jump to navigation

MATTENØTT NR. 152 25. april 2020

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
trackback

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 152 – IDENTITET MED FUNKSJONER

Gitt

\displaystyle [x^3 - 2x^2 + x - 2] f(x) = [x^3 - x^2 + x - 1] g(x)

Finn f(x) og g(x). Merknad:

\displaystyle f(x), g(x) \neq 0

 

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 151 – VANSKELIG ALGEBRA

Gitt P = 1 · 2 · … · n og Q = 1 + 2 + … + n, der n er et naturlig tall. Vis at divisjonen P/Q kun går opp dersom n er et oddetall. (Et naturlig tall er hele positive tall: 1, 2, 3, …)

 

\displaystyle \frac{P}{Q} = \frac{1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n}{1 + 2 + ... + n} = \frac{n!}{\sum_{k=1}^n k} = \frac{n!}{\frac{(1 + n)}{2} \cdot n } = \frac{2 \cdot n!}{n (n + 1)}

\displaystyle = \frac{2 \cdot n \cdot (n - 1)!}{n(n + 1)} = \frac{2 (n - 1)!}{n + 1}

 

1) Partall: 2, 4, …

\displaystyle \frac{P}{Q} = \frac{2 (n - 1)!}{n + 1} = \frac{2 (2 - 1)!}{2 + 1} = \frac{2 \cdot 1!}{3} = \frac{2}{3}

\displaystyle \frac{P}{Q} = \frac{2 (n - 1)!}{n + 1} = \frac{2 (4 - 1)!}{4 + 1} = \frac{2 \cdot 3!}{5} = \frac{12}{5}

Man har allerede funnet to mot-eksempler. Divisjonen P/Q kan gå opp for noen partall, men den går ikke opp for alle partall.

 

2) Oddetall, n = 2m – 1, der m er et naturlig tall

\displaystyle \frac{P}{Q} = \frac{2 (n - 1)!}{n + 1} = \frac{2 (2m - 1 - 1)!}{2m - 1 + 1} = \frac{2 (2m - 2)!}{2m} = \frac{(2m - 2)!}{m}

m er alltid faktor i (2m – 2)!, så divisjonen P/Q går opp for alle oddetall.

Man kan skrive noen ledd for å se dette.

\displaystyle \frac{0!}{1}, \frac{2!}{2}, \frac{4!}{3}, \frac{6!}{4}, \frac{8!}{5}, ...

1 er faktor i 0!, 2 er faktor i 2!, 3 er faktor i 4!, 4 er faktor i 6!, 5 er faktor i 8! osv. (0! = 1)

Teller øker hele tiden mer enn nevner. Man har en garanti for at nevner m alltid er faktor i teller (2m – 2)!

 

Konklusjon: Divisjonen P/Q går kun generelt opp dersom n er et oddetall.

 

Neste artikkel kommer i mai. Hilsen erty56.

Kommentarer»

No comments yet — be the first.

Legg igjen en kommentar

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut /  Endre )

Google-bilde

Du kommenterer med bruk av din Google konto. Logg ut /  Endre )

Twitter-bilde

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut /  Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut /  Endre )

Kobler til %s

Dette nettstedet bruker Akismet for å redusere spam. Lær hvordan dine kommentardata behandles..

%d bloggere like this: