jump to navigation

MATTENØTT NR. 126 + UTLEDNING NR. 125 22. oktober 2018

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
Tags: , ,
trackback

Hei igjen!

Denne gangen kommer en ny mattenøtt og løsningsforslag til forrige måneds oppgave 125. Til slutt følger utledning av teoremet man bruker for å løse oppgave 125. Først en ny mattenøtt:

 

OPPGAVE 126 – SPESIELL EKSPONENT

Gitt

\displaystyle 3^{2x^2 - 7x + 3} = 4^{x^2 - x -6}

Finn verdiene av x.

Hint: Man kan løse denne ved å først ta logaritmen til begge sider, og deretter regne en annengradsligning. Det blir to reelle løsninger. Mer om løsning av annengradsligninger finnes her:

ANNENGRADSLIGNINGER OG PARABELEN

 

Løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 125 – PARALLELLOGRAM

Gitt et parallellogram med sider √12 og √50 og lengste diagonal 9. Figur:

 

 

 

 

 

 

Hva blir lengden av den korte diagonalen x (blå farge) ?

Løsningsforslag:

I et parallellogram er kvadratet av lengden av sidene det samme som kvadratet av lengden av diagonalene. Det gir:

\displaystyle \sqrt{50}^2 + \sqrt{12}^2 +\sqrt{50}^2 + \sqrt{12}^2 = 9^2 + x^2

\displaystyle 50 + 12 + 50 + 12 = 81 + x^2

\displaystyle x^2 + 81 = 124

\displaystyle x^2 = 43

\displaystyle \Downarrow

\displaystyle x = \sqrt{43}

 

Her følger utledning av teoremet man har brukt til å løse oppgave 125:

I et parallellogram er de to korte sidene parallelle og like lange og de to lange sidene er parallelle og like lange. En vektor er et orientert linjestykke, dvs. den har både lengde og retning. Kaller vektoren langs den lange siden for \vec{v} og langs den korte siden for \vec{u} . Dermed blir den lengste diagonalen \vec{v} + \vec{u} og den korte diagonalen \vec{v} - \vec{u} Se figur:

 

 

 

 

 

 

 

Lengden av en vektor \vec{v} betegnes \mid \vec{v} \mid

Skalarproduktet av to vektorer \vec{v} og \vec{u} er definert

\displaystyle \vec{v} \cdot \vec{u} = \mid \vec{v} \mid \cdot \mid \vec{u} \mid \cdot \cos \alpha

der \alpha er vinkelen mellom \vec{v} og \vec{u}

Skalarproduktet av to like vektorer blir altså

\displaystyle \vec{v}^2 = \vec{v} \cdot \vec{v} = \mid \vec{v} \mid \cdot \mid \vec{v} \mid \cdot \cos 0^{\circ} =  \mid \vec{v} \mid \cdot \mid \vec{v} \mid = \mid \vec{v} \mid^2

Skalarproduktet m.h.p. \vec{v} \cdot \vec{u} og - \vec{v} \cdot \vec{u} blir

\displaystyle \vec{v} \cdot \vec{u} - \vec{v} \cdot \vec{u} = \mid \vec{v} \mid \cdot \mid \vec{u} \mid \cdot \cos \alpha - (\mid \vec{v} \mid \cdot \mid \vec{u} \mid \cdot \cos \alpha) = 0


Man regner ut kvadratet av lengden av diagonalene:

\displaystyle \mid \vec{v} + \vec{u} \mid ^2 + \mid \vec{v} - \vec{u} \mid ^2

\displaystyle = (\vec{v} + \vec{u})^2 + (\vec{v} - \vec{u})^2

\displaystyle = (\vec{v} + \vec{u})(\vec{v} + \vec{u}) + (\vec{v} - \vec{u})(\vec{v} - \vec{u})

\displaystyle = \vec{v}^2 + 2 \vec{v} \vec{u} + \vec{u}^2 + \vec{v}^2 - 2 \vec{v} \vec{u} + \vec{u}^2

\displaystyle = 2\vec{v}^2 + 2\vec{u}^2 + 2(\vec{v} \vec{u} - \vec{v} \vec{u})

\displaystyle = 2\vec{v}^2 + 2\vec{u}^2

\displaystyle = 2 \mid \vec{v} \mid^2 + 2 \mid \vec{u} \mid^2  

Altså er:

\displaystyle \mid \vec{v} \mid^2 + \mid \vec{u} \mid^2 + \mid \vec{v} \mid^2 + \mid \vec{u} \mid^2 = \mid \vec{v} + \vec{u} \mid ^2 + \mid \vec{v} - \vec{u} \mid ^2

Man har vist at i et parallellogram er kvadratet av lengden av sidene det samme som kvadratet av lengden av diagonalene.

 

Neste artikkel kommer i november. Hilsen erty56.

Blogglistenhits

Kommentarer»

No comments yet — be the first.

Legg igjen en kommentar

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut /  Endre )

Google-bilde

Du kommenterer med bruk av din Google konto. Logg ut /  Endre )

Twitter-bilde

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut /  Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut /  Endre )

Kobler til %s

Dette nettstedet bruker Akismet for å redusere spam. Lær hvordan dine kommentardata behandles..

%d bloggere like this: