jump to navigation

FØLGER, REKKER OG GJENNOMSNITT 29. mars 2016

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
Tags: , , , , , , ,
trackback

Hei igjen!

Her kommer en kort og enkel artikkel om tallfølger, rekker og middelverdi(gjennomsnitt). Jeg har lagt inn noen eksempler underveis, for å vise litt om dette i praksis. F.eks. å beregne typer av gjennomsnitt for flere tall. Man finner mer om artikkelens tema i en bok jeg har skrevet:

MATEMATIKKLEKSIKON FOR VIDEREGÅENDE SKOLE

Her finner man også alle andre emner innen den videregående skoles matematikk. Ved å trykke på linken vil man få opp oversikt over bokens kapitler og noe generell omtale, samt mulighet til å bestille boken.

1. Innledning

En tallfølge er en serie med tall som kommer etter hverandre i en bestemt rekkefølge. Kvadrattallene fra 1 til 4 er {1^2, 2^2, 3^2, 4^2 } eller

\displaystyle 1, 4, 9, 16

Dette er en endelig tallfølge. De naturlige tallene

\displaystyle 1, 2, 3, 4 , ...

er en uendelig tallfølge

En rekke består av summen av alle ledd i en tallfølge.

Rekken av kvadrattallene fra 1 til 4 blir


\displaystyle \sum = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30


Den greske bokstaven {\sum} betegner en sum i matematikk.

Rekken av de naturlige tallene gir ikke et endelig tall.

2. Progresjoner

En aritmetisk progresjon er en følge av tall med konstant differanse. Matematisk skrives dette

\displaystyle a_n = a_{n-1} + d

En tallfølge med dette systemet er en aritmetisk tallfølge. Hvert ledd(bortsett fra det første) er lik leddet foran addert et fast tall d(kalles divergens).

De naturlige tallene er en (uendelig) aritmetisk tallfølge med d = 1.

De 10 første partallene

2, 4, 6 , 8 , 10, 12, 14, 16, 18, 20

er en (endelig) aritmetisk tallfølge med d = 2.


En geometrisk progresjon er en følge av tall multiplisert med det samme tallet. Matematisk skrives dette

\displaystyle a_n = a_{n-1} \cdot k

En tallfølge med dette systemet er en geometrisk tallfølge. Hvert ledd(bortsett fra det første) er lik leddet foran multiplisert med et fast tall k(kalles kvotient).

Tallfølgene gir opphav til aritmetisk rekke:


\displaystyle \sum a_n = \frac{a_1 + a_n}{2} n


Og geometrisk rekke:


\displaystyle \sum a_n = \frac{a_1 (k^n - 1)}{k - 1}


For de 10 første partallene blir summen:


\displaystyle \sum a_n = \frac{a_1 + a_n}{2} n = \frac{2 + 20}{2} \cdot 10 = \frac{22}{2} \cdot 10 = 11 \cdot 10 = 110

3. Konvergens

I en endelig tallfølge ser man lett hva det siste tallet er. For en uendelig tallfølge kan det variere om man kan finne et slikt «siste» ledd. En tallfølge konvergerer dersom det «siste» leddet har en definert, endelig verdi, dvs:

\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} a_n = a

{\infty} er et symbol for uendelig. Man skal altså kunne gå «uendelig» langt ut langs leddene, og få en definert, endelig verdi a.

Gitt den (uendelige) tallfølgen

\displaystyle 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, ... , (\frac{1}{2})^n , ... \indent (k = \frac{1}{2})


\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} (\frac{1}{2})^n = 0


Så denne tallfølgen konvergerer.

Alle endelige rekker gir en konkret sum. I det ikke-endelige tilfellet, altså med uendelig mange ledd, vil det variere om rekken har en konkret sum eller ikke. En rekke konvergerer dersom den har en definert, endelig sum for alle ledd, dvs:

\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} \sum a_n = a


Følger og rekker som ikke konvergerer, kalles divergente. Rekken av de naturlige tallene er divergent.

4. Gjennomsnitt

Gitt at vi har n forskjellige tall {x_1 , ... , x_n}. Aritmetisk middelverdi(gjennomsnitt) defineres:

\displaystyle \overline{X}_{A.M.} = \frac{x_1 + ... + x_n}{n}


{\overline{X}_{A.M.}} skrives ofte bare {\overline{X}}


Har man de fire tallene 2, 5, 7 og 2 blir


\displaystyle \overline{X} = \frac{2 + 5 + 7 + 2}{4} = \frac{16}{4} = 4


For den aritmetiske rekken/følgen over blir:

\displaystyle \overline{X}_{A.M.} = \frac{a_1 + a_n}{2}


Gitt at vi har n forskjellige tall {x_1 , ... , x_n}. Geometrisk middelverdi(gjennomsnitt)) defineres:


\displaystyle \overline{X}_{G.M.} = \sqrt[n]{x_1 \cdot ... \cdot x_n}


Har man fem tall: 3, 12, 48, 192 og 768 blir

\displaystyle \overline{X}_{G.M.} = \sqrt[5]{3 \cdot 12 \cdot 48 \cdot 192 \cdot 768} = \sqrt[5]{254803968}

\displaystyle = 254803968^{1/5} = 48


For den geometriske rekken/følgen over blir:


\displaystyle \overline{X}_{G.M.} = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_1 k \cdot a_1 k^2 \cdot ... \cdot a_1 k^{n-2} \cdot a_1 k^{n-1}}


\displaystyle = (a_1)^{\frac{n}{n}} \sqrt[n]{k \cdot k^2 \cdot ... \cdot k^{n-2} \cdot k^{n-1}}


\displaystyle =\Large a_1 \sqrt[n]{(k^n)^{\frac{n-1}{2}} }


\displaystyle =\textstyle a_1 \cdot k^{\frac{n(n-1)}{n \cdot 2}}


\displaystyle =\displaystyle a_1 \cdot k^{\frac{n-1}{2}}


En tredje middelverdi er det harmoniske gjennomsnittet {\overline{X}_{H.M.}} Gitt at vi har n forskjellige tall {x_1 , ... , x_n}. Harmonisk middelverdi defineres:

\displaystyle \overline{X}_{H.M.} = ({\frac{x_1^{-1} + ... + x_n^{-1}}{n}})^{-1} = \frac{n}{x_1^{-1} + ... + x_n^{-1}} = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + ... + \frac{1}{x_n}}


Følgende rekke kalles den harmoniske rekken:

\displaystyle 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} + ...


Man kan betrakte de fem første leddene

\displaystyle 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}


\displaystyle \overline{X}_{H.M.} = \frac{n}{x_1^{-1} + ... + x_n^{-1}}

\displaystyle = \frac{5}{1 + 2 + 3 + 4 + 5} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}


Det harmoniske snittet for denne rekken er altså det samme som leddet midt i rekken. Betrakter man videre de seks første leddene

\displaystyle 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6}

vil


\displaystyle \overline{X}_{H.M.} = \frac{n}{x_1^{-1} + ... + x_n^{-1}}

\displaystyle = \frac{6}{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6} = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}


Dette er også leddet «i midten»:

\displaystyle \frac{1}{3}, \frac{1}{3,5}, \frac{1}{4}

\displaystyle \frac{1}{3,5} = \frac{2}{7}


Når antall ledd i den harmoniske rekken er et oddetall finner vi harmonisk middel direkte midt i rekken. Når antall ledd er et partall, blir det harmoniske middel 1 delt på gjennomsnittet {\overline{X}_{A.M.}} av tallene i nevner for de to midterste ledd. Altså noe som ligner å finne median.

Sammenhengen mellom de tre middelverdier er


\displaystyle \overline{X}_{H.M.} \leq \overline{X}_{G.M.} \leq \overline{X}_{A.M.}

 

Her kommer løsningsforslag av forrige måneds:

OPPGAVE 71 – FINN SUMMEN

De naturlige tallene er hele og positive tall: 1, 2, 3, …

Rekken av oddetallene kan skrives 1 + 3 + 5 + 7 + … + 2n – 1

der n er et naturlig tall. Kan du finne en sum for rekken av oddetallene uttrykket ved n?

(antar her at n er endelig, altså ikke en uendelig rekke av oddetall)

Svar:

Dette er summen for en aritmetisk rekke

\displaystyle \sum a_n = \frac{a_1 + a_n}{2} n

der første ledd er {a_1 = 1} og siste ledd er {a_n = 2n - 1}


\displaystyle 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 2n - 1 = \frac{1 + 2n -1}{2} n = \frac{2n}{2} n = n \cdot n = n^2


Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 72 – MIDDELVERDIER

A) Gitt tallene 2, 4, 8, 16 og 1024. Finn {\overline{X}_{G.M.}}

B) Gitt en aritmetisk rekke fra 1 til 100.

1) Finn {\overline{X}_{A.M.}}

2) d= 1. Finn rekkens sum.

C) Gitt de fem første naturlige tallene 1, 2, 3, 4 og 5.

Finn {\overline{X}_{H.M.}}

Neste artikkel kommer i april. Hilsen erty56.

Artikkelen kan lastes ned som pdf-fil her:

folger_rekker_middelverdi

Reklamer

Kommentarer»

No comments yet — be the first.

Legg igjen en kommentar

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut /  Endre )

Google-bilde

Du kommenterer med bruk av din Google konto. Logg ut /  Endre )

Twitter-bilde

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut /  Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut /  Endre )

Kobler til %s

Dette nettstedet bruker Akismet for å redusere spam. Lær hvordan dine kommentardata behandles..

%d bloggere like this: