jump to navigation

EPSILON-DELTA METODEN 14. september 2017

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
Tags: , ,
trackback

Hei igjen!

Grenseverdier kan regnes ut ved regneoperasjoner. Man kan også bevise at disse verdiene er riktig ved \epsilon-\delta metoden. \epsilon er den greske bokstaven epsilon, og \delta den greske bokstaven delta. Notasjonsforklaringer står til slutt.

 

1 Innledning

Gitt følgen a_{n} = \frac{1}{n} . Man skal finne hvor nært følgen er \frac{1}{50} med en sikkerhet på \frac{1}{100} .

\displaystyle \mid \frac{1}{n} - \frac{1}{50} \mid < \frac{1}{100}

 

\displaystyle -\frac{1}{100} < \frac{1}{n} - \frac{1}{50} < \frac{1}{100}

 

\displaystyle \frac{1}{n} - \frac{1}{50} + \frac{1}{100} > 0 \indent \wedge \indent \frac{1}{n} - \frac{1}{50} - \frac{1}{100} < 0

 

\displaystyle\frac{1}{n} + \frac{-2 + 1}{100} > 0 \indent \wedge \indent \frac{1}{n} + \frac{-2 -1}{100} < 0

 

\displaystyle\frac{1}{n} + \frac{-1}{100} > 0 \indent \wedge \indent \frac{1}{n} + \frac{-3}{100} < 0

 

\displaystyle \frac{100 - n}{100n} > 0 \indent \wedge \indent \frac{100 - 3n}{100n} < 0

 

\displaystyle 1. \indent 100 - n = 0 \indent \textrm{og} \indent 100n = 0

 

\displaystyle n = 100 \indent \textrm{og} \indent n = 0

 

 

 

 

 

 

 

\displaystyle \frac{100 - n}{100n} > 0

\displaystyle \Downarrow

\displaystyle n \in <0 , 100>

 

\displaystyle 2. \indent 100 - 3n = 0 \indent \textrm{og} \indent 100n = 0

 

\displaystyle n = 100/3 \indent \textrm{og} \indent n = 0

 

 

 

 

 

 

 

\displaystyle \frac{100 - 3n}{100n} < 0

\displaystyle\Downarrow

\displaystyle n \in <\gets , 0> \cup <100/3 , \to>

 

Snittet av 1., 2. og alle naturlige tall blir

 

\displaystyle n \in <0 , 100> \indent \wedge \indent n \in <\gets , 0> \cup <100/3 , \to>

\displaystyle \wedge \indent n \in \mathbb{N}

\displaystyle\Downarrow

\displaystyle n \in <100/3 , 100> \indent \wedge \indent n \in \mathbb{N}

\displaystyle \Downarrow

\displaystyle\lbrace n \in \mathbb{N} \mid 100/3 < n < 100 \rbrace

 

Altså alle naturlige tall f.o.m. 34 og t.o.m. 99 gir svaret med en sikkerhet på \frac{1}{100}

 

2 Formell definisjon

a_n konvergerer mot a dersom

\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = a

Dette kan regnes ut ved regneoperasjoner. En mer formell definisjon er:

a_{n} konvergerer mot a dersom det for ethvert reelt tall \epsilon > 0 , finnes et tall \delta > 0 slik at

\displaystyle\mid a_{n} - a \mid < \epsilon \indent \textrm{dersom} \indent n > \delta \indent (\ast)

 

Dette innebærer at

\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = a

 

\epsilon må ikke være et bestemt tall. Vanligvis setter man \epsilon mindre eller lik 1. Men det kan være ethvert positivt reelt tall. \epsilon sier noe om hvor nært a_{n} ligger a.

\displaystyle\mid a_{n} - a \mid = \mid a - a_{n} \mid

Så jo mindre \epsilon er, jo nærmere ligger a_{n} og a. Det er en sammenheng mellom \epsilon og \delta . Høyere \delta (økende mot uendelig) gir lavere \epsilon . Ifølge definisjonen er \delta et reelt tall. Men for følger a_{n} er n et naturlig tall \mathbb{N} . Så man kan innskrenke seg til kun å se på naturlige tall i både innledningen og 3 Eksempel.

I innledningen hadde vi (\ast) der \epsilon = 1/100 og a = 1/50, men ikke n > \delta (et annet type intervall for n). Altså noe av det samme som (\ast) , men ikke helt det samme. Algoritmen for å regne ut intervallet er imidlertid akkurat den samme. Se 3 Eksempel:

\

3 Eksempel

\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0

 

Ønsker å bevise dette med epsilon-delta metoden. Algoritmen for å vise dette er akkurat den samme som i innledningen.

\displaystyle\mid \frac{1}{n} - 0 \mid < \epsilon

 

\displaystyle  \mid \frac{1}{n} \mid < \epsilon

 

\displaystyle -\epsilon < \frac{1}{n} < \epsilon

 

\displaystyle\frac{1}{n} + \epsilon > 0 \indent \wedge \indent \frac{1}{n} - \epsilon < 0

 

\displaystyle\frac{1 + n\epsilon}{n} > 0 \indent \wedge \indent \frac{1 - n\epsilon}{n} < 0

 

\displaystyle 1. \indent 1 + n\epsilon = 0 \indent \textrm{og} \indent n = 0

 

\displaystyle n = - \frac{1}{\epsilon} \indent \textrm{og} \indent n = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

\displaystyle\frac{1 + n\epsilon}{n} > 0

\displaystyle\Downarrow

\displaystyle n\in <\gets , -1/\epsilon> \cup <0 , \to> 

 

\displaystyle 2. \indent 1 - n\epsilon = 0 \indent \textrm{og} \indent n = 0

\displaystyle n = \frac{1}{\epsilon} \indent \textrm{og} \indent n = 0

 

 

 

 

 

 

 

\displaystyle \frac{1 - n\epsilon}{n} < 0

\displaystyle \Downarrow

\displaystyle n\in <\gets , 0> \cup <1/\epsilon , \to> 

 

Snittet av 1. og 2. og alle naturlige tall blir

 

\displaystyle n\in <\gets , -1/\epsilon> \cup <0 , \to> \indent \wedge \indent n \in <\gets , 0> \cup <1/\epsilon , \to>

\displaystyle \wedge \indent n \in \mathbb{N} 

\displaystyle\Downarrow

\displaystyle  n \in <\gets , -1/\epsilon> \cup <1/\epsilon , \to> \indent \wedge \indent n \in \mathbb{N}

\displaystyle\Downarrow

\displaystyle \lbrace n \in \mathbb{N} \mid n > 1/\epsilon \rbrace

 

Her er \delta = \frac{1}{\epsilon} . Man har altså:

\displaystyle\mid \frac{1}{n} - 0 \mid < \epsilon \indent \textrm{dersom} \indent n > \delta = \frac{1}{\epsilon}

 

Skjema:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Jo mindre \epsilon settes, desto mindre er avstanden mellom \frac{1}{n} og 0. Lavere \epsilon gir økende n. n nærmer seg altså mer og mer uendelig.

 

4 Notasjonsforklaringer

\displaystyle \mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\} \indent \textrm{Mengden \ av \ naturlige \ tall}

\displaystyle \textrm{(hele \ og \ positive)}

 

 

 

 

 

 

 

 

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds mattenøtt:

OPPGAVE 103 – ENKEL FIGUR

 

 

 

 

 

 

 

En sirkel med areal π er innskrevet i et kvadrat. Hva er arealet av kvadratet? (På figuren er radius anmerket med r).

\displaystyle A = \pi r^2

\displaystyle \pi = \pi r^2

\displaystyle r^2 = 1

\displaystyle r = \pm 1 = 1

En side i kvadratet er s = 2r = 2. Arealet av kvadratet blir:

\displaystyle A = s^2 = 2^2 = 4

 

Til slutt en ny mattenøtt:

OPPGAVE 104 – SANNSYNLIGHETSREGNING II

8 % av alle menn og 0,64 % av alle kvinner er fargeblinde. 10 kvinner og 14 menn deltar i et middagselskap. Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person i selskapet er fargeblind?

 

Neste artikkel kommer i oktober. Hilsen erty56. Artikkelen kan lastes ned som pdf-fil her:

epsilon_delta

 

Blogglistenhits

Kommentarer»

No comments yet — be the first.

Legg igjen en kommentar

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut /  Endre )

Google-bilde

Du kommenterer med bruk av din Google konto. Logg ut /  Endre )

Twitter-bilde

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut /  Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut /  Endre )

Kobler til %s

Dette nettstedet bruker Akismet for å redusere spam. Lær hvordan dine kommentardata behandles..

%d bloggere like this: