jump to navigation

JULENØTTER 2016 – FASIT 21. januar 2017

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
trackback

Hei igjen!

Her kommer løsningsforslag til julenøtter 2016:

JULENØTTER 2016

 

OPPGAVE 85 – ALDER TIL FAR OG DATTER

Eva er 8 år gammel og faren hennes er 31 år. Et visst antall år frem i tid er faren dobbelt så gammel som henne. Hvor mange år blir Eva da?

Kaller et visst antall år for x. Kaller da alder til Eva for y og faren for 2y (dobbelt så gammel):

\displaystyle 8 + x = y

\displaystyle 31 + x = 2y

\displaystyle 31 + x = 2(8 + x)

\displaystyle 31 + x = 16 + 2x

\displaystyle x = 15

\displaystyle y = 8 + x = 8 + 15 = 23

Svar: 23 år

 

OPPGAVE 86 – EN BRØK

\displaystyle x = 3y \indent og \indent y = 4z

Hva blir

\displaystyle \frac{x^2 + y^2 + z^2}{yz}

\displaystyle x = 3y = 3(4z) = 12z

\displaystyle \frac{x^2 + y^2 + z^2}{yz} = \frac{(12z)^2 + (4z)^2 + z^2}{4z z}

\displaystyle \frac{x^2 + y^2 + z^2}{yz} = \frac{144 z^2 + 16z^2 + z^2}{4z^2}

\displaystyle \frac{x^2 + y^2 + z^2}{yz} = \frac{161 z^2}{4 z^2} = 40,25

 

OPPGAVE 87 – BOKTRYKKERIET

Et trykkeri trykker opp en bok. Trykkemaskinen bruker 1.896 siffer for å angi sidetallene på hver bok. Hvor mange sider er det i denne boken?

Sidene 1-9 har et siffer for å angi sidetallet, sidene 10-99 har to siffer, og sidene f.o.m. 100 har tre siffer.

\displaystyle 1-9 \indent 9 \cdot 1 = 9 

\displaystyle 10-99 \indent 90 \cdot 2 = 180

\displaystyle 1.896 - (9 + 180) = 1.707

\displaystyle \frac{1.707}{3} = 569 (sider)

Svar: 99 sider + 569 sider = 668 sider

 

OPPGAVE 88 – ENKEL GEOMETRI-NØTT

Her følger en figur der lengdene av halvsirklene er angitt ved hhv. L=12 π for den store halvsirkelen og L = 6 π for de to små. 

t20a

 

 

 

 

 

 

 

Hva blir arealet av det fargede(lilla) området på figuren?

t21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

OPPGAVE 89 – UKEPENGER

Per og far har en krangel om ukelønnen i uke 1. Per vil ha 100 kr i uken, men faren nekter å gi mer enn 40 kr. Per er et hakk skarpere enn faren når det kommer til tall. Han foreslår at faren skal gi ham 1 kr i uke 1, 2 kr i uke 2, 4 kr i uke 3, osv (altså doble beløpet hver uke). Far tenker at dette kan ikke bli rare kronene, og går med på forslaget. Hvor mye må faren gi Per innen året er omme, altså i løpet av 52 uker?

1 + 2 + 4 +  … osv. er en geometrisk rekke med kvotient 2:

\displaystyle 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^{51}

Summen blir:

\displaystyle\sum_{i=0}^{51} 2^i = \frac{1(2^{52} - 1)}{2 - 1} = 2^{52} - 1

\displaystyle\sum_{i=0}^{51} 2^i = 4.503.599.627.370.495

 
Formelen for summen er generelt gitt ved:

\displaystyle a_1 \sum_{i=0}^{n-1} k^i = a_1 \frac{(k^n - 1)}{k - 1}

med kvotient k og første ledd a_1

 

OPPGAVE 90 – NOE VANSKELIG GEOMETRI-NØTT

t20b

 

 

 

 

 

 

 

 

P deler AD i 2 like deler (AP=PD). AB = 9, BC = 8, DC = 7. Hva blir arealet av firkanten APQB (lilla farge på figuren) ?

Man finner først arealet av hele firkanten ABCD, og trekker deretter fra arealet til firkanten CDPQ. Ny skisse:

t21b

 

 

 

 

 

 

 

 

Arealet til hele firkanten blir:

A_1 = 8 \cdot 7 + \frac{2 \cdot 8}{2} = 56 + 8 = 64

Deretter arealet til firkanten CDPQ ved:

8^2 + 2^2 = AD^2

AD^2 = 68

AD = \sqrt{68}

z = PD = \frac{AD}{2} = \frac {\sqrt{68}}{2} = \sqrt{17}

tan \alpha = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}

\alpha = 14,036243^{\circ}

\alpha + \beta + 90^{\circ} = 180^{\circ}

\beta = 90^{\circ} - \alpha

\beta + 90^{\circ} + \gamma = 180^{\circ}

\gamma = 90^{\circ} - \beta = 90^{\circ} - (90^{\circ} - \alpha) = \alpha

tan \gamma = \frac{x}{7}

x = 7 \cdot tan \gamma =  7 \cdot tan \alpha = 7 \cdot \frac{1}{4} = \frac{7}{4}

cos \alpha = \frac{z}{y} = \frac{\sqrt{17}}{y}

y = \frac {\sqrt{17}}{cos \alpha}

Arealet til firkanten CDPQ blir:

A_2 = \frac{1}{2} sin \alpha \cdot z \cdot y + 7 \cdot y + \frac{x \cdot 7}{2}

A_2 = \frac{1}{2} sin \alpha \cdot \sqrt{17} \cdot \frac{\sqrt{17}}{cos \alpha} + 7 \cdot \frac{\sqrt{17}}{cos \alpha} + \frac{\frac{7}{4} \cdot 7}{2}

A_2 = \frac{1}{2} tan \alpha \cdot 17 + \frac{7 \cdot \sqrt{17}}{cos 14,036243^{\circ}} + \frac{49}{8}

A_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot 17 + 29,75 + 6,125

A_2 = 2,125 + 29,75 + 6,125 = 38

 

Arealet av firkanten APQB blir dermed:

A = A_1 - A_2 = 64 - 38 = 26

 

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 91 – REGNING MED FORHOLD

Anne skal blande to kaffesorter I og II. I koster 50 kr/kg. og II koster 70 kr/kg. Av disse vil hun lage en blanding på 10 kg., slik at prisen blir 63 kr/kg. Hvor mye må Anne bruke av hhv. I og II ?

 

Løsningsforslag til mattenøttene legges alltid ut i neste innlegg(neste måned). Hilsen erty56.

Reklamer

Kommentarer»

No comments yet — be the first.

Legg igjen en kommentar

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut /  Endre )

Google-bilde

Du kommenterer med bruk av din Google konto. Logg ut /  Endre )

Twitter-bilde

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut /  Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut /  Endre )

Kobler til %s

Dette nettstedet bruker Akismet for å redusere spam. Lær hvordan dine kommentardata behandles..

%d bloggere like this: