jump to navigation

PYTAGORAS SETNING 26. november 2016

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
trackback

Hei igjen!

Her følger to enkle måter å vise pytagoras setning på. Deretter et bevis ved hjelp av vektorregning.

Pytagoras setning sier at

 a^2 + b^2 = c^2

for en rettvinklet trekant (en trekant med en vinkel på 90 grader).

t18a

 

 

 

 

 

I. Klassisk geometri I

Man tar utgangspunkt i figuren under.

t18b

 

 

 

 

 

 

 

 

Arealet av de fire trekantene pluss arealet av den lille firkanten i midten, er det samme som arealet av hele firkanten.

\frac{a \cdot b}{2} \cdot 4 + c^2 = (a + b)^2

2ab + c^2 = a^2 + 2ab + b^2

c^2 = a^2 + b^2

a^2 + b^2 = c^2

gg

II. Klassisk geometri II

Man tar utgangspunkt i figuren under.

t18c

 

 

 

 

 

 

 

 

Arealet av firkanten er lik arealet av de fire trekantene og den lille firkanten i midten. Trekantene har kateter a og b og hypotenus c. Den lille firkanten har sider (a – b)

c^2 = 4 \frac{ab}{2} + (a - b)^2

c^2 = 2 ab + a^2 - 2ab + b^2

c^2 = a^2 + b^2

a^2 + b^2 = c^2

gg

III. Bevis ved analytisk geometri

Den tredje måten er noe mer innfløkt, og bruker vektorregning. En vektor er et linjestykke med retning. Man legger to vektorer vinkelrett på hverandre i et koordinatsystem:

\vec{v} = [a , b]

\vec{u} = [c , d]

t18d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Man ønsker å vise pytagoras setning for trekanten bestående av de tre blå linjene. Dvs:

\mid\vec{v} \mid ^2 + \mid\vec{u} \mid ^2 = \mid \vec{v} - \vec{u} \mid ^2

 

Lengden til en vektor er definert:

\mid \vec{v} \mid = \sqrt{x^2 + y^2}

 

Man finner kvadratet av lengdene:

\mid\vec{v} \mid ^2 = \sqrt{a^2 + b^2}^2 = a^2 + b^2

\mid\vec{u} \mid ^2 = \sqrt{c^2 + d^2}^2 = c^2 + d^2

 

Vektoren \vec{v}- \vec{u} er

\vec{v} -\vec{u} = [a - c , b - d]

 

Kvadratet av lengden til \vec{v} - \vec{u} er

\mid\vec{v} - \vec{u} \mid ^2 = \sqrt{(a - c)^2 + (b - d)^2}^2

\mid \vec{v} - \vec{u} \mid ^2 = (a - c)^2 + (b - d)^2

\mid \vec{v} - \vec{u} \mid ^2 = a^2 - 2ac + c^2 + b^2 - 2bd + d^2

\mid \vec{v} - \vec{u} \mid ^2 = a^2 + c^2 + b^2 + d^2 - 2(ac + bd)

 

Skalarproduktet til to vektorer er definert

\vec{v} \cdot\vec{u} = \mid \vec{v} \mid\cdot \mid \vec{u} \mid \cdot cos \alpha

der \alpha er vinkelen mellom \vec{v} og \vec{u}

\vec{v} \cdot\vec{u} = [a , b] \cdot [c , d] = \sqrt{a^2 + b^2}\cdot \sqrt{c^2 + d^2}\cdot \cos 90^{\circ} = 0

ac + bd = 0

 

Dermed blir

\mid \vec{v}- \vec{u} \mid ^2 = a^2 + c^2 + b^2 + d^2 - 2(ac + bd) = a^2 + c^2 + b^2 + d^2

 

Man har nå vist at

\mid \vec{v} \mid ^2 = a^2 + b^2

\mid \vec{u} \mid ^2 = c^2 + d^2

\mid \vec{v} - \vec{u} \mid ^2 = a^2 + c^2 + b^2 + d^2

 

Altså er

\mid\vec{v} \mid ^2 + \mid\vec{u} \mid ^2 = \mid \vec{v} - \vec{u} \mid ^2

 

Det finnes en rekke flere måter å illustrere eller bevise pytagoras setning på. Her kommer en ny mattenøtt:

 

OPPGAVE 84 – FUNKSJON

Gitt

f(x) = \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}

A) Vis at f(-2) = f(2)

B) For hvilke a er f(-a)=f(a)?

 

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds mattenøtt:

 

OPPGAVE 83 – STØRSTE OG MINSTE TALL

A) Gitt 5 tall:

\frac{\pi}{2},\indent \sqrt{\frac{\pi^2}{4}},\indent\frac{\pi}{3},\indent \frac{\pi}{4} \indent \sqrt{\frac{\pi^2}{9}}

Hvilket er minst?

\sqrt\frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi}{2}

\sqrt{\frac{\pi^2}{9}} = \frac{\pi}{3}

\frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}

 

Svar: \frac{\pi}{4} er minst.

 

B) Gitt 6 tall:

9^6 ,\indent 2^{20},\indent 3^{12},\indent 16^5, \indent9^7,\indent 4^{10}

Hvilket er størst?

9^6 = (3^2)^6 = 3^{12}

9^7 = (3^2)^7 = 3^{14}

16^5 = (2^4)^5 = 2^{20}

4^{10} = (2^2)^{10} = 2^{20}

3^{14} > 2^{20} > 3^{12}

 

Svar: 9^7 er størst

 

Neste artikkel kommer i desember. Hilsen erty56.

Reklamer

Kommentarer»

No comments yet — be the first.

Legg igjen en kommentar

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut /  Endre )

Google-bilde

Du kommenterer med bruk av din Google konto. Logg ut /  Endre )

Twitter-bilde

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut /  Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut /  Endre )

Kobler til %s

Dette nettstedet bruker Akismet for å redusere spam. Lær hvordan dine kommentardata behandles..

%d bloggere like this: