jump to navigation

MATTENØTT NR. 135 24. februar 2019

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 135 – FUNKSJON II

Gitt

\displaystyle  f(x) = \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}

A) Regn ut

\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x) = \lim_{x\to-\infty}  \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}

\displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x) = \lim_{x\to\infty}  \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}

Hint:

\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x) = \lim_{x\to\infty} f(x)

 

B) Regn ut

\displaystyle \lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^-}  \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}

\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^+}  \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}

Hint:

\displaystyle \lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^+} f(x)

 

C) Definisjonsmengden D_f er x-verdiene der funksjonen er definert, og verdimengden V_f er f(x)-verdiene funksjonen har. Definisjonsmengden til f(x) er her alle reelle tall unntatt null, dvs  D_f \in \mathbb{R} \setminus \{0\}

Finn verdimengden V_f

 

Denne funksjonen har vært brukt tidligere i oppgave 84. Her gjengis løsningsforslaget fra

JULENØTTER 2016

OPPGAVE 84 – FUNKSJON

Gitt

\displaystyle  f(x) = \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}

 

A) Vis at f(-2) = f(2)

 

\displaystyle  f(-2) = \frac{(-2+2)(-2-2)}{(-2)^2} = \frac{0(-4)}{4} = 0

\displaystyle f(2) = \frac{(2+2)(2-2)}{2^2} = \frac{4 \cdot 0}{4} = 0

\displaystyle  f(-2) = f(2) = 0

 

B) For hvilke a er f(-a)=f(a)?

 

\displaystyle f(-a) = f(a)

\displaystyle  \frac{(-a+2)(-a-2)}{(-a)^2}= \frac{(a+2)(a-2)}{a^2} 

\displaystyle  \frac{(a^2 + 2a - 2a -4)}{a^2}= \frac{(a^2 - 2a + 2a - 4)}{a^2} 

\displaystyle  \frac{a^2 - 4}{a^2}= \frac{a^2 - 4}{a^2}

\displaystyle  \frac{0}{a^2}= 0

 

Konklusjon: a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}

 

 

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 134 – POLYNOMDIVISJON

\displaystyle (x + 1) er faktor i \displaystyle x^3 - 2x^2 - x + 2

Finn løsningene til

\displaystyle x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0

Den ene løsningen finnes ved

\displaystyle x + 1 = 0

\displaystyle x = -1

Utfører polynomdivisjon:

\displaystyle \underline{(x^3 - 2x^2 - x + 2)} : (x+1) = x^2 - 3x + 2

\displaystyle -(x^3 + x^2)

\displaystyle \underline{= -3x^2 - x + 2}

\displaystyle -(-3x^2 -3x)

\displaystyle \underline{= 2x + 2} 

\displaystyle -(2x + 2)

\displaystyle =0

De to andre løsningene finnes ved

\displaystyle x^2 - 3x + 2 = 0

\displaystyle (x - \frac{3}{2})^2 = -2 + (-\frac{3}{2})^2

\displaystyle (x - \frac{3}{2})^2 = -2 + (\frac{9}{4})

\displaystyle (x - \frac{3}{2})^2 = \frac{1}{4}

\displaystyle \sqrt{(x - \frac{3}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4}}

\displaystyle x - \frac{3}{2} = \pm \frac{1}{2}

\displaystyle x = \pm \frac{1}{2} + \frac{3}{2}

\displaystyle x = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \indent \vee \indent x = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = \frac{4}{2} = 2

\displaystyle \Downarrow

\displaystyle L = \{ -1, 1, 2 \}

 

Neste innlegg kommer i mars. Hilsen erty56.

Reklamer
%d bloggere like this: