juli | 2019 | Realfagshjørnet

jump to navigation

MATTENØTT NR. 140 24. juli 2019

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
Tags: matematikk nøtter, matte nøtter, mattenøtter
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt.

OPPGAVE 140 – TO SVÆRT ENKLE OPPGAVER

A) En fotball veier 1 kg. i tillegg til halvparten av sin egen vekt. Hvor mye veier fotballen?

B) En basketball veier 2 kg. i tillegg til 1/3 av sin egen vekt. Hvor mye veier basketballen?

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 139 – NOE VANSKELIG ALGEBRA

Gitt en tredjegradsligning

$\displaystyle ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$

med tre løsninger. Den ene løsningen er den geometriske middelverdien av de to andre løsningene, dvs.

$\displaystyle x_3 = \sqrt{x_1 x_2}$

Finn sammenhengen mellom a, b, c og d.

Hint: Man skal ende opp med et uttrykk med kun a, b, c og d.

Løsningsforslag:

Man skriver først opp ligningen på redusert form ved å dividere med a:

$\displaystyle ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$

$\displaystyle x^3 + \frac{b}{a} x^2 + \frac{c}{a} x + \frac{d}{a} = 0$

Følgende tre sammenhenger mellom løsningene og koeffisientene a, b, c, og d, gjelder alltid for en tredjegradsligning på redusert form:

$\displaystyle x_1 + x_2 + x_3 = - \frac{b}{a}$

$\displaystyle x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = \frac{c}{a}$

$\displaystyle x_1 x_2 x_3 = - \frac{d}{a}$

Siden

$\displaystyle x_3 = \sqrt{x_1 x_2}$

blir disse tre:

$\displaystyle x_1 + x_2 + \sqrt{x_1 x_2} = - \frac{b}{a}$

$\displaystyle x_1 x_2 + x_1 \sqrt{x_1 x_2} + x_2 \sqrt{x_1 x_2} = \frac{c}{a}$

$\displaystyle x_1 x_2 \sqrt{x_1 x_2} = - \frac{d}{a}$

$\displaystyle x_1 x_2 \sqrt{x_1 x_2} = - \frac{d}{a}$

$\displaystyle \sqrt{x_{1}^2 x_{2}^2 x_1 x_2} = - \frac{d}{a}$

$\displaystyle \sqrt{x_{1}^3 x_{2}^3} = - \frac{d}{a}$

$\displaystyle (x_{1} x_{2})^{\frac{3}{2}} = - \frac{d}{a}$

$\displaystyle ((x_{1} x_{2})^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{3}} = (- \frac{d}{a})^{\frac{1}{3}}$

$\displaystyle (x_{1} x_{2})^{\frac{1}{2}} = (- \frac{d}{a})^{\frac{1}{3}}$

$\displaystyle \sqrt{x_1 x_2} = (- \frac{d}{a})^{\frac{1}{3}}$

$\displaystyle x_1 x_2 + x_1 \sqrt{x_1 x_2} + x_2 \sqrt{x_1 x_2} = \frac{c}{a}$

$\displaystyle \sqrt{x_1 x_2} (\sqrt{x_1 x_2} + x_1 + x_2) = \frac{c}{a}$

$\displaystyle \Downarrow$

$\displaystyle (- \frac{d}{a})^{\frac{1}{3}} (- \frac{b}{a}) = \frac{c}{a}$

$\displaystyle [(- \frac{d}{a})^{\frac{1}{3}} (- \frac{b}{a})]^3 = [\frac{c}{a}]^3$

$\displaystyle - \frac{d}{a} (- \frac{b^3}{a^3}) = \frac{c^3}{a^3}$

$\displaystyle \frac{b^3 d}{a^4} = \frac{c^3}{a^3}$

$\displaystyle \frac{b^3 d}{a^4} - \frac{c^3}{a^3} = 0$

$\displaystyle \frac{b^3 d - ac^3}{a^4} = 0$

$\displaystyle \Downarrow$

$\displaystyle b^3 d - ac^3 = 0$

Neste artikkel kommer i august. Hilsen erty56.

%d bloggere like this: