jump to navigation

MATTENØTT NR. 156 26. august 2020

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Denne gangen kommer en ny mattenøtt, samt løsningsforslag til forrige måneds mattenøtt. Den inneholder bl.a. en parabel. Enhver parabel har en symmetrilinje x_{sym} . Metode for å finne x_{sym} gjennomgås til slutt i denne artikkelen. Først en ny nøtt:

 

OPPGAVE 156 – ANNENGRADSLIGNING

Gitt annengradsligningen

\displaystyle ax^2 + bx + c = 0

Den har to løsninger. Summen av løsningene er 3. Produktet av løsningene er 2. 

1) Finn a, b og c.

2) Finn selve løsningene.

 

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 155 – TO FUNKSJONER

Gitt funksjonen f(x) = -x² + 3x + 1 og funksjonen g(x) = a. Disse funksjonene har grafer som krysser hverandre ved f(x) = g(x). Man vil ha følgende tre forskjellige tilfeller:

1) De har ingen fellespunkter.

2) De har ett fellespunkt.

3) De har to fellespunkter.

Finn g(x) = a for både 1), 2) og 3).

Hint: Tegn f(x), og se på f(x) = g(x).

f(x) er en parabel som ligger symmetrisk om symmetrilinjen x_{sym} . Den har et toppunkt i (x_{sym} , f(x_{sym})) . g(x) er en konstant funksjon, dvs. en rett linje parallell med x-aksen. Disse skjærer hverandre i akkurat et punkt når g(x) = a = f(x_{sym}) . Se figur:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Her er f(x) tegnet i blått og g(x) i rødt. Formelen for symmetrilinjen er gitt ved

\displaystyle x_{sym} = \frac{-b}{2a} = \frac{-3}{2 \cdot (-1)} = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2}

Man kan finne f(x_{sym}) :

\displaystyle f(x_{sym}) = f(\frac{3}{2}) = - (\frac{3}{2})^2 + 3 \cdot \frac{3}{2} + 1 = - \frac{9}{4} + \frac{9}{2} + 1

\displaystyle = \frac{-9 + 9 \cdot 2 + 1 \cdot 4}{4} = \frac{-9 + 18 + 4}{4} = \frac{13}{4}

Man kan se av figuren at dersom g(x) > f(x_{sym}) skjærer den ikke f(x) i det hele tatt. Dersom g(x) < f(x_{sym}) skjærer den f(x) i to punkter. Svaret blir altså:

1) De har ingen fellespunkter når g(x) = a > 13/4

2) De har ett fellespunkt når g(x) = a = 13/4

3) De har to fellespunkter når g(x) = a < 13/4

 

Her følger utledning av formelen for symmetrilinjen

\displaystyle x_{sym} = - \frac{b}{2a}

En generell annengradsfunksjon (parabel) er gitt ved

\displaystyle f(x) = ax^2 + bx + c

Man finner nullpunktene (skjæringspunkter med x-aksen) ved

\displaystyle f(x) = 0

\displaystyle ax^2 + bx + c = 0

Etter noe mellomregning blir dette

\displaystyle x = \frac {-b +\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \indent \vee \indent x = \frac {-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

I og med at symmetrilinjen ligger midt mellom nullpunktene, finner man den ved å beregne gjennomsnittet, dvs:

\displaystyle x_{sym} = \frac{\frac {-b +\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}}{2} = - \frac{b}{2a}

Formelen er forøvrig gyldig når grafen ikke har nullpunkter også. (De to x-verdiene er da komplekse tall, og resultatet blir igjen -b/2a).

 

Dersom man ønsker å se på mellomregningen over, og mer info om emnet:

ANNENGRADSLIGNINGER OG PARABELEN

 

Neste artikkel kommer i september. Hilsen erty56.

%d bloggere like this: