jump to navigation

MATTENØTT NR.121 23. mai 2018

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
trackback

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 121 – OMVENDTE FUNKSJONER

Gitt f(x) = \sqrt{x + 3}

A) Finn definisjonsmengden og verdimengden til f(x)

B) Finn den omvendte funksjonen til f(x) , dvs. f ^{-1} (x)

C) Finn definisjonsmengden og verdimengden til f ^{-1} (x)

 

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 120 – RØTTER I POLYNOM

A) Regn ut

\displaystyle 2(3x - 5)(x + 6)^2 (2x + 8)(4x - 7)^2

Dvs. til et uttrykk på formen a_6 x^6 + a_5 x^5 + a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 (*)

 

Løsningsforslag:

\displaystyle 2(3x - 5)(x + 6)^2 (2x + 8)(4x - 7)^2

\displaystyle = 2(3x - 5)(2x + 8)(x + 6)^2 (4x - 7)^2

\displaystyle = 2(6x^2 + 24x - 10x - 40) (x^2 + 12x + 36) (16x^2 - 56x + 49)

\displaystyle = 2(6x^2 + 14x - 40) (x^2 + 12x + 36) (16x^2 - 56x + 49)

\displaystyle = (12x^2 + 28x - 80) (x^2 + 12x + 36) (16x^2 - 56x + 49)

\displaystyle = (12x^4 + 144x^3 + 432x^2 + 28x^3 + 336x^2 + 1008x

\displaystyle - 80x^2 - 960x - 2880) (16x^2 - 56x + 49)

\displaystyle = (12x^4 + 172x^3 + 688x^2 + 48x - 2880) (16x^2 - 56x + 49)

\displaystyle = 192x^6 - 672x^5 + 588x^4 + 2752x^5 - 9632x^4 + 8428x^3

\displaystyle + 11008x^4 - 38528x^3 + 33712x^2 + 768x^3 - 2688x^2

\displaystyle + 2352x - 46080x^2 + 161280x - 141120

\displaystyle = 192x^6 + 2080x^5 + 1964x^4 - 29332x^3 - 15056x^2

\displaystyle + 163632x - 141120

 

En rot i en ligning er det samme som en løsning av en ligning.

B) Vis at summen av røttene i A) er - \frac{65}{6} , dvs:

\displaystyle r_1 + 2r_2 + r_3 + 2r_4 = - \frac{65}{6}

(r_2  og r_4 er dobbeltrøtter)

 

I utgangspunktet finnes røttene ved

\displaystyle 192x^6 + 2080x^5 + 1964x^4 - 29332x^3 - 15056x^2

\displaystyle + 163632x - 141120 = 0

 

Men

\displaystyle 2(3x - 5)(x + 6)^2 (2x + 8)(4x - 7)^2

\displaystyle = 192x^6 + 2080x^5 + 1964x^4 - 29332x^3 - 15056x^2

\displaystyle + 163632x - 141120

 

Så røttene kan finnes ved

\displaystyle 2(3x - 5)(x + 6)^2 (2x + 8)(4x - 7)^2 = 0

\displaystyle (3x - 5)(x + 6)^2 (2x + 8)(4x - 7)^2 = 0

\displaystyle \Downarrow

\displaystyle (3x - 5) = 0 \indent \vee \indent (x + 6)^2 = 0 \indent \vee

\displaystyle (2x + 8) = 0 \indent \vee \indent (4x - 7)^2 = 0

\displaystyle \Downarrow

\displaystyle x = \frac{5}{3} \indent \vee \indent x = -6 \indent \vee \indent x = -6 \indent \vee

\displaystyle x = -4 \indent \vee \indent x = \frac{7}{4} \indent \vee \indent x = \frac{7}{4} 

 

Røttene blir altså

\displaystyle r_1 = \frac{5}{3}

\displaystyle r_2 = -6

\displaystyle r_3 = -4

\displaystyle r_4 = \frac{7}{4}

(r_2  og r_4 er dobbeltrøtter)

 

\displaystyle r_1 + 2r_2 + r_3 + 2r_4

\displaystyle = \frac{5}{3} + 2 (-6) - 4 + 2 \frac{7}{4}

\displaystyle = \frac{5}{3} - 12 - 4 + \frac{7}{2} 

\displaystyle = \frac{5 \cdot 2 - 12 \cdot 3  \cdot 2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 + 7 \cdot  3}{3 \cdot 2} 

\displaystyle = \frac{10 - 72 - 24 + 21}{6} 

\displaystyle = - \frac{65}{6}

 

C) Vis at produktet av røttene i A) er -735 , dvs:

\displaystyle r_1 \cdot (r_2)^2 \cdot r_3 \cdot (r_4)^2 = -735

(r_2  og r_4 er dobbeltrøtter)

(Hint B) og C) : Man trenger ikke å betrakte (*) for å finne røttene)

 

\displaystyle r_1 \cdot (r_2)^2 \cdot r_3 \cdot (r_4)^2

\displaystyle = \frac{5}{3} \cdot (-6)^2 \cdot (-4) \cdot (\frac{7}{4})^2

\displaystyle = \frac{5}{3} \cdot 36 \cdot (-4) \cdot (\frac{49}{16})

\displaystyle = \frac{5 \cdot 36 \cdot (-4) \cdot 49}{3 \cdot 16}

\displaystyle = \frac{-35280}{48} = -735

 

Neste artikkel kommer i juni. Hilsen erty56.

 

Blogglistenhits

Reklamer

Kommentarer»

No comments yet — be the first.

Legg igjen en kommentar

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut /  Endre )

Google-bilde

Du kommenterer med bruk av din Google konto. Logg ut /  Endre )

Twitter-bilde

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut /  Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut /  Endre )

Kobler til %s

Dette nettstedet bruker Akismet for å redusere spam. Lær hvordan dine kommentardata behandles..

%d bloggere like this: