jump to navigation

FASIT JULENØTTER 2015 12. desember 2015

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
trackback

Hei igjen!

Her følger løsningsforslag til julenøtter 2015:

OPPGAVE 65 – SYLINDERVOLUM

Gitt et rektangel med sider x og y:

t8a

 

 

 

 

 

 

 

 

A) Rektangelet dreies 180 grader om halveringslinjen til x. Dette blir da en sylinder. Hva er volumet {V_x} til sylinderen?

{\frac{1}{2} x} blir radius og y høyden i sylinderen

{V_x = \pi (\frac{1}{2}x)^2 \cdot y = \frac{1}{4} \pi x^2y}

B) Rektangelet dreies 180 grader om halveringslinjen til y. Dette blir da en sylinder. Hva er volumet {V_y} til sylinderen?

{\frac{1}{2} y} blir radius og x høyden i sylinderen

{V_y = \pi (\frac{1}{2}y)^2 \cdot x = \frac{1}{4} \pi y^2x}

C) Hva blir forholdet {\frac{V_x}{V_y}} ?

\displaystyle \frac{V_x}{V_y} =\frac{\frac{1}{4} \pi x^2y}{\frac{1}{4} \pi y^2x} = \frac{x^2y}{y^2x} = \frac{x}{y}

 

OPPGAVE 66 – SKJÆRINGSPUNKTER

Gitt en sirkel ved {x^2 + y^2} = 1

{x^2 + y^2} = 1 er en sirkel med radius 1. Den skjærer koordinataksene i 4 punkter i xy-planet: (-1 , 0), (1 , 0), (0 , -1) og (0 , 1)

t8b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dette gir:

A) Hva er skjæringspunktet mellom sirkelen og linjen y = 1 ?

(x , y) = (0 ,1)

B) Hva er skjæringspunktene mellom sirkelen og linjen y = 0 ?

(x , y) = (-1 , 0) og (x , y) =(1 , 0)

C) Hva er skjæringspunktet mellom sirkelen og linjen y = -1 ?

(x , y) = (0 , -1)

Eller ved regning:

A) Hva er skjæringspunktet mellom sirkelen og linjen y = 1 ?

{x^2 + y^2 = 1 \wedge y = 1}

{x^2 + 1^2 = 1}

{x^2 = 1 - 1 = 0}

x = 0

Svar: (x , y) = (0 , 1)

B) Hva er skjæringspunktene mellom sirkelen og linjen y = 0 ?

{x^2 + y^2 = 1 \wedge y = 0}

{x^2 + 0^2 = 1}

{x^2 = 1}

{x = \pm 1}

Svar: (x , y) = (-1 , 0) og (x , y) = (1 , 0)

C) Hva er skjæringspunktet mellom sirkelen og linjen y = -1 ?

{x^2 + y^2 = 1 \wedge y = -1}

{x^2 + (-1)^2 = 1}

{x^2 + 1 = 1}

{x^2 = 1 - 1 = 0}

x = 0

Svar: (x , y) = (0 , -1)

 

OPPGAVE 67 – VINKLER

t8c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Figuren over har 5 like vinkler u i stjernen. Inne i stjernen ligger et likesidet polygon med 5 like vinkler v.

Hvor mange grader er vinkelen u, og hvor mange grader er vinkelen v?

Vi starter med polygonet. Vinkelsummen i et likesidet polygon er {(n-2) \cdot 180^{\circ} } der n er antall sider. Alle 5 vinklene v er like. Dette gir

\displaystyle v = \frac{(5 - 2) \cdot 180^{\circ}}{5} = \frac{3 \cdot 180^{\circ}}{5} = 108^{\circ}

Man kan trekke ut den likebente trekanten av figuren:

t8d

 

 

 

 

 

{2u + v = 180^{\circ}}

{2u = 180^{\circ} - v = 180^{\circ} - 108^{\circ} = 72^{\circ}}

{u = 36^{\circ}}

 

OPPGAVE 68 – FUNKSJONER

A) Gitt funksjonen {f(x) = 4^x}

Hva blir f(x+1) – f(x) ?

{f(x+1) - f(x) = 4^{x+1} - 4^x = 4^x \cdot 4^1 - 4^x }

{= 4^x (4 - 1) = 3 \cdot 4^x = 3f(x)}

Svaralternativer:

a) 2f(x) b) 3f(x) c) 4f(x)

Svar b) er riktig

B) Gitt funksjonen {g(x) = 2^x}

Hva blir g(x+2) – g(x+1) ?

{g(x+2) - g(x+1) = 2^{x+2} - 2^{x+1} = 2^x \cdot 2^2 - 2^x \cdot 2^1}

{= 2^x (2^2 - 2) = 2^x (4 - 2) = 2 \cdot 2^x = 2g(x)}

Svaralternativer:

a) 2g(x) b) 3g(x) c) 4g(x)

Svar a) er riktig

 

Til slutt en ny mattenøtt:

OPPGAVE 69 – ENKEL GEOMETRI IV

Gitt en kube som vist på figuren under. Diagonalen angitt med blått er {d = 3 \sqrt{3}}.

t8e

 

 

 

 

 

 

A) Hva blir overflatearealet av kuben?

B) Hva blir volumet av kuben?

 

Neste artikkel kommer i januar. God jul og godt nyttår til dere alle! Hilsen erty56.

Reklamer

Kommentarer»

No comments yet — be the first.

Legg igjen en kommentar

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut /  Endre )

Google-bilde

Du kommenterer med bruk av din Google konto. Logg ut /  Endre )

Twitter-bilde

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut /  Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut /  Endre )

Kobler til %s

Dette nettstedet bruker Akismet for å redusere spam. Lær hvordan dine kommentardata behandles..

%d bloggere like this: