jump to navigation

MATTENØTT NR. 136 17. mars 2019

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
trackback

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 136 – KVADRATRØTTER

A) Gitt

\displaystyle \sqrt{6 + 5 \sqrt{2}} = \sqrt{6 + x \sqrt{2}}

Finn x

B) Gitt

\displaystyle \sqrt{94 + 81 \sqrt{4}} = x + 8

Finn x

 

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 135 – FUNKSJON II

Gitt

\displaystyle  f(x) = \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}

Denne funksjonen har vært brukt tidligere i oppgave 84. Hensikten da var å studere funksjonens symmetri egenskaper. Hensikten denne gangen er å studere funksjonens verdimengde.

A) Regn ut

\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x) = \lim_{x\to-\infty}  \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}

\displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x) = \lim_{x\to\infty}  \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}

Hint:

\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x) = \lim_{x\to\infty} f(x)

 

\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x) = \lim_{x\to-\infty}  \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}

\displaystyle = \lim_{x\to-\infty} \frac{x^2 - 4}{x^2} = \lim_{x\to-\infty} \frac{(x^2 - 4) \cdot \frac{1}{x^2}}{x^2 \cdot \frac{1}{x^2}}

\displaystyle = \lim_{x\to-\infty}  \frac{1 - \frac{4}{x^2}}{1} = \frac{1 - 0}{1} = \frac{1}{1} = 1

 

\displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x) = \lim_{x\to\infty}  \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}

\displaystyle = \lim_{x\to\infty} \frac{x^2 - 4}{x^2} = \lim_{x\to\infty} \frac{(x^2 - 4) \cdot \frac{1}{x^2}}{x^2 \cdot \frac{1}{x^2}}

\displaystyle = \lim_{x\to\infty}  \frac{1 - \frac{4}{x^2}}{1} = \frac{1 - 0}{1} = \frac{1}{1} = 1

 

B) Regn ut

\displaystyle \lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^-}  \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}

\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^+}  \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}

Hint:

\displaystyle \lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^+} f(x)

 

\displaystyle \lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^-}  \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}

\displaystyle = \lim_{x\to 0^-}  \frac{x^2 - 4}{x^2} = \frac{\lim \limits_{x\to 0^-}x^2 - 4}{\lim \limits_{x\to 0^-} x^2}

\displaystyle = \frac{-4}{\lim \limits_{x\to 0^-} x^2} = -\infty

 

\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^+}  \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}

\displaystyle = \lim_{x\to 0^+}  \frac{x^2 - 4}{x^2} = \frac{\lim \limits_{x\to 0^+} x^2 - 4}{\lim \limits_{x\to 0^+} x^2}

\displaystyle = \frac{-4}{\lim \limits_{x\to 0^+} x^2} = -\infty

 

C) Definisjonsmengden D_f er x-verdiene der funksjonen er definert, og verdimengden V_f er f(x)-verdiene funksjonen har. Definisjonsmengden til f(x) er her alle reelle tall unntatt null, dvs  D_f \in \mathbb{R} \setminus \{0\}

Finn verdimengden V_f

Deriverer funksjonen:

\displaystyle  D[f(x)] = D[\frac{(x+2)(x-2)}{x^2}] = D[\frac{x^2 - 4}{x^2}]

\displaystyle  = \frac{D[x^2 - 4] x^2 - (x^2 - 4) D[x^2]}{(x^2)^2}

\displaystyle  = \frac{(2x - 0) x^2 - (x^2 - 4) 2x}{x^4} = \frac{2x^3 - 2x^3 + 8x}{x^4} = \frac{8x}{x^4}

\displaystyle 8x = 0 \indent \wedge \indent x^4 = 0

\displaystyle x = 0 \indent \wedge \indent x = 0

Fortegnsskjema:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Utifra fortegnsskjemaet og grenseverdiene i A) og B) er verdimengden

\displaystyle V_f \in \langle \gets , 1 \rangle

(Altså alle reelle tall mindre enn 1)

 

Her gjengis løsningsforslaget fra

JULENØTTER 2016

OPPGAVE 84 – FUNKSJON

Gitt

\displaystyle  f(x) = \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}

 

A) Vis at f(-2) = f(2)

 

\displaystyle  f(-2) = \frac{(-2+2)(-2-2)}{(-2)^2} = \frac{0(-4)}{4} = 0

\displaystyle f(2) = \frac{(2+2)(2-2)}{2^2} = \frac{4 \cdot 0}{4} = 0

\displaystyle  f(-2) = f(2) = 0

 

B) For hvilke a er f(-a)=f(a)?

 

\displaystyle f(-a) = f(a)

\displaystyle  \frac{(-a+2)(-a-2)}{(-a)^2}= \frac{(a+2)(a-2)}{a^2} 

\displaystyle  \frac{(a^2 + 2a - 2a -4)}{a^2}= \frac{(a^2 - 2a + 2a - 4)}{a^2} 

\displaystyle  \frac{a^2 - 4}{a^2}= \frac{a^2 - 4}{a^2}

\displaystyle  \frac{0}{a^2}= 0

 

Konklusjon: a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}

 

Funksjonen er altså symmetrisk om annenaksen i hele definisjonsmengden. Her er funksjonen tegnet opp:

 

 

 

 

 

 

Neste artikkel kommer i april. Hilsen erty56.

 

Reklamer

Kommentarer»

No comments yet — be the first.

Legg igjen en kommentar

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut /  Endre )

Google-bilde

Du kommenterer med bruk av din Google konto. Logg ut /  Endre )

Twitter-bilde

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut /  Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut /  Endre )

Kobler til %s

Dette nettstedet bruker Akismet for å redusere spam. Lær hvordan dine kommentardata behandles..

%d bloggere like this: