. En slik trekant eksisterer altså ikke. Det mest korrekte svaret er nok at trekanten «kollapser» til en linje. (En linje har ikke noe areal)

 

Neste innlegg kommer i mars. Hilsen erty56.

Reklamer

Kommentarer»

No comments yet — be the first.

Legg igjen en kommentar

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut /  Endre )

Google-bilde

Du kommenterer med bruk av din Google konto. Logg ut /  Endre )

Twitter-bilde

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut /  Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut /  Endre )

Kobler til %s

Dette nettstedet bruker Akismet for å redusere spam. Lær hvordan dine kommentardata behandles..

%d bloggere like this: