jump to navigation

EKSAKTE TRIGONOMETRISKE VERDIER 31. mai 2015

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
Tags: , , , , , , , ,
trackback

Hei igjen!

Dagens artikkel gir en innføring i grunnleggende trigonometri. Det meste er hentet utifra en bok jeg har skrevet, Matematikkleksikon for videregående skole. Mer informasjon om boken finnes under:

MATEMATIKKLEKSIKON FOR VIDEREGÅENDE SKOLE

 

1. Trigonometriske definisjoner

Gitt en rettvinklet trekant(dvs. en trekant med en vinkel på 90{^{\circ}}) med sidene a, b og c.

 

t1a

Tangens, sinus og cosinus defineres

\displaystyle \tan A = \frac{a}{b}

 

\displaystyle \sin A = \frac{a}{c}

 

\displaystyle \cos A = \frac{b}{c}

 

2. To trekanter

En likesidet trekant har alltid tre like sider og tre like vinkler, altså 60 grader. Gitt en likesidet trekant med sider s. Denne deles i 2 like deler ved midtnormalen som vist på figuren. Vi har da halvering av den ene vinkelen 60 grader til 30 grader. Midtnormalen danner en høyde som finnes ved hjelp av pytagoras setning.

t1b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\displaystyle \tan 30^{\circ} = \frac{\frac{1}{2}s}{\frac{1}{2}\sqrt{3}s} = \frac{1}{\sqrt{3}}

\displaystyle \sin 30^{\circ} = {\frac{\frac{1}{2}s}{s}} = \frac{1}{2}

\displaystyle \cos 30^{\circ} = \frac {\frac{1}{2}\sqrt{3}s}{s} = \frac{\sqrt{3}}{2}

\displaystyle \tan 60^{\circ} = \frac {\frac{1}{2}\sqrt{3}s}{\frac{1}{2}s} = \sqrt{3}

\displaystyle \sin 60^{\circ} = \frac {\frac{1}{2}\sqrt{3}s}{s} = \frac{\sqrt{3}}{2}

\displaystyle \cos 60^{\circ} =\frac{\frac{1}{2}s}{s} = \frac{1}{2}

 

En likebent trekant har to like sider og to like vinkler. Gitt en likebent trekant med to vinkler på 45 grader og to like sider s. (denne kan enkelt konstrueres på papiret). Hypotenusen finnes ved hjelp av pytagoras setning.

 

t1c

 

 

 

 

 

 

 

 

\displaystyle \tan 45^{\circ} = \frac{s}{s} = 1
\displaystyle \sin 45^{\circ} = \frac{s}{\sqrt{2}s} = \frac{1}{\sqrt{2}}
\displaystyle \cos 45^{\circ} = \frac{s}{\sqrt{2}s} = \frac{1}{\sqrt{2}}

 

 

 

3. Enhetssirkelen

Gitt enhetssirkelen. Her finnes cosinusverdiene langs x-aksen og sinusverdiene langs y-aksen. Både x og y går fra og med -1 til og med 1. Vinkelen i 1.omløp går fra og med 0 grader til 360 grader. Andre omløp går fra og med 360 grader til 720 grader osv. Det er vanlig i både teori og praksis å betrakte 1.omløp.

 

t1d

Man ser enkelt av enhetssirkelen at

 

\displaystyle \sin 0^{\circ} = 0

\displaystyle \sin 90^{\circ} = 1

\displaystyle \sin 180^{\circ} = 0

\displaystyle \sin 270^{\circ} = -1

\displaystyle \sin 360^{\circ} = 0

\displaystyle \cos 0^{\circ} = 1

\displaystyle \cos 90^{\circ} = 0

\displaystyle \cos 180^{\circ} = -1

\displaystyle \cos 270^{\circ} = 0

\displaystyle \cos 360^{\circ} =1

 

Gitt sin {\alpha} = a, kan man finne begge vinklene {\alpha_1} og {180^{\circ} - \alpha_1} som gir a. Man kan også finne de to vinklene som gir y = -a. Se figur:

 

t1e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Gitt cos {\alpha} = a, kan man finne begge vinklene {\alpha_1} og {360^{\circ} - \alpha_1} som gir a. Man kan også finne de to vinklene som gir x = -a. Se figur:

 

t1f

 

 

 

 

 

 

 

 



aa

4. Konklusjon: Eksakte trigonometriske verdier

Utifra cosinus og sinusverdiene man fant i de to trekantene, samt at enhetssirkelen viser at man også kan bestemme cos {\alpha} og sin {\alpha} til de samme tallene med negativt fortegn, får man følgende liste:

\displaystyle \sin 30^{\circ} = \sin 150^{\circ} = \frac{1}{2}

\displaystyle \sin 45^{\circ} = \sin 135^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}

\displaystyle \sin 60^{\circ}= \sin 120^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}

\displaystyle \sin 210^{\circ} = \sin 330^{\circ} = -\frac{1}{2}

\displaystyle \sin 225^{\circ} = \sin 315^{\circ} = -\frac{1}{\sqrt{2}}

\displaystyle \sin 240^{\circ} =\sin 300^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2}

\displaystyle \cos 30^{\circ} = \cos 330^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}

\displaystyle \cos 45^{\circ} = \cos 315^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}

\displaystyle \cos 60^{\circ} = \cos 300^{\circ} = \frac{1}{2}

\displaystyle \cos 120^{\circ} = \cos 240^{\circ} = -\frac{1}{2}

\displaystyle \cos 135^{\circ} = \cos 225^{\circ} = -\frac{1}{\sqrt{2}}

\displaystyle \cos 150^{\circ} = \cos 210^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2}

I tillegg kommer de man ser enkelt utifra enhetssirkelen:

\displaystyle \sin 270^{\circ} = -1

\displaystyle \sin 0^{\circ} = \sin 180^{\circ} = \sin 360^{\circ} = 0

\displaystyle \sin 90^{\circ} = 1

\displaystyle \cos 180^{\circ} = -1

\displaystyle \cos 90^{\circ} = \cos 270^{\circ} = 0

\displaystyle \cos 0^{\circ} = \cos 360^{\circ} =1

 

Her følger løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 56 – SVÆRT ENKLE TALL

A) Hva blir brøken {(0,3)^2/(0,3)} ?

\displaystyle (0,3)^2/(0,3) = 0,3

B) Regn ut {3^3 + 3^3 + 3^3}

\displaystyle 3^3 + 3^3 + 3^3 = (1 + 1 + 1) \cdot 3^3 = 3 \cdot 3^3 = 3^{3+1} = 3^4

 

Til slutt en ny mattenøtt:

OPPGAVE 57 – AREALBEREGNING

t1g

 

 

 

 

 


Figuren viser et rektangel som er delt opp i fire rektangler. Arealene av tre av dem er 8, 16 og 24. Alle sidene til alle rektanglene er naturlige tall(hele og positive). Hva er arealet av A? (Figuren er bare en skisse. Man finner ikke svaret ved å måle på figuren).

Neste artikkel kommer i juni. Hilsen erty56.

Artikkelen kan lastes ned som pdf-fil her:

Eksakte_Trigonometriske_Verdier

Reklamer

Kommentarer»

No comments yet — be the first.

Legg igjen en kommentar

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut /  Endre )

Google-bilde

Du kommenterer med bruk av din Google konto. Logg ut /  Endre )

Twitter-bilde

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut /  Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut /  Endre )

Kobler til %s

Dette nettstedet bruker Akismet for å redusere spam. Lær hvordan dine kommentardata behandles..

%d bloggere like this: