jump to navigation

KJEGLESNITT 28. oktober 2015

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
Tags: , , , , , , , , , , ,
trackback

Hei igjen!

Dagens artikkel er om kjeglesnitt. Først står det en illustrasjon som viser snitt mellom kjegler og plan. Deretter defineres snittene parabel, ellipse og hyperbel. På grunnlag av definisjonene utledes det standard ligninger. Etter kjeglesnittene følger en ny mattenøtt, og til slutt løsningsforslag av forrige måneds mattenøtter. Deler av artikkelen er hentet utifra en bok jeg har skrevet:

MATEMATIKKLEKSIKON FOR VIDEREGÅENDE SKOLE

1. Snitt mellom kjegler og plan

t6a

2. Utledningene

For utledning av ligninger for parabelen er det anvendt en avstand d. d er fra pytagoras setning:

d^2 = x^2 + y^2   der x og y alltid er satt x = x_{maks} - x_{min}  og y = y_{maks} - y_{min}

For utledninger av ellipsen og hyperbler er det anvendt:

FP = \mid \vec{FP} \mid  der \vec{FP}   er vektoren fra F(x_1 , y_1)   til P(x_2 , y_2)  og

\mid \vec{FP} \mid = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

d har kun en lengde uten noe bestemt retning. En vektor er et orientert linjestykke, dvs. at den har både lengde og retning.

En ren algebraisk regning på parabler vil gi fire ligninger. Man kan betrakte de to med l = x-aksen som en og de to med l = y-aksen som en hver, ved å velge parameteren p som p < 0 og p > 0.

3. Parabelen

Definisjon: En parabel er mengden av de punkter P i planet som ligger like langt fra en rett linje s(styrelinje) som fra et gitt punkt F(brennpunkt).

t6b

 

 

 

 

 

 

 

 

Parabelen ligger symmetrisk om en akse som kalles parabelens akse(l).

3.1. Ligning ved l = x-aksen

F=({\frac{p}{2}} , 0) som brennpunkt, x = –{\frac{p}{2}} som styrelinje og «bunnpunkt» i origo. {d_1} er avstanden mellom styrelinjen og et punkt på parabelen (x , y) og {d_2} er avstanden mellom (x , y) og brennpunktet. Etter definisjonen er {d_1 = d_2}

t6c

\displaystyle d_1 = \sqrt{(x- (- \frac{p}{2}))^2 + (y - y)^2} = \sqrt{(x + \frac{p}{2})^2}

\displaystyle d_2 = \sqrt{(\frac{p}{2} - x)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{(\frac{p}{2} - x)^2 + y^2}

\displaystyle d_1 = d_2

\displaystyle \sqrt{(x + \frac{p}{2})^2} = \sqrt{(\frac{p}{2} - x)^2 + y^2}

\displaystyle (x + \frac{p}{2})^2 = (\frac{p}{2} - x)^2 + y^2

\displaystyle x^2 + px + \frac{p^2}{4} = \frac{p^2}{4} - px + x^2 + y^2

\displaystyle y^2 = 2px

 

3.2. Ligning ved l = y-aksen

F=(0 , {\frac{p}{2}}) som brennpunkt, y = –{\frac{p}{2}} som styrelinje og bunnpunkt i origo. {d_1} er avstanden mellom brennpunktet og et punkt på parabelen (x , y). {d_2} er avstanden mellom (x , y) og styrelinjen. Etter definisjonen er {d_1 = d_2}

t6d

\displaystyle d_1 = \sqrt{(x - 0)^2 + (\frac{p}{2} - y)^2} = \sqrt{x^2 + (\frac{p}{2} - y)^2}

\displaystyle d_2 = \sqrt{(x - x)^2 + (y - (-\frac{p}{2}))^2} = \sqrt{(y + \frac{p}{2})^2}

\displaystyle d_1 = d_2

\displaystyle \sqrt{x^2 + (\frac{p}{2} - y)^2} = \sqrt{(y + \frac{p}{2})^2}

\displaystyle x^2 + (\frac{p}{2} - y)^2 = (y + \frac{p}{2})^2

\displaystyle x^2 + \frac{p^2}{4} - py + y^2 = y^2 + py +\frac{p^2}{4}

\displaystyle x^2 = 2py

 

4. Ellipsen

Definisjon: La {F_1 } og {F_2} være to punkter i planet. Mengden av de punkter P som ligger slik at {F_1P + F_2P} er konstant, er en ellipse.

t6e

{F_1} og {F_2} er brennpunkter. a er store halvakse og b lille halvakse. Man velger (-c , 0) og (c , 0) som koordinater for brennpunktene og har sammenhengen {c^2 = a^2 - b^2}. Etter figuren er:

\displaystyle F_1P = \sqrt{(x - (-c))^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{(x+c)^2 + y^2}

\displaystyle F_2P = \sqrt{(x - c)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{(x - c)^2 + y^2}

Dersom punktet P dreies til (x , 0) = (a , 0) blir {F_1P + F_2P} = 2a

Etter definisjonen er da

\displaystyle \sqrt{(x+c)^2 + y^2} + \sqrt{(x - c)^2 + y^2} = 2a

\displaystyle \sqrt{(x+c)^2 + y^2} = 2a - \sqrt{(x - c)^2 + y^2}

\displaystyle (x + c)^2 + y^2 = 4a^2 - 4a\sqrt{(x - c)^2 + y^2} + (x - c)^2 + y^2

\displaystyle x^2 + 2cx + c^2 + y^2 = 4a^2 - 4a\sqrt{(x - c)^2 + y^2} + x^2 - 2cx + c^2 + y^2

\displaystyle 4cx - 4a^2 = -4a\sqrt{(x - c)^2 + y^2}

\displaystyle cx - a^2 = -a \sqrt{(x - c)^2 + y^2}

\displaystyle a^2 - cx = a \sqrt{(x - c)^2 + y^2}

\displaystyle (a^2 - cx)^2 = a^2 ((x - c)^2 + y^2)

\displaystyle a^4 - 2cxa^2 + c^2x^2 = a^2(x^2 - 2cx + c^2 + y^2)

\displaystyle a^4 - 2cxa^2 + c^2x^2 = a^2x^2 - 2cxa^2 + a^2c^2 + a^2y^2

\displaystyle c^2x^2 - a^2x^2 - a^2y^2 = a^2c^2 - a^4

\displaystyle (c^2 - a^2)x^2 - a^2y^2 = a^2(c^2 - a^2)

\displaystyle (a^2 - c^2)x^2 + a^2y^2 = a^2(a^2 - c^2)

\displaystyle c^2 = a^2 - b^2 \Leftrightarrow a^2 - c^2 = b^2

\displaystyle b^2x^2 + a^2y^2 = a^2b^2

\displaystyle \frac{b^2x^2}{a^2b^2} + \frac{a^2y^2}{a^2b^2} = \frac{a^2b^2}{a^2b^2}

\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \indent (*)

Enkelte matematikkverk oppgir 2 ligninger for ellipsen. Det er tilstrekkelig med denne ene (*), og man får situasjonen:

I) a > b {\Rightarrow}  2a er store akse, 2b lille akse og (-c , 0) og (c , 0) er
{\indent} {\indent} {\indent} {\indent} {\indent} {\indent}             brennpunkter

II) a = b {\Rightarrow} {x^2 + y^2 = a^2 = b^2 = r^2} er en sirkel

III) a < b {\Rightarrow} 2b er store akse, 2a lille akse og (0 , -c) og (0 , c) er                       brennpunkter

I I) er {c^2 = a^2 - b^2}, i II) er c = 0 og i III) er {c^2 = b^2 - a^2}. For å få en gyldig c for alle tre tilfellene, må c pålegges kravet:

\displaystyle c^2 = \mid a^2 - b^2 \mid

Selv om sirkelen er oppført som et «eget» kjeglesnitt i innledningen, er den som angitt i II) også et spesialtilfelle av ellipsen ved r=a=b. Formelen for en sirkel med radius r og sentrum i origo blir:

\displaystyle x^2 + y^2 = r^2

 

5. Hyperbelen

Definisjon: La {F_1} og {F_2} være to punkter i planet. Mengden av de punkter P som ligger slik at {\mid F_1P - F_2P\mid} er konstant er en hyperbel.

t6f

5.1. Hyperbel som skjærer x-aksen

{F_1} og {F_2} er brennpunkter. 2a er den reelle aksen og 2b den imaginære aksen. Man kan velge brennpunktene til koordinatene (-c , 0) og (c , 0). Sammenhengen er {a^2 + b^2 = c^2}. Etter figuren er:

\displaystyle F_1P = \sqrt{(x - (-c))^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{(x + c)^2 + y^2}

\displaystyle F_2P = \sqrt{(x - c)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{(x - c)^2 + y^2}

Dersom punktet P dreies til (x , 0) = (a , 0) får man avstanden

\displaystyle \mid F_1P - F_2P \mid = 2a > 0

Etter definisjonen er da:

\displaystyle \mid \sqrt{(x + c)^2 + y^2} - \sqrt{(x - c)^2 + y^2} \mid = 2a

På figuren er {F_1P - F_2P} > 0. Det medfører:

\displaystyle \sqrt{(x + c)^2 + y^2} - \sqrt{(x - c)^2 + y^2} = 2a

\displaystyle \sqrt{(x + c)^2 + y^2} = 2a + \sqrt{(x - c)^2 + y^2}

\displaystyle (x + c)^2 + y^2 = 4a^2 + 4a\sqrt{(x - c)^2 + y^2} + (x - c)^2 + y^2

\displaystyle x^2 + 2cx + c^2 + y^2 = 4a^2 + 4a\sqrt{(x - c)^2 + y^2} + x^2 - 2cx + c^2 + y^2

\displaystyle 4cx - 4a^2 = 4a\sqrt{(x - c)^2 + y^2}

\displaystyle cx - a^2 = a\sqrt{(x - c)^2 + y^2}

\displaystyle (cx - a^2)^2 = a^2((x - c)^2 + y^2)

\displaystyle c^2x^2 - 2ca^2x + a^4 = a^2(x^2 - 2cx + c^2 + y^2)

\displaystyle c^2x^2 - 2ca^2x + a^4 = a^2x^2 - 2ca^2x + a^2c^2 + a^2y^2

\displaystyle c^2x^2 - a^2x^2 - a^2y^2 = a^2c^2 - a^4

\displaystyle x^2(c^2 - a^2) - a^2y^2 = a^2(c^2 - a^2)

\displaystyle x^2b^2 - a^2y^2 = a^2b^2

\displaystyle \frac{x^2b^2}{a^2b^2} -\frac{a^2y^2}{a^2b^2} = \frac{a^2b^2}{a^2b^2}

\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1

5.2. Hyperbel som skjærer y-aksen

t6g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(0 , -c) og (0 , c) er brennpunkter. 2b er den reelle akse, 2a den imaginære akse og sammenhengen er {a^2 + b^2 = c^2}

\displaystyle F_1P = \sqrt{(x - 0)^2 + (y - (-c))^2} = \sqrt{x^2 + (y + c)^2}

\displaystyle F_2P = \sqrt{(x - 0)^2 + (y - c)^2} = \sqrt{x^2 + (y - c)^2}

Dersom man tar utgangspunkt i punktet (x , y) = (0 , b) eller
(x , y) = (0 , -b) blir

\displaystyle \mid F_1P - F_2P \mid = 2b > 0

Etter definisjonen er:

\displaystyle \mid \sqrt{x^2 + (y + c)^2} - \sqrt{x^2 + (y - c)^2} \mid = 2b

På figuren er {F_1P - F_2P} > 0. Det medfører:

\displaystyle \sqrt{x^2 + (y + c)^2} - \sqrt{x^2 + (y - c)^2} = 2b

\displaystyle \sqrt{x^2 + (y + c)^2} = 2b + \sqrt{x^2 + (y - c)^2}

\displaystyle x^2 + (y + c)^2 = 4b^2 + 4b\sqrt{x^2 + (y - c)^2} + x^2 + (y - c)^2

\displaystyle x^2 + y^2 + 2cy + c^2 = 4b^2 + 4b\sqrt{x^2 + (y - c)^2} + x^2 + y^2 - 2cy + c^2

\displaystyle 4cy - 4b^2 = 4b\sqrt{x^2 + (y - c)^2}

\displaystyle cy - b^2 = b\sqrt{x^2 + (y - c)^2}

\displaystyle (cy - b^2)^2 = b^2(x^2 + (y - c)^2)

\displaystyle (cy - b^2)^2 = b^2(x^2 + y^2 - 2cy + c^2)

\displaystyle c^2y^2 - 2cb^2y + b^4 = b^2x^2 + b^2y^2 - 2cb^2y + b^2c^2

\displaystyle c^2y^2 - b^2y^2 - b^2x^2 = b^2c^2 - b^4

\displaystyle y^2(c^2 - b^2) - b^2x^2 = b^2(c^2 - b^2)

\displaystyle y^2a^2 - b^2x^2 = b^2a^2

\displaystyle \frac{y^2a^2}{a^2b^2} - \frac{b^2x^2}{a^2b^2} =\frac{b^2a^2}{a^2b^2}

\displaystyle \frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1


Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 64 – GEOMETRISK REKREASJON

Figuren viser en halvsirkel som ligger inne i en likesidet trekant med sider 2. Halvsirkelen tangerer trekanten både til venstre og høyre. Hva blir arealet av det skraverte området (turkis farge)?

t6h

 

 

 

 

 

 

Løsningsforslag av forrige måneds mattenøtter:

OPPGAVE 60 – DIVISJONER

A) Hva blir 1/2 delt på 0,5?
\displaystyle \frac{\frac{1}{2}}{0,5} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1

B) Hva blir 2 delt på 0,5?

\displaystyle \frac{2}{0,5} = \frac{2 \cdot 2}{0,5 \cdot 2} = \frac {4}{1} = 4

OPPGAVE 61 – ENKEL REGNING

En høyskole har A ansatte og S studenter. 60 % av studentene er kvinner og 40 % er menn. Det er 5 ganger mer studenter enn ansatte og A + S = 600. Hvor mange kvinnelige studenter er det, hvor mange mannlige studenter er det og hvor mange ansatte er det?

Etter oppgaveteksten følger:

A + S = 600 og n ansatte og 5n studenter

\displaystyle n + 5n = 600

\displaystyle 6n = 600

\displaystyle n = 100

\displaystyle 5n = 500

\displaystyle 500 \cdot 0,6 = 300

\displaystyle 500 \cdot 0,4 = 200

Svar: Det er 100 ansatte, 200 mannlige studenter og 300 kvinnelige studenter.

OPPGAVE 62 – SISTE SIFFER I TALL

Siste siffer i {{22^5}} og 22 er det samme. Generelt er siste siffer i { n^5} og n alltid det samme for alle naturlige tall n.

A) Hva blir siste siffer i {{67^5}} ?

Siste siffer i {{67^5}} og 67 er det samme. Svar: 7

B) Hva blir siste siffer i {{11^5}} ?

Siste siffer i {{11^5}} og 11 er det samme. Svar: 1

OPPGAVE 63 – NØTT

En kartong har svarte, blå, røde og hvite klosser. For hver kloss er det 8 andre med samme farge. Hvor mange klosser er det i kartongen?

1 kloss og 8 andre gir 1 + 8 = 9 av hver. 4 fargetyper gir svaret {4 \cdot 9 = 36}

Neste artikkel kommer i november. Hilsen erty56. Artikkelen kan lastes ned som pdf-fil her:

kjeglesnitt

Reklamer

Kommentarer»

No comments yet — be the first.

Legg igjen en kommentar

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut /  Endre )

Google-bilde

Du kommenterer med bruk av din Google konto. Logg ut /  Endre )

Twitter-bilde

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut /  Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut /  Endre )

Kobler til %s

Dette nettstedet bruker Akismet for å redusere spam. Lær hvordan dine kommentardata behandles..

%d bloggere like this: