jump to navigation

NY MATTENØTT + FASIT OPPGAVE 70 27. februar 2016

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
trackback

Hei igjen!

Denne gangen kommer bare en ny mattenøtt. Innlegget neste måned vil gå nøyere inn på teori tilknyttet oppgave 71.

 

OPPGAVE 71 – FINN SUMMEN

De naturlige tallene er hele og positive tall: 1, 2, 3, …

Rekken av oddetallene kan skrives 1 + 3 + 5 + 7 + … + 2n – 1

der n er et naturlig tall

Kan du finne en sum for rekken av oddetallene uttrykket ved n?

(antar her at n er endelig, altså ikke en uendelig rekke av oddetall)

 

Her kommer løsningsforslag av forrige måneds:

OPPGAVE 70 – GEOMETRISKE FORHOLD

Et kvadrat er innskrevet i en sirkel. Sirkelen er innskrevet i en likesidet trekant. Finn forholdet mellom arealet av kvadratet {A_1}, sirkelen {A_2} og trekanten {A_3}, altså {A_1 : A_2 : A_3} . Skisse:

t10b

 

 

 

 

 

 

 

 

(Hint: Uttrykk alle tre arealene ved radius i sirkelen r. Trekanten er et polygon, så benytt arealformelen {A = \frac{1}{2} a \cdot p})

t10c

 

 

 

 

 

 

 

 

Sirkelen:

\displaystyle A_2 = \pi \cdot r^2

Kvadratet:

\displaystyle x^2 + x^2 = (2r)^2

\displaystyle 2x^2 = 4r^2

\displaystyle x^2 = 2r^2

\displaystyle A_1 = x^2 = 2r^2

Trekanten:

\displaystyle \tan 30^{\circ} = \frac {r}{\frac{1}{2} s}

\displaystyle \frac{1}{2} s = \frac{r}{\tan 30^{\circ}}

\displaystyle s = \frac{2r}{\tan 30^{\circ}}

Trekanten er et regulært polygon med apothem {a = r} og omkrets {p = 3s}

\displaystyle A_3 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot p

\displaystyle A_3 = \frac{1}{2} \cdot r \cdot 3s

\displaystyle A_3 = \frac{1}{2} \cdot r \cdot 3 \cdot \frac{2r}{\tan 30^{\circ}}

\displaystyle A_3 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}} \cdot r^2

\displaystyle A_3 = 3 \sqrt{3} r^2

 

Konklusjon:

\displaystyle A_1 : A_2 : A_3 = 2r^2 : \pi r^2 : 3 \sqrt{3} r^2 = 2 : \pi : 3 \sqrt{3}

 

Neste artikkel kommer i mars. Hilsen erty56.

Reklamer

Kommentarer»

No comments yet — be the first.

Legg igjen en kommentar

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut /  Endre )

Google-bilde

Du kommenterer med bruk av din Google konto. Logg ut /  Endre )

Twitter-bilde

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut /  Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut /  Endre )

Kobler til %s

Dette nettstedet bruker Akismet for å redusere spam. Lær hvordan dine kommentardata behandles..

%d bloggere like this: