jump to navigation

FASIT GEOMETRI QUIZ 22. mai 2016

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
trackback

Hei igjen!

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds geometri quiz:

OPPGAVE 73 – SVÆRT ENKEL GEOMETRI

t13a

 

 

 

 

 

 

 

 

Figuren over viser en likebent trekant med to like vinkler og en vinkel på {20^{\circ}}. Inne i denne trekanten ligger en annen trekant med vinklene {\alpha}, {50^{\circ}} og en tredje vinkel. Finn vinkelen {\alpha}

Ny skisse:

t13b

 

 

 

 

 

 

 

 

Summen av vinklene i en trekant er 180{^{\circ}}

\displaystyle \beta + \beta + 20^{\circ} = 180^{\circ}

\displaystyle 2\beta = 160^{\circ}

\displaystyle \beta = 80^{\circ}

 

Deretter trekanten med vinkelen {\alpha} :

\displaystyle \alpha + \beta + 50^{\circ} = 180^{\circ}

\displaystyle \alpha = 180^{\circ} - 50^{\circ} - \beta

\displaystyle \alpha = 180^{\circ} - 50^{\circ} - 80^{\circ}

\displaystyle \alpha = 50^{\circ}

 

OPPGAVE 74 – OMSKREVNE FIGURER

t13c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Figuren over viser 4 små like sirkler med radius {r = \sqrt{8}}. Sirklene har et omskrevet kvadrat med sider s. Kvadratet har en omskrevet sirkel (i blå farge) med radius R. Finn R.

Man kan «klippe ut» følgende skisse av den opprinnelige figuren:

t13d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Man ser at {\frac{1}{2}s = 2r}. Pytagoras setning gir

\displaystyle (\frac{1}{2}s)^2 + (\frac{1}{2}s)^2 = R^2

\displaystyle (2r)^2 + (2r)^2 = R^2

\displaystyle 4r^2 + 4r^2 = R^2

\displaystyle R^2 = 8r^2

\displaystyle R = \sqrt{8}r = \sqrt{8} \sqrt{8} = 8

 

OPPGAVE 75 – SPESIELL TREKANT

t13e

 

 

 

 

 

 

 

 

Trekanten over er en likesidet trekant med sider 4. Lengdene langs siden CA har sammenhengen 2CF = 2 FE = EA og lengdene langs siden CB har sammenhengen {\frac{5}{3}}CD = DB. Finn arealet av trekanten DEF, angitt med blå farge på skissen. (Med trekanten DEF menes trekanten med hjørnene D, E og F.) Hint: Likesidet trekant, så CF + FE + EA = 4, CD + DB = 4 og AB = 4.

Denne oppgaven kan løses på flere måter. Mange geometri-oppgaver kan ofte løses på flere forskjellige måter. En metode er å regne ut arealet av firkanten AFDB og trekke fra arealet til firkanten ABDE. En enklere metode er å regne ut arealet av trekanten CED og trekke fra arealet av trekanten CFD. Denne følger nedenfor.

2CF = 2 FE = EA

CF + FE + EA = 4

x + x + 2x = 4

x = 1

Altså er CF = 1 og CE = CF + FE = 1 + 1 =2.

{\frac{5}{3}}CD = DB

CD + DB = 4

x + {\frac{5}{3}}x = 4

x = 1,5

Altså er CD = 1,5.

Dette er en likesidet trekant, så alle vinklene er 60{^{\circ}}.

 

\displaystyle A(\Delta DEF) = A(\Delta CED) - A(\Delta CFD)

\displaystyle A(\Delta DEF) = \frac{1}{2} \cdot \sin 60^{\circ} \cdot CE \cdot CD - \frac{1}{2} \cdot \sin 60^{\circ} \cdot CF \cdot CD

\displaystyle A(\Delta DEF) = \frac{1}{2} \cdot \sin 60^{\circ} \cdot 2 \cdot 1,5 - \frac{1}{2} \cdot \sin 60^{\circ} \cdot 1 \cdot 1,5

\displaystyle A(\Delta DEF) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 3 - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{2}

\displaystyle A(\Delta DEF) = \frac{3\sqrt{3}}{4} - \frac{3\sqrt{3}}{8} = \frac{3\sqrt{3}}{8}

 

Til slutt en ny mattenøtt:

 

OPPGAVE 76 – ENKEL ALGEBRA

A) 60 {\%} av et tall er 150. Hva er tallet?

B) {\sqrt{4^3}} er lik et naturlig tall (hele og positive). Hvilket?

C) {\sqrt{2^8}} er også lik et naturlig tall. Hvilket?

 

Neste artikkel kommer i juni. Hilsen erty56.

Reklamer

Kommentarer»

No comments yet — be the first.

Legg igjen en kommentar

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut /  Endre )

Google-bilde

Du kommenterer med bruk av din Google konto. Logg ut /  Endre )

Twitter-bilde

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut /  Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut /  Endre )

Kobler til %s

Dette nettstedet bruker Akismet for å redusere spam. Lær hvordan dine kommentardata behandles..

%d bloggere like this: