september | 2019 | Realfagshjørnet

MATTENØTT NR. 142 24. september 2019

Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.
Tags: matematikk nøtter, matte nøtter, mattenøtter
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt.

OPPGAVE 142 – HARMONISK REKKE

Følgende rekke kalles den harmoniske rekke:

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} + ...$

Finn

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 141 – KVADRATRØTTER II

Gitt

$\displaystyle \sqrt{x^4 - 4x^2 - 6x + 13} = -x + 3$

Finn x.

Hint: Det blir fire løsninger.

Løsningsforslag:

$\displaystyle \sqrt{x^4 - 4x^2 - 6x + 13} = -x + 3$

$\displaystyle (\sqrt{x^4 - 4x^2 - 6x + 13})^2 = (-x + 3)^2$

$\displaystyle x^4 - 4x^2 - 6x + 13 = x^2 - 6x + 9$

$\displaystyle x^4 - 5x^2 + 4 = 0$

Setter y = x² Dette gir:

$\displaystyle y^2 - 5y + 4 = 0$

$\displaystyle (y - \frac{5}{2})^2 = -4 + (-\frac{5}{2})^2$

$\displaystyle (y - \frac{5}{2})^2 = \frac{9}{4}$

$\displaystyle \sqrt{(y - \frac{5}{2})^2} = \sqrt{\frac{9}{4}}$

$\displaystyle y - \frac{5}{2} = \pm \frac{3}{2}$

$\displaystyle y = \pm \frac{3}{2} + \frac{5}{2}$

$\displaystyle y = 1 \indent \vee \indent y = 4$

Deretter

$\displaystyle x^2 = 1 \indent \vee \indent x^2 = 4$

$\displaystyle \sqrt{x^2} = \sqrt{1} \indent \vee \indent \sqrt{x^2} = \sqrt{4}$

$\displaystyle x = \pm 1 \indent \vee \indent x = \pm 2$

$\displaystyle x = -1 \indent \vee \indent x = 1 \indent \vee \indent x = -2 \indent \vee \indent x = 2$

Ved kvadrering legges iblant til falske løsninger. Det har imidlertid ikke skjedd her. Alle fire løsninger passer i det opprinnelige uttrykket.

Neste artikkel kommer i oktober. Hilsen erty56.