jump to navigation

JULENØTTER 2017 – FASIT 16. januar 2018

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
trackback

Hei igjen!

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

JULENØTTER 2017

 

OPPGAVE 107 – OPPMÅLING

Tor har en stor kartong fløte. Han skal måle opp 1 dl. av fløten. Han har imidlertid bare et 3 dl. og et 5 dl. målebeger. Hvordan kan Tor få målt opp 1 dl. fløte?

1. Tor heller først 3 dl. målebegeret fullt.

2. Han har alt dette i 5 dl. målebegeret.

3. Han heller 3 dl. målebegeret fullt en gang til.

4. Han heller den del av dette til 5 dl. målebegeret er fullt.

5. Dermed er det igjen 1 dl. fløte i 3 dl. målebegeret.

 

OPPGAVE 108 – GEOMETRISKE FORHOLD II

a) Gitt en firkant med en bestemt omkrets. Firkanten har maksimalt mulig areal. Er firkanten et rektangel eller et kvadrat?

Firkanten er et kvadrat. Kvadratet er alltid største type rektangel gitt en bestemt omkrets (et kvadrat er et spesialtilfelle av et rektangel).

b) En sylinder og en kjegle har lik radius i grunnplanet og lik høyde. Hva er forholdet mellom volumet til kjeglen og sylinderen?

\displaystyle V_{kjegle} : V_{sylinder} = \frac{\pi r^2 h}{3} : \pi r^2 h = \frac{1}{3} : 1 = 1 : 3

 

OPPGAVE 109 – VANSKELIG ARITMETIKK

Gitt x^2 = y + a og  y^2 = x + a   der a er et heltall. Finn uttrykk for a som gir heltallsløsninger for x og y. Merknad: Med heltall menes her 0, 1, 2, 3, …

Løsningsforslag:

\displaystyle x = y^2 - a

\displaystyle x^2 = y + a

\displaystyle (y^2 - a)^2 = y + a

\displaystyle y^4 - 2ay^2 + a^2 = y + a

\displaystyle a^2 + a(-2y^2 - 1) + y^4 - y = 0

\displaystyle a = \frac{2y^2 + 1 \pm \sqrt{(-2y^2 - 1)^2 - 4 \cdot 1 (y^4 - y)}}{2}

\displaystyle a = \frac{2y^2 + 1 \pm \sqrt{4y^4 + 4y^2 + 1 - 4y^4 + 4y}}{2}

\displaystyle a = \frac{2y^2 + 1 \pm \sqrt{4y^2 + 4y + 1}}{2}

\displaystyle a = \frac{2y^2 + 1 \pm \sqrt{4 (y + \frac{1}{2})^2}}{2}

\displaystyle a = \frac{2y^2 + 1 \pm 2 (y + \frac{1}{2})}{2}

\displaystyle a = y^2 + \frac{1}{2} \pm (y + \frac{1}{2})

\Downarrow

\displaystyle a = y^2 + \frac{1}{2} + y + \frac{1}{2} \indent \vee \indent a = y^2 + \frac{1}{2} - y - \frac{1}{2}

\displaystyle y^2 + y + 1 - a = 0 \indent \vee \indent y^2 - y - a = 0

Resultatet blir det samme for x:

\displaystyle x^2 + x + 1 - a = 0 \indent \vee \indent x^2 - x - a = 0

\Downarrow

\displaystyle x = y = \frac{-1 \pm \sqrt{4a - 3}}{2} 

\displaystyle x = y = \frac{1 \pm \sqrt{4a + 1}}{2} 

Dersom x og y skal bli heltall 0, 1, 2, 3, … må tellerne i brøkene være 0 eller alle partall. Dette gir at kvadratroten(med fortegn) i teller i den første brøken må være alle oddetall, altså 2n – 1 der n = 1, 2, 3 , …

+\sqrt{4a - 3} = 2n - 1

4a - 3 = (2n - 1)^2

4a - 3 = 4n^2 - 4n + 1

4a = 4n^2 - 4n + 4

a = n^2 - n + 1 = n(n - 1) + 1 ,der n = 1, 2, 3, …

I den andre brøken må kvadratroten(med fortegn) være -1 eller alle oddetall, altså

-\sqrt{4a + 1} = -1 \indent \vee \indent +\sqrt{4a + 1} = (2m - 1) ,der m = 1, 2, 3, …

4a + 1 = 1 \indent \vee \indent 4a + 1 = (2m - 1)^2

4a = 0 \indent \vee \indent 4a + 1 = 4m^2 - 4m + 1

a = 0 \indent \vee \indent 4a = 4m^2 - 4m

a = 0 \indent \vee \indent a = m^2 - m = m(m - 1)

m = 1 gir a = 0, så:

\displaystyle a = m(m - 1) , der m = 1, 2, 3, …

Man får altså to uttrykk for a som gir heltallsløsninger for x og y:

a = n(n - 1) + 1 ,der n = 1, 2, 3, …

\displaystyle a = m(m - 1) , der m = 1, 2, 3, …

(Merknad: Faktisk vil disse uttrykkene for a i utgangspunktet gi hele \displaystyle \mathbb{Z} for x og y, og ikke bare det man har definert som heltall i denne oppgaven)

 

OPPGAVE 110 – LETT GEOMETRI I

 

 

 

 

 

 

 

En likebent trekant er innskrevet i et kvadrat. Arealet av trekanten er 1/2. Hva er sidene i kvadratet?

Høyden og grunnlinjen i trekanten og sidene i kvadratet er alle de samme. Kaller denne x.

\displaystyle A = \frac{g \cdot h}{2} = \frac{x \cdot x}{2} = \frac{1}{2}

\Downarrow

\displaystyle \frac{x^2}{2} = \frac{1}{2}

\displaystyle x^2 = 1

\displaystyle x = \pm 1 = 1 (x > 0 da dette er en lengde)

Svar: Sidene i kvadratet er 1.

 

OPPGAVE 111 – LETT GEOMETRI II

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Et oktaeder er et platonsk legeme. Overflaten består av 8 likesidede trekanter. En side i trekanten er \sqrt{2} . Hva blir volumet av legemet ?

Først betraktes en trekant:

 

 

 

 

 

 

 

 

\displaystyle (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + x^2 = (\sqrt{2})^2

\displaystyle x^2 = 2 - \frac{1}{2}

\displaystyle x^2 = \frac{3}{2}

Deretter høyden i den ene pyramiden i oktaederet:

 

 

 

 

 

 

 

 

\displaystyle (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + h^2 = x^2

\displaystyle h^2 = x^2 - \frac{1}{2}

\displaystyle h^2 = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}

\displaystyle h^2 = 1

\displaystyle h = 1

Volumet av oktaederet blir dermed:

\displaystyle V = 2  \frac{G \cdot h}{3} = 2  \frac{\sqrt{2} \sqrt{2} \cdot 1}{3} = 2 \frac{ 2 \cdot 1}{3} = \frac{4}{3} 

 

OPPGAVE 112 – VANSKELIG GEOMETRI

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Gitt en rettvinklet trekant ABC. CF er medianen til hypotenusen AB (midt på AB), CE deler/halverer vinkelen ACB og CD står vinkelrett på AB. Vis at vinklene DCE og ECF er like.

Hint: Man trenger ikke finne hvor mange grader de er, bare at de er like.

Ny skisse:

 

 

 

 

 

 

Kaller vinkelen DCE for \beta_1 og vinkelen ECF for \beta_2

\displaystyle \alpha + \alpha = 90^{\circ} \Rightarrow \alpha = 45^{\circ}

\displaystyle \gamma + 2\alpha + \delta = 180^{\circ} \Rightarrow \gamma + \delta = 90^{\circ}

Betrakter trekanten BCD:

\displaystyle \gamma + \alpha - \beta_1 + 90^{\circ} = 180^{\circ} \Rightarrow \beta_1 = -45^{\circ} + \gamma

CF = BF = FA, så trekanten ACF er likebent:

\displaystyle \alpha - \beta_2 = \delta \Rightarrow \beta_2 = \alpha - \delta

Setter

\displaystyle \beta_1 = \beta_2

\displaystyle -45^{\circ} + \gamma = \alpha - \delta

\displaystyle \gamma + \delta = 90^{\circ}

\displaystyle 90^{\circ} = 90^{\circ}

VS = HS

\displaystyle \Downarrow

Vinklene DCE og ECF er like.

 

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 113 – ENKEL REGNING II

Gitt \displaystyle x + y = 1 og \displaystyle x^3 + y^3 = 2 Regn ut \displaystyle x^2 + y^2

 

Neste artikkel kommer i februar. Hilsen erty56.

 

Blogglistenhits

Reklamer

Kommentarer»

No comments yet — be the first.

Legg igjen en kommentar

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut /  Endre )

Google-bilde

Du kommenterer med bruk av din Google konto. Logg ut /  Endre )

Twitter-bilde

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut /  Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut /  Endre )

Kobler til %s

Dette nettstedet bruker Akismet for å redusere spam. Lær hvordan dine kommentardata behandles..

%d bloggere like this: