jump to navigation

MATTENØTT NR. 139 20. juni 2019

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
Tags: , ,
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt.

OPPGAVE 139 – NOE VANSKELIG ALGEBRA

Gitt en tredjegradsligning

\displaystyle ax^3 + bx^2 + cx + d = 0

med tre løsninger. Den ene løsningen er den geometriske middelverdien av de to andre løsningene, dvs.

\displaystyle x_3 = \sqrt{x_1 x_2}

Finn sammenhengen mellom a, b, c og d.

Hint: Man skal ende opp med et uttrykk med kun a, b, c og d.

 

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 138 – GEOMETRISKE FORHOLD IV

Gitt en sirkel med radius r som på figuren under (svart farge).

 

 

 

 

 

 

 

 

Sirkelen inneholder to kvadrater (begge i blå farge). Hva blir forholdet mellom arealet av det største kvadratet og det minste kvadratet?

Hint: Finn begge kvadrater ved radius i sirkelen.

Først en ny skisse:

 

 

 

 

 

 

 

Arealet av det største kvadratet med sider s kan finnes ved pytagoras setning:

\displaystyle (\frac{s}{2})^2 + (\frac{s}{2})^2 = r^2

\displaystyle \frac{1}{4} s^2 + \frac{1}{4} s^2 = r^2

\displaystyle \frac{1}{2} s^2 = r^2

\displaystyle s^2 = 2r^2

 

Arealet av det minste kvadratet med sider l kan finnes ved pytagoras setning, og deretter regne en annengradsligning med l som den ukjente:

\displaystyle (\frac{1}{2} l)^2 + (l + \frac{1}{2} s)^2 = r^2

\displaystyle \frac{1}{4} l^2 + l^2 + l s + \frac{1}{4} s^2 = r^2

\displaystyle \frac{5}{4} l^2 + l s + \frac{1}{4} s^2 = r^2

 

\displaystyle s^2 = 2r^2 \Rightarrow s = \sqrt{2} r

 

\displaystyle \frac{5}{4} l^2 + l s + \frac{1}{4} s^2 = r^2 \indent \wedge \indent s^2 = 2r^2 \indent \wedge \indent s = \sqrt{2} r

\displaystyle \Downarrow

\displaystyle \frac{5}{4} l^2 + l (\sqrt{2} r) + \frac{1}{4} \cdot 2r^2 = r^2

\displaystyle \frac{5}{4} l^2 + \sqrt{2} r l = \frac{1}{2} r^2

\displaystyle l^2 + \frac{4 \sqrt{2}}{5} r l = \frac{2}{5} r^2

\displaystyle (l + \frac{4 \sqrt{2}}{10} r)^2 = \frac{2}{5} r^2 + (\frac{4 \sqrt{2}}{10} r)^2

\displaystyle (l + \frac{4 \sqrt{2}}{10} r)^2 = \frac{2}{5} r^2 + \frac{32}{100} r^2

\displaystyle (l + \frac{4 \sqrt{2}}{10} r)^2 = \frac{72}{100} r^2

\displaystyle \sqrt{(l + \frac{4 \sqrt{2}}{10} r)^2} = \sqrt{\frac{72}{100} r^2}

\displaystyle l + \frac{4 \sqrt{2}}{10} r = \pm \frac{\sqrt{72}}{10} r

\displaystyle l = \pm \frac{\sqrt{72}}{10} r - \frac{4 \sqrt{2}}{10} r

Siden l er en lengde blir

\displaystyle l = \frac{\sqrt{72}}{10} r - \frac{4 \sqrt{2}}{10} r = \frac{\sqrt{72} - 4 \sqrt{2}}{10} r = \frac{\sqrt{2}}{5} r

\displaystyle \Downarrow

\displaystyle l^2 = 0,08 r^2

 

Forholdet mellom arealet av det største kvadratet og det minste kvadratet blir:

\displaystyle s^2 : l^2 = 2 r^2 : 0,08 r^2 = 2 : 0,08 = 25 : 1

 

Neste artikkel kommer i juli. Hilsen erty56.

 

Reklamer
%d bloggere like this: