jump to navigation

ANNENGRADSLIGNINGER OG PARABELEN 30. mars 2017

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
trackback

Hei igjen!

Dagens artikkel omhandler annengradsligninger, og deres grafer parabler.

I. Annengradsligninger


I.1 Abc-formelen

En annengradsligning er generelt gitt på formen

\displaystyle ax^2 + bx + c = 0

der a, b og c er vilkårlige tall, men a \neq 0

 

Utledning av abc-formelen:

\displaystyle ax^2 + bx + c = 0

\displaystyle \frac{ax^2}{a} +\frac{bx}{a} + \frac{c}{a} = \frac{0}{a}

\displaystyle x^2 +\frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0

\displaystyle x^2 +\frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}

Man lager et fullstendig kvadrat:

\displaystyle (x + \frac{b}{2a})^2 = -\frac{c}{a} + (\frac{b}{2a})^2

\displaystyle (x + \frac{b}{2a})^2 = -\frac{4a \cdot c}{4a \cdot a} + \frac{b^2}{4a^2}

\displaystyle (x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}

Man trekker ut kvadratroten på begge sider:

\displaystyle \sqrt{(x + \frac{b}{2a})^2} = \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}

\displaystyle (x + \frac{b}{2a}) = \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}

\displaystyle x = - \frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

\displaystyle x = \frac {-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} (abc-formelen)

 

Diskriminanten b^2 - 4ac avgjør løsningene

\displaystyle b^2 - 4ac < 0 \Rightarrow ingen løsning (*)

\displaystyle b^2 - 4ac = 0 \Rightarrow en løsning

\displaystyle b^2 - 4ac > 0 \Rightarrow to løsninger

 

De to løsningene er

\displaystyle x = \frac {-b +\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \indent \vee \indent x = \frac {-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

(*) Dette skyldes at man ikke kan trekke ut kvadratroten av negative tall.


I.2 Eksempel

Gitt

\displaystyle x^2 - 3x + 2 = 0

Her er a = 1, b = -3 og c = 2 .

Algoritmen for løsningen er akkurat den samme som utledningen av abc-formelen:

\displaystyle x^2 - 3x + 2 = 0

\displaystyle x^2 - 3x = -2

Man lager et fullstendig kvadrat:

\displaystyle (x - \frac{3}{2})^2 = -2 + (-\frac{3}{2})^2

\displaystyle (x - \frac{3}{2})^2 = -2 + 2 \frac{1}{4}

\displaystyle (x - \frac{3}{2})^2 = \frac{1}{4}

Man trekker ut kvadratroten på begge sider:

\displaystyle \sqrt{(x - \frac{3}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4}}

\displaystyle (x - \frac{3}{2}) = \pm \frac{1}{2}

\displaystyle x = \frac{3}{2} \pm \frac{1}{2}

\displaystyle x = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2 \indent \vee \indent x = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1


II. Parabelen

Annengradsfunksjoner kalles parabler.

Parabler er grafiske fremstillinger av annengradsligninger. Gitt ved

\displaystyle f(x) = ax^2 + bx + c

der a, b og c er vilkårlige tall, men a \neq 0

Illustrasjon av parabler

 

Dersom a > 0 \Rightarrow Grafen har bunnpunkt

Dersom a < 0 \Rightarrow Grafen har toppunkt

 

Langs x-aksen er y=0. Ved å beregne

\displaystyle y = f(x) = ax^2 + bx + c = 0

finner man grafens skjæringspunkter med x-aksen. Dette gir selvsagt det samme svaret som abc-formelen:

\displaystyle x = \frac {-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Man vil ha følgende:

\displaystyle b^2 - 4ac < 0 \Rightarrow ingen skjæringspunkter med x-aksen

\displaystyle b^2 - 4ac = 0 \Rightarrow et skjæringspunkt med x-aksen

\displaystyle b^2 - 4ac > 0 \Rightarrow to skjæringspunkter med x-aksen

 

En parabel har alltid en symmetrilinje. Denne finnes ved å beregne gjennomsnittet av de to generelle løsningene i abc-formelen:

x_{sym} = \frac {\frac {-b +\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} + \frac {-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}}{2} = -\frac{b}{2a}

Dette gjelder uansett, også når diskriminanten er negativ (blir borte i regnestykket). En parabel ligger altså alltid symmetrisk om symmetrilinjen x_{sym} .

 

Langs y-aksen er x=0. Ved å beregne

\displaystyle f(0) = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = c

finner man grafens skjæringspunkt med y-aksen. En parabel f(x) = ax^2 + bx + c skjærer altså alltid y-aksen ved c.


III. Komplekse røtter


III.1 Teori

En rot (eller flere røtter) er en betegnelse på en løsning av en ligning. I I. Annengradsligninger med utledning av abc-formelen arbeidet vi innenfor det reelle tallsystemet . Reelle tall er alle vanlige tall langs tallinjen. Illustrasjon:

 

 

 

 


Kvadratroten av negative tall er ikke definert innenfor det reelle tallsystemet.

Man kan utvide til det komplekse tallsystemet, der kvadratroten til negative tall også er definert. Da vil også annengradsligninger med

\displaystyle b^2 - 4ac < 0

ha løsninger. Et komplekst tall er et tall på formen

\displaystyle z = x + iy

der x og y er reelle tall og i = \sqrt{-1}

Et komplekst tall vil ligge i et plan istedenfor langs en linje:

 

Realdelen (x) til z ligger langs førsteaksen og imaginærdelen (y) til z ligger langs annenaksen.

Punktet (a , b) på figuren er en geometrisk fremstilling av tallet a + ib

En grafisk fremstilling av annengradsfunksjoner der b^2 - 4ac < 0 :

Parabelen vil enten ha bunnpunkt over x-aksen (a > 0), eller toppunkt under x-aksen (a < 0) . I begge tilfeller ingen skjæringspunkter med x-aksen. Her har vi altså ingen reelle løsninger av

\displaystyle y = f(x) = ax^2 + bx + c = 0

 

Man har derimot de komplekse løsningene:

\displaystyle x = \frac {-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

\displaystyle x = \frac {-b \pm \sqrt{-1 \cdot (-(b^2 - 4ac))}}{2a}

\displaystyle x = \frac {-b \pm \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-(b^2 - 4ac)}}{2a}

\displaystyle x = \frac {-b \pm i \sqrt{-(b^2 - 4ac)}}{2a}

\displaystyle x = \frac {-b + i \sqrt{-(b^2 - 4ac)}}{2a} \indent \vee \indent x = \frac {-b - i \sqrt{-(b^2 - 4ac)}}{2a}

 

Antall komplekse løsninger av ligninger opptrer alltid i par, dvs. de må være 0, 2, 4, osv.

En annengradsligning vil derfor alltid ha en av følgende løsninger basert på diskriminanten b^2 - 4ac :

\displaystyle b^2 - 4ac < 0 \Rightarrow ingen reelle løsninger og to komplekse løsninger

\displaystyle b^2 - 4ac = 0 \Rightarrow en reell løsning (en dobbeltrot)

\displaystyle b^2 - 4ac > 0 \Rightarrow to reelle løsninger


III.2 Eksempel

Gitt

\displaystyle x^2 - 2x + 2 = 0

Denne gangen sløyfer jeg utregningen, og setter a = 1, b = -2 og c=2 inn i abc-formelen:

\displaystyle x = \frac {-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} (abc-formelen, (*))

\displaystyle x = \frac {- (-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}

\displaystyle x = \frac {2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2}

\displaystyle x = \frac {2 \pm \sqrt{-4}}{2}

\displaystyle x = \frac {2 \pm \sqrt{-1 \cdot 4}}{2}

\displaystyle x = \frac {2 \pm \sqrt{-1} \sqrt{4}}{2}

\displaystyle x = \frac {2 \pm i \cdot 2}{2}

\displaystyle x = 1 \pm i

\displaystyle x = 1 + i \indent \vee \indent x = 1 - i

(*) Utregningen ender uansett opp med abc-formelen.

 

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 93 – FINN HØYDEN

En ball kastes oppover med startfarten v_0 = 10 m/s . Etter hvor mange sekunder er ballen nede på bakken igjen? (Tips: man kan bruke en enkel formel fra mekanikk: h = v_0 t - \frac{1}{2} gt^2 , der h er høyden, t er tiden og g= 9,81 m/s^2 er tyngdens akselerasjon).

 

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 92 – ENKLE TALLREKKER

A) Hvilket tall x mangler i rekke nr.2 ?

1, 2, 3, 4, 5, 6

1, 4, 9, x , 25, 36

Tallene i rekke nr.2 er kvadratet av tallene i rekke nr.1, altså 4² = 16

Svar: x = 16

B) Hvilket tall x mangler til sist i denne rekken?

1, 2, 3, 5, 7, x

Dette er de første primtallene. Primtall er tall som bare er delelig med 1 og seg selv: 1, 2, 3, 5, 7, 11

Svar: x = 11

 

Neste artikkel kommer i april. Løsningsforslag til mattenøttene legges alltid ut i neste innlegg(neste måned). Hilsen erty56.

Artikkelen kan lastes ned som pdf-fil her:

ANNENGRADSLIGNINGER OG PARABELEN

 

Populære norske blogger

Reklamer

Kommentarer»

1. MATTENØTT NR.114 | Realfagshjørnet - 25. februar 2018

[…] ANNENGRADSLIGNINGER OG PARABELEN […]

2. PÅSKENØTTER 2018 – FASIT | Realfagshjørnet - 20. april 2018

[…] ANNENGRADSLIGNINGER OG PARABELEN […]


Legg igjen en kommentar

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut /  Endre )

Google-bilde

Du kommenterer med bruk av din Google konto. Logg ut /  Endre )

Twitter-bilde

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut /  Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut /  Endre )

Kobler til %s

Dette nettstedet bruker Akismet for å redusere spam. Lær hvordan dine kommentardata behandles..

%d bloggere like this: