jump to navigation

JULENØTTER 2019 – FASIT 8. januar 2020

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

JULENØTTER 2019

Til slutt i innlegget følger en ny mattenøtt.

 

OPPGAVE 144 – KORTSTOKK

A) Man har 3 kort. Hvor mange rekkefølger kan de stokkes i?

B) Man har 5 kort. Hvor mange rekkefølger kan de stokkes i?

Generelt kan n elementer ordnes i n! rekkefølger.

\displaystyle n! = n \cdot (n-1) \cdot ... \cdot 1

A) Svar: 3! = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6

B) Svar: 5! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120

 

OPPGAVE 145 – TALLREKKE MED ET AVVIK

Gitt tallene 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 22, 34, 55. Hvilket tall hører ikke hjemme her?

Bytter man ut 22 med 21, vil hvert tall være summen av de to forrige tallene. Svar: 22 hører ikke hjemme her. Dette er forøvrig de første tallene i Fibonacci-tallfølgen. Det er en matematisk tallfølge man finner igjen i visse systemer i naturen.

 

OPPGAVE 146 – LETT GEOMETRI VI

Gitt en sirkel som på figuren under. Arealet av det skraverte(grå) området er A = ½π – 1

 

 

 

 

 

 

Hva blir arealet A av trekanten (blå farge) ?

Hint: Se OPPGAVE 143 – LETT GEOMETRI V

Arealet av kvartsirkelen er det samme som arealet av trekanten pluss arealet av det skraverte(grå) området.

\displaystyle A(kvartsirkel) = A(trekant) + A(skravert)

\displaystyle \frac{1}{4} \pi r^2 = \frac{1}{2} r^2 + \frac{1}{2} \pi - 1

\displaystyle (\frac{1}{4} \pi - \frac{1}{2}) r^2 = \frac{1}{2} \pi - 1

\displaystyle r^2 = \frac{\frac{1}{2} \pi - 1}{\frac{1}{4} \pi - \frac{1}{2}} = \frac{2 (\frac{1}{4} \pi - \frac{1}{2})}{\frac{1}{4} \pi - \frac{1}{2}} = 2

\displaystyle \Downarrow

\displaystyle r = \sqrt{2}

\displaystyle A(trekant) = \frac{1}{2} r^2 = \frac{1}{2} (\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1

 

OPPGAVE 147 – REKKE AV PARTALL

Gitt en følge av n partall 2, 4, 6, … , 2n. Hva blir rekkens sum, dvs.

\displaystyle \Sigma = 2 + 4 + 6 + ... + 2n

Dette er en aritmetisk rekke med første ledd 2 og siste ledd 2n. Summen blir gjennomsnittet av første og siste ledd ganger antall ledd n, dvs:

\displaystyle \Sigma = 2 + 4 + 6 + ... + 2n = \frac{2 + 2n}{2} \cdot n = \frac{2 (1 + n)}{2} \cdot n = n (n + 1)

 

OPPGAVE 148 – NOE VANSKELIG GEOMETRI II

Gitt linjen XY. CZ står vinkelrett på linjen XY. AX og BY er parallelle med CZ. AY og BX skjærer hverandre i C. Se figur:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Vis at

\displaystyle \frac{1}{CZ} = \frac{1}{AX} + \frac{1}{BY}

 

Trekantene AXY og CZY er formlike:

\displaystyle \Delta AXY \sim \Delta CZY

\displaystyle \frac{AX}{XY} = \frac{CZ}{ZY}

\displaystyle ZY = \frac{CZ \cdot XY}{AX}

Trekantene CXZ og BXY er formlike:

\displaystyle \Delta CXZ \sim \Delta BXY

\displaystyle \frac{CZ}{XZ} = \frac{BY}{XY}

\displaystyle XZ = \frac{CZ \cdot XY}{BY}

 

\displaystyle XZ + ZY = XY

\displaystyle \frac{CZ \cdot XY}{BY} + \frac{CZ \cdot XY}{AX} = XY

\displaystyle (\frac{CZ \cdot XY}{BY} + \frac{CZ \cdot XY}{AX}) \cdot \frac{1}{XY} = XY \cdot \frac{1}{XY}

\displaystyle \frac{CZ}{BY} + \frac{CZ}{AX} = 1

\displaystyle (\frac{CZ}{BY} + \frac{CZ}{AX}) \cdot \frac{1}{CZ} = 1 \cdot \frac{1}{CZ}

\displaystyle \frac{1}{BY} + \frac{1}{AX} = \frac{1}{CZ}

\displaystyle \frac{1}{CZ} = \frac{1}{AX} + \frac{1}{BY}

 

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 149 – NOE VANSKELIG GEOMETRI III

Gitt følgende figur:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Trekanten ABC har en innskrevet sirkel som tangerer alle sidene i trekanten. En slik sirkel kalles innsirkelen. Halveringslinjene til vinklene skjærer hverandre i innsenteret I, det samme som sentrum i sirkelen.

Vis at arealet av trekanten er det samme som radius r ganger halvparten av trekantens omkrets p, dvs:

\displaystyle A(\Delta ABC) = r \cdot p

 

Neste artikkel kommer i februar. Hilsen erty56.

%d bloggere like this: