jump to navigation

MATTENØTT NR. 156 26. august 2020

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
trackback

Hei igjen!

Denne gangen kommer en ny mattenøtt, samt løsningsforslag til forrige måneds mattenøtt. Den inneholder bl.a. en parabel. Enhver parabel har en symmetrilinje x_{sym} . Metode for å finne x_{sym} gjennomgås til slutt i denne artikkelen. Først en ny nøtt:

 

OPPGAVE 156 – ANNENGRADSLIGNING

Gitt annengradsligningen

\displaystyle ax^2 + bx + c = 0

Den har to løsninger. Summen av løsningene er 3. Produktet av løsningene er 2. 

1) Finn a, b og c.

2) Finn selve løsningene.

 

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 155 – TO FUNKSJONER

Gitt funksjonen f(x) = -x² + 3x + 1 og funksjonen g(x) = a. Disse funksjonene har grafer som krysser hverandre ved f(x) = g(x). Man vil ha følgende tre forskjellige tilfeller:

1) De har ingen fellespunkter.

2) De har ett fellespunkt.

3) De har to fellespunkter.

Finn g(x) = a for både 1), 2) og 3).

Hint: Tegn f(x), og se på f(x) = g(x).

f(x) er en parabel som ligger symmetrisk om symmetrilinjen x_{sym} . Den har et toppunkt i (x_{sym} , f(x_{sym})) . g(x) er en konstant funksjon, dvs. en rett linje parallell med x-aksen. Disse skjærer hverandre i akkurat et punkt når g(x) = a = f(x_{sym}) . Se figur:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Her er f(x) tegnet i blått og g(x) i rødt. Formelen for symmetrilinjen er gitt ved

\displaystyle x_{sym} = \frac{-b}{2a} = \frac{-3}{2 \cdot (-1)} = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2}

Man kan finne f(x_{sym}) :

\displaystyle f(x_{sym}) = f(\frac{3}{2}) = - (\frac{3}{2})^2 + 3 \cdot \frac{3}{2} + 1 = - \frac{9}{4} + \frac{9}{2} + 1

\displaystyle = \frac{-9 + 9 \cdot 2 + 1 \cdot 4}{4} = \frac{-9 + 18 + 4}{4} = \frac{13}{4}

Man kan se av figuren at dersom g(x) > f(x_{sym}) skjærer den ikke f(x) i det hele tatt. Dersom g(x) < f(x_{sym}) skjærer den f(x) i to punkter. Svaret blir altså:

1) De har ingen fellespunkter når g(x) = a > 13/4

2) De har ett fellespunkt når g(x) = a = 13/4

3) De har to fellespunkter når g(x) = a < 13/4

 

Her følger utledning av formelen for symmetrilinjen

\displaystyle x_{sym} = - \frac{b}{2a}

En generell annengradsfunksjon (parabel) er gitt ved

\displaystyle f(x) = ax^2 + bx + c

Man finner nullpunktene (skjæringspunkter med x-aksen) ved

\displaystyle f(x) = 0

\displaystyle ax^2 + bx + c = 0

Etter noe mellomregning blir dette

\displaystyle x = \frac {-b +\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \indent \vee \indent x = \frac {-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

I og med at symmetrilinjen ligger midt mellom nullpunktene, finner man den ved å beregne gjennomsnittet, dvs:

\displaystyle x_{sym} = \frac{\frac {-b +\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}}{2} = - \frac{b}{2a}

Formelen er forøvrig gyldig når grafen ikke har nullpunkter også. (De to x-verdiene er da komplekse tall, og resultatet blir igjen -b/2a).

 

Dersom man ønsker å se på mellomregningen over, og mer info om emnet:

ANNENGRADSLIGNINGER OG PARABELEN

 

Neste artikkel kommer i september. Hilsen erty56.

Kommentarer»

No comments yet — be the first.

Legg igjen en kommentar

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut /  Endre )

Google-bilde

Du kommenterer med bruk av din Google konto. Logg ut /  Endre )

Twitter-bilde

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut /  Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut /  Endre )

Kobler til %s

Dette nettstedet bruker Akismet for å redusere spam. Lær hvordan dine kommentardata behandles..

%d bloggere like this: