jump to navigation

PÅSKENØTTER 2018 – FASIT 20. april 2018

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
trackback

Hei igjen!

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

PÅSKENØTTER 2018

 

OPPGAVE 115 – LETT GEOMETRI III

To kvadrater tangerer hverandre som vist på figuren:

 

 

 

 

 

 

 

Sidene i kvadratene er 2. Hva blir avstanden mellom deres sentre (blå strek) ?

Først en ny skisse:

 

 

 

 

 

 

 

\displaystyle 1^2 + 1^2 = x^2

\displaystyle 1 + 1 = x^2

\displaystyle x^2 = 2

\displaystyle x = \sqrt{2}

Avstanden mellom deres sentre er 2x.

Svar:   2x = 2 \cdot \sqrt{2}

 

OPPGAVE 116 – TO PENTAGONER

To pentagoner ligger inntil hverandre som vist på figuren:

 

 

 

 

 

 

Arealet av hvert pentagon er A = 15 og hver av sidene i dem er 3. Hva blir avstanden mellom deres sentre (blå strek) ?

(Hint: Et pentagon er et regulært polygon. Arealformelen for regulære polygoner er A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot p der a er apothem og p er omkretsen. Apothem a er lengden fra sentrum i polygonet og vinkelrett ned på midten av en side)

\displaystyle A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot p

\displaystyle a = \frac{2A}{p} = \frac{2A}{5s} = \frac{2 \cdot 15}{5 \cdot 3} = \frac{30}{15} = 2

Avstanden mellom deres sentre er 2a.

Svar:   2a = 2 \cdot 2 = 4

 

OPPGAVE 117 – FINN SUMMEN II

A) Hva blir

\displaystyle 2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2

(8 ledd)

\displaystyle 2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2

\displaystyle = 8 \cdot 2^2 = 2^3 \cdot 2^2 = 2^{3+2} = 2^5

B) Hva blir

\displaystyle 3^{15} + 3^{15} + 3^{15} + 3^{15} + 3^{15} + 3^{15} + 3^{15} + 3^{15} + 3^{15}

(9 ledd)

\displaystyle 3^{15} + 3^{15} + 3^{15} + 3^{15} + 3^{15} + 3^{15} + 3^{15} + 3^{15} + 3^{15}

\displaystyle = 9 \cdot 3^{15} = 3^2 \cdot 3^{15} = 3^{2+15} = 3^{17}

 

OPPGAVE 118 – MAKSIMALT AREAL

Gitt en likebent trekant med sider 3, 3 og y.

 

 

 

 

 

 

 

Finn den verdien av y som gir maksimalt mulig areal for trekanten.

(Hint: Arealet er gitt ved A = \frac{y \cdot h}{2} der h er høyden i trekanten)

Først en ny skisse:

 

 

 

 

 

 

\displaystyle (\frac{1}{2} y)^2 + h^2 = 3^2

\displaystyle \frac{1}{4} y^2 + h^2 = 9

\displaystyle h^2 = 9 - \frac{1}{4} y^2

\displaystyle h = \sqrt{9 - \frac{1}{4} y^2}

 

\displaystyle A = \frac{y \cdot h}{2} = \frac{1}{2} y \sqrt{9 - \frac{1}{4} y^2}

 

\displaystyle D[A]  = D[(\frac{1}{2} y \sqrt{9 - \frac{1}{4} y^2})] 

\displaystyle D[A]  = \frac{1}{2} \sqrt{9 - \frac{1}{4} y^2} + \frac{1}{2} y \frac{1 \cdot D[(9 - \frac{1}{4} y^2)] }{2 \sqrt{9 - \frac{1}{4} y^2}} 

\displaystyle D[A]  = \frac{1}{2} \sqrt{9 - \frac{1}{4} y^2} + \frac{1}{2} y \frac{\frac{-2y}{4}}{2 \sqrt{9 - \frac{1}{4} y^2}} 

\displaystyle D[A]  = \frac{1}{2} \sqrt{9 - \frac{1}{4} y^2} - \frac{y^2}{8 \sqrt{9 - \frac{1}{4} y^2}} 

\displaystyle D[A]  = \frac{\sqrt{9 - \frac{1}{4} y^2} \sqrt{9 - \frac{1}{4} y^2} \cdot 4 - y^2}{2 \cdot 4 \sqrt{9 - \frac{1}{4} y^2}}

\displaystyle D[A]  = \frac{4 (9 - \frac{1}{4} y^2)  - y^2}{8 \sqrt{9 - \frac{1}{4} y^2}}

\displaystyle D[A]  = \frac{36 - y^2 - y^2}{8 \sqrt{9 - \frac{1}{4} y^2}}

\displaystyle D[A]  = \frac{36 - 2y^2}{8 \sqrt{9 - \frac{1}{4} y^2}}

\displaystyle D[A]  = \frac{18 - y^2}{4 \sqrt{9 - \frac{1}{4} y^2}}

 

\displaystyle D[A]  = 0 \indent \wedge \indent y > 0

 

\displaystyle 18 - y^2  = 0

\displaystyle y^2  = 18

\displaystyle y  = \pm \sqrt{18}

\displaystyle 18 - y^2  = (\sqrt{18} - y)(\sqrt{18} + y)

 

\displaystyle 4 \sqrt{9 - \frac{1}{4} y^2} = 0

\displaystyle \sqrt{4^2 (9 - \frac{1}{4} y^2)} = 0

\displaystyle \sqrt{144 - 4y^2} = 0

\displaystyle (\sqrt{144 - 4y^2})^2 = 0^2

\displaystyle 144 - 4y^2 = 0

\displaystyle 4y^2 = 144

\displaystyle y^2 = 36

\displaystyle y = \pm 6

 

FORTEGNSSKJEMA:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\displaystyle A_{maks} \indent ved \indent y = \sqrt{18}

Svar:   y = \sqrt{18}

 

OPPGAVE 119 – FUNKSJONSOPPGAVE

Gitt f(x) = 3x^2 - 13x + m og f(m) = -12 . Hva blir f(2) ?

Løsningsforslag:

\displaystyle f(m) = -12

\displaystyle 3m^2 - 13m + m = -12

\displaystyle 3m^2 - 12m = -12

\displaystyle m^2 - 4m = -4

\displaystyle (m - 2)^2 = -4 + (-2)^2

\displaystyle (m - 2)^2 = 0

\displaystyle \sqrt{(m - 2)^2} = \sqrt{0}

\displaystyle m - 2 = 0

\displaystyle m = 2

\displaystyle \Downarrow

1) Enten ved:

\displaystyle f(2) = f(m) = -12

2) Eller ved:

\displaystyle f(x) = 3x^2 - 13x + m = 3x^2 - 13x + 2 

\displaystyle f(2) = 3 \cdot 2^2 - 13 \cdot 2 + 2 = 3 \cdot 4 - 26 + 2 = 12 - 24 = -12

 

Mer om løsning av annengradsligninger finnes her:

ANNENGRADSLIGNINGER OG PARABELEN

 

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 120 – RØTTER I POLYNOM

A) Regn ut

\displaystyle 2(3x - 5)(x + 6)^2 (2x + 8)(4x - 7)^2

Dvs. til et uttrykk på formen a_6 x^6 + a_5 x^5 + a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 (*)

 

En rot i en ligning er det samme som en løsning av en ligning.

B) Vis at summen av røttene i A) er - \frac{65}{6} , dvs:

\displaystyle r_1 + 2r_2 + r_3 + 2r_4 = - \frac{65}{6}

(r_2  og r_4 er dobbeltrøtter)

 

C) Vis at produktet av røttene i A) er -735 , dvs:

\displaystyle r_1 \cdot (r_2)^2 \cdot r_3 \cdot (r_4)^2 = -735

(r_2  og r_4 er dobbeltrøtter)

 

(Hint B) og C) : Man trenger ikke å betrakte (*) for å finne røttene)

 

Neste artikkel kommer i mai. Hilsen erty56.

 

Blogglistenhits

Reklamer

Kommentarer»

No comments yet — be the first.

Legg igjen en kommentar

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut /  Endre )

Google-bilde

Du kommenterer med bruk av din Google konto. Logg ut /  Endre )

Twitter-bilde

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut /  Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut /  Endre )

Kobler til %s

Dette nettstedet bruker Akismet for å redusere spam. Lær hvordan dine kommentardata behandles..

%d bloggere like this: