jump to navigation

KJEGLEPENDEL 30. juni 2015

Posted by erty56 in Moderne Fysikk, Populærvitenskap generelt.
Tags: , , , , , , ,
trackback

Hei igjen!

I fysikkfaget opererer man med to typer pendler. En fysisk pendel der man regner med snorens masse, og en matematisk pendel der man neglisjerer snorens masse. Sistnevnte er et eksempel på en matematisk idealisering. Slike idealiseringer vil man finne i bl.a. naturvitenskap, økonomi osv. Slike idealiseringer og tilnærminger er ikke det samme som matematikk. De er et forsøk på å beskrive ting i naturen med et enkelt matematisk språk. I selve matematikkfaget vil man derimot overhode ikke finne slike tilnærminger.

Fester man en kule i en snor, og lar den svinge rundt i en bestemt sirkel, vil dette tilsvare en kjegle geometrisk sett. Kjeglependelen er en variant av den matematiske pendel. Videre antar vi at kulen går i konstant fart i sirkelbanen, og får:

\displaystyle v = \frac{2\pi r}{T}

Etter Newtons lover gir konstant fart (ingen akselerasjon) ingen kraft. Men dette gjelder ved bevegelse langs en rett linje. I og med at farten hele tiden skifter retning i sirkelbanen gir dette opphav til en sentripetalakselerasjon. Resultantkraften blir:
\displaystyle \Sigma F = m \cdot a = m \cdot \frac{v^2}{r}

Denne kalles sentripetalkraft. Her følger figur over kjeglependelen:

t2a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G er tyngdekraften til kulen med masse m, S er snordraget(en kraft) og {\Sigma}F er resultantkraften. l er lengden av snoren og r er radius i sirkelbanen.

\displaystyle \cos \alpha ' = \frac{G}{S'} \indent \wedge \indent \sin \alpha = \frac{\Sigma F}{S} \indent\wedge \indent \sin \alpha = \frac{r}{l}

Geometrisk er { \alpha ' = \alpha} og man finner omløpstiden T ved

 

\displaystyle S = S'

 

\displaystyle \frac{\Sigma F}{ \sin \alpha} = \frac{G}{ \cos \alpha}

 

Etter noe mellomregning der man også benytter {v = \frac{2\pi r}{T}} blir resultatet:

 

\displaystyle T = 2\pi \sqrt{\frac{l \cdot \cos \alpha}{g}}

Omløpstiden er altså uavhengig av kulens masse. Gitt en kule med snorlengde 25 cm (=0,25 m) og vinkel {\alpha = 30^{\circ}} får man altså

\displaystyle T = 2\pi \sqrt{\frac{l \cdot \cos \alpha}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{0,25 m \cdot \cos 30^{\circ}}{9,81 m/s^2}} \approx 0,93 s

Fartsformelen er også uavhengig av massen:

\displaystyle v = \frac{2\pi r}{T} = \sqrt{r\cdot g \cdot \tan \alpha}

Intuitivt skulle man kanskje tro at massen skulle virke inn på fart og tid for pendelen. Men lar man f.eks. en lett og tung ting falle fra samme høyde, vil de nå bakken med samme fart. Det eneste som påvirker er igjen g, tyngdens akselerasjon. På jordoverflaten er {g=9,81 m/s^2}. Utover i rommet varierer den imidlertid. På månen er den ca. {1,62 m/s^2}, og ute i det tomme rom svært lav. Generelt er tyngdekraften av et legeme gitt ved

\displaystyle G = m \cdot g

 
der m er massen av legemet og g tyngdens akselerasjon(feltstyrken). Massen av et legeme er den samme overalt i rommet. 1 kg. på jorden er også 1 kg. overalt ellers i universet. Mens feltstyrken g som sagt varierer.

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 58 – TALL

A) Finn x i følgende:

 
\displaystyle 2 - \frac{2}{2 - x} = \frac {2}{2 - x}

 

B) En hage består av et kvadratisk areal, altså fire like sider. Hagen bygges om til et rektangel ved at to og to parallelle sider øker med p{ \%} og minker med p {\%}. Da er hagen blitt 4 {\%} mindre. Hva er p ?

Til slutt løsningsforslag av forrige måneds:

OPPGAVE 57 – AREALBEREGNING

Figuren viser et rektangel som er delt opp i fire rektangler. Arealene av tre av dem er 8, 16 og 24. Alle sidene til alle rektanglene er naturlige tall(hele og positive). Hva er arealet av A? (Figuren er bare en skisse. Man finner ikke svaret ved å måle på figuren).

t2b

 

 

 

 

 

 

Man kan sette opp ligninger av figuren

t2c

 

 

 

 

 

 

 

 

\displaystyle x \cdot y = 24
\displaystyle y \cdot z = 8
\displaystyle z \cdot w = 16

Dette settet har en mer ukjent en antall ligninger. Løsningen gir en fri variabel:

\displaystyle x = x
\displaystyle y = 24 \cdot \frac{1}{x}
\displaystyle z = \frac{1}{3} \cdot x
\displaystyle w = 48 \cdot \frac{1}{x}

Ifølge oppgaveteksten er x, y, z og w naturlige tall. Man setter x=1, x=2, x=3, x=4, x=5 og x=6 og ser hvilke tall y, z og w blir for disse x-verdiene. For x=1, x=2, x=4 og x=5 blir ikke samtlige y, z og w naturlige tall. For x=3 og x=6 får man løsningene:

\displaystyle (x, y, z, w) = (3, 8, 1, 16) \indent og \indent A = w \cdot x = 16 \cdot 3 = 48
\displaystyle (x, y, z, w) = (6, 4, 2, 8) \indent og \indent A = w \cdot x = 8 \cdot 6 = 48

Konklusjon: Man ser ved innsetting at minst en løsning er funnet, og trenger ikke prøve flere x-verdier. A = 48 for begge mulige (x, y, z, w). Svar: A = 48.

Neste artikkel kommer i juli. God sommer! Hilsen erty56.

Artikkelen kan lastes ned som pdf-fil her:
Kjeglependel

Reklamer

Kommentarer»

No comments yet — be the first.

Legg igjen en kommentar

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut /  Endre )

Google-bilde

Du kommenterer med bruk av din Google konto. Logg ut /  Endre )

Twitter-bilde

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut /  Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut /  Endre )

Kobler til %s

Dette nettstedet bruker Akismet for å redusere spam. Lær hvordan dine kommentardata behandles..

%d bloggere like this: