jump to navigation

TIDSREISER 25. juni 2016

Posted by erty56 in Moderne Fysikk, Populærvitenskap generelt.
add a comment

Hei igjen!

Er tidsreiser mulige? Svaret er både ja og nei. Nei ved små hastigheter, men ja ved svært høye hastigheter. Her følger 2 eksempler:

1. Doppler-effekten

Lydens hastighet er ca. 340 m/s i luft og vi betrakter dette med såkalte klassiske ligninger. Dette innebærer ingen reise i tid. En radiomast varsler flyalarm-prøve. En bil A kjører mot masten(kilden) og en annen bil B kjører fra kilden.

t14a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Hastighetene til observatører i bilene kan betraktes enkelt og greit som:

vobservatør = vlyd + vbil A

vobservatør = vlyd – vbil B

Slike typer ligninger gjelder kun når v << c. Vi har en formelsammenheng mellom hastigheten v og frekvensen f.

Denne gir

fobservatør  = flyd (vlyd +/- vbil  )/vlyd

Observatører i bil A hører altså lyd med en høyere frekvens enn utgangspunktet flyd, og de i bil B en lyd med lavere frekvens enn flyd. Rent intuitivt skulle man kanskje tro at slik vil regnestykkene alltid bli. Men da vil vi kunne få hastigheter høyere enn c, og dette er ikke mulig ifølge relativitetsteorien.

2. Romskip med høy hastighet

Vi later som et romskip har en hastighet tilsvarende 60% av lysets hastighet og betrakter dette med såkalte relativistiske ligninger. Lysets hastighet er definert c = 299.792.458 m/s i vakuum. Her reiser romskipet fremover i tid. Dagens teknologi kan ikke i nærheten gi denne hastigheten, men teorien begrenser oss i utgangspunktet kun til lysets hastighet. Her er hastigheten såpass høy at vi bruker relativistiske ligninger. Romskipet kjører en liten ferd på et døgn. For romskipet vil dette være tiden t0 = 1 døgn. Vi på jorden vil imidlertid betrakte at tiden

 

t15b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

er gått. Romskipet har altså reist 1 døgn, mens det for observatører på jorden er gått 1,25 døgn.

Konklusjon: Når v er svært lav, får man t = γ t0 ≈ t0.  Dette gir ingen tidsforskjell mellom forskjellige observatører. Altså ingen reise i tid. Eksempel 1 er et slikt tilfelle. Når v er svært høy, vil man få en tidsforskjell mellom forskjellige observatører. 2. Romskip med høy hastighet er et eksempel på dette. Altså en reise i tid.

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 77 – GEOMETRISK REKREASJON II

 

t14c

 

 

 

 

 

 

Gitt figuren over som viser en halvsirkel med en innskrevet trekant. Den ene siden i trekanten er 10 og arealet av halvsirkelen er {18,625 \pi}. Finn arealet av trekanten. Tips: Halvsirkelens radius r er tegnet med blått på figuren.

 

Her kommer løsningsforslag av forrige måneds:

OPPGAVE 76 – ENKEL ALGEBRA

A) 60 {\%} av et tall er 150. Hva er tallet?

Kaller tallet x

\displaystyle x \cdot 0,6 = 150

\displaystyle x = \frac{150}{0,6} = 250

Tallet er 250


B) {\sqrt{4^3}} er lik et naturlig tall (hele og positive). Hvilket?


\displaystyle \sqrt{4^3} = \sqrt{4^2 \cdot 4} = 4 \sqrt{4} = 4 \cdot 2 = 8


C) {\sqrt{2^8}} er også lik et naturlig tall. Hvilket?


\displaystyle \sqrt{2^8} = \Huge 2^{\frac{8}{2}} = 2^4 = 2^2 \cdot 2^2 = 4 \cdot 4 = 16


Neste artikkel kommer i juli. Hilsen erty56.

NY HJEMMESIDE FOR FORLAGET MITT 31. august 2015

Posted by erty56 in Matematikk, Moderne Fysikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Dessverre utgår august-innlegget her på Realfagshjørnet. Jeg driver et spesialistforlag på hobbybasis. Hjemmesiden har ligget nede en stund, men er nå oppe igjen:

http://www.forlag.tk

Dersom noen er interessert i å løse mattenøtter, ligger det nå totalt 59 oppgaver (og enda flere deloppgaver) her på Realfagshjørnet.

Neste innlegg kommer i september, samt løsningsforslag til oppgave 59. Hilsen erty56.

KJEGLEPENDEL 30. juni 2015

Posted by erty56 in Moderne Fysikk, Populærvitenskap generelt.
Tags: , , , , , , ,
add a comment

Hei igjen!

I fysikkfaget opererer man med to typer pendler. En fysisk pendel der man regner med snorens masse, og en matematisk pendel der man neglisjerer snorens masse. Sistnevnte er et eksempel på en matematisk idealisering. Slike idealiseringer vil man finne i bl.a. naturvitenskap, økonomi osv. Slike idealiseringer og tilnærminger er ikke det samme som matematikk. De er et forsøk på å beskrive ting i naturen med et enkelt matematisk språk. I selve matematikkfaget vil man derimot overhode ikke finne slike tilnærminger.

Fester man en kule i en snor, og lar den svinge rundt i en bestemt sirkel, vil dette tilsvare en kjegle geometrisk sett. Kjeglependelen er en variant av den matematiske pendel. Videre antar vi at kulen går i konstant fart i sirkelbanen, og får:

\displaystyle v = \frac{2\pi r}{T}

Etter Newtons lover gir konstant fart (ingen akselerasjon) ingen kraft. Men dette gjelder ved bevegelse langs en rett linje. I og med at farten hele tiden skifter retning i sirkelbanen gir dette opphav til en sentripetalakselerasjon. Resultantkraften blir:
\displaystyle \Sigma F = m \cdot a = m \cdot \frac{v^2}{r}

Denne kalles sentripetalkraft. Her følger figur over kjeglependelen:

t2a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G er tyngdekraften til kulen med masse m, S er snordraget(en kraft) og {\Sigma}F er resultantkraften. l er lengden av snoren og r er radius i sirkelbanen.

\displaystyle \cos \alpha ' = \frac{G}{S'} \indent \wedge \indent \sin \alpha = \frac{\Sigma F}{S} \indent\wedge \indent \sin \alpha = \frac{r}{l}

Geometrisk er { \alpha ' = \alpha} og man finner omløpstiden T ved

 

\displaystyle S = S'

 

\displaystyle \frac{\Sigma F}{ \sin \alpha} = \frac{G}{ \cos \alpha}

 

Etter noe mellomregning der man også benytter {v = \frac{2\pi r}{T}} blir resultatet:

 

\displaystyle T = 2\pi \sqrt{\frac{l \cdot \cos \alpha}{g}}

Omløpstiden er altså uavhengig av kulens masse. Gitt en kule med snorlengde 25 cm (=0,25 m) og vinkel {\alpha = 30^{\circ}} får man altså

\displaystyle T = 2\pi \sqrt{\frac{l \cdot \cos \alpha}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{0,25 m \cdot \cos 30^{\circ}}{9,81 m/s^2}} \approx 0,93 s

Fartsformelen er også uavhengig av massen:

\displaystyle v = \frac{2\pi r}{T} = \sqrt{r\cdot g \cdot \tan \alpha}

Intuitivt skulle man kanskje tro at massen skulle virke inn på fart og tid for pendelen. Men lar man f.eks. en lett og tung ting falle fra samme høyde, vil de nå bakken med samme fart. Det eneste som påvirker er igjen g, tyngdens akselerasjon. På jordoverflaten er {g=9,81 m/s^2}. Utover i rommet varierer den imidlertid. På månen er den ca. {1,62 m/s^2}, og ute i det tomme rom svært lav. Generelt er tyngdekraften av et legeme gitt ved

\displaystyle G = m \cdot g

 
der m er massen av legemet og g tyngdens akselerasjon(feltstyrken). Massen av et legeme er den samme overalt i rommet. 1 kg. på jorden er også 1 kg. overalt ellers i universet. Mens feltstyrken g som sagt varierer.

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 58 – TALL

A) Finn x i følgende:

 
\displaystyle 2 - \frac{2}{2 - x} = \frac {2}{2 - x}

 

B) En hage består av et kvadratisk areal, altså fire like sider. Hagen bygges om til et rektangel ved at to og to parallelle sider øker med p{ \%} og minker med p {\%}. Da er hagen blitt 4 {\%} mindre. Hva er p ?

Til slutt løsningsforslag av forrige måneds:

OPPGAVE 57 – AREALBEREGNING

Figuren viser et rektangel som er delt opp i fire rektangler. Arealene av tre av dem er 8, 16 og 24. Alle sidene til alle rektanglene er naturlige tall(hele og positive). Hva er arealet av A? (Figuren er bare en skisse. Man finner ikke svaret ved å måle på figuren).

t2b

 

 

 

 

 

 

Man kan sette opp ligninger av figuren

t2c

 

 

 

 

 

 

 

 

\displaystyle x \cdot y = 24
\displaystyle y \cdot z = 8
\displaystyle z \cdot w = 16

Dette settet har en mer ukjent en antall ligninger. Løsningen gir en fri variabel:

\displaystyle x = x
\displaystyle y = 24 \cdot \frac{1}{x}
\displaystyle z = \frac{1}{3} \cdot x
\displaystyle w = 48 \cdot \frac{1}{x}

Ifølge oppgaveteksten er x, y, z og w naturlige tall. Man setter x=1, x=2, x=3, x=4, x=5 og x=6 og ser hvilke tall y, z og w blir for disse x-verdiene. For x=1, x=2, x=4 og x=5 blir ikke samtlige y, z og w naturlige tall. For x=3 og x=6 får man løsningene:

\displaystyle (x, y, z, w) = (3, 8, 1, 16) \indent og \indent A = w \cdot x = 16 \cdot 3 = 48
\displaystyle (x, y, z, w) = (6, 4, 2, 8) \indent og \indent A = w \cdot x = 8 \cdot 6 = 48

Konklusjon: Man ser ved innsetting at minst en løsning er funnet, og trenger ikke prøve flere x-verdier. A = 48 for begge mulige (x, y, z, w). Svar: A = 48.

Neste artikkel kommer i juli. God sommer! Hilsen erty56.

Artikkelen kan lastes ned som pdf-fil her:
Kjeglependel

IDEALISERING – MATEMATIKK OG NATUREN 30. januar 2015

Posted by erty56 in Matematikk, Moderne Fysikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Matematikk har en basis kalt aksiomer. Dette er absolutte sannheter. De er intuitivt riktige og bevises ikke. Utifra aksiomene utledes setninger ved hjelp av streng logikk, og disse må også bevises. Kun 1 mot-eksempel ekskluderer en hypotese/setning fra og være riktig. Man er altså 100 % sikker innenfor matematikk. Matematikk er forøvrig den eneste vitenskapen hvor man kan være 100 % sikker.

I naturvitenskapen har man også en høy sikkerhetsgrad imot hva man f.eks. har i samfunnsvitenskap, sosialvitenskap osv. Fysikk skiller seg ut med en svært høy grad av sikkerhet. En formel/setning postuleres, og dersom denne ved gjentatte eksperimenter bekreftes er man nesten helt sikker. I og med at nesten alle naturlovene i fysikk er matematiske formler osv., sier man at fysikk er en matematisk beskrivelse av naturen. Sikkerhetsgraden kan kanskje anslås til ca. 99 %, mot matematikkens 100 %

Arbeidsmetoden vil også være noe forskjellig. Matematikk er en vitenskap hvor man anvender papir og penn, mens i fysikken må man også gjennomføre laboratorieforsøk i tillegg til bruk av papir og penn.

Setninger og formler i fysikk er gjerne matematiske idealiseringer av naturen. F.eks. er de satt opp som om det man betrakter befinner seg i vakuum. Dette er selvsagt ikke det samme som at de er «feil» i virkeligheten/naturen. Man får bittesmå avvik ved f.eks. luftmotstand som ingeniørene også må ta hensyn til i sine modeller. For å si noe om hvor lite slike «feilkilder» kan være, tenkte jeg å ta for meg følgende eksempel: en pendel.

En planpendel er en kule med en tynn snor. Man har 2 varianter: En matematisk pendel der man regner snoren som masseløs, og en fysisk pendel der man medregner snorens masse. Noen vil kanskje innvende at en slik matematisk pendel ikke finnes. Strengt tatt finnes det jo ikke en masseløs snor. Det er igjen en matematisk idealisering. Men la oss si at snoren har en masse på 0,1 gram og kulen på 100 kg. Forskjellen i masse hos snor og kule vil være så stor at snoren kan neglisjeres.

Å14b

Dersom man setter opp formler for disse 2 pendlene, vil man få til resultat at perioden T blir noe forskjellig. Den blir T = 2π √(2l/3g) for fysisk pendel og T = 2π √(l/g) for matematisk pendel.

På figuren over er begge pendlene tegnet opp. Det er ikke slik at fysisk og matematisk pendel betraktes utifra hhv. fysikk eller matematikk. De tilhører begge fysikkfaget. I fysikk godtar man generelt noen mindre tilnærminger. I matematikken stiller man seg derimot skeptisk til selv den minste tilnærming. Der søker man eksakte svar og eksakt viten.

Ovenfor omtalte jeg «virkeligheten» og naturen som det samme. Fysikkfaget legger opp til at naturen selv skal svare gjennom forsøk for å bekrefte eller avkrefte en hypotese. Det finnes også andre tilnærminger til fysikken. Kanskje er de eksperimentene vi hittil har gjort bare en mindre avdekking av et mye større system – et aksiomsystem for fysikken. Det er heller ikke slik at all viten er kjent idag. Da nesten alt i fysikken kan beskrives matematisk vil jeg anta at det kanskje finnes en basis av aksiomer også for fysikken.

Man har også den klassiske konflikten om naturlovene er oppfunnet eller oppdaget. Jeg mener at de utelukkende er oppdaget, og aldri oppfunnet. Gravitasjonskreftene var selvsagt de samme både før og etter Newton satte navn på dem. Det spesielle her er at Newton var den første som klarte å gi en vitenskapelig forklaring på dette. 

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 50 – TRE ENKLE MATEMATISKE REKREASJONER

A) En katt og en hund veier tilsammen 27 kg. Dersom hunden veier dobbelt så mye som katten, hva veier hver av dem?

B) Uttrykk tallet 13 ved en multiplikasjon av to hele tall.

C) En trekant har sidene 17, 35 og 52 som vist på figuren.

Å14c

Hva er arealet av trekanten?

 

Her kommer løsningsforslag til desember-oppgaven:

OPPGAVE 49 – GEOMETRISK NØTT

Alle sider i kvadratet ABCD er 1 og vinklene ∠EDC  = ∠ECD = 15°

Å14

tan 15° = x / ½

x = ½  tan 15°

(1 – x)² + (½)² = y²

y² = (1 – ½  tan 15°)² + (½)²

y² = 1 – tan 15° + ¼ (tan 15°)² + ¼

y² = 1,25 – 0,25 = 1

y = ± 1 = 1

AE beregnes på akkurat samme måte som BE(y). Ergo er AE = BE = AB = 1 og trekanten er likesidet.

 

Neste artikkel kommer i februar. Hilsen erty56.

FRA KVANTISERT NATUR TIL RØNTGENSTRÅLING 31. august 2014

Posted by erty56 in Moderne Fysikk.
add a comment

Hei igjen!

Denne gangen omhandler innlegget den kvantiserte natur. Så skal vi vise en anvendelse – nemlig røntgenstråling. Kvantefysikken var et brudd med den klassiske fysikk. Mange fenomener man trodde var kontinuerlig viste seg å ikke være det. De hadde kun tillatte diskrete verdier/posisjoner. F. eks består lys av elektromagnetisk stråling med gammakvanter(fotoner). Dette er egentlig ikke en kontinuerlig stråle, men en rekke enkeltfotoner. Fotonet er forøvrig en masseløs partikkel. Hvordan kan så en masseløs partikkel ha energi? Vi har jo formelen E=mc². Svaret er at fotonet har en frekvens(f). Vi finner fotonets energi ved kvanteenergien E = h · f, der h er en konstant. Bohr satt opp 2 postulater for atomet:

Postulat 1
Et atom kan eksistere i mange forskjellige tilstander uten å sende ut energi. I hver tilstand har atomet en bestemt energi, En=1 , En=2 , En=3 , …..

Postulat 2
Et atom kan gå fra en tilstand med energien EN til en annen tilstand med lavere energi En. Ved overgangen blir energidifferansen sendt ut som et foton med kvanteenergien

E = EN En= hf

Atomet er altså kvantisert på den måten at kun bestemte, diskrete verdier er tillatt (altså n=1,2,3, …..). Energinivåer mellom f.eks. En=2 og En=3  eksisterer ikke. Illustrasjon over emisjon(atomet avgir energi) og eksitasjon(atomet mottar energi), der N>n :

Å9a

Her ser vi at alle tilstander over grunntilstanden En=1 er eksiterte tilstander, altså n>1. Eksitasjon skjer ved at et atom støter sammen med en annen partikkel eller ved absorpsjon av elektromagnetisk stråling.
Så skal vi se på en anvendelse – nemlig røntgenstråling. Her følger en skisse av et røntgenapparat:

Å9b

1. En glødekatode (K) sender ut elektroner som blir akselerert mot en anode (A) ved hjelp av en likespenning U.  (elektroner i blå farge)
2. Kinetisk energi, Ek, er omtrent 0 ved katoden. Ek øker fra K til A. Ved anoden er Ek=eU(elektrisk energi, der e er elementærladningen og U spenning)
3. Røntgenstråler sendes ut fra A og består av fotoner med høy kvanteenergi E=hf (fotoner angitt ved gamma i rød farge)
Her følger en skisse over hva som skjer på atomnivå ved røntgenstråling:

Å9c

Et elektron kolliderer med et atom i anoden, og atomet blir eksitert. Et elektron i anodeatomet blir løftet opp til et høyere energinivå. Atomet går straks tilbake til et lavere energinivå. Atomet sender ut et foton med energien ΔE = hf.  ΔE = E–  E1  for tegningen. Her ser vi altså en anvendelse av Bohrs postulater.

Så skal vi gå litt videre og flytte oss ut i verdensrommet. Det finnes en type romteleskoper(befinner seg i rommet) som kalles røntgen-teleskoper. Disse mottar røntgenstråling fra objekter ute i rommet til flere speil. Instrumenter lager så bilder av dette. Dette er svært nyttig da mange kosmiske begivenheter avgir enorme mengder røntgenstråling. Denne strålingen er så mye sterkere enn fra et «jordisk» røntgenapparat at det knapt blir sammenlignbart. Det kanskje mest kjente røntgenteleskopet heter Chandra.  Her er et bilde Chandra tok i januar 2008: 

Å9d

Til venstre sees 4 svære galakser med massive svarte hull i galaksenes sentrum(til høyre).

Her følger løsningsforslag av forrige måneds:

OPPGAVE 42 – ENKEL ARITMETIKK II

a = 3 + ¹/3 = 10/3

b = a + ¹/a = 10/3 + 1/10/3 = 10/3 + 3/10 = 109/30

 

Til slutt en ny mattenøtt:

OPPGAVE 43  – TO ENKLE OPPGAVER

A) I en klasse er det 27 elever. Det er 3 flere jenter enn gutter. Hvor mange gutter er det i klassen?

B) Hva er gjennomsnittet av tallene 1/2 , 2/3 og 3/4 ?

 

Neste innlegg kommer i september. Hilsen erty56.

GULL OG URAN KOMMER FRA UNIVERSET 27. juni 2014

Posted by erty56 in Moderne Fysikk.
add a comment

Hei igjen!

En stjerne går igjennom visse bestemte faser gjennom sin levetid. F.eks. er et svart hull en «død stjerne» som tiltrekker seg alt innenfor et bestemt område. Se:

https://realfagshjornet.wordpress.com/2012/06/22/hva-er-et-sort-hull/

For å se nærmere på stadiene, se:

http://realfag.vgb.no/2010/11/25/fra-stjerner-til-sorte-hull/index.html

Videre hadde jeg tenkt å si litt om hvorfor universet har den fordelingen av grunnstoffer som det har. Det finnes over 100 grunnstoffer. De to enkleste, Hydrogen og Helium, utgjør hhv. ca. 75% og ca. 25% av all materie. De øvrige over 100 grunnstoffene utgjør tilsammen under 1% av materien. En stjerne lever av fusjonsprosesser. Hydrogen fusjonerer til Helium i sentralområdet, gitt ved:

mars01

Så lenge det er nok Hydrogen i sentralområdet er stjernen i en stabil og sin lengste leveperiode. Hvor lenge perioden varer, avhenger av stjernens masse. Store stjerner har kortere levetid enn mindre stjerner. Når ca. 10% av stjernemassen har fusjonert fra Hydrogen til Helium er det for lite Hydrogen igjen i sentralområdet, til at H → He fusjonen kan fortsette. Sentralområdet inneholder nesten bare Helium. Derfor begynner Helium og fusjonere til Karbon. Stjernen er blitt en rød kjempe. Når temperaturen i sentralområdet er ca. 700 millioner Kelvin(nesten det samme som 700 millioner grader Celsius) begynner Karbon å fusjonere til tyngre grunnstoffer. Denne prosessen stopper først ved temperatur på ca. 5 milliarder Kelvin og fusjonsprosessen lager jern(Fe). Da er det ikke lenger mulig med flere vanlige fusjoner. Fusjonene har frigjort energi. Men skal det lages tyngre grunnstoffer enn Fe vil dette kreve energi. For å lese mer om kjernereaksjoner(både fusjon og fisjon) se:

https://realfagshjornet.wordpress.com/2013/03/29/fusjon-fremtidens-energikilde/

Gravitasjonen innen stjernen får overtaket, og stjernen eksploderer regelrett i løpet av sekunder. Stjernen er blitt en supernova og utstråler større effekt enn en hel galakse. Eksplosjonen frigjør store mengder såkallt gravitasjonsenergi. Denne energien gir mulighet for ytterligere kjernereaksjoner, og det dannes tyngre grunnstoffer som f.eks. gull og uran. Alle grunnstoffer tyngre enn jern er laget i supernovaer. Disse grunnstoffene sendes ut i universet, der de blander seg med gass og støv. Av dette kan det oppstå nye stjerner. Man antar at Solen er en slik andregenerasjonstjerne. Alt gull på jorden er altså laget i supernovaer før vårt solsystem ble til for ca. 5 milliarder år siden.

En supernova ender som en nøytronstjerne eller et sort hull. Det er likevekt mellom trykkrefter og gravitasjonskrefter i en nøytronstjerne. Men dersom restmassen etter en supernovaeksplosjon er stor nok er det ikke likevekt, og stjernen bryter sammen og blir et sort hull.

Vi har klart å lage fisjonsreaktorer og kjernevåpen ved fisjonsprinsippet. Men dette krever bruk av tunge grunnstoffer som det selvsagt er knapphet på. Man håper derfor å kunne lage fusjonsreaktorer. Da vil man ha tilgang til nærmest ubegrenset billig energi. Riktignok gir en enkel standard fusjon mindre frigjort energi enn en enkel standard fisjon. Men tilgangen og forekomsten av Hydrogen (og tungt Hydrogen, Helium osv.) er så mye større enn forekomsten av tunge grunnstoffer. Selv om vi ikke har klart å lage stabile fusjonsreaktorer ennå, vet vi jo at dette(fusjon) er mulig i teorien. Fusjon har jo foregått i millioner av år i stjerner. Noe av problemet er at temperaturen i stjernenes indre er svært høy. Foreløpig har man på eksperimentnivå fått fusjonsreaktorer å virke i ca. 1 sekund. Disse eksperimentene har gjerne en slags reaktor med plasma(stoff med svært høy temperatur), hvor plasmaet holdes på plass av sterke magneter.

Her kommer løsningsforslag av forrige måneds

OPPGAVE 40 – FUNKSJONSNØTT

Gitt  f(1) = 1  og  f(n) = n + f(n-1)  for alle naturlige tall n ≥2

A) f(6) = 6 + f(5) = 6 + ( 5 + f(4)) = 11 + ( 4 + f(3)) = 15 + ( 3 + f(2)) = 18 + ( 2 + f(1)) = 20 + 1 = 21

B) f(n) = ½ n (n+1) = ½ n² + ½ n

Dette er en annengradsfunksjon som generelt angis ved f(n) = An² + Bn + C

f(2)  = 2 + f(1) = 2 + 1 = 3

A 2² + B 2 + C  = 3

4A + 2B + C = 3

f(3) = 3 + f(2) = 3 + 3 = 6

A 3² + B 3 + C = 6

9A + 3B + C = 6

f(4) = 4 + f(3) = 4 + 6 = 10

A 4² + B 4 + C = 10

16A + 4B + C = 10

Vi får tre ligninger med tre ukjente:

4A + 2B + C = 3

9A + 3B + C = 6

16A + 4B + C = 10

 

C = 3 – 4A – 2B

9A + 3B + 3 – 4A – 2B = 6

5A + B = 3

B = 3 – 5A

16A + 4B + 3 – 4A – 2B = 10

12A + 2B = 7

12A + 2(3 – 5A) = 7

12A + 6 – 10A = 7

2A = 1

A = ½

B = 3 – 5A = 3 – 5 · ½ = ½

C = 3 – 4A – 2B = 3 – 4 · ½  –  2 · ½ = 0


f(n) = An² + Bn + C = ½ n² + ½ n + 0 = ½ n² + ½ n = ½ n (n+1)

 

Til slutt en ny mattenøtt:

OPPGAVE 41 – ENKEL GEOMETRI III

Gitt en stor sirkel som inneholder 5 mindre sirkler som vist på figuren under. Radius(tegnet i rødt) er r=3 for den store sirkelen og alle de 5 mindre sirklene er like(har samme radius). Fire av dem tangerer den store sirkelen.

Å7a

Hva blir arealet av det skraverte området?

 

Neste innlegg kommer i juli. God sommer til dere alle! Hilsen erty56.

HVOR GAMMELT ER UNIVERSET? 15. mai 2014

Posted by erty56 in Moderne Fysikk, Populærvitenskap generelt.
add a comment

Hei igjen!

Ifølge standardmodellen startet universet med big bang. Både tid og rom startet med dette. Her følger en skisse over visse faser universet har gått gjennom fra big bang til nå:

 

Astronomen Hubble oppdaget i 1929 at galaksene fjerner seg fra oss. Dette kunne uttrykkes ved formelen

v = H ⋅ r

der v er farten galaksene fjerner seg fra oss og r er avstanden. Dette kan generaliseres til at galaksene fjerner seg fra hverandre, der farten v er proporsjonal med avstanden r mellom galaksene. Galaksene er gjerne samlet i større galaksehoper. Det blir mer og mer tomt rom mellom galaksehopene, men hver galaksehop er stort sett i ro i forhold til sin lokale del av rommet. v er altså avstandsøkning pr. tid.

Verdien for konstanten H blir mer og mer nøyaktig bestemt:

1995: H = (20 ± 5) km/s per million l.y.
1998: H = (20 ± 3) km/s per million l.y.
2014: H = (21,7 ± 1) km/s per million l.y.

1 l.y. = 1 lysår = 9,46 ⋅ 10¹⁵ meter

Dersom man gjør en del forenklinger kan man finne et estimat for hvor gammelt universet er. For det første antar vi at universet har utvidet seg med konstant fart helt fra starten. For det andre betrakter vi tiden som fra big bang til nå. To fritt valgte galakser som fjerner seg fra hverandre med farten v har nå avstanden s = r

v=Hr_regning

Merknad: Universet har ikke utvidet seg med konstant fart hele tiden. Dessuten ser vi jo på figuren over at det ikke engang fantes galakser i starten. Så tiden for universets alder blir kun et slags anslag for hvor gammelt universet er.

Lenge var estimatet ca. 15 milliarder år vanlig for universets alder. Nå er ca. 13,7 milliarder år mer vanlig. Observasjoner av de eldste stjernene gir selvsagt et minimum for universets alder i praksis. Jeg har sett tall på dette i intervallet ca. 13 – ca. 15 milliarder år. Hva så med universets fremtid? Man har en kritisk tetthet ρₒ  Gitt universets tetthet ρ får vi følgende:

ρρₒ  ⇒  universet er lukket

ρ  = ρₒ ⇒  universet er flatt

ρ < ρₒ ⇒  universet er åpent

Illustrasjon:

univers_2

Merknad: Estimatet 0-2000 milliarder år er ikke 100% sikker viten

Målingene er nær ρₒ  Mange fysikere tror at  ρ = ρₒ  Dette er en oppfatning jeg deler. En artikkel i Scientific American hadde også et grafikk-bilde som resultat av omfattende data der ρ  = ρₒ var mest sannsynlig.

 

Her kommer løsningsforslag til april-oppgaven:

OPPGAVE 39 – ENKEL ALGEBRAISK GEOMETRI

A) Hvilken figur bestemmes av x² + y² = 1

Svar: x² + y² = 1  definerer en sirkel med sentrum i origo (0,0) og radius r=1 i xy-planet.

B) Hvilken figur bestemmes av x² + y² + z² = 1

Svar: x² + y² + z² = 1  definerer en kule med sentrum i origo(0,0,0) og radius r=1 i xyz-rommet. Med en slik kuleradius menes at enhver lengde fra origo(0,0,0) til et tilfeldig punkt (x,y,z) på kuleoverflaten er 1.

C) To plan skjærer hverandre/har fellespunkter. De er ikke sammenfallende(det samme planet). Hvilken figur bestemmes av snittet(alle skjæringspunkter) ?

Svar: To slike skjærende plan gir en rett linje som snitt.

D) Et plan «deler» en kule i 2 deler. Hvilken figur bestemmes av snittet(alle skjæringspunkter) mellom kulen og  planet ?

Svar: Snittet blir en sirkel uansett hvor planet «deler» kulen.

 

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 40 – FUNKSJONSNØTT

Gitt  f(1) = 1  og  f(n) = n + f(n-1)  for alle naturlige tall n ≥2

A) Finn  f(6)

B) Vis at  f(n) = ½ n (n+1)

 

Neste artikkel kommer i juni. Hilsen erty56.

Populære norske blogger

SPESIELL RELATIVITETSTEORI 27. februar 2014

Posted by erty56 in Moderne Fysikk.
1 comment so far

Hei igjen!

Idag tenkte jeg å gi en kort og enkel fremstilling av den spesielle relativitetsteori. Einstein fremsatte følgende postulater:

1. Fysikkens lover har samme form i alle treghetssystemer

2. Lysfarten i vakuum har samme verdi i alle treghetssystemer

Et treghetssystem er et referansesystem der treghetsloven gjelder, dvs. Newtons første lov. Alle treghetssystemer beveger seg med konstant fart i forhold til hverandre. Det er gitt et eksempel nedenfor med to treghetssystemer. Lysfarten er gitt ved c = 2,99792458 x 108 m/s. Man bruker gjerne tilnærmingen c = 3 x 108 m/s.

Eksempel med en bil med farten v og en person i ro utenfor:

Personen er i et treghetssystem A. Bilen er i et annet treghetssystem B, som beveger seg med farten v i forhold til A. Bilen har en liten maskin som sender ut lys fra gulvet til taket og dette reflekteres tilbake til gulvet. Avstanden mellom gulv og tak er h. Figur:

feb14

Treghetssystem B: Inne i bilen vil lyset gå strekningen h + h = 2h. Treghetssystem A: Personen vil imidlertid registrere strekningen s + s = 2s for lyset. Figur:

feb14b

Vi ønsker å utlede sammenhengen mellom tidene i de to treghetssystemene. Generell fartsformel gir:

t0 = 2h/c i bilen og t = 2s/c for personen. Pytagoras setning gir:

(½vt)² + h² = s²

(½vt)² + (½ct0 )² = (½ct)²

¼v²t² + ¼c²t0² = ¼c²t²

t² (¼v² –  ¼c²) =  – ¼c²t0²

t² = (¼c²t0² )/((¼c² – ¼v² )

t² = t0² / (1 – v²/c²)

t = t0 / √ (1 – v²/c²)

t = γ t0

Konklusjon: Når det går tiden t0 i bilen vil det gå tiden t for personen. Tiden t0 i treghetssystem B vil registreres som tiden t i treghetssystem A. En bil har uansett en hastighet som er såpass lav at t0 ≈ t (se grafbilde til lorentzfaktoren).

Lorentzfaktoren er nå utledet til γ = 1/√ (1 – v²/c²). Man får følgende grafbilde av denne med hastighet v på x-aksen:

feb14c

Man ser at lyshastigheten v=c danner en asymptote. Lyshastigheten kan altså ikke overskrides. (det blir en matematisk forbudt ting). Man ser videre:

γ = 1  ved v = 0

γ > 1  ved vε<0,c>

  lim     γ  =  ∞
v→c‾

Relativitetsteorien har bl.a. følgende ligninger:

Energi: E = γmc²

Bevegelsesmengde: p = γmv

For små hastigheter er γ≈1 ifølge grafen. Man ser altså at for små hastigheter blir derfor de relative ligningene det samme som de klassiske:

E = mc²

p = mv

De klassiske ligningene er altså spesialtilfeller av de relative. Man bruker gjerne klassiske ligninger når v < 0,1c. 0,1c er en såpass høy hastighet at man i praksis stort sett anvender de klassiske ligningene. I fysikk med svært høye hastigheter, f.eks. partikkel-akseleratorer må man imidlertid anvende de relative ligningene.

Her følger løsningsforslag av forrige måneds:

OPPGAVE 37 – LIGNING MED KVADRATROT

Løs ligningen √(x-2) = -3

Vi kvadrerer begge sider:

(√(x-2))² = (-3)²

x – 2 = 9

x = 9 + 2 = 11

x = 11  innsatt i √(x-2) = -3  gir VS ≠ HS

Konklusjon: L = Ø (finnes ingen løsning)

 

Vi avslutter med en ny mattenøtt:

OPPGAVE 38 – ENKEL FORHOLDSREGNING

En flaggstang A kaster en skygge på 6 m. og en flaggstang B som er 0,5 m. kaster en skygge på 0,3 m.

feb14d

 

Hvor lang er flaggstangen A? (Tegningen er bare en skisse).

Neste artikkel kommer i mars. Hilsen erty56.

FINNES DET ALIENS? – SANNSYNLIGVIS! 26. september 2013

Posted by erty56 in Moderne Fysikk.
add a comment
Hei igjen!
 
Inntil starten av 1990-tallet hevdet mange at vi aldri ville oppdage planeter utenfor vårt solsystem. Noen hevdet t.o.m. at det ikke engang fantes planeter utenfor vårt solsystem. Så fant vi omkring denne tiden noen få planeter utenfor vårt solsystem, og flere oppdagelser skulle komme. Mange av planetene er ikke sett fysisk med teleskop, men vi vet at de er der ved å studere området omkring. Flere fenomener i astronomien måles og oppdages slik. Man kan ved f.eks. avbøyning av lys konkludere med at noe avbøyer lyset og kanskje også hvilken type himmellegeme som gjør dette.
Jeg leste på VGNett i forrige uke at man skal ha funnet primitivt liv(biologiske organismer) fra verdensrommet. Forskerne sendte en ballong 27 km inn i stratosfæren, og da den kom tilbake var det små biologiske organismer festet på ballongen. Forskerne mener disse bare kan ha sin opprinnelse fra verdensrommet. Jeg mener imidlertid at dette funnet ikke er sikkert, selv om det kan være det.
Melkeveien er vår egen galakse, og en av utallige i hele universet. Det finnes en ligning som viser hvor mange sivilisasjoner i melkeveien vi kan komme i kontakt med. Denne kalles Drakes ligning og lyder:

N = R x F
p x Ne x Fl x Fi x Fc x L
 
R = Antallet sollignende stjerner som hvert år dannes i Melkeveien
F
p = Brøkdelen av disse stjernene som det kretser en eller flere planeter rundt
N
e = Antall jordlignende planeter i et typisk solsystem
F
l = Brøkdelen av jordlignende planeter som det oppstår liv på
F
i = Brøkdelen av planeter med liv der det oppstår en sivilisasjon
F
c = Brøkdelen av sivilisasjoner som kan kommunisere med oss
L = Antatt normal levetid for en høyteknologisk kommunikativ sivilisasjon
 
Drakes ligning er en teoretisk ligning, ikke en vanlig hypotese som er bekreftet ved forsøk. Man har et teoretisk intervall for hver av størrelsene R, …. , L. Dette er:
 
R [0 , 20]
F
p [0,0001% , 100%]
N
e [0,33 , 5]
F
l [0,0001% , 100%]
F
i [0,0001% , 100%]
F
c [0,0001% , 100%]
L [10 år, 1.000.000 år]
 
Det finnes en rekke innvendinger mot Drakes ligning. Jeg tar her for meg to av dem: For det første er nok intervallet [0,33 , 5] for Ne noe optimistisk fordi antall jord-lignende planeter sannsynligvis er noe sjeldent forekommende. For det andre gir det liten mening å operere med Fc.
At vi ikke har oppnådd kontakt med andre sivilisasjoner i rommet er ikke et bevis for at slike ikke finnes. Eller for å presisere dette: Siden vi ikke har oppnådd kontakt i vårt nære rom følger det av dette at her finnes ikke sivilisasjoner andre enn vår. Men vårt nære rom er bare en ørliten del av et enormt univers. Vårt solsystem er et av svært mange i vår galakse Melkeveien. Som igjen er en av milliarder av galakser. Avstandene i rommet er altså så enorme at kontakt mellom eventuelle sivilisasjoner blir vanskelig eller umulig. F.eks. kan to høyt utviklede sivilisasjoner med varighet på 100.000 år leve samtidig på hver sin kant av universet uten noen mulighet for kontakt noengang.
Skulle vi gjøre reiser for å finne andre bebodde planeter måtte man reise svært mye raskere enn lysets hastighet. Relativitetsteorien sier imidlertid at dette ikke er mulig.  Uansett er slike romreiser umulig med dagens teknologi. Våre romraketter har en fart under 1% av lysets hastighet.
Vi vil derfor gjøre en liten endring i Drakes ligning. Vi setter Fc = 0 både fordi den idag er 0 for vårt nære rom og fordi den i praksis vil være 0 grunnet rommets enorme avstander (strengt tatt svært ofte, om ikke alltid). Man fjerner ikke Fc  ved å sette 0 inn i ligningen N. Vi fjerner Fc ved å utføre divisjonen
Nreell =  N / Fc = R x Fp x Ne x Fl x Fi x L
Når vi har fjernet Fc  får vi en ligning for antall sivilisasjoner, og ikke de vi kan komme i kontakt med som N egentlig sier. Teoretisk varierer Nreell mellom 0 og 100 millioner. Men siden vi finnes vet vi at den er minst 1. Den varierer altså i praksis mellom 1 og 100 millioner. Jeg har regnet ut 19 teoretiske verdier for Nreell for å få god bredde i resultatene. Disse Nreell varierer imidlertid så mye seg imellom at det gir liten mening å snakke om noen gjennomsnittsverdi. Flere er nesten 0 og mange er igjen svært høye. Derfor grupperer jeg heller svarene i 6 intervaller og lager en grafisk fremstilling. Intervallene angis på førsteaksen, ofte angitt ved intervallets nedre grense. Absolutt hyppighet angis på annenaksen, dvs. x antall av de 19 verdiene for Nreell  
 grafa
Utifra grafen kan man regne ut at sannsynlighetene for
0 sivilisasjoner er ca. 42,1 % (av 8/19)
1 sivilisasjon er ca. 5,3 % (av 1/19)
flere sivilisasjoner er ca. 52,6 % (av (1+3+2+4)/19=10/19)
Vi ser av dette at det er (ca. 42,1 % + ca. 5,3 % =) ca. 47,4 % sannsynlighet for at vår sivilisasjon er den eneste i melkeveien, mens det er ca. 52,6 % sannsynlighet for at vi ikke er alene.
Jorden er spesielt gunstig for liv. Slike typer planeter som jorden inkludert dens omgivelser kan nok være sjeldent forekommende. Dette taler for få sivilisasjoner, eller i sin ytterste konsekvens ingen flere enn vår. Det har seg slik at primitivt liv oppstår mye lettere enn intelligent liv som mennesker. En følge av dette blir at antall planeter med primitivt liv (alt fra encellede alger til små dyr) nok er mye høyere enn antall planeter med intelligent liv. Astrobiologien sier ihvertfall at sannsynligheten for at det skal oppstå primitivt liv på en planet er mye høyere enn sannsynlighet for mer avanserte livsformer. Vi kan moderere Drakes ligning for å finne antall planeter med primitive livsformer. Vi tar ut Fi , Fc og setter L = Lmaks , og får en ligning for planeter med primitivt liv:
Npl = R x Fp x Ne x Fl x Lmaks
Jeg har også denne gangen regnet ut 19 verdier for Npl på samme måte som jeg regnet ut 19 verdier for Nreell . Her blir det også mest hensiktsmessig å lage grupper og gi grafisk fremstilling. (Også her intervallene på førsteaksen og absolutt hyppighet på annenaksen) 
 grafb
Her blir sannsynlighetene
ca. 21,1 % for ikke noe liv på noen planeter (av 4/19)
ca. 5,3 % for liv på noen få planeter (av 1/19)
ca. 73,7 % for liv på mange til svært mange planeter (av (2+2+2+8)/19=14/19)
Ikke overraskende større sannsynlighet for primitivt liv enn for intelligent liv! Disse resultatene bekrefter også antagelsene vi gjorde ovenfor.
Merknad: Ne er for jord-lignende planeter. Svært primitivt liv kan oppstå på planeter og andre himmellegemer mindre gunstig for liv enn jorden. En korrigert Ne for Npl ville imidlertid ikke gitt vesentlig forskjellige resultater enn de grafen over viser. Ne er dessuten antagelig ikke for optimistisk i dette tilfellet som den nok er for intelligent liv.
Hittil har vi bare betraktet vår egen galakse melkeveien. Nå ønsker vi å utvide betraktningen til hele universet. Nreell er for vår galakse melkeveien. Vi setter opp
Nu = A x Nreell = A x (R x Fp x Ne x Fl x Fi x L)
der A er antall galakser av samme type som melkeveien. Denne Nu vil gjelde større deler av universet enn bare vår egen galakse (Nreell gjelder for melkeveien. Vi kan derfor muligens ikke anvende den på helt andre typer galakser). Da A er svært stor blir Nu >> Nreell  Liv og sivilisasjoner er altså mer utbredt for større deler av universet enn bare melkeveien.
Det kan også tenkes at vi aldri har fått kontakt med andre sivilisasjoner skyldes at mer høytstående sivilisasjoner ikke vil ha noe med oss på jorden å gjøre. Bare tenk på krig, fattigdom, forurensing og kriminalitet. En svært høytstående sivilisasjon uten slikt ville kanskje betrakte jorden som et slags virus de ønsker seg fullstendig isolert fra. Jeg ønsker ikke med dette å oppmuntre om alle slags merkelige konspirasjonsteorier, men det er en liten teoretisk mulighet for dette.
Avslutningsvis vil jeg gjenta at Drakes ligning (og de modererte utgavene jeg har laget) er en teoretisk ligning, og ikke en bekreftet hypotese. Anslagene og resultatene i dette innlegget er altså ingen 100% sikker viten. Men jeg mener dog de sier ganske mye om hva vi kan anta for eksistens av utenomjordisk liv.
 
OPPGAVE 29 – FINN BRØKEN
Gitt en brøk der differensen mellom nevner og teller er 16. Brøken er større enn 5/9 og mindre enn 4/7. Finn brøken.

Neste artikkel kommer i oktober. Hilsen erty56

HUBBLE – BILDER UT I TID OG ROM 29. april 2013

Posted by erty56 in Moderne Fysikk.
add a comment

Hei igjen!

Når jeg ser gjennom innleggene mine, så føler jeg nok at Hubble-teleskopet fortjener en plass i bloggen. Særlig når man tar i betraktning at dette hittil kraftigste teleskopet har gitt oss bilder man tidligere bare kunne drømme om. Hubble har ikke bare gitt oss mye nytt materiale, det har sett så langt at selve Big Bang-teorien har blitt satt på prøve. Et vanlig estimat for universets alder er 13,7 milliarder år. Når Hubble tar bilder 13 milliarder lysår unna, tar det egentlig bilde av universet slik det så ut for 13 milliarder år siden. Hubble har sett langt tilbake, og det fine er at disse bildene har styrket teorier vi gjerne vil ha bekreftet. Her følger et bilde Hubble tok ca. drøyt 13 milliarder lysår unna – eller slik det så ut for ca. drøyt 13 milliarder år siden:

juni1
Man kan se at i det relativt unge univers er det dannet former for stjerner og galakser. Ved å forsøke å se enda lenger tilbake, har bildene blitt gradvis mørkere. Dette styrker Big Bang-teorien, da denne sier at universet utviklet seg fra en singularitet til gradvis større himmellegemer. Først en slags “ursuppe”, så atomer, så stjerner, så galakser, så galakser i mer moderne forstand. Det bør i denne sammenheng nevnes at Big Bang-teorien er styrket av mange tidligere eksperimenter og observasjoner. Det unike med Hubble-teleskopet er at vi har sett så langt tilbake i tid. Her følger skisse av tiden fra Big Bang til nå:

juni2

Denne figuren er svært forenklet og viser universets faser. Estimatet 13,7 milliarder år er mest vanlig, men ingen sikker viten. Det er en rekke momenter og observasjoner som gjør at jeg mistenker at det er eldre, eller ihvertfall at det kan være eldre. Ifølge en artikkel i vitenskapsbladet Scientific American er det gjort observasjoner i melkeveisystemet som man mener er 15 milliarder år gamle. Dette er bare et eksempel av flere. Melkeveien er forøvrig vår egen galakse, der vårt solsystem befinner seg i den ytre delen av systemet. Melkeveien er igjen bare en av universets utallige galakser. Bildet som viser vårt unge univers for 13 milliarder år siden gjør meg også noe skeptisk. Skulle et så komplekst univers med disse galaksene osv. oppstått så fort? Og attpåtil vært gjennom flere faser først. Det finnes dessuten også teorier som sier at universet er eldre enn standard-estimatet på 13,7 milliarder år. Det var lenge vanlig i mye engelskspråklig litteratur å anta ca. 15 milliarder år, men det er ikke fullt like vanlig lenger. Vet dette 100% sikkert gjør jeg uansett ikke.

Hva er så egentlig en teori? I fysikken formulerer man hypoteser. Dersom disse bekreftes ved (helst gjentatte) forsøk, målinger og eksperimenter “vedtas” de som lover. Her finner man et lite skille mellom fysikk og matematikk. Matematikken har en basis av lover som kalles aksiomer. I tillegg kommer formler, prinsipper osv. Dersom man kan føre et bevis for at en matematisk regel alltid og unntatt alle tenkelige unntak er korrekt, er denne 100% sikker. Omvendt vil kun et eneste moteksempel forkaste en teori selv om den skulle være aldri så brukbar ellers. I fysikken er vi bare nesten 100% sikker når hypotesen bekreftes. Tilsvarende matematikkens aksiomer har vi visse postulater i fysikken. Nesten 100% sikker overgår forøvrig sikkerheten i annen naturvitenskap og ligger svært mye høyere enn f.eks. i samfunnsvitenskapen.

 

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 26 – TOGETS HASTIGHET

Bruker relativ betraktning der jeg kaller det ene togets hastighet v1 og det andres hastighet v2

Først kjører de forbi hverandre (i motsatte retninger):

v1 + v2 = (350 m + 450 m) / 8 s = 800 m/8s = 100 m/s

v2 = 100 m/s – v1

Så kjører det ene forbi det andre (begge i samme retning):

v1 – v2 = (350 m + 450 m)/ 16 s = 800 m/16 s = 50 m/s

v1 – (100 m/s – v1 ) = 50 m/s

2 v1 = 150 m/s

v1 = 75 m/s

v2 = 100 m/s – v1 = 100 m/s – 75 m/s = 25 m/s

Det som kjører saktest har hastigheten 25 m/s

 

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 27 – PROSENT-NØTT

Gitt fire tall N1, N2, N3 og N4. N2 er 25 % større enn N1. N3 er 20 % større enn N2. N4 er x % mindre enn N3. For hvilken verdi av x er N1 = N4 ?

Neste artikkel kommer i mai. Hilsen erty56.

FUSJON – FREMTIDENS ENERGIKILDE 29. mars 2013

Posted by erty56 in Moderne Fysikk.
add a comment

Hei igjen!

Man kan fremskaffe energi både ved fusjon og fisjon. Dagens kjernekraftverk og kjernefysiske bomber baserer seg på fisjonsprinsippet. I solen foregår fusjon ved omdanning av hydrogen til helium, og dette gir langt mer energi enn ved jordisk fisjon. Man har ikke klart å lage fusjonsreaktorer ennå. Man har ved eksperiment prøvd å etterligne forholdene i solen og fått dette til å virke i ca. 1 sekund. Dette er altså på eksperimentstadiet ennå, men en gang i fremtiden kan vi få store mengder billig energi når man først får dette til. Jeg leste på vg.no idag at man jobber med raketter drevet av fusjonsenergi der man regner med å ha dette klart til 2030. Årstallet kan kanskje være et ca. mål på hvor raskt vi kan skaffe oss denne teknologien.

Så tenkte jeg å si litt generelt om både fisjon og fusjon:

Fisjon er spalting av en tung atomkjerne til to lette kjerner. De kjernefysiske reaksjonene for typisk fisjon er f.eks. uranfisjonen:

mars04

mars02

Fusjon foregår ved at to lette kjerner går sammen til en tyngre. Reaksjonen i Solen foregår ved hydrogen til helium:

 mars01

Et nukleon er en kjernepartikkel, dvs. et proton eller nøytron. Et nukleon har faktisk mindre masse når det er bundet i en atomkjerne enn når det er fritt. Her følger en grafisk fremstilling av masse/nukleon som funksjon av nukleontallet A:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ved kjernereaksjoner blir det frigjort energi. Man ser at «spranget» er større ved fusjon enn fisjon. Jern(Fe-56) er et meget stabilt grunnstoff og befinner seg derfor nær bunnpunktet på grafen. Ved kjernereaksjoner er (den elektriske) ladningen, nukleontallet og totalenergi bevart. I de to reaksjonene ovenfor er ladningen nedre indeks og nukleontallet øvre indeks. Totalenergien er gitt ved

E = E0 + Ek + Eγ

Energibevaring gir

Efør = Eetter

E0,før + Ekfør + Eγ,før = E0,etter + Eketter + Eγ,etter

E0,før – E0,etter = (Eketter -Ekfør ) + (Eγ,etter – Eγ,før )

Her er høyre side frigjort kjerneenergi ved kinetisk energi(Ek) og strålingsenergi(Eγ). Vi kan derfor bruke venstre side til å definere:
Frigjort kjerneenergi ved reaksjoner er gitt ved:

ΔEfrigjort = – ΔE0 = E0,før E0,etter= (mfør  – metter )

ved både fisjon og fusjon (massene mfør  og  metter er nuklidemasser)


Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 26 – TOGETS HASTIGHET

Et tog på 350 meter og et annet tog på 450 meter bruker 8 sekunder på å passere hverandre når de kjører i motsatt retning. Når de kjører i samme retning passerer det ene toget det andre i løpet av 16 sekunder. Finn hastigheten til toget som kjører saktest. (de kjører på to parallelle spor i begge tilfeller)


Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 25 – ET ENKELT TALL

1² = 1
1
n = 1 for alle n
1/1 = 1
1 = 1

Tallet er altså 1.

Neste artikkel kommer i april. Hilsen erty56.

VIL KOMETER UTRYDDE MENNESKEHETEN? 27. februar 2013

Posted by erty56 in Moderne Fysikk.
1 comment so far

Hei igjen!

Etter nedfallet over Ural-området i Russland med flere tusen skadde nå nylig, tenkte jeg å si litt om kosmiske farer for menneskeheten. Det har alltid vært stor frykt for at kosmiske hendelser vil tilintetgjøre menneskeheten. Og de mer «nære» ting som klimakrise, miljø-ødeleggelser, krig med risiko for bruk av atomvåpen osv. Jeg lar de mer «nære» ting ligge, og holder meg til kosmiske fenomener.

Frykten for at kometer eller andre himmellegemer skal treffe jorden har alltid vært stor opp gjennom tidene. Dette er hovedsaklig ubegrunnet – men ikke helt. Kometer består av en kjerne med sten og metall omkranset av is. Når kometen nærmer seg solen blir den synlig ved at solen smelter av noe av isen, og dette gir en «komethale», som er en sky av is og damp i retning ut fra solen. Man antar at asteroider er kometer der isen er fordampet. Kometers baner er enten elliptiske eller parabolske. De parabolske forsvinner ut i det ytre rom og sees aldri igjen. De elliptiske vender tilbake igjen etter noe tid. Her følger en skisse over kometers baner:

feb01

Halleys komet følger en ellipseformet bane som gjør den synlig ca. hvert 76. år her på jorden. Forrige gang var 1986. Bilde av Halleys komet fra 1986:

feb02

Sannsynligheten for at en komet eller lignende himmellegeme skal treffe jorden er mikroskopisk liten. Dessverre befinner det seg svært mange slike himmellegemer i rommet. En teori sier at dermed vil et slikt himmellegeme treffe jorden hvert 26. millioner år. Det har gått 11 millioner år siden forrige nedslag, og det skapte en massedød. Dermed skulle vi statistisk sett være trygge i 15 millioner år til. Det finnes ikke noe 100% sikkert varslingssystem for slike nedslag idag, men vi får bedre og bedre kontroll med vårt nære – og ytre – rom. Det har blitt lansert mange ideer for å stanse himmellegemer med kurs for jorden. Bl.a. skyte en armert rakett, evt. med atomvåpen, mot et slikt legeme. Problemet med denne løsningen er at små eller større biter av legemet kan falle ned på jorden og allikevel skape stor skade. I tillegg vil bitene utgjøre strålingsfare. En annen ide er å skyte en rakett som skal feste seg til kometen og ved hjelp av rakettmotor endre kometens bane, slik at den ikke lenger er på kollisjonskurs med jorden. Dette er nok en løsning som vil virke – hvis man først kan klare dette. Det sier seg selv at en slik operasjon vil kreve uhyre presisjon. På den annen side har jo eksperimenter med dette såkalte amerikanske rakettskjoldet faktisk vært vellykkede. Å treffe en rakett med en annen rakett over så store avstander er ikke helt det samme, men noe som kanskje ligner litt – og igjen krever uhyre presisjon.

Solen er som kjent nødvendig for livet på jorden. Solen er en stjerne, og enhver stjerne går gjennom bestemte stadier. Vår sol er omtrent 5 milliarder år og ca. halvveis i sin levetid. Den “slukker” altså om ca. 5 milliarder år. I sluttfasen av sin levetid vil solen bli en rød kjempe og svelle ut til en størrelse omtrent 1 million ganger større enn idag. De innerste planetene i solsystemet vil bli slukt av solen og solen vil synes på omtrent hele himmelen og jorden koke av ild og lava. Så blir det helt dødt og solen ender som en hvit dverg. Til slutt slukner solen helt. Illustrasjon over sluttfasen, der jorden blir ødelagt:

feb03

Om ca. 2 milliarder år vil vår galakse melkeveien og nabogalaksen Andromeda danne et gigantisk 2-legeme system som kretser om hverandre, og etter lang tid krasje i hverandre ved at de dras gjennom hverandre. En slik kollaps vil selvsagt destruere alt liv som måtte være der. Resultatet av sammenstøtet kan bli en ny, ellipseformet galakse.

Ødeleggelse av jorden og hele vår galakse melkeveien kan kanskje virke skremmende. Men husk at dette vil skje milliarder av år frem i tid. Idag er solen derimot helt nødvendig for livet her på jorden.

Faren for et big crunch kan vi imidlertid avblåse. Et lukket univers sier at rommet vil trekke seg sammen tilbake til en singularitet, slik det var før big bang. Forskning viser derimot at universet (høyst sannsynlig) er flatt, dvs. at utvidelsen fortsetter, men etterhvert blir mindre. Det blir altså ingen big crunch. Med utvidelse menes at galaksene fjerner seg fra hverandre. Estimert tid mellom big bang og et evt. big crunch vil være ca. 2000 milliarder år. Så selv om 2-5 milliarder år er lang tid i menneskelig forstand, er det mer kort i kosmisk forstand.

Dersom menneskeheten skal overleve på svært lang sikt, må vi altså forlate jorden og kolonisere andre planeter. Det bør i denne sammenheng understrekes at planeter som har så gunstige betingelser for liv som vår planet jorden har, kan være noe sjeldent forekommende.

Her kommer løsningen av forrige måneds:

OPPGAVE 24 – SIRKLER

feb04
Man kan sette opp 2 ligninger av figuren. Først ser vi at

x + r + r = 8       (blå r)

x + 2r = 8

x = 8 – 2r

Og ved pytagoras setning

r² + r² = (x + r)²

2 r² = (8 – 2r + r)²

2r² = (8 – r)²

2r² = 64 – 16 r + r²

r² + 16 r – 64 = 0

[(r + 8)²] = √ [64 + 8²]

r + 8 = +/- √ [128]

r = +/- 8 √[2] – 8 = 8 √[2] – 8

 

Her kommer en ny mattenøtt:


OPPGAVE 25 – ET ENKELT TALL

Hvilket tall har samtlige av følgende egenskaper:

– Tallet blir lik seg selv om man kvadrerer det
– Tallet blir lik seg selv om man opphøyer det i hvilken som helst potens n.
– Dersom man deler tallet på seg selv gir divisjonen tallet
– Dersom man trekker ut kvadratroten av tallet, fremkommer tallet nok engang

 

Neste artikkel kommer i mars. Hilsen erty56.

GRAVITASJON OG BEVEGELSER I SOLSYSTEMET 28. januar 2013

Posted by erty56 in Moderne Fysikk.
add a comment

Hei igjen!

Dagens artikkel omhandler bl.a. gravitasjon mellom jorden og satellitter og hvordan en satellitt kan unnslippe jordens gravitasjonsfelt. Til slutt kommer løsningsforslag til forrige måneds  NYTTÅRSQUIZ – NOEN SMÅ ARTIGE OPPGAVER.

Alle planeter og andre himmellegemer har et gravitasjonsfelt rundt seg. Disse går inn i hverandre og skaper et slags gravitasjonsfelt i hele universet. Feltet rundt en planet er sterkest i sentrum av planeten og avtar gradvis mot overflaten og enda mer utover i rommet. Det finnes en matematisk ligning som angir gravitasjonsfeltets styrke g.

Newtons gravitasjonslov angir tiltrekningen/gravitasjonen F mellom to vilkårlige himmellegemer m1 og m2 gitt ved

F = γ  m1m2 /

Et vilkårlig himmellegeme m1 (eller ethvert vilkårlig legeme m1 ) har tyngdekraften

G = m1 g

Her følger illustrasjon over 2 himmellegemer  m1 og m2 , radius r mellom dem i blått(regnes mellom sentrene) og feltstyrken g til m2 angitt i rødt:

gravfigur2

Vi finner feltets styrke g ved

F = G

γ m1 m2 /   = m1 g

g = γ m2 /

Denne g angir altså feltstyrken rundt himmellegeme m2. Feltstyrken g er en akselerasjon, kalt tyngdens akselerasjon. g varierer i størrelse forskjellige steder i rommet. Den er ca. 9,81 m/s² på jorden og ca. 1,62 m/s² på månen. I det ytre rom er g svært lav og vi får tilstanden vi kaller vektløs. Jo høyere g er på en planets overflate, jo raskere vil ting falle mot bakken.

Vi kan f.eks. betrakte jorden som m2 og en satellitt i bane rundt jorden som m1. Man kan finne sirklingsfarten v til satellitter  m1 rundt jorden m2  ved hjelp av Newtons gravitasjonslov. En satellitt m1  som kretser rundt jorden m2  har kraften

Fs m1 /r    (dette gjelder også for ethvert legeme m1 i sirkelbevegelse)

Ved å sette F = Fs kan man finne sirklingsfarten v

F = Fs

γ m1  m2 = m1  /r

v = √ [γ m2 /r]

Sirklingsfarten v er konstant. Satellitten vil gå i banen med konstant fart av seg selv. Dette krever altså intet brensel. Dette gjelder også generelt for satellitter, måner og andre himmellegemer  m1 som kretser rundt et himmellegeme m2 hvor som helst i universet. Forutsetningen er at det gjelder en sirkelbane som anmerket ovenfor. Vi ser også av formelen at farten v er uavhengig av satellittens masse m1 . For å komme ut av jorden m2 sitt gravitasjonsfelt, altså ut i rommet fra parkeringsbanen, må farten økes til noe vi kaller unnslippingsfarten V. Ved energibetraktninger kan man finne unnslippingsfarten gitt ved

V = √ [2 γ m2/r]

Solen utgjør svært mye av vårt solsystems totale masse. Solens gravitasjonsfelt er sterkere enn planetenes gravitasjonsfelter. En satellitt som skal ut av selve solsystemet må unnslippe solens gravitasjonsfelt. Dette krever en mye høyere unnslippingsfart V for satellitten enn ved planetene.

Her følger illustrasjon over det vi har gjennomgått med parkerings- og unnslippingsbane:

gravfigur

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds nyttårsquiz:

OPPGAVE 21 – LEGEMER I FRITT FALL

I vakuum(ignorerer luftmotstand) faller alle legemer like fort fra samme høyde h. Man kan sette opp et regnestykke med energibevaring og får farten

v = √[2gh]

Man ser at uttrykket ikke inneholder masse. Massen kan altså neglisjeres. Begge legemene har masse, men forskjellig. Boken på 1 kg. treffer samtidig som stenen på 5 kg. Svaret er C

OPPGAVE 22 – NY GEOMETRISK NØTT

losningnott

Radius r er tegnet i blått. Grønn strek er 4-r da hele lengden er 4 og r er trukket fra. Gul strek er eksakt halve siden, altså 2. Ved hjelp av pytagoras setning er

 + (4 – r)² = r²         

4 + 16 – 8r +  =

8r = 20

r = 5/2

Svaret er B.

OPPGAVE 23 – DRIVIS OG HAVNIVÅET

Det er en direkte følge av Arkimedes lov at havnivået forblir uendret. Drivis fortrenger like mye volum i havet som det vil utgjøre smeltet. Jeg er ingen klimaekspert, men jeg kan si såpass: Det går et viktig skille mellom drivis og is som smelter fra kontinenter som f.eks. Grønland og Sydpolen. Smeltet is fra kontinenter kan gå ut i verdenshavet og gi en uønsket heving av havnivået. Svaret er B.

Her følger en ny mattenøtt:

OPPGAVE 24 – SIRKLER

En kvart sirkel er tegnet i svart. Den har radius r=8. Den har videre en innskrevet sirkel i blått.

sirkel

Hva er den innskrevne sirkelens radius (blå r)?
Man finner ikke svaret ved å måle på tegningen. Det er bare en hjelpefigur.

Neste artikkel kommer i februar. Selvsagt også med svar på OPPGAVE 24. Dersom noen har ideer til tema, spørsmål knyttet til bloggens tema eller andre synspunkter er det bare å legge inn en kommentar. Hilsen erty56.

EINSTEINS BERØMTE FORMEL E=MC^2 28. september 2012

Posted by erty56 in Moderne Fysikk.
add a comment

Hei igjen!

Vi bruker energi på jorden til strøm i hjemmet og til å kjøre bil osv. Svære prosesser i universet bruker også store mengder energi. Allikevel er all energimengde i verden til enhver tid konstant. Ved energiforbruk synker riktignok energikvaliteten, men mengden er den samme til enhver tid. Masse er forøvrig også en universell størrelse. Dvs. at massen av et legeme er den samme uavhengig av hvor i rommet den befinner seg. Et legeme på 1 kg. på jorden er også 1 kg. på f.eks. månen. Vekten(tyngden G) er imidlertid forskjellig. Den vil være G=mgjord=1 kg. x 9,81 m/s2 = 9,81 N på jorden, og G=mgmåne=1 kg. x 1,62 m/s2 = 1,62 N på månen. Energiens konstans har sammenheng med massens konstans gitt ved Einsteins berømte formel

E = mc2

E er energi, m er masse og c er lysets hastighet i vakuum. c=2,99792458 x 108 m/s. Vi bruker tilnærmingen c = 3 x 108 m/s videre. Formelen sier altså at all masse har energi og at all energi har masse. Man skiller mellom totalenergi E og hvileenergi E0 gitt ved

E = E0 + Ek + Eγ

E0 er energien for et legeme i ro, Ek er bevegelsesenergi (kinetisk energi) og Eγ er strålingsenergi. Vi kan fremstille forholdet mellom massen m og hastigheten v grafisk, der m0 er hvilemassen, dvs. massen til et legeme i ro (v=0 m/s)

Ved å multiplisere massen med c2 får man en lignende graf med energien på y-aksen, altså:

Lysets hastighet v=c danner en asymptote. Dvs. at grafen vil nærme seg asymptoten når v nærmer seg c. Dette illustrerer en gammel regel: Lysets hastighet kan ikke overskrides. Matematisk er en asymptote en verdi grafen nærmer seg i det uendelig fjerne. Vanligvis krysser ikke en matematisk graf en asymptote, men noen ytterst få grafer gjør faktisk det. Det er imidlertid umulig for disse to grafene å krysse asymptoten matematisk sett.

I utgangspunktet er altså ingen hastighet v>c mulig. Forsøk ved Cern har imidlertid målt partikler med hastighet v>c. Men dette må selvsagt nøye etterprøves for å få verifisert dette. Dersom v kan være større enn c, må altså noe av fysikken revideres. Dette betyr ikke det samme som at hele relativitetsteorien er feil. Den er bekreftet gjentatte ganger ved forsøk, målinger og observasjoner. På Einsteins tid kunne man bare bekrefte «enkle» sider av teorien, men mer avansert elektronikk har senere kunnet studere den mer grundig. Og relativitetsteorien har bestått enhver prøve, inntil dette nye partikkelforsøket med v>c. F.eks. var det mange som tvilte på eksistensen av sorte hull til man fikk bekreftet at de eksisterer.

I newtonsk mekanikk antok man at universet var statisk. Man trodde på ideen om absolutt tid og rom. Nå vet vi at mekanikken og annen klassisk fysikk er spesialtilfeller av relative ligninger for «vanlige» hastigheter. Det er kun i spesielle tilfeller i partikkelfysikk, astronomi osv. med svært høye hastigheter vi må bruke relative ligninger. Klassisk fysikk er fortsatt fullt brukbart og feilfritt i de fleste tilfeller, og Newton er fortsatt et av verdenshistoriens største genier.

Relativitetsteorien ga også en ytterligere forståelse av dette med gravitasjon ved at rommet er krumt. Vi skal ikke gå nøyere inn på dette da det blir noe vel tungt matematisk, men jeg kan si litt: Rommet beskrives der tiden også er en dimensjon. Man har altså et 4-dimensjonalt rom med 3 romlige koordinater x, y og z og tiden t som er jevnbyrdig koordinat med de romlige. Avstanden mellom to foreteelser er gitt ved ds der

Denne formelen krever at man går utover det reelle tallsystemet og til det komplekse for å regne på dette. De reelle tallene er de vanlige tallene der kvadratroten av negative tall ikke eksisterer. De komplekse tallene er gitt på formen

z = a + ib

der a og b er reelle tall og i er kvadratroten av -1.

ds er heller ikke en vanlig strekning s, men et differensial.


Her kommer løsningsforslag av forrige måneds:

OPPGAVE 17 – ENKEL SANNSYNLIGHETSREGNING

Vi tegner en hjelpefigur over begge saker der 40 (nei til begge saker) er overlappende. I(nytt rådhus) består av 375 + 85 + 40 = 500 og II(ny vei) består av  275 + 185 + 40 = 500  etter oppgaveteksten.



Vi «anvender» prinsippet P(A) + P(¬A) = 1. Dette betyr at sannsynligheten for A og sannsynligheten for ¬A(ikke A) er 100 % tilsammen. Dette gir

# JA + # NEI = 500

# JA = 500 – # NEI

# JA = 500 – ( 40 + 85 + 185)

# JA = 500 – 310 = 190

Svar: 190 stemmer for begge saker


Til slutt en ny mattenøtt:

OPPGAVE 18 – FINN TIDSPUNKTET

Et 1 km. langt tog kjører inn i en 1 km. lang tunnel med farten v=20 km/t klokken 17:00. Hva er klokken da (hele) toget er ute av tunnelen? (Tips: Man bruker formelen t=s/v som betyr tid=strekning/fart)


Neste artikkel kommer i oktober. Hilsen erty56.

ER TIDSREISER MULIGE? 28. august 2012

Posted by erty56 in Moderne Fysikk.
add a comment

Hei igjen!

Antagelig er det umulig å reise bakover i tiden da dette kunne endre tiden etterpå og skapt et slags kaos. En slik tidsreise kunne gi en helt annen eller flere former for historie enn den vi har idag. Ifølge fysikken er det mulig å reise fremover i tid, men neppe bakover.

Dessverre er det umulig å måle noen bevegelse absolutt. Alle legemer og systemer beveger seg relativt til hverandre. Når jeg sier dessverre, er det fordi ideen om absolutt tid og rom ville gjort fysikken og dens ligninger enklere enn slik vi vet de er. Fysikkens lover har imidlertid samme form i alle systemer.

Et romskip med en hastighet v=0,60c reiser i t0 = 1 døgn. Vi på jorden observerer imidlertid at tiden

er gått. Romskipet har altså reist netto 1,25 døgn – 1 døgn = 0,25 døgn fremover i tid (i forhold til oss på jorden). Tiden er altså ikke den samme i de to systemene, romskipet og oss på jorden. Dagens romskip har forøvrig ikke teknisk kapasitet til å reise i farten 60 % av lysets hastighet. Men teorien begrenser oss i utgangspunktet kun til lyshastigheten c = 3 x 10^8 m/s.

Det hevdes at det skulle være teoretisk mulig å reise bakover i tiden gjennom såkalte ormehull. Rommet er krumt. Relativitetsteorien støtter både eksistens av sorte hull og ormehull. Et ormehull er en strekning mellom et sort hull og et hvitt hull. Denne strekningen er svært mye kortere enn den vanlige avstanden mellom disse to punktene i rommet.
Problemet er imidlertid at biologisk materiale (f.eks. mennesker) ikke har noen mulighet til å gjennomføre og overleve en slik reise. Man ville blitt destruert allerede når det sorte hullet hadde «oppslukt» en. Illustrasjon over ormehull:

Dersom en skal reise fra 1 til 2 vil reisen gjennom ormehullet i blått være svært mye kortere enn den vanlige strekningen i
rommet angitt i rødt. Her menes en reise i tidrommet, ikke bare en vanlig strekning.


Her kommer løsningen av forrige måneds:

OPPGAVE 16 – PÅ POSTHUSET

Sett:

# 3 øre frimerker: x

# 6 øre frimerker: y

Ifølge oppgaveteksten er

x + y = 120

Dette gir y = 120 – x

Ifølge oppgaveteksten er

3x + 6y = 500 – 75   (Her er 5 kr omregnet til 500 øre)

3x + 6(120 – x) = 425

x = 98  1/3

y = 120 – x = 120 – 98 1/3 = 21 2/3

Dersom han hadde fått rett igjen måtte både x og y vært hele. Ergo fikk han feil tilbake.


Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 17 – ENKEL SANNSYNLIGHETSREGNING

En liten bygd i Norge har 500 stemmeberettigede. Alle avlegger stemme i 2 saker, den første om nytt rådhus og den andre om ny vei. 375 stemmer for nytt rådhus og 275 stemmer for ny vei. 40 stemmer mot begge deler. Hvor mange stemmer for begge saker?


Neste innlegg m/svar på Oppgave 17 kommer i september. Dersom noen har ønsker eller ide til tema, er det bare å legge inn en kommentar.
Hilsen erty56.

MASSE, TYNGDE OG «VEKTLØSHET» 12. juli 2012

Posted by erty56 in Moderne Fysikk.
add a comment

Hei igjen!

Massen av et legeme er det samme overalt, altså uavhengig av hvor i rommet legemet befinner seg. Ofte kalles masse feilaktig som vekt. Vekt er det samme som tyngde eller tyngdekraft gitt ved

G = m x g

der G er tyngdekraft, m er masse og g er tyngdens akselerasjon. Tyngdens akselerasjon g varierer derimot mellom en
rekke verdier forskjellige steder i rommet. På jorden er den ca. g=9,81 m/s2, mens den på månen bare er ca. 1/6 av dette,
eller ca. g=1,62 m/s2
. Den generelle relativitetsteorien gir en forklaring på gravitasjon uten at jeg skal gå inn på den da den er ganske komplisert. Men mye masse konsentrert i et lite område vil gi mange og tette feltlinjer her og medføre høy verdi for g (tyngdens akselerasjon). Altså vil et legeme med masse m få større tyngdekraft G i et område med høy g, enn  i et område med lav g. Generelt er tyngdekraften mellom to himmellegemer m1 og m2 gitt ved Newtons Gravitasjonslov

G = (γ x m1 x m2 ) / r2

der γ er en konstant og r er avstanden mellom himmellegemenes sentre. Forøvrig vil en masse i et rom, uansett form,
eksponeres for samme g som ellers i rommet. Dersom legemet får en kraft F i retning oppover der F > G vil legemet stige (akselerere) oppover. Dersom F=G vil legemet være i ro («sveve» i rommet). Men dersom F=0 vil legemet falle mot
bunnen av rommet grunnet G. Den vil treffe bunnen med farten

v = √[2gh]

der h er høydefallet. Jo høyere g, jo høyere fart. Ute i himmelrommet er g ofte svært lav, og vi får derfor tilstanden som kalles «vektløs».  Sammenhengen mellom kraft og bevegelse er forøvrig ikke helt det samme i fysikken (og selvsagt også i virkeligheten) enn ofte brukt i
dagligtale. Newtons første lov sier at et legeme som det ikke virker krefter på og er i ro vil forbli i ro. Mens et legeme i fart vil fortsette med konstant fart langs en rettlinjet bane (og dette uten noen kraftpåvirkning!). Newtons annen lov sier videre at dersom det virker krefter på et legeme, vil kraften forandre legemets fart og/eller retning. Matematisk lyder den

F = m x a

der F er kraft, m er masse og a er akselerasjon Vi ser at G = m x g er en variant av Newtons annen lov. Newtons første lov
er også et slags spesialtilfelle av Newtons annen lov ved at a = 0 og F = 0 i den første loven. Her følger illustrasjon over et
tenkt legeme i et rom som nevnt over: 

Her kommer løsningsforslag av forrige måneds:

OPPGAVE 15 – ENKEL ARITMETIKK

xy = x/y

y2 = 1

y = – 1 eller y = 1

g

1. y = – 1

x/y = (x – y)

x/(-1) = x – (-1)

– x = x + 1

2x = -1

x = – 1/2

g

2. y = 1

x/y = (x – y)

x/1 = (x – 1)

x = x – 1

0x = ± 1

L = Ø (tom løsningsmengde)


Konklusjon: x = – 1/2 og y = – 1

g

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 16 – PÅ POSTHUSET

Karl Erik kjøper flere frimerker med valør på henholdsvis 3 øre og 6 øre, ialt 120 merker. Han betaler 5 kr og får 75 øre igjen. Fikk han tilbake riktig med vekslepenger?

Neste artikkel kommer i august. Hilsen erty56.

HVA ER ET SORT HULL? 22. juni 2012

Posted by erty56 in Moderne Fysikk.
6 comments

Hei igjen!

En stjerne går igjennom bestemte stadier i sitt liv. I noen tilfeller ender de som sorte hull. 

Med vakuum mener man vanligvis helt tomt rom. La oss kalle det et slags matematisk vakuum, med tetthet lik eksakt null. I rommet har vi imidlertid et fysisk vakuum som ikke er helt tomt. Gass og støv hoper seg opp visse steder. Slike områder kalles tåker. Ved stor nok tetthet, vil gravitasjonen trekke massen mot et sentrum – det som etterhvert blir en stjernes sentrum. Under prosessen øker temperaturen. Når temperaturen er blitt så høy at gasskulen begynner å sende ut synlig lys, er den blitt en protostjerne. Når temperaturen overgår 5 millioner K (omtrent det samme som 5 millioner 0C) starter kjernereaksjoner i sentralområdet, dvs. fusjon av Hydrogen til Helium. Dette skrives:

4 H –> He + 2e+ + 2ve + fotoner

som betyr

4 hydrogenatomer –> heliumatom + 2 positroner + 2 nøytrinoer + gammastråling

Dette gir langt mer energi enn «jordisk fisjon» (atombomber er en type fisjonsbomber og kjernekraftverk baserer seg også på fisjon).

Stabile stjerner har omtrent konstant radius, temperatur og utstrålt effekt. Massen ligger mellom 0,08 og 60 solmasser(heretter kallt ms ).

Grunnet fusjonsprosessen vil kjernen etterhvert inneholde nesten bare Helium, og stjernen er blitt en rød kjempe. Røde kjemper har en gjennomsnittsradius på omtrent 100 solradier. Vår egen sol er en stjerne. Når den er blitt en rød kjempe vil den ha utvidet seg så voldsomt at den “sluker” de innerste planetene i solsystemet. Solen er nå midt i sin levetid på ca. 9-10 milliarder år. Vårt solsystems kollaps er altså svært langt frem i tid. Eller rettere sagt lang tid i menneskelig forstand, men ikke i kosmisk målestokk. Illustrasjon over solens sluttfase der jorden blir ødelagt:

Bildet virker kanskje skremmende, men husk at dette er milliarder av år frem i tid. Idag er solen derimot helt nødvendig for livet her på jorden!

Stjernens masse m i den såkallte hovedseriefasen avgjør hva den ender som i sluttfasen:

m < 3,5 ms gir hvite dverger
3,5 ms < m < 8 ms gir nøytronstjerner
m > 8 ms gir sorte hull

Generelt i fysikken reflekterer en hvit flate alt, mens en sort flate absorberer alt. Et sort hull har et så sterkt gravitasjonsfelt at alt blir absorbert. Ikke engang lys unnslipper. I en nøytronstjerne er det likevekt mellom gravitasjonskrefter og trykkrefter fra nøytronene. Men dersom trykkreftene ikke klarer å balansere gravitasjonskreftene, bryter stjernen fullstendig sammen og blir et sort hull med radius r mindre enn kritisk radius r0. Når et legeme(f.eks. en satellitt) kretser rundt et himmellegeme er den i en parkeringsbane. For å komme seg ut av banen, dvs. unnslippe himmellegemets gravitasjonsfelt, må farten økes til noe vi kaller unnslippingsfarten V. Ved den kritiske radius er unnslippingsfarten V lik lysfarten c. Ved å bruke formelen for V og sette den lik c får man

m er massen, c er lysfarten og γ er en konstant. Alt innenfor r0 blir oppslukt og ingenting kan unnslippe.

Dersom man setter inn massen til det teoretisk sett minste sorte hull(utgjør 2,5 ms) i uttrykket for r0, får man r0 = 7,5 km. Til sammenligning har solen en radius r = 696.000 km. Den enorme forskjellen kan hjelpe oss til å forstå hvorfor gravitasjonskraften er så ekstremt sterk i et sort hull. Altså kollaps av mye masse til et lite område. Mye masse konsentrert i et lite område vil ha en sterk gravitasjonskraft som tiltrekker seg annet i sine omgivelser, mens lite masse vil gi lite tiltrekning. Her følger et bilde tatt av romteleskopet Chandra:

Til venstre sees 4 svære galakser, og til høyre massive sorte hull i galaksenes sentrum. Det ser ut til å være svært vanlig med massive sorte hull i galaksers sentrum. Også vår egen galakse Melkeveien har dette.


Her kommer løsningsforslag av forrige måneds:

OPPGAVE 14 – FINN PROSENTANDELEN

Sett:

x – de som besto
y – de som strøk

Oppgaveteksten gir ligningen

65x + 35y = 53(x+y) = 53x + 53y

12x = 18y

x = 1,5y

De som besto i deler blir brøken


Svar: 60% av studentene besto
(Intervallet 0-1 i deler tilsvarer 0-100%)


Her kommer ny mattenøtt:

OPPGAVE 15 – ENKEL ARITMETIKK

Finn to tall x og y slik at xy = x/y = (x – y)


Neste innlegg kommer i juli. Hilsen erty56.

EFFEKTIV MAGNETISK STOFFBESTEMMELSE 18. april 2012

Posted by erty56 in Moderne Fysikk.
3 comments

Hei igjen!

Dagens artikkel omhandler en maskin som heter massespektrograf. Den kan brukes til kjemisk analyse for å bestemme innholdet av et stoff. Skjematisk illustrasjon:

Først omdannes stoffprøven til gass og deretter blir gassen ionisert i en elektronkanon. Positive gassioner blir akselerert av en spenning U. Ionet går deretter videre gjennom et fartsfilter som består av et såkalt krysset felt. Et krysset felt er et område der et elektrisk felt og et magnetisk felt står vinkelrett på hverandre. Feltet styrer ionet inn i et magnetfelt. Ionen(e) blir avbøyd i magnetfeltet og treffer en detektor, f.eks. en fotografisk plate. Ionenes ladning og masse avgjør hvor de treffer, altså hvilken radius de blir avbøyd til. Radius er angitt i grønt på figuren under. Denne maskinen viste i sin tid at grunnstoffene har forskjellige isotoper. Et internasjonalt samarbeidsprosjekt der også Norge deltok utviklet en massespektrograf for romsonden Mars Orbiter som ble brukt til å analysere marsatomsfæren. Massespektrografi brukes i f.eks. medisin, oljebransjen og biokjemien.


Illustrasjon ladning q i magnetfelt:


Her kommer løsning av forrige måneds

Oppgave 12 – Et noe spesielt tall

Det gjelder å være litt kreativ. Tallet må ikke være på formen xxx. Det er

Dette tallet er så stort at det aldri er beregnet. Det kan omgjøres til:

Her kommer denne måneds

Oppgave 13 – Geometrisk nøtt

Hva er arealet til det største trapeset innskrevet i en halvsirkel med radius r?


Halvsirkelen er svart, trapeset blått og radius r angitt i rødt.
Tips: trapeset er likebent som det fremgår av tegningen, og svaret kan finnes ved hjelp av derivasjon.

Hilsen erty56

MÅLESKARPHET I MIKROKOSMOS 27. februar 2012

Posted by erty56 in Moderne Fysikk.
add a comment

Hei igjen!




Ny mattenøtt kommer her om noen dager. Hilsen erty56.

ATOMET – NATURENS BYGGEKLOSSER 23. november 2011

Posted by erty56 in Moderne Fysikk.
2 comments

Hei igjen!

Idag omhandler artikkelen naturens byggeklosser – eller atomets fysikk. Atomene er naturens byggeklosser. Alt mellom himmel og jord består av atomer, ofte ved at de går sammen og danner molekyler. Ca. 99% av universet består av de enkleste atomene Hydrogen og Helium og ca. 1% består av de andre drøyt hundre atomene. Vi skal ikke betrakte molekyler, men «spalte» atomet i mindre deler for og se hva det består av. Så skal vi gå videre inn i materien og se nærmere på  elementærpartikler. Illustrasjon atomet:

Som vi ser består atomet av elektroner og en atomkjerne som igjen består av nøytroner og protoner. Atomet har en radius r ≈ 10^-10 m. og atomkjernen r ≈ 10^-15 m.


Tabell 1  Atomets bestanddeler

partikkel ladning masse
elektronet (e‾) – e 9,11 x 10^-31 kg.
nøytronet (n) 0 1,67 x 10^-27 kg.
protonet (p) + e 1,67 x 10^-27 kg.

e er den elektriske elementærladningen, med verdi e = 1,60 x 10^-19 C. Atommasseenheten u er definert som 1/12 av massen til karbonisotopen 12C. Man bruker vanligvis verdien u = 1,66 x 10^-27 kg. Som vi ser har protonet og nøytronet omtrent masse lik 1u. Kjernepartiklene(nukleoner) består igjen av kvarker (u og d)

 
Tabell 2 Nukleoners bestanddeler

partikkel ladning
oppkvark(u) + 2/3 e
nedkvark(d) – 1/3 e

Nukleonladningen er konsentrert i tre områder inne i nukleonet. Elektronet og kvarker er uten indre struktur og kalles derfor elementærpartikler. Det finnes 4 grunnleggende krefter i naturen og disse virker innen atomet.


Tabell3  Grunnkrefter

kraft påvirker partikkel holder sammen/virker
sterke kjernekrefter kvarker atomkjernen
svake kjernekrefter leptoner og kvarker radioaktiv nedbryting av visse kjerner
elektromagnetiske krefter elektrisk ladede partikler atomet
gravitasjonskrefter alle partikler alt, bl.a. solsystemer og galakser

Fysikerne jobber med en såkalt enhetlig teori for krefter og partikler. Man søker å forene de 4 kreftene i en «superkraft» og finne naturens minste byggesten – altså en partikkel som bygger opp alle andre partikler. Man har klart å forene 3 av kreftene, men ikke å forene denne kraften igjen med gravitasjonskraften. Søken etter disse ting pågår bl.a. hos CERN.

I grunntilstanden har ethvert atom et visst antall protoner, nøytroner og elektroner. Alltid samme antall elektroner (ladning -e) og antall protoner (ladning +e) slik at atomet er elektrisk nøytralt. Enkelte atomer har et annet antall nøytroner enn i grunntilstanden. Disse kalles isotoper.

Alle atomer er katalogisert i et system som heter periodesystemet. Pr. idag består det av drøyt 100 atomer(grunnstoffer). Det oppdages et nytt nå og da. Gitt X som kjemisk symbol for et grunnstoff:

Z er atomnummeret (tallet er antall elektroner=antall protoner). A = Z + N, der N er antall nøytroner. A er altså antall nukleoner. Periodesystemet:

periodesys


Å fjerne elektroner fra et atom kalles ionisering. Edelgassene helt til høyre i periodesystemet har fullt ytterelektronskall, og de krever derfor større ioniseringsenergi enn grunnstoffer lenger til venstre i periodesystemet. I teorien har atomet et visst antall skall som kan fylles med elektroner. Disse er K, L, M, N, O og P. Maksimalt antall elektroner i disse skallene er henholdsvis 2, 8, 18, 32, 50 og 72.

Så går vi dypere inn i materien og betrakter elementærpartikler. Det finnes flere hundre partikler av den delelige sorten som f.eks. nøytronet og protonet. De udelelige som f.eks. elektronet og kvarker finnes det langt færre av. Disse kalles elementærpartikler fordi de er uten indre struktur. Fysikerne forsøker å finne en naturens minste byggesten – en partikkel eller hva det måtte være – som bygger opp alt annet. Man kommer gradvis dypere inn i materien bl.a. hos CERN. Man har imidlertid ikke funnet denne – «en slags fundamental elementærpartikkel» – ennå. Naturens minste byggesten må ikke nødvendigvis være en partikkel. Det finnes også andre tilnærminger. La oss si at urstoffet er en såkalt superstreng, som ikke er en partikkel men en bølge. Når bølgen har en frekvens vil vi oppfatte den som elementærpartikkel nr.1, svinger bølgen med en annen frekvens vil vi oppfatte den som elementærpartikkel nr.2 osv. Vi vet jo bl.a. at fotonet er masseløst. Vi vet også at en partikkel som beveger seg, kan beskrives som en bølge. Man må faktisk bruke bølgeegenskaper for å beskrive elektroner og fotoner som beveger seg. Alle objekter i universet har egenskaper som man assosierer med både bølger og med partikler, såkalt bølge-partikkel dualitet. Gitt at antall elementærpartikler er f.eks. 30, skal altså superstrengen ha 30 mulige frekvenser. Illustrasjon:


Det er viktig å anmerke her at dette bare er en ide, og ikke noen sikker viten. En slik superstreng er ikke nødvendigvis naturens minste byggesten.

Mange elementærpartikler har såkalte anti-partikler. Som hovedregel har antipartikler samme masse som partikkelen, men motsatt elektrisk ladning. Anti-partiklene er også elementærpartikler. Elektronets anti-partikkel heter positronet og har samme masse som elektronet men positiv ladning +e. Det finnes forøvrig flere typer kvarker og nøytrinoer og masseløse elementærpartikler som fotonet. Jeg så en liste over elementærpartikler fra 1998. Den inneholdt totalt 23 elementærpartikler, men denne listen er nok utdatert nå.

Man antar at det var en bitteliten overvekt av materie fremfor antimaterie etter det store smellet, og derfor eksisterer både vi og universet idag. Når partikler og anti-partikler møtes annihilerer de hverandre, og blir til ren energi. Omvendt kan pardannelse oppstå ved at to fotoner kolliderer, og det dannes et partikkel-antipartikkel-par. Ved både pardannelse og annihilasjon er energi og bevegelsesmengde bevart.

Her kommer løsning av forrige måneds:

OPPGAVE 3 – ENKEL MULTIPLIKASJON

Hva blir 18 x 365,24 x 9 x 10.000 x 0 x 56 x 7,67 ?

Her er et tall 0. Svaret er derfor 0.


Til slutt en ny mattenøtt:

OPPGAVE 4 – FLY OSLO-BERGEN TUR-RETUR

Et fly flyr fra Oslo til Bergen med farten v1 = 160 km/t, og tilbake igjen med farten v2 = 240 km/t. Hva blir gjennomsnittsfarten tur-retur? (Tips: man benytter v=s/t (fart=strekning/tid) og ender med gjennomsnittsfarten uttrykket ved v1 og v2 )

Hilsen erty56.

%d bloggere like this: