jump to navigation

EPSILON-DELTA METODEN 14. september 2017

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
trackback

Hei igjen!

Grenseverdier kan regnes ut ved regneoperasjoner. Man kan også bevise at disse verdiene er riktig ved \epsilon-\delta metoden. \epsilon er den greske bokstaven epsilon, og \delta den greske bokstaven delta. Notasjonsforklaringer står til slutt.

 

1 Innledning

Gitt følgen a_{n} = \frac{1}{n} . Man skal finne hvor nært følgen er \frac{1}{50} med en sikkerhet på \frac{1}{100} .

\displaystyle \mid \frac{1}{n} - \frac{1}{50} \mid < \frac{1}{100}

 

\displaystyle -\frac{1}{100} < \frac{1}{n} - \frac{1}{50} < \frac{1}{100}

 

\displaystyle \frac{1}{n} - \frac{1}{50} + \frac{1}{100} > 0 \indent \wedge \indent \frac{1}{n} - \frac{1}{50} - \frac{1}{100} < 0

 

\displaystyle\frac{1}{n} + \frac{-2 + 1}{100} > 0 \indent \wedge \indent \frac{1}{n} + \frac{-2 -1}{100} < 0

 

\displaystyle\frac{1}{n} + \frac{-1}{100} > 0 \indent \wedge \indent \frac{1}{n} + \frac{-3}{100} < 0

 

\displaystyle \frac{100 - n}{100n} > 0 \indent \wedge \indent \frac{100 - 3n}{100n} < 0

 

\displaystyle 1. \indent 100 - n = 0 \indent \textrm{og} \indent 100n = 0

 

\displaystyle n = 100 \indent \textrm{og} \indent n = 0

 

 

 

 

 

 

 

\displaystyle \frac{100 - n}{100n} > 0

\displaystyle \Downarrow

\displaystyle n \in <0 , 100>

 

\displaystyle 2. \indent 100 - 3n = 0 \indent \textrm{og} \indent 100n = 0

 

\displaystyle n = 100/3 \indent \textrm{og} \indent n = 0

 

 

 

 

 

 

 

\displaystyle \frac{100 - 3n}{100n} < 0

\displaystyle\Downarrow

\displaystyle n \in <\gets , 0> \cup <100/3 , \to>

 

Snittet av 1., 2. og alle naturlige tall blir

 

\displaystyle n \in <0 , 100> \indent \wedge \indent n \in <\gets , 0> \cup <100/3 , \to>

\displaystyle \wedge \indent n \in \mathbb{N}

\displaystyle\Downarrow

\displaystyle n \in <100/3 , 100> \indent \wedge \indent n \in \mathbb{N}

\displaystyle \Downarrow

\displaystyle\lbrace n \in \mathbb{N} \mid 100/3 < n < 100 \rbrace

 

Altså alle naturlige tall f.o.m. 34 og t.o.m. 99 gir svaret med en sikkerhet på \frac{1}{100}

 

2 Formell definisjon

a_n konvergerer mot a dersom

\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = a

Dette kan regnes ut ved regneoperasjoner. En mer formell definisjon er:

a_{n} konvergerer mot a dersom det for ethvert reelt tall \epsilon > 0 , finnes et tall \delta > 0 slik at

\displaystyle\mid a_{n} - a \mid < \epsilon \indent \textrm{dersom} \indent n > \delta \indent (\ast)

 

Dette innebærer at

\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = a

 

\epsilon må ikke være et bestemt tall. Vanligvis setter man \epsilon mindre eller lik 1. Men det kan være ethvert positivt reelt tall. \epsilon sier noe om hvor nært a_{n} ligger a.

\displaystyle\mid a_{n} - a \mid = \mid a - a_{n} \mid

Så jo mindre \epsilon er, jo nærmere ligger a_{n} og a. Det er en sammenheng mellom \epsilon og \delta . Høyere \delta (økende mot uendelig) gir lavere \epsilon . Ifølge definisjonen er \delta et reelt tall. Men for følger a_{n} er n et naturlig tall \mathbb{N} . Så man kan innskrenke seg til kun å se på naturlige tall i både innledningen og 3 Eksempel.

I innledningen hadde vi (\ast) der \epsilon = 1/100 og a = 1/50, men ikke n > \delta (et annet type intervall for n). Altså noe av det samme som (\ast) , men ikke helt det samme. Algoritmen for å regne ut intervallet er imidlertid akkurat den samme. Se 3 Eksempel:

\

3 Eksempel

\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0

 

Ønsker å bevise dette med epsilon-delta metoden. Algoritmen for å vise dette er akkurat den samme som i innledningen.

\displaystyle\mid \frac{1}{n} - 0 \mid < \epsilon

 

\displaystyle  \mid \frac{1}{n} \mid < \epsilon

 

\displaystyle -\epsilon < \frac{1}{n} < \epsilon

 

\displaystyle\frac{1}{n} + \epsilon > 0 \indent \wedge \indent \frac{1}{n} - \epsilon < 0

 

\displaystyle\frac{1 + n\epsilon}{n} > 0 \indent \wedge \indent \frac{1 - n\epsilon}{n} < 0

 

\displaystyle 1. \indent 1 + n\epsilon = 0 \indent \textrm{og} \indent n = 0

 

\displaystyle n = - \frac{1}{\epsilon} \indent \textrm{og} \indent n = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

\displaystyle\frac{1 + n\epsilon}{n} > 0

\displaystyle\Downarrow

\displaystyle n\in <\gets , -1/\epsilon> \cup <0 , \to> 

 

\displaystyle 2. \indent 1 - n\epsilon = 0 \indent \textrm{og} \indent n = 0

\displaystyle n = \frac{1}{\epsilon} \indent \textrm{og} \indent n = 0

 

 

 

 

 

 

 

\displaystyle \frac{1 - n\epsilon}{n} < 0

\displaystyle \Downarrow

\displaystyle n\in <\gets , 0> \cup <1/\epsilon , \to> 

 

Snittet av 1. og 2. og alle naturlige tall blir

 

\displaystyle n\in <\gets , -1/\epsilon> \cup <0 , \to> \indent \wedge \indent n \in <\gets , 0> \cup <1/\epsilon , \to>

\displaystyle \wedge \indent n \in \mathbb{N} 

\displaystyle\Downarrow

\displaystyle  n \in <\gets , -1/\epsilon> \cup <1/\epsilon , \to> \indent \wedge \indent n \in \mathbb{N}

\displaystyle\Downarrow

\displaystyle \lbrace n \in \mathbb{N} \mid n > 1/\epsilon \rbrace

 

Her er \delta = \frac{1}{\epsilon} . Man har altså:

\displaystyle\mid \frac{1}{n} - 0 \mid < \epsilon \indent \textrm{dersom} \indent n > \delta = \frac{1}{\epsilon}

 

Skjema:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Jo mindre \epsilon settes, desto mindre er avstanden mellom \frac{1}{n} og 0. Lavere \epsilon gir økende n. n nærmer seg altså mer og mer uendelig.

 

4 Notasjonsforklaringer

\displaystyle \mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\} \indent \textrm{Mengden \ av \ naturlige \ tall \ (hele \ og \ positive)}

 

 

 

 

 

 

 

 

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds mattenøtt:

OPPGAVE 103 – ENKEL FIGUR

 

 

 

 

 

 

 

En sirkel med areal π er innskrevet i et kvadrat. Hva er arealet av kvadratet? (På figuren er radius anmerket med r).

\displaystyle A = \pi r^2

\displaystyle \pi = \pi r^2

\displaystyle r^2 = 1

\displaystyle r = \pm 1 = 1

En side i kvadratet er s = 2r = 2. Arealet av kvadratet blir:

\displaystyle A = s^2 = 2^2 = 4

 

Til slutt en ny mattenøtt:

OPPGAVE 104 – SANNSYNLIGHETSREGNING II

8 % av alle menn og 0,64 % av alle kvinner er fargeblinde. 10 kvinner og 14 menn deltar i et middagselskap. Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person i selskapet er fargeblind?

 

Neste artikkel kommer i oktober. Hilsen erty56. Artikkelen kan lastes ned som pdf-fil her:

epsilon_delta

 

Blogglistenhits

Reklamer

Kommentarer»

No comments yet — be the first.

Legg igjen en kommentar

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut /  Endre )

Google-bilde

Du kommenterer med bruk av din Google konto. Logg ut /  Endre )

Twitter-bilde

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut /  Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut /  Endre )

Kobler til %s

Dette nettstedet bruker Akismet for å redusere spam. Lær hvordan dine kommentardata behandles..

%d bloggere like this: