jump to navigation

GRUNNLEGGENDE MENGDELÆRE 13. oktober 2019

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
Tags: , ,
trackback

Hei igjen!

Denne artikkelen gir en innføring i mengdelære. Notasjonsforklaringer står til slutt.

1 Innledning

En mengde betegnes med tegnene { og }. Innholdet i mengden er elementer. F.eks. er {a , b} mengden av a og b.

Rekkefølgen av elementene har ingenting å si, så {a , b} = {b , a} osv. Gitt annengradsligningen

\displaystyle x^2 - 3x + 2 = 0

\displaystyle \Downarrow

\displaystyle x = 1 \indent \vee \indent x = 2

\displaystyle \Updownarrow

\displaystyle L = \{1 , 2\}

L er løsningsmengden. Dette kan også skrives

\displaystyle x \in \{1 , 2\}

Like mengder har eksakt de samme elementene. F.eks.

\displaystyle \{1 , 2 , 3\} = \{1 , 3 , 2 \} = \{3 , 1 , 2 \}

osv. Ekvivalente mengder har like mange elementer. F.eks.

\displaystyle \{1 , 2 , 3\} \sim \{a , b , c \} \sim \{r , w , g \}

osv. Det har ingenting å si hva elementene er igjen, bare antallet.

Den tomme mengde betegnes ∅. Den er helt tom og inneholder ingen elementer. Ikke engang null. Den kan skrives

\displaystyle \emptyset = \{ \}

Gitt annengradsligningen

\displaystyle x^2 = -1

\displaystyle \Downarrow

\displaystyle L = \emptyset

Løsningsmengden er tom. Det finnes jo ingen løsninger av denne ligningen.

Alle mengder har delmengder. Man kan konstruere 2^n delmengder av en mengde med n elementer. Gitt mengden {1 , 2 , 3}. Den har tre elementer. Dette gir 2³ = 8 delmengder:

\displaystyle \{1 , 2 , 3\}

\displaystyle \{1 , 2\}

\displaystyle \{1 , 3\}

\displaystyle \{2 , 3\}

\displaystyle \{1\}

\displaystyle \{2\}

\displaystyle \{3\}

\displaystyle \{ \}

Altså alt fra den tomme mengde til hele mengden.


2 Definisjoner ved illustrasjoner

Unionen av to mengder A og B skrives

\displaystyle A \cup B

Unionen av to mengder A og B er mengden av alle elementer som er med i A og B og begge. Se figur II.

 

Snittet av to mengder A og B skrives

\displaystyle A \cap B

Snittet av to mengder A og B er mengden av alle elementer som bare er med i både A og B. Se figur III. (Snittet er det skraverte).


En delmengde A av B skrives

\displaystyle A \subseteq B

A er en delmengde av B. Hele A ligger i B, men B kan være større enn A. Se figur I. (A er det skraverte).

På figuren er faktisk A en ekte delmengde av B, dvs. A ⊂ B. Med dette menes at B har minst ett element mer enn A.

 

Disjunkte mengder A og B har tomt snitt, dvs.

\displaystyle A \cap B = \emptyset

De er adskilte og har ingen felles mengde eller elementer. Figur:

 

 

 

 

 

3 Generelle definisjoner og setninger

Definisjon mengde

\displaystyle (y \textrm{ \ er \ en \ mengde}) \Leftrightarrow (\exists x) (x \in y \vee y = \emptyset)

Definisjon den tomme mengde

\displaystyle \emptyset = x \Leftrightarrow (\forall y) (y \notin x)

Definisjon union

\displaystyle (A \cup B = y) \Leftrightarrow (\forall x)(x \in y \Leftrightarrow x \in A \vee x \in B)

\displaystyle \wedge \ (y \textrm{ \ er \ en \ mengde})

Av dette følger at

\displaystyle A \cup B = B \cup A

\displaystyle A \cup A = A

\displaystyle A \cup \emptyset = A

Definisjon snitt

\displaystyle (A \cap B = y) \Leftrightarrow (\forall x)(x \in y \Leftrightarrow x \in A \wedge x \in B)

\displaystyle \wedge \ (y \textrm{ \ er \ en \ mengde})

Av dette følger at

\displaystyle A \cap B = B \cap A

\displaystyle A \cap A = A

\displaystyle A \cap \emptyset = \emptyset

Definisjon delmengde

\displaystyle A \subseteq B \Leftrightarrow (\forall x) (x \in A \Rightarrow x \in B)

Av dette følger at

\displaystyle A \subseteq A

\displaystyle (A \subseteq B \wedge B \subseteq A) \Rightarrow A = B

\displaystyle A \subseteq \emptyset \Rightarrow A = \emptyset

Definisjon ekte delmengde

\displaystyle A \subset B \Leftrightarrow (A \subseteq B \wedge A \neq B)

Av dette følger at

\displaystyle A \subset B \Rightarrow A \subseteq B

Definisjon differensmengde

\displaystyle A \backslash B = y \Leftrightarrow (\forall x)(x \in y \Leftrightarrow x \in A \wedge x \notin B) \wedge (y \textrm{ \ er \ en \ mengde})

Av dette følger at

\displaystyle A \backslash A = \emptyset

\displaystyle (A \cup B) \backslash B = A \backslash B

\displaystyle (A \cap B) \backslash B = \emptyset

 

4 Notasjonsforklaringer

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 142 – HARMONISK REKKE

Følgende rekke kalles den harmoniske rekke:

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} + ...

Finn

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}

Løsningsforslag:

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}

\displaystyle = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + ... + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) + ...

\displaystyle = (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} + ...) - (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n}+\frac{1}{n+1} + ...)

\displaystyle = 1 - \lim_{n\to\ \infty} \frac{1}{n+1} = 1 - \lim_{n\to\ \infty} \frac{\frac{1}{n}}{1 + \frac{1}{n}} = 1 - \frac{0}{1 + 0} = 1 - 0 = 1

 

Neste artikkel kommer i november. Hilsen erty56.

Artikkelen kan lastes ned som pdf-fil her:

GRUNNLEGGENDE_MENGDELÆRE

Kommentarer»

No comments yet — be the first.

Legg igjen en kommentar

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut /  Endre )

Google-bilde

Du kommenterer med bruk av din Google konto. Logg ut /  Endre )

Twitter-bilde

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut /  Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut /  Endre )

Kobler til %s

Dette nettstedet bruker Akismet for å redusere spam. Lær hvordan dine kommentardata behandles..

%d bloggere like this: