jump to navigation

POLYGON OG POLYEDRE 15. januar 2016

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
Tags: , , , , , , , , ,
trackback

Hei igjen!

Et polygon er en lukket kurve i planet med et endelig antall sider n. Sidene må ikke nødvendigvis være like lange, men ligge etter hverandre slik at de lager en lukket figur.

En side og to sider gir ikke en lukket kurve og kan derfor ikke danne polygoner. Trekanten blir altså polygonet med færrest antall sider. Deretter følger firkant, femkant, sekskant osv.

Likesidede polygoner med like vinkler i alle hjørner kalles regulære.

Et polygon må imidlertid ikke være regulært. Kravet er kun at figuren tilfredsstiller definisjonen. I et konvekst polygon vil en linje langs en side ikke skjære andre sider. I et konkavt polygon vil en slik linje kunne skjære en annen side i polygonet. Konkave polygoner kan altså være svært så spesielle figurer.

Vinkelsummen i et polygon er {(n - 2) \cdot 180^{\circ}} der n er antall sider.  Dersom polygonet er regulært blir hver vinkel:

\displaystyle \alpha = \frac{(n - 2) \cdot 180^{\circ}}{n}
Arealformelen til et regulært polygon er

\displaystyle A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot p

der p er omkretsen og a er apothem. Apothem er en lengde som går fra sentrum og vinkelrett på midten til en side i polygonet. Kjenner man lengden l av en side n, blir {p = l \cdot n}.

t9a

 

 

 

 

 

 

 

 

Alle regulære polygoner har en omskrevet sirkel som på figuren.

Disse formlene og sammenhengene kan brukes i en del geometriske oppgaver, ofte ved å trekke ut deler av en opprinnelig geometrisk figur.

I høyere matematikk brukes polygoner til en del utledninger. For eksempel til å vise at:

\displaystyle \int_{a}^a f(x) dx = 0

Vi går tilbake til de regulære polygoner.

skanning1

Et polyeder er et romlig legeme der sidene er plane mangekanter(polygoner). Igjen et skille mellom konvekse og konkave: En linje mellom to vilkårlige punkter ligger inne i polyederet når det er konvekst. Hvis en slik linje ikke ligger helt innenfor, er det konkavt.

Et regulært polyeder består av kongruente, regulære polygoner. Med kongruent menes identiske ved flytting i rommet(«like store»).
Det finnes kun 5 regulære polyedre. De 5 såkalte platonske legemene.

Summen av kantvinkler som møtes i et hjørne på et polyeder, er mindre enn {360^{\circ}}. Det møtes minst tre polygoner i hvert hjørne. Dette begrenser regulære polyedre til å bestå av trekanter, firkanter og femkanter.

skanning2

Flere regulære polyedre finnes ikke.

 

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 70 – GEOMETRISKE FORHOLD

Et kvadrat er innskrevet i en sirkel. Sirkelen er innskrevet i en likesidet trekant. Finn forholdet mellom arealet av kvadratet {A_1}, sirkelen {A_2} og trekanten {A_3}, altså {A_1 : A_2 : A_3} . Skisse:

t9b

 

 

 

 

 

 

 

 

(Hint: Uttrykk alle tre arealene ved radius i sirkelen r. Trekanten er et polygon, så benytt arealformelen {A = \frac{1}{2} a \cdot p})

 

Her kommer løsningsforslag av forrige måneds:

OPPGAVE 69 – ENKEL GEOMETRI IV

Gitt en kube som vist på figuren under. Diagonalen angitt med blått er {d = 3 \sqrt{3}}.

t9c

 

 

 

 

 

 

A) Hva blir overflatearealet av kuben?

Kaller alle sider x. Pytagoras setning:

\displaystyle x^2 + x^2 = y^2

\displaystyle y^2 = 2x^2

Trekanten med sider x, y og d ligger i et plan:

\displaystyle x^2 + y^2 = d^2

\displaystyle x^2 + 2x^2 = d^2

\displaystyle 3x^2 = d^2

\displaystyle 3x^2 = (3 \sqrt{3})^2 = 9 \cdot 3

\displaystyle x^2 = 9

\displaystyle x = 3

\displaystyle O = 6 x^2 = 6 \cdot 3^2 = 6 \cdot 9 = 54

 

B) Hva blir volumet av kuben?

\displaystyle V = x^3 = 3^3 = 27

 

Neste artikkel kommer i februar. Hilsen erty56. Artikkelen kan lastes ned som pdf-fil her:

polygon&polyedre

Reklamer

Kommentarer»

No comments yet — be the first.

Legg igjen en kommentar

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut /  Endre )

Google-bilde

Du kommenterer med bruk av din Google konto. Logg ut /  Endre )

Twitter-bilde

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut /  Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut /  Endre )

Kobler til %s

Dette nettstedet bruker Akismet for å redusere spam. Lær hvordan dine kommentardata behandles..

%d bloggere like this: