jump to navigation

MATTENØTT NR. 157 23. september 2020

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 157 – LETT GEOMETRI VII

Gitt en trekant som på figuren under.

 

 

 

 

 

 

Den har tre vinkler a, b og c. Den ytre vinkelen til a er d. Summen av vinklene b og c er 120°. Hvor mange grader er vinklene a og d?

 

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 156 – ANNENGRADSLIGNING

Gitt annengradsligningen

\displaystyle ax^2 + bx + c = 0

Den har to løsninger. Summen av løsningene er 3. Produktet av løsningene er 2. 

 

1) Finn a, b og c.

Man skriver først opp ligningen på såkalt redusert form ved å dividere med a:

\displaystyle ax^2 + bx + c = 0

\displaystyle \frac{a}{a} x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = \frac{0}{a}

\displaystyle x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0

Følgende sammenheng mellom løsningene og koeffisientene gjelder alltid:

\displaystyle x_1 + x_2 = - \frac{b}{a} \indent \wedge \indent x_1 x_2 = \frac{c}{a}

Ifølge oppgaveteksten er:

\displaystyle x_1 + x_2 = 3 \indent \wedge \indent x_1 x_2 = 2 \indent (*)

Dette gir

\displaystyle - \frac{b}{a} = 3 \indent \wedge \indent \frac{c}{a} = 2

\displaystyle \frac{b}{a} = -3 \indent \wedge \indent \frac{c}{a} = 2

\displaystyle \Downarrow

\displaystyle x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = x^2 + (-3) x + 2 = x^2 - 3x + 2

Svar: a = 1, b = – 3 og c = 2

 

2) Finn selve løsningene.

Man kan enten bruke (*), eller bare regne:

\displaystyle x^2 - 3x + 2 = 0

\displaystyle (x - \frac{3}{2})^2 = -2 + (-\frac{3}{2})^2

\displaystyle (x - \frac{3}{2})^2 = -2 + \frac{9}{4}

\displaystyle (x - \frac{3}{2})^2 = \frac{9 + 4(-2)}{4}

\displaystyle (x - \frac{3}{2})^2 = \frac{9 - 8}{4}

\displaystyle (x - \frac{3}{2})^2 = \frac{1}{4}

\displaystyle \sqrt{(x - \frac{3}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4}}

\displaystyle x - \frac{3}{2} = \pm \frac{1}{2}

\displaystyle x = \frac{3}{2} \pm \frac{1}{2}

\displaystyle \Downarrow

\displaystyle x_1 = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2 \indent \vee \indent x_2 = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1

 

Her er mer info om annengradsligninger:

ANNENGRADSLIGNINGER OG PARABELEN

 

Neste artikkel kommer i oktober. Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 156 26. august 2020

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Denne gangen kommer en ny mattenøtt, samt løsningsforslag til forrige måneds mattenøtt. Den inneholder bl.a. en parabel. Enhver parabel har en symmetrilinje x_{sym} . Metode for å finne x_{sym} gjennomgås til slutt i denne artikkelen. Først en ny nøtt:

 

OPPGAVE 156 – ANNENGRADSLIGNING

Gitt annengradsligningen

\displaystyle ax^2 + bx + c = 0

Den har to løsninger. Summen av løsningene er 3. Produktet av løsningene er 2. 

1) Finn a, b og c.

2) Finn selve løsningene.

 

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 155 – TO FUNKSJONER

Gitt funksjonen f(x) = -x² + 3x + 1 og funksjonen g(x) = a. Disse funksjonene har grafer som krysser hverandre ved f(x) = g(x). Man vil ha følgende tre forskjellige tilfeller:

1) De har ingen fellespunkter.

2) De har ett fellespunkt.

3) De har to fellespunkter.

Finn g(x) = a for både 1), 2) og 3).

Hint: Tegn f(x), og se på f(x) = g(x).

f(x) er en parabel som ligger symmetrisk om symmetrilinjen x_{sym} . Den har et toppunkt i (x_{sym} , f(x_{sym})) . g(x) er en konstant funksjon, dvs. en rett linje parallell med x-aksen. Disse skjærer hverandre i akkurat et punkt når g(x) = a = f(x_{sym}) . Se figur:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Her er f(x) tegnet i blått og g(x) i rødt. Formelen for symmetrilinjen er gitt ved

\displaystyle x_{sym} = \frac{-b}{2a} = \frac{-3}{2 \cdot (-1)} = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2}

Man kan finne f(x_{sym}) :

\displaystyle f(x_{sym}) = f(\frac{3}{2}) = - (\frac{3}{2})^2 + 3 \cdot \frac{3}{2} + 1 = - \frac{9}{4} + \frac{9}{2} + 1

\displaystyle = \frac{-9 + 9 \cdot 2 + 1 \cdot 4}{4} = \frac{-9 + 18 + 4}{4} = \frac{13}{4}

Man kan se av figuren at dersom g(x) > f(x_{sym}) skjærer den ikke f(x) i det hele tatt. Dersom g(x) < f(x_{sym}) skjærer den f(x) i to punkter. Svaret blir altså:

1) De har ingen fellespunkter når g(x) = a > 13/4

2) De har ett fellespunkt når g(x) = a = 13/4

3) De har to fellespunkter når g(x) = a < 13/4

 

Her følger utledning av formelen for symmetrilinjen

\displaystyle x_{sym} = - \frac{b}{2a}

En generell annengradsfunksjon (parabel) er gitt ved

\displaystyle f(x) = ax^2 + bx + c

Man finner nullpunktene (skjæringspunkter med x-aksen) ved

\displaystyle f(x) = 0

\displaystyle ax^2 + bx + c = 0

Etter noe mellomregning blir dette

\displaystyle x = \frac {-b +\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \indent \vee \indent x = \frac {-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

I og med at symmetrilinjen ligger midt mellom nullpunktene, finner man den ved å beregne gjennomsnittet, dvs:

\displaystyle x_{sym} = \frac{\frac {-b +\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}}{2} = - \frac{b}{2a}

Formelen er forøvrig gyldig når grafen ikke har nullpunkter også. (De to x-verdiene er da komplekse tall, og resultatet blir igjen -b/2a).

 

Dersom man ønsker å se på mellomregningen over, og mer info om emnet:

ANNENGRADSLIGNINGER OG PARABELEN

 

Neste artikkel kommer i september. Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 152 25. april 2020

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 152 – IDENTITET MED FUNKSJONER

Gitt

\displaystyle [x^3 - 2x^2 + x - 2] f(x) = [x^3 - x^2 + x - 1] g(x)

Finn f(x) og g(x). Merknad:

\displaystyle f(x), g(x) \neq 0

 

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 151 – VANSKELIG ALGEBRA

Gitt P = 1 · 2 · … · n og Q = 1 + 2 + … + n, der n er et naturlig tall. Vis at divisjonen P/Q kun går opp dersom n er et oddetall. (Et naturlig tall er hele positive tall: 1, 2, 3, …)

 

\displaystyle \frac{P}{Q} = \frac{1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n}{1 + 2 + ... + n} = \frac{n!}{\sum_{k=1}^n k} = \frac{n!}{\frac{(1 + n)}{2} \cdot n } = \frac{2 \cdot n!}{n (n + 1)}

\displaystyle = \frac{2 \cdot n \cdot (n - 1)!}{n(n + 1)} = \frac{2 (n - 1)!}{n + 1}

 

1) Partall: 2, 4, …

\displaystyle \frac{P}{Q} = \frac{2 (n - 1)!}{n + 1} = \frac{2 (2 - 1)!}{2 + 1} = \frac{2 \cdot 1!}{3} = \frac{2}{3}

\displaystyle \frac{P}{Q} = \frac{2 (n - 1)!}{n + 1} = \frac{2 (4 - 1)!}{4 + 1} = \frac{2 \cdot 3!}{5} = \frac{12}{5}

Man har allerede funnet to mot-eksempler. Divisjonen P/Q kan gå opp for noen partall, men den går ikke opp for alle partall.

 

2) Oddetall, n = 2m – 1, der m er et naturlig tall

\displaystyle \frac{P}{Q} = \frac{2 (n - 1)!}{n + 1} = \frac{2 (2m - 1 - 1)!}{2m - 1 + 1} = \frac{2 (2m - 2)!}{2m} = \frac{(2m - 2)!}{m}

m er alltid faktor i (2m – 2)!, så divisjonen P/Q går opp for alle oddetall.

Man kan skrive noen ledd for å se dette.

\displaystyle \frac{0!}{1}, \frac{2!}{2}, \frac{4!}{3}, \frac{6!}{4}, \frac{8!}{5}, ...

1 er faktor i 0!, 2 er faktor i 2!, 3 er faktor i 4!, 4 er faktor i 6!, 5 er faktor i 8! osv. (0! = 1)

Teller øker hele tiden mer enn nevner. Man har en garanti for at nevner m alltid er faktor i teller (2m – 2)!

 

Konklusjon: Divisjonen P/Q går kun generelt opp dersom n er et oddetall.

 

Neste artikkel kommer i mai. Hilsen erty56.

JULENØTTER 2019 – FASIT 8. januar 2020

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

JULENØTTER 2019

Til slutt i innlegget følger en ny mattenøtt.

 

OPPGAVE 144 – KORTSTOKK

A) Man har 3 kort. Hvor mange rekkefølger kan de stokkes i?

B) Man har 5 kort. Hvor mange rekkefølger kan de stokkes i?

Generelt kan n elementer ordnes i n! rekkefølger.

\displaystyle n! = n \cdot (n-1) \cdot ... \cdot 1

A) Svar: 3! = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6

B) Svar: 5! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120

 

OPPGAVE 145 – TALLREKKE MED ET AVVIK

Gitt tallene 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 22, 34, 55. Hvilket tall hører ikke hjemme her?

Bytter man ut 22 med 21, vil hvert tall være summen av de to forrige tallene. Svar: 22 hører ikke hjemme her. Dette er forøvrig de første tallene i Fibonacci-tallfølgen. Det er en matematisk tallfølge man finner igjen i visse systemer i naturen.

 

OPPGAVE 146 – LETT GEOMETRI VI

Gitt en sirkel som på figuren under. Arealet av det skraverte(grå) området er A = ½π – 1

 

 

 

 

 

 

Hva blir arealet A av trekanten (blå farge) ?

Hint: Se OPPGAVE 143 – LETT GEOMETRI V

Arealet av kvartsirkelen er det samme som arealet av trekanten pluss arealet av det skraverte(grå) området.

\displaystyle A(kvartsirkel) = A(trekant) + A(skravert)

\displaystyle \frac{1}{4} \pi r^2 = \frac{1}{2} r^2 + \frac{1}{2} \pi - 1

\displaystyle (\frac{1}{4} \pi - \frac{1}{2}) r^2 = \frac{1}{2} \pi - 1

\displaystyle r^2 = \frac{\frac{1}{2} \pi - 1}{\frac{1}{4} \pi - \frac{1}{2}} = \frac{2 (\frac{1}{4} \pi - \frac{1}{2})}{\frac{1}{4} \pi - \frac{1}{2}} = 2

\displaystyle \Downarrow

\displaystyle r = \sqrt{2}

\displaystyle A(trekant) = \frac{1}{2} r^2 = \frac{1}{2} (\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1

 

OPPGAVE 147 – REKKE AV PARTALL

Gitt en følge av n partall 2, 4, 6, … , 2n. Hva blir rekkens sum, dvs.

\displaystyle \Sigma = 2 + 4 + 6 + ... + 2n

Dette er en aritmetisk rekke med første ledd 2 og siste ledd 2n. Summen blir gjennomsnittet av første og siste ledd ganger antall ledd n, dvs:

\displaystyle \Sigma = 2 + 4 + 6 + ... + 2n = \frac{2 + 2n}{2} \cdot n = \frac{2 (1 + n)}{2} \cdot n = n (n + 1)

 

OPPGAVE 148 – NOE VANSKELIG GEOMETRI II

Gitt linjen XY. CZ står vinkelrett på linjen XY. AX og BY er parallelle med CZ. AY og BX skjærer hverandre i C. Se figur:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Vis at

\displaystyle \frac{1}{CZ} = \frac{1}{AX} + \frac{1}{BY}

 

Trekantene AXY og CZY er formlike:

\displaystyle \Delta AXY \sim \Delta CZY

\displaystyle \frac{AX}{XY} = \frac{CZ}{ZY}

\displaystyle ZY = \frac{CZ \cdot XY}{AX}

Trekantene CXZ og BXY er formlike:

\displaystyle \Delta CXZ \sim \Delta BXY

\displaystyle \frac{CZ}{XZ} = \frac{BY}{XY}

\displaystyle XZ = \frac{CZ \cdot XY}{BY}

 

\displaystyle XZ + ZY = XY

\displaystyle \frac{CZ \cdot XY}{BY} + \frac{CZ \cdot XY}{AX} = XY

\displaystyle (\frac{CZ \cdot XY}{BY} + \frac{CZ \cdot XY}{AX}) \cdot \frac{1}{XY} = XY \cdot \frac{1}{XY}

\displaystyle \frac{CZ}{BY} + \frac{CZ}{AX} = 1

\displaystyle (\frac{CZ}{BY} + \frac{CZ}{AX}) \cdot \frac{1}{CZ} = 1 \cdot \frac{1}{CZ}

\displaystyle \frac{1}{BY} + \frac{1}{AX} = \frac{1}{CZ}

\displaystyle \frac{1}{CZ} = \frac{1}{AX} + \frac{1}{BY}

 

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 149 – NOE VANSKELIG GEOMETRI III

Gitt følgende figur:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Trekanten ABC har en innskrevet sirkel som tangerer alle sidene i trekanten. En slik sirkel kalles innsirkelen. Halveringslinjene til vinklene skjærer hverandre i innsenteret I, det samme som sentrum i sirkelen.

Vis at arealet av trekanten er det samme som radius r ganger halvparten av trekantens omkrets p, dvs:

\displaystyle A(\Delta ABC) = r \cdot p

 

Neste artikkel kommer i februar. Hilsen erty56.

GRUNNLEGGENDE MENGDELÆRE 13. oktober 2019

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
Tags: , ,
add a comment

Hei igjen!

Denne artikkelen gir en innføring i mengdelære. Notasjonsforklaringer står til slutt.

1 Innledning

En mengde betegnes med tegnene { og }. Innholdet i mengden er elementer. F.eks. er {a , b} mengden av a og b.

Rekkefølgen av elementene har ingenting å si, så {a , b} = {b , a} osv. Gitt annengradsligningen

\displaystyle x^2 - 3x + 2 = 0

\displaystyle \Downarrow

\displaystyle x = 1 \indent \vee \indent x = 2

\displaystyle \Updownarrow

\displaystyle L = \{1 , 2\}

L er løsningsmengden. Dette kan også skrives

\displaystyle x \in \{1 , 2\}

Like mengder har eksakt de samme elementene. F.eks.

\displaystyle \{1 , 2 , 3\} = \{1 , 3 , 2 \} = \{3 , 1 , 2 \}

osv. Ekvivalente mengder har like mange elementer. F.eks.

\displaystyle \{1 , 2 , 3\} \sim \{a , b , c \} \sim \{r , w , g \}

osv. Det har ingenting å si hva elementene er igjen, bare antallet.

Den tomme mengde betegnes ∅. Den er helt tom og inneholder ingen elementer. Ikke engang null. Den kan skrives

\displaystyle \emptyset = \{ \}

Gitt annengradsligningen

\displaystyle x^2 = -1

\displaystyle \Downarrow

\displaystyle L = \emptyset

Løsningsmengden er tom. Det finnes jo ingen løsninger av denne ligningen.

Alle mengder har delmengder. Man kan konstruere 2^n delmengder av en mengde med n elementer. Gitt mengden {1 , 2 , 3}. Den har tre elementer. Dette gir 2³ = 8 delmengder:

\displaystyle \{1 , 2 , 3\}

\displaystyle \{1 , 2\}

\displaystyle \{1 , 3\}

\displaystyle \{2 , 3\}

\displaystyle \{1\}

\displaystyle \{2\}

\displaystyle \{3\}

\displaystyle \{ \}

Altså alt fra den tomme mengde til hele mengden.


2 Definisjoner ved illustrasjoner

Unionen av to mengder A og B skrives

\displaystyle A \cup B

Unionen av to mengder A og B er mengden av alle elementer som er med i A og B og begge. Se figur II.

 

Snittet av to mengder A og B skrives

\displaystyle A \cap B

Snittet av to mengder A og B er mengden av alle elementer som bare er med i både A og B. Se figur III. (Snittet er det skraverte).


En delmengde A av B skrives

\displaystyle A \subseteq B

A er en delmengde av B. Hele A ligger i B, men B kan være større enn A. Se figur I. (A er det skraverte).

På figuren er faktisk A en ekte delmengde av B, dvs. A ⊂ B. Med dette menes at B har minst ett element mer enn A.

 

Disjunkte mengder A og B har tomt snitt, dvs.

\displaystyle A \cap B = \emptyset

De er adskilte og har ingen felles mengde eller elementer. Figur:

 

 

 

 

 

3 Generelle definisjoner og setninger

Definisjon mengde

\displaystyle (y \textrm{ \ er \ en \ mengde}) \Leftrightarrow (\exists x) (x \in y \vee y = \emptyset)

Definisjon den tomme mengde

\displaystyle \emptyset = x \Leftrightarrow (\forall y) (y \notin x)

Definisjon union

\displaystyle (A \cup B = y) \Leftrightarrow (\forall x)(x \in y \Leftrightarrow x \in A \vee x \in B)

\displaystyle \wedge \ (y \textrm{ \ er \ en \ mengde})

Av dette følger at

\displaystyle A \cup B = B \cup A

\displaystyle A \cup A = A

\displaystyle A \cup \emptyset = A

Definisjon snitt

\displaystyle (A \cap B = y) \Leftrightarrow (\forall x)(x \in y \Leftrightarrow x \in A \wedge x \in B)

\displaystyle \wedge \ (y \textrm{ \ er \ en \ mengde})

Av dette følger at

\displaystyle A \cap B = B \cap A

\displaystyle A \cap A = A

\displaystyle A \cap \emptyset = \emptyset

Definisjon delmengde

\displaystyle A \subseteq B \Leftrightarrow (\forall x) (x \in A \Rightarrow x \in B)

Av dette følger at

\displaystyle A \subseteq A

\displaystyle (A \subseteq B \wedge B \subseteq A) \Rightarrow A = B

\displaystyle A \subseteq \emptyset \Rightarrow A = \emptyset

Definisjon ekte delmengde

\displaystyle A \subset B \Leftrightarrow (A \subseteq B \wedge A \neq B)

Av dette følger at

\displaystyle A \subset B \Rightarrow A \subseteq B

Definisjon differensmengde

\displaystyle A \backslash B = y \Leftrightarrow (\forall x)(x \in y \Leftrightarrow x \in A \wedge x \notin B) \wedge (y \textrm{ \ er \ en \ mengde})

Av dette følger at

\displaystyle A \backslash A = \emptyset

\displaystyle (A \cup B) \backslash B = A \backslash B

\displaystyle (A \cap B) \backslash B = \emptyset

 

4 Notasjonsforklaringer

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 142 – HARMONISK REKKE

Følgende rekke kalles den harmoniske rekke:

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} + ...

Finn

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}

Løsningsforslag:

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}

\displaystyle = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + ... + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) + ...

\displaystyle = (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} + ...) - (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n}+\frac{1}{n+1} + ...)

\displaystyle = 1 - \lim_{n\to\ \infty} \frac{1}{n+1} = 1 - \lim_{n\to\ \infty} \frac{\frac{1}{n}}{1 + \frac{1}{n}} = 1 - \frac{0}{1 + 0} = 1 - 0 = 1

 

Neste artikkel kommer i november. Hilsen erty56.

Artikkelen kan lastes ned som pdf-fil her:

GRUNNLEGGENDE_MENGDELÆRE

MATTENØTT NR. 141 18. august 2019

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
Tags: , ,
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt.

OPPGAVE 141 – KVADRATRØTTER II

Gitt

\displaystyle \sqrt{x^4 - 4x^2 - 6x + 13} = -x + 3

Finn x.

Hint: Det blir fire løsninger.

 

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 140 – TO SVÆRT ENKLE OPPGAVER

A) En fotball veier 1 kg. i tillegg til halvparten av sin egen vekt. Hvor mye veier fotballen?

Kaller fotballens vekt for x. Dette gir:

\displaystyle 1 \ kg. + \frac{1}{2}x = x

\displaystyle \frac{1}{2}x = 1 \ kg.

\displaystyle x = 2 \ kg.

Svar: Fotballen veier 2 kg.

 

B) En basketball veier 2 kg. i tillegg til 1/3 av sin egen vekt. Hvor mye veier basketballen?

Kaller basketballens vekt for x. Dette gir:

\displaystyle 2 \ kg. + \frac{1}{3}x = x

\displaystyle \frac{2}{3}x = 2 \ kg.

\displaystyle x = 3 \ kg.

Svar: Basketballen veier 3 kg.

 

Neste artikkel kommer i september. Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 139 20. juni 2019

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
Tags: , ,
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt.

OPPGAVE 139 – NOE VANSKELIG ALGEBRA

Gitt en tredjegradsligning

\displaystyle ax^3 + bx^2 + cx + d = 0

med tre løsninger. Den ene løsningen er den geometriske middelverdien av de to andre løsningene, dvs.

\displaystyle x_3 = \sqrt{x_1 x_2}

Finn sammenhengen mellom a, b, c og d.

Hint: Man skal ende opp med et uttrykk med kun a, b, c og d.

 

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 138 – GEOMETRISKE FORHOLD IV

Gitt en sirkel med radius r som på figuren under (svart farge).

 

 

 

 

 

 

 

 

Sirkelen inneholder to kvadrater (begge i blå farge). Hva blir forholdet mellom arealet av det største kvadratet og det minste kvadratet?

Hint: Finn begge kvadrater ved radius i sirkelen.

Først en ny skisse:

 

 

 

 

 

 

 

Arealet av det største kvadratet med sider s kan finnes ved pytagoras setning:

\displaystyle (\frac{s}{2})^2 + (\frac{s}{2})^2 = r^2

\displaystyle \frac{1}{4} s^2 + \frac{1}{4} s^2 = r^2

\displaystyle \frac{1}{2} s^2 = r^2

\displaystyle s^2 = 2r^2

 

Arealet av det minste kvadratet med sider l kan finnes ved pytagoras setning, og deretter regne en annengradsligning med l som den ukjente:

\displaystyle (\frac{1}{2} l)^2 + (l + \frac{1}{2} s)^2 = r^2

\displaystyle \frac{1}{4} l^2 + l^2 + l s + \frac{1}{4} s^2 = r^2

\displaystyle \frac{5}{4} l^2 + l s + \frac{1}{4} s^2 = r^2

 

\displaystyle s^2 = 2r^2 \Rightarrow s = \sqrt{2} r

 

\displaystyle \frac{5}{4} l^2 + l s + \frac{1}{4} s^2 = r^2 \indent \wedge \indent s^2 = 2r^2 \indent \wedge \indent s = \sqrt{2} r

\displaystyle \Downarrow

\displaystyle \frac{5}{4} l^2 + l (\sqrt{2} r) + \frac{1}{4} \cdot 2r^2 = r^2

\displaystyle \frac{5}{4} l^2 + \sqrt{2} r l = \frac{1}{2} r^2

\displaystyle l^2 + \frac{4 \sqrt{2}}{5} r l = \frac{2}{5} r^2

\displaystyle (l + \frac{4 \sqrt{2}}{10} r)^2 = \frac{2}{5} r^2 + (\frac{4 \sqrt{2}}{10} r)^2

\displaystyle (l + \frac{4 \sqrt{2}}{10} r)^2 = \frac{2}{5} r^2 + \frac{32}{100} r^2

\displaystyle (l + \frac{4 \sqrt{2}}{10} r)^2 = \frac{72}{100} r^2

\displaystyle \sqrt{(l + \frac{4 \sqrt{2}}{10} r)^2} = \sqrt{\frac{72}{100} r^2}

\displaystyle l + \frac{4 \sqrt{2}}{10} r = \pm \frac{\sqrt{72}}{10} r

\displaystyle l = \pm \frac{\sqrt{72}}{10} r - \frac{4 \sqrt{2}}{10} r

Siden l er en lengde blir

\displaystyle l = \frac{\sqrt{72}}{10} r - \frac{4 \sqrt{2}}{10} r = \frac{\sqrt{72} - 4 \sqrt{2}}{10} r = \frac{\sqrt{2}}{5} r

\displaystyle \Downarrow

\displaystyle l^2 = 0,08 r^2

 

Forholdet mellom arealet av det største kvadratet og det minste kvadratet blir:

\displaystyle s^2 : l^2 = 2 r^2 : 0,08 r^2 = 2 : 0,08 = 25 : 1

 

Neste artikkel kommer i juli. Hilsen erty56.

 

MATTENØTT NR. 138 22. mai 2019

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
Tags: , ,
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt. Denne ligner på forrige måneds mattenøtt. Se løsningsforslag nedenfor.

 

OPPGAVE 138 – GEOMETRISKE FORHOLD IV

Gitt en sirkel med radius r som på figuren under (svart farge).

 

 

 

 

 

 

 

Sirkelen inneholder to kvadrater (begge i blå farge). Hva blir forholdet mellom arealet av det største kvadratet og det minste kvadratet?

Hint: Finn begge kvadrater ved radius i sirkelen.

 

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 137 – GEOMETRISKE FORHOLD III

Gitt en sirkel med radius r som på figuren under (svart farge).

 

 

 

 

 

 

 

Den har et innskrevet og et omskrevet kvadrat (begge i blå farge). Hva blir forholdet mellom arealet av det omskrevne kvadratet og det innskrevne kvadratet?

Arealet av det omskrevne kvadratet med sider l:

\displaystyle l^2 = (2r)^2 = 4r^2

Arealet av det innskrevne kvadratet med sider s kan finnes ved pytagoras setning:

\displaystyle (\frac{s}{2})^2 + (\frac{s}{2})^2 = r^2

\displaystyle \frac{1}{4} s^2 + \frac{1}{4} s^2 = r^2

\displaystyle \frac{1}{2} s^2 = r^2

\displaystyle s^2 = 2r^2

Forholdet mellom arealet av det omskrevne kvadratet og det innskrevne kvadratet blir:

\displaystyle l^2 : s^2 = 4r^2 : 2r^2 = 4 : 2 = 2 : 1

 

Neste artikkel kommer i juni. Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 137 24. april 2019

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
Tags: , ,
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 137 – GEOMETRISKE FORHOLD III

Gitt en sirkel med radius r som på figuren under (svart farge).

 

 

 

 

 

 

 

Den har et innskrevet og et omskrevet kvadrat (begge i blå farge). Hva blir forholdet mellom arealet av det omskrevne kvadratet og det innskrevne kvadratet?

 

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 136 – KVADRATRØTTER

A) Gitt

\displaystyle \sqrt{6 + 5 \sqrt{2}} = \sqrt{6 + x \sqrt{2}}

Finn x

Denne oppgaven krever egentlig ingen regning. Uttrykket på venstre side(VS) er det samme som uttrykket på høyre side(HS) ved x = 5. Svaret er derfor x = 5.

B) Gitt

\displaystyle \sqrt{94 + 81 \sqrt{4}} = x + 8

Finn x

\displaystyle \sqrt{94 + 81 \sqrt{4}} = x + 8

\displaystyle \sqrt{94 + 81 \cdot 2} = x + 8

\displaystyle \sqrt{94 + 162} = x + 8

\displaystyle \sqrt{256} = x + 8

\displaystyle 16 = x + 8

\displaystyle x = 16 - 8 = 8

 

Neste artikkel kommer i mai. Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 136 17. mars 2019

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
Tags: , ,
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 136 – KVADRATRØTTER

A) Gitt

\displaystyle \sqrt{6 + 5 \sqrt{2}} = \sqrt{6 + x \sqrt{2}}

Finn x

B) Gitt

\displaystyle \sqrt{94 + 81 \sqrt{4}} = x + 8

Finn x

 

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 135 – FUNKSJON II

Gitt

\displaystyle  f(x) = \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}

Denne funksjonen har vært brukt tidligere i oppgave 84. Hensikten da var å studere funksjonens symmetri egenskaper. Hensikten denne gangen er å studere funksjonens verdimengde.

A) Regn ut

\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x) = \lim_{x\to-\infty}  \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}

\displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x) = \lim_{x\to\infty}  \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}

Hint:

\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x) = \lim_{x\to\infty} f(x)

 

\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x) = \lim_{x\to-\infty}  \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}

\displaystyle = \lim_{x\to-\infty} \frac{x^2 - 4}{x^2} = \lim_{x\to-\infty} \frac{(x^2 - 4) \cdot \frac{1}{x^2}}{x^2 \cdot \frac{1}{x^2}}

\displaystyle = \lim_{x\to-\infty}  \frac{1 - \frac{4}{x^2}}{1} = \frac{1 - 0}{1} = \frac{1}{1} = 1

 

\displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x) = \lim_{x\to\infty}  \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}

\displaystyle = \lim_{x\to\infty} \frac{x^2 - 4}{x^2} = \lim_{x\to\infty} \frac{(x^2 - 4) \cdot \frac{1}{x^2}}{x^2 \cdot \frac{1}{x^2}}

\displaystyle = \lim_{x\to\infty}  \frac{1 - \frac{4}{x^2}}{1} = \frac{1 - 0}{1} = \frac{1}{1} = 1

 

B) Regn ut

\displaystyle \lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^-}  \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}

\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^+}  \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}

Hint:

\displaystyle \lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^+} f(x)

 

\displaystyle \lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^-}  \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}

\displaystyle = \lim_{x\to 0^-}  \frac{x^2 - 4}{x^2} = \frac{\lim \limits_{x\to 0^-}x^2 - 4}{\lim \limits_{x\to 0^-} x^2}

\displaystyle = \frac{-4}{\lim \limits_{x\to 0^-} x^2} = -\infty

 

\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^+}  \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}

\displaystyle = \lim_{x\to 0^+}  \frac{x^2 - 4}{x^2} = \frac{\lim \limits_{x\to 0^+} x^2 - 4}{\lim \limits_{x\to 0^+} x^2}

\displaystyle = \frac{-4}{\lim \limits_{x\to 0^+} x^2} = -\infty

 

C) Definisjonsmengden D_f er x-verdiene der funksjonen er definert, og verdimengden V_f er f(x)-verdiene funksjonen har. Definisjonsmengden til f(x) er her alle reelle tall unntatt null, dvs  D_f \in \mathbb{R} \setminus \{0\}

Finn verdimengden V_f

Deriverer funksjonen:

\displaystyle  D[f(x)] = D[\frac{(x+2)(x-2)}{x^2}] = D[\frac{x^2 - 4}{x^2}]

\displaystyle  = \frac{D[x^2 - 4] x^2 - (x^2 - 4) D[x^2]}{(x^2)^2}

\displaystyle  = \frac{(2x - 0) x^2 - (x^2 - 4) 2x}{x^4} = \frac{2x^3 - 2x^3 + 8x}{x^4} = \frac{8x}{x^4}

\displaystyle 8x = 0 \indent \wedge \indent x^4 = 0

\displaystyle x = 0 \indent \wedge \indent x = 0

Fortegnsskjema:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Utifra fortegnsskjemaet og grenseverdiene i A) og B) er verdimengden

\displaystyle V_f \in \langle \gets , 1 \rangle

(Altså alle reelle tall mindre enn 1)

 

Her gjengis løsningsforslaget fra

JULENØTTER 2016

OPPGAVE 84 – FUNKSJON

Gitt

\displaystyle  f(x) = \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}

 

A) Vis at f(-2) = f(2)

 

\displaystyle  f(-2) = \frac{(-2+2)(-2-2)}{(-2)^2} = \frac{0(-4)}{4} = 0

\displaystyle f(2) = \frac{(2+2)(2-2)}{2^2} = \frac{4 \cdot 0}{4} = 0

\displaystyle  f(-2) = f(2) = 0

 

B) For hvilke a er f(-a)=f(a)?

 

\displaystyle f(-a) = f(a)

\displaystyle  \frac{(-a+2)(-a-2)}{(-a)^2}= \frac{(a+2)(a-2)}{a^2} 

\displaystyle  \frac{(a^2 + 2a - 2a -4)}{a^2}= \frac{(a^2 - 2a + 2a - 4)}{a^2} 

\displaystyle  \frac{a^2 - 4}{a^2}= \frac{a^2 - 4}{a^2}

\displaystyle  \frac{0}{a^2}= 0

 

Konklusjon: a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}

 

Funksjonen er altså symmetrisk om annenaksen i hele definisjonsmengden. Her er funksjonen tegnet opp:

 

 

 

 

 

 

Neste artikkel kommer i april. Hilsen erty56.

 

MATTENØTT NR. 135 24. februar 2019

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
Tags: , ,
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 135 – FUNKSJON II

Gitt

\displaystyle  f(x) = \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}

A) Regn ut

\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x) = \lim_{x\to-\infty}  \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}

\displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x) = \lim_{x\to\infty}  \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}

Hint:

\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x) = \lim_{x\to\infty} f(x)

 

B) Regn ut

\displaystyle \lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^-}  \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}

\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^+}  \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}

Hint:

\displaystyle \lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^+} f(x)

 

C) Definisjonsmengden D_f er x-verdiene der funksjonen er definert, og verdimengden V_f er f(x)-verdiene funksjonen har. Definisjonsmengden til f(x) er her alle reelle tall unntatt null, dvs  D_f \in \mathbb{R} \setminus \{0\}

Finn verdimengden V_f

 

Denne funksjonen har vært brukt tidligere i oppgave 84. Her gjengis løsningsforslaget fra

JULENØTTER 2016

OPPGAVE 84 – FUNKSJON

Gitt

\displaystyle  f(x) = \frac{(x+2)(x-2)}{x^2}

 

A) Vis at f(-2) = f(2)

 

\displaystyle  f(-2) = \frac{(-2+2)(-2-2)}{(-2)^2} = \frac{0(-4)}{4} = 0

\displaystyle f(2) = \frac{(2+2)(2-2)}{2^2} = \frac{4 \cdot 0}{4} = 0

\displaystyle  f(-2) = f(2) = 0

 

B) For hvilke a er f(-a)=f(a)?

 

\displaystyle f(-a) = f(a)

\displaystyle  \frac{(-a+2)(-a-2)}{(-a)^2}= \frac{(a+2)(a-2)}{a^2} 

\displaystyle  \frac{(a^2 + 2a - 2a -4)}{a^2}= \frac{(a^2 - 2a + 2a - 4)}{a^2} 

\displaystyle  \frac{a^2 - 4}{a^2}= \frac{a^2 - 4}{a^2}

\displaystyle  \frac{0}{a^2}= 0

 

Konklusjon: a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}

 

 

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 134 – POLYNOMDIVISJON

\displaystyle (x + 1) er faktor i \displaystyle x^3 - 2x^2 - x + 2

Finn løsningene til

\displaystyle x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0

Den ene løsningen finnes ved

\displaystyle x + 1 = 0

\displaystyle x = -1

Utfører polynomdivisjon:

\displaystyle \underline{(x^3 - 2x^2 - x + 2)} : (x+1) = x^2 - 3x + 2

\displaystyle -(x^3 + x^2)

\displaystyle \underline{= -3x^2 - x + 2}

\displaystyle -(-3x^2 -3x)

\displaystyle \underline{= 2x + 2} 

\displaystyle -(2x + 2)

\displaystyle =0

De to andre løsningene finnes ved

\displaystyle x^2 - 3x + 2 = 0

\displaystyle (x - \frac{3}{2})^2 = -2 + (-\frac{3}{2})^2

\displaystyle (x - \frac{3}{2})^2 = -2 + (\frac{9}{4})

\displaystyle (x - \frac{3}{2})^2 = \frac{1}{4}

\displaystyle \sqrt{(x - \frac{3}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4}}

\displaystyle x - \frac{3}{2} = \pm \frac{1}{2}

\displaystyle x = \pm \frac{1}{2} + \frac{3}{2}

\displaystyle x = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \indent \vee \indent x = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = \frac{4}{2} = 2

\displaystyle \Downarrow

\displaystyle L = \{ -1, 1, 2 \}

 

Neste innlegg kommer i mars. Hilsen erty56.

MATTENØTT NR. 127 30. november 2018

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
Tags: , ,
add a comment

Hei igjen!

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 127 – TREKANTER IV

Gitt en halvsirkel med radius r = 1. CD er forlengelsen av diameteren med lengden CD = 1. AD er tangent til halvsirkelen. B ligger midt på sirkelbuen AC. Figur:

 

 

 

 

 

 

A) Hva blir lengden av AD ?

B) Hva blir lengden av BD ?

 

Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:

OPPGAVE 126 – SPESIELL EKSPONENT

Gitt

\displaystyle 3^{2x^2 - 7x + 3} = 4^{x^2 - x -6}

Finn verdiene av x.

Hint: Man kan løse denne ved å først ta logaritmen til begge sider, og deretter regne en annengradsligning. Det blir to reelle løsninger. Mer om løsning av annengradsligninger finnes her:

ANNENGRADSLIGNINGER OG PARABELEN

Løsningsforslag etter hintet:

\displaystyle 3^{2x^2 - 7x + 3} = 4^{x^2 - x -6}

\displaystyle \ln (3^{2x^2 - 7x + 3}) = \ln (4^{x^2 - x -6})

\displaystyle (2x^2 - 7x + 3) \ln 3 = (x^2 - x -6) \ln 4

\displaystyle x^2 (2 \ln 3 - \ln 4) + x (-7 \ln 3 + \ln 4) + 3 \ln 3 + 6 \ln 4 = 0

\displaystyle x = \frac{7 \ln 3 - \ln 4 \pm \sqrt{(-7 \ln 3 + \ln 4)^2 - 4 (2 \ln 3 - \ln 4)(3 \ln 3 + 6 \ln 4)}}{2 (2 \ln 3 - \ln 4)}

\displaystyle x = \frac{7 \ln 3 - \ln 4 \pm \sqrt{49 (\ln 3)^2 - 14 \ln 3 \ln 4 + (\ln 4)^2 + (-8 \ln 3 + 4 \ln 4)(3 \ln 3 + 6 \ln 4)}}{2 (2 \ln 3 - \ln 4)}

\displaystyle x = \frac{7 \ln 3 - \ln 4 \pm \sqrt{49 (\ln 3)^2 - 14 \ln 3 \ln 4 + (\ln 4)^2 - 24(\ln 3)^2 - 36 (\ln 3)(\ln 4) + 24 (\ln 4)^2)}}{2 (2 \ln 3 - \ln 4)}

\displaystyle x = \frac{7 \ln 3 - \ln 4 \pm \sqrt{25 (\ln 3)^2 - 50 \ln 3 \ln 4 + 25 (\ln 4)^2}}{2 (2 \ln 3 - \ln 4)}

\displaystyle x = \frac{7 \ln 3 - \ln 4 \pm \sqrt{5^2 (\ln 3 - \ln 4)^2}}{2 (2 \ln 3 - \ln 4)}

\displaystyle x = \frac{7 \ln 3 - \ln 4 \pm 5 (\ln 3 - \ln 4)}{2 (2 \ln 3 - \ln 4)}

\displaystyle x = \frac{7 \ln 3 - \ln 4 + 5 (\ln 3 - \ln 4)}{2 (2 \ln 3 - \ln 4)} \vee x = \frac{7 \ln 3 - \ln 4 - 5 (\ln 3 - \ln 4)}{2 (2 \ln 3 - \ln 4)}

\displaystyle x = \frac{12 \ln 3 - 6 \ln 4}{2 (2 \ln 3 - \ln 4)} \vee x = \frac{2 \ln 3 + 4 \ln 4}{4 \ln 3 - 2 \ln 4}

\displaystyle x = \frac{6 (2 \ln 3 - \ln 4)}{2 (2 \ln 3 - \ln 4)} \vee x = \frac{\ln 3 + 2 \ln 4}{2 \ln 3 - \ln 4}

\displaystyle x = \frac{6}{2} \vee x = \frac{\ln 3 + \ln (4^2)}{\ln (3^2) - \ln 4}

\displaystyle x = 3 \vee x = \frac{\ln 3 + \ln 16}{\ln 9 - \ln 4}

\displaystyle x = 3 \vee x = \frac{\ln 48}{\ln 9 - \ln 4}

 

Julenøtter kommer i desember. Hilsen erty56.

TIDSREISER 25. juni 2016

Posted by erty56 in Moderne Fysikk, Populærvitenskap generelt.
add a comment

Hei igjen!

Er tidsreiser mulige? Svaret er både ja og nei. Nei ved små hastigheter, men ja ved svært høye hastigheter. Her følger 2 eksempler:

1. Doppler-effekten

Lydens hastighet er ca. 340 m/s i luft og vi betrakter dette med såkalte klassiske ligninger. Dette innebærer ingen reise i tid. En radiomast varsler flyalarm-prøve. En bil A kjører mot masten(kilden) og en annen bil B kjører fra kilden.

t14a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Hastighetene til observatører i bilene kan betraktes enkelt og greit som:

vobservatør = vlyd + vbil A

vobservatør = vlyd – vbil B

Slike typer ligninger gjelder kun når v << c. Vi har en formelsammenheng mellom hastigheten v og frekvensen f.

Denne gir

fobservatør  = flyd (vlyd +/- vbil  )/vlyd

Observatører i bil A hører altså lyd med en høyere frekvens enn utgangspunktet flyd, og de i bil B en lyd med lavere frekvens enn flyd. Rent intuitivt skulle man kanskje tro at slik vil regnestykkene alltid bli. Men da vil vi kunne få hastigheter høyere enn c, og dette er ikke mulig ifølge relativitetsteorien.

2. Romskip med høy hastighet

Vi later som et romskip har en hastighet tilsvarende 60% av lysets hastighet og betrakter dette med såkalte relativistiske ligninger. Lysets hastighet er definert c = 299.792.458 m/s i vakuum. Her reiser romskipet fremover i tid. Dagens teknologi kan ikke i nærheten gi denne hastigheten, men teorien begrenser oss i utgangspunktet kun til lysets hastighet. Her er hastigheten såpass høy at vi bruker relativistiske ligninger. Romskipet kjører en liten ferd på et døgn. For romskipet vil dette være tiden t0 = 1 døgn. Vi på jorden vil imidlertid betrakte at tiden

 

t15b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

er gått. Romskipet har altså reist 1 døgn, mens det for observatører på jorden er gått 1,25 døgn.

Konklusjon: Når v er svært lav, får man t = γ t0 ≈ t0.  Dette gir ingen tidsforskjell mellom forskjellige observatører. Altså ingen reise i tid. Eksempel 1 er et slikt tilfelle. Når v er svært høy, vil man få en tidsforskjell mellom forskjellige observatører. 2. Romskip med høy hastighet er et eksempel på dette. Altså en reise i tid.

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 77 – GEOMETRISK REKREASJON II

 

t14c

 

 

 

 

 

 

Gitt figuren over som viser en halvsirkel med en innskrevet trekant. Den ene siden i trekanten er 10 og arealet av halvsirkelen er {18,625 \pi}. Finn arealet av trekanten. Tips: Halvsirkelens radius r er tegnet med blått på figuren.

 

Her kommer løsningsforslag av forrige måneds:

OPPGAVE 76 – ENKEL ALGEBRA

A) 60 {\%} av et tall er 150. Hva er tallet?

Kaller tallet x

\displaystyle x \cdot 0,6 = 150

\displaystyle x = \frac{150}{0,6} = 250

Tallet er 250


B) {\sqrt{4^3}} er lik et naturlig tall (hele og positive). Hvilket?


\displaystyle \sqrt{4^3} = \sqrt{4^2 \cdot 4} = 4 \sqrt{4} = 4 \cdot 2 = 8


C) {\sqrt{2^8}} er også lik et naturlig tall. Hvilket?


\displaystyle \sqrt{2^8} = \Huge 2^{\frac{8}{2}} = 2^4 = 2^2 \cdot 2^2 = 4 \cdot 4 = 16


Neste artikkel kommer i juli. Hilsen erty56.

NY MATTENØTT + FASIT OPPGAVE 70 27. februar 2016

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Denne gangen kommer bare en ny mattenøtt. Innlegget neste måned vil gå nøyere inn på teori tilknyttet oppgave 71.

 

OPPGAVE 71 – FINN SUMMEN

De naturlige tallene er hele og positive tall: 1, 2, 3, …

Rekken av oddetallene kan skrives 1 + 3 + 5 + 7 + … + 2n – 1

der n er et naturlig tall

Kan du finne en sum for rekken av oddetallene uttrykket ved n?

(antar her at n er endelig, altså ikke en uendelig rekke av oddetall)

 

Her kommer løsningsforslag av forrige måneds:

OPPGAVE 70 – GEOMETRISKE FORHOLD

Et kvadrat er innskrevet i en sirkel. Sirkelen er innskrevet i en likesidet trekant. Finn forholdet mellom arealet av kvadratet {A_1}, sirkelen {A_2} og trekanten {A_3}, altså {A_1 : A_2 : A_3} . Skisse:

t10b

 

 

 

 

 

 

 

 

(Hint: Uttrykk alle tre arealene ved radius i sirkelen r. Trekanten er et polygon, så benytt arealformelen {A = \frac{1}{2} a \cdot p})

t10c

 

 

 

 

 

 

 

 

Sirkelen:

\displaystyle A_2 = \pi \cdot r^2

Kvadratet:

\displaystyle x^2 + x^2 = (2r)^2

\displaystyle 2x^2 = 4r^2

\displaystyle x^2 = 2r^2

\displaystyle A_1 = x^2 = 2r^2

Trekanten:

\displaystyle \tan 30^{\circ} = \frac {r}{\frac{1}{2} s}

\displaystyle \frac{1}{2} s = \frac{r}{\tan 30^{\circ}}

\displaystyle s = \frac{2r}{\tan 30^{\circ}}

Trekanten er et regulært polygon med apothem {a = r} og omkrets {p = 3s}

\displaystyle A_3 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot p

\displaystyle A_3 = \frac{1}{2} \cdot r \cdot 3s

\displaystyle A_3 = \frac{1}{2} \cdot r \cdot 3 \cdot \frac{2r}{\tan 30^{\circ}}

\displaystyle A_3 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}} \cdot r^2

\displaystyle A_3 = 3 \sqrt{3} r^2

 

Konklusjon:

\displaystyle A_1 : A_2 : A_3 = 2r^2 : \pi r^2 : 3 \sqrt{3} r^2 = 2 : \pi : 3 \sqrt{3}

 

Neste artikkel kommer i mars. Hilsen erty56.

FLERE NYE MATTENØTTER 14. september 2015

Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Her kommer flere mattenøtter:

OPPGAVE 60 – DIVISJONER

A) Hva blir 1/2 delt på 0,5?

B) Hva blir 2 delt på 0,5?


OPPGAVE 61 – ENKEL REGNING

En høyskole har A ansatte og S studenter. 60 {\%} av studentene er kvinner og 40 {\%} er menn. Det er 5 ganger mer studenter enn ansatte og A + S = 600. Hvor mange kvinnelige studenter er det, hvor mange mannlige studenter er det og hvor mange ansatte er det?


OPPGAVE 62 – SISTE SIFFER I TALL

Siste siffer i {22^5} og 22 er det samme.

A) Hva blir siste siffer i {67^5} ?
B) Hva blir siste siffer i {11^5} ?


OPPGAVE 63 – NØTT

En kartong har svarte, blå, røde og hvite klosser. For hver kloss er det 8 andre med samme farge. Hvor mange klosser er det i kartongen?

 

Her kommer løsningsforslag av juli-nøttene:

OPPGAVE 59 – KVADRAT OG LINJE

A) Gitt et kvadrat med diagonalen d (i blått) som vist på figuren:

t5
 

 

 

 

 


{d = \sqrt{18}}. Hva er en side s i kvadratet?


Pytagoras setning gir:

\displaystyle s^2 + s^2 = d^2

\displaystyle 2s^2 = d^2

\displaystyle s^2 = \frac{d^2}{2} = \frac{\sqrt{18}^2}{2} = \frac{18}{2} = 9

\displaystyle s = 3

 

B) Gitt en linje med punktene (-1 , -2), (2 , 1) og (x , 2). Hva blir x?

Tips: En linje har ligningen y = ax + b, der a er stigningstallet og b er skjæringspunktet med y-aksen.

\displaystyle a =\frac{ \Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

 

der {(x_1 , y_1)} og {(x_2 , y_2)} er to punkter på linjen. Man har også formelen:

\displaystyle y - y_1 = a (x - x_1)

 

der {(x_1 , y_1)} er et punkt på linjen.
 

\displaystyle a =\frac{ \Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{1- (-2)}{2 - (-1)} = \frac {1+2}{2+1} = \frac{3}{3} = 1

 

\displaystyle y - (-2) = 1 (x - (-1))

\displaystyle y + 2 = x + 1

\displaystyle y = x -1

\displaystyle 2 = x - 1

\displaystyle x = 2 + 1 = 3


Neste innlegg kommer i oktober. Hilsen erty56.

NY HJEMMESIDE FOR FORLAGET MITT 31. august 2015

Posted by erty56 in Matematikk, Moderne Fysikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Dessverre utgår august-innlegget her på Realfagshjørnet. Jeg driver et spesialistforlag på hobbybasis. Hjemmesiden har ligget nede en stund, men er nå oppe igjen:

http://www.forlag.tk

Dersom noen er interessert i å løse mattenøtter, ligger det nå totalt 59 oppgaver (og enda flere deloppgaver) her på Realfagshjørnet.

Neste innlegg kommer i september, samt løsningsforslag til oppgave 59. Hilsen erty56.

KJEGLEPENDEL 30. juni 2015

Posted by erty56 in Moderne Fysikk, Populærvitenskap generelt.
Tags: , , , , , , ,
add a comment

Hei igjen!

I fysikkfaget opererer man med to typer pendler. En fysisk pendel der man regner med snorens masse, og en matematisk pendel der man neglisjerer snorens masse. Sistnevnte er et eksempel på en matematisk idealisering. Slike idealiseringer vil man finne i bl.a. naturvitenskap, økonomi osv. Slike idealiseringer og tilnærminger er ikke det samme som matematikk. De er et forsøk på å beskrive ting i naturen med et enkelt matematisk språk. I selve matematikkfaget vil man derimot overhode ikke finne slike tilnærminger.

Fester man en kule i en snor, og lar den svinge rundt i en bestemt sirkel, vil dette tilsvare en kjegle geometrisk sett. Kjeglependelen er en variant av den matematiske pendel. Videre antar vi at kulen går i konstant fart i sirkelbanen, og får:

\displaystyle v = \frac{2\pi r}{T}

Etter Newtons lover gir konstant fart (ingen akselerasjon) ingen kraft. Men dette gjelder ved bevegelse langs en rett linje. I og med at farten hele tiden skifter retning i sirkelbanen gir dette opphav til en sentripetalakselerasjon. Resultantkraften blir:
\displaystyle \Sigma F = m \cdot a = m \cdot \frac{v^2}{r}

Denne kalles sentripetalkraft. Her følger figur over kjeglependelen:

t2a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G er tyngdekraften til kulen med masse m, S er snordraget(en kraft) og {\Sigma}F er resultantkraften. l er lengden av snoren og r er radius i sirkelbanen.

\displaystyle \cos \alpha ' = \frac{G}{S'} \indent \wedge \indent \sin \alpha = \frac{\Sigma F}{S} \indent\wedge \indent \sin \alpha = \frac{r}{l}

Geometrisk er { \alpha ' = \alpha} og man finner omløpstiden T ved

 

\displaystyle S = S'

 

\displaystyle \frac{\Sigma F}{ \sin \alpha} = \frac{G}{ \cos \alpha}

 

Etter noe mellomregning der man også benytter {v = \frac{2\pi r}{T}} blir resultatet:

 

\displaystyle T = 2\pi \sqrt{\frac{l \cdot \cos \alpha}{g}}

Omløpstiden er altså uavhengig av kulens masse. Gitt en kule med snorlengde 25 cm (=0,25 m) og vinkel {\alpha = 30^{\circ}} får man altså

\displaystyle T = 2\pi \sqrt{\frac{l \cdot \cos \alpha}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{0,25 m \cdot \cos 30^{\circ}}{9,81 m/s^2}} \approx 0,93 s

Fartsformelen er også uavhengig av massen:

\displaystyle v = \frac{2\pi r}{T} = \sqrt{r\cdot g \cdot \tan \alpha}

Intuitivt skulle man kanskje tro at massen skulle virke inn på fart og tid for pendelen. Men lar man f.eks. en lett og tung ting falle fra samme høyde, vil de nå bakken med samme fart. Det eneste som påvirker er igjen g, tyngdens akselerasjon. På jordoverflaten er {g=9,81 m/s^2}. Utover i rommet varierer den imidlertid. På månen er den ca. {1,62 m/s^2}, og ute i det tomme rom svært lav. Generelt er tyngdekraften av et legeme gitt ved

\displaystyle G = m \cdot g

 
der m er massen av legemet og g tyngdens akselerasjon(feltstyrken). Massen av et legeme er den samme overalt i rommet. 1 kg. på jorden er også 1 kg. overalt ellers i universet. Mens feltstyrken g som sagt varierer.

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 58 – TALL

A) Finn x i følgende:

 
\displaystyle 2 - \frac{2}{2 - x} = \frac {2}{2 - x}

 

B) En hage består av et kvadratisk areal, altså fire like sider. Hagen bygges om til et rektangel ved at to og to parallelle sider øker med p{ \%} og minker med p {\%}. Da er hagen blitt 4 {\%} mindre. Hva er p ?

Til slutt løsningsforslag av forrige måneds:

OPPGAVE 57 – AREALBEREGNING

Figuren viser et rektangel som er delt opp i fire rektangler. Arealene av tre av dem er 8, 16 og 24. Alle sidene til alle rektanglene er naturlige tall(hele og positive). Hva er arealet av A? (Figuren er bare en skisse. Man finner ikke svaret ved å måle på figuren).

t2b

 

 

 

 

 

 

Man kan sette opp ligninger av figuren

t2c

 

 

 

 

 

 

 

 

\displaystyle x \cdot y = 24
\displaystyle y \cdot z = 8
\displaystyle z \cdot w = 16

Dette settet har en mer ukjent en antall ligninger. Løsningen gir en fri variabel:

\displaystyle x = x
\displaystyle y = 24 \cdot \frac{1}{x}
\displaystyle z = \frac{1}{3} \cdot x
\displaystyle w = 48 \cdot \frac{1}{x}

Ifølge oppgaveteksten er x, y, z og w naturlige tall. Man setter x=1, x=2, x=3, x=4, x=5 og x=6 og ser hvilke tall y, z og w blir for disse x-verdiene. For x=1, x=2, x=4 og x=5 blir ikke samtlige y, z og w naturlige tall. For x=3 og x=6 får man løsningene:

\displaystyle (x, y, z, w) = (3, 8, 1, 16) \indent og \indent A = w \cdot x = 16 \cdot 3 = 48
\displaystyle (x, y, z, w) = (6, 4, 2, 8) \indent og \indent A = w \cdot x = 8 \cdot 6 = 48

Konklusjon: Man ser ved innsetting at minst en løsning er funnet, og trenger ikke prøve flere x-verdier. A = 48 for begge mulige (x, y, z, w). Svar: A = 48.

Neste artikkel kommer i juli. God sommer! Hilsen erty56.

Artikkelen kan lastes ned som pdf-fil her:
Kjeglependel

IDEALISERING – MATEMATIKK OG NATUREN 30. januar 2015

Posted by erty56 in Matematikk, Moderne Fysikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.
add a comment

Hei igjen!

Matematikk har en basis kalt aksiomer. Dette er absolutte sannheter. De er intuitivt riktige og bevises ikke. Utifra aksiomene utledes setninger ved hjelp av streng logikk, og disse må også bevises. Kun 1 mot-eksempel ekskluderer en hypotese/setning fra og være riktig. Man er altså 100 % sikker innenfor matematikk. Matematikk er forøvrig den eneste vitenskapen hvor man kan være 100 % sikker.

I naturvitenskapen har man også en høy sikkerhetsgrad imot hva man f.eks. har i samfunnsvitenskap, sosialvitenskap osv. Fysikk skiller seg ut med en svært høy grad av sikkerhet. En formel/setning postuleres, og dersom denne ved gjentatte eksperimenter bekreftes er man nesten helt sikker. I og med at nesten alle naturlovene i fysikk er matematiske formler osv., sier man at fysikk er en matematisk beskrivelse av naturen. Sikkerhetsgraden kan kanskje anslås til ca. 99 %, mot matematikkens 100 %

Arbeidsmetoden vil også være noe forskjellig. Matematikk er en vitenskap hvor man anvender papir og penn, mens i fysikken må man også gjennomføre laboratorieforsøk i tillegg til bruk av papir og penn.

Setninger og formler i fysikk er gjerne matematiske idealiseringer av naturen. F.eks. er de satt opp som om det man betrakter befinner seg i vakuum. Dette er selvsagt ikke det samme som at de er «feil» i virkeligheten/naturen. Man får bittesmå avvik ved f.eks. luftmotstand som ingeniørene også må ta hensyn til i sine modeller. For å si noe om hvor lite slike «feilkilder» kan være, tenkte jeg å ta for meg følgende eksempel: en pendel.

En planpendel er en kule med en tynn snor. Man har 2 varianter: En matematisk pendel der man regner snoren som masseløs, og en fysisk pendel der man medregner snorens masse. Noen vil kanskje innvende at en slik matematisk pendel ikke finnes. Strengt tatt finnes det jo ikke en masseløs snor. Det er igjen en matematisk idealisering. Men la oss si at snoren har en masse på 0,1 gram og kulen på 100 kg. Forskjellen i masse hos snor og kule vil være så stor at snoren kan neglisjeres.

Å14b

Dersom man setter opp formler for disse 2 pendlene, vil man få til resultat at perioden T blir noe forskjellig. Den blir T = 2π √(2l/3g) for fysisk pendel og T = 2π √(l/g) for matematisk pendel.

På figuren over er begge pendlene tegnet opp. Det er ikke slik at fysisk og matematisk pendel betraktes utifra hhv. fysikk eller matematikk. De tilhører begge fysikkfaget. I fysikk godtar man generelt noen mindre tilnærminger. I matematikken stiller man seg derimot skeptisk til selv den minste tilnærming. Der søker man eksakte svar og eksakt viten.

Ovenfor omtalte jeg «virkeligheten» og naturen som det samme. Fysikkfaget legger opp til at naturen selv skal svare gjennom forsøk for å bekrefte eller avkrefte en hypotese. Det finnes også andre tilnærminger til fysikken. Kanskje er de eksperimentene vi hittil har gjort bare en mindre avdekking av et mye større system – et aksiomsystem for fysikken. Det er heller ikke slik at all viten er kjent idag. Da nesten alt i fysikken kan beskrives matematisk vil jeg anta at det kanskje finnes en basis av aksiomer også for fysikken.

Man har også den klassiske konflikten om naturlovene er oppfunnet eller oppdaget. Jeg mener at de utelukkende er oppdaget, og aldri oppfunnet. Gravitasjonskreftene var selvsagt de samme både før og etter Newton satte navn på dem. Det spesielle her er at Newton var den første som klarte å gi en vitenskapelig forklaring på dette. 

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 50 – TRE ENKLE MATEMATISKE REKREASJONER

A) En katt og en hund veier tilsammen 27 kg. Dersom hunden veier dobbelt så mye som katten, hva veier hver av dem?

B) Uttrykk tallet 13 ved en multiplikasjon av to hele tall.

C) En trekant har sidene 17, 35 og 52 som vist på figuren.

Å14c

Hva er arealet av trekanten?

 

Her kommer løsningsforslag til desember-oppgaven:

OPPGAVE 49 – GEOMETRISK NØTT

Alle sider i kvadratet ABCD er 1 og vinklene ∠EDC  = ∠ECD = 15°

Å14

tan 15° = x / ½

x = ½  tan 15°

(1 – x)² + (½)² = y²

y² = (1 – ½  tan 15°)² + (½)²

y² = 1 – tan 15° + ¼ (tan 15°)² + ¼

y² = 1,25 – 0,25 = 1

y = ± 1 = 1

AE beregnes på akkurat samme måte som BE(y). Ergo er AE = BE = AB = 1 og trekanten er likesidet.

 

Neste artikkel kommer i februar. Hilsen erty56.

HVOR GAMMELT ER UNIVERSET? 15. mai 2014

Posted by erty56 in Moderne Fysikk, Populærvitenskap generelt.
add a comment

Hei igjen!

Ifølge standardmodellen startet universet med big bang. Både tid og rom startet med dette. Her følger en skisse over visse faser universet har gått gjennom fra big bang til nå:

 

Astronomen Hubble oppdaget i 1929 at galaksene fjerner seg fra oss. Dette kunne uttrykkes ved formelen

v = H ⋅ r

der v er farten galaksene fjerner seg fra oss og r er avstanden. Dette kan generaliseres til at galaksene fjerner seg fra hverandre, der farten v er proporsjonal med avstanden r mellom galaksene. Galaksene er gjerne samlet i større galaksehoper. Det blir mer og mer tomt rom mellom galaksehopene, men hver galaksehop er stort sett i ro i forhold til sin lokale del av rommet. v er altså avstandsøkning pr. tid.

Verdien for konstanten H blir mer og mer nøyaktig bestemt:

1995: H = (20 ± 5) km/s per million l.y.
1998: H = (20 ± 3) km/s per million l.y.
2014: H = (21,7 ± 1) km/s per million l.y.

1 l.y. = 1 lysår = 9,46 ⋅ 10¹⁵ meter

Dersom man gjør en del forenklinger kan man finne et estimat for hvor gammelt universet er. For det første antar vi at universet har utvidet seg med konstant fart helt fra starten. For det andre betrakter vi tiden som fra big bang til nå. To fritt valgte galakser som fjerner seg fra hverandre med farten v har nå avstanden s = r

v=Hr_regning

Merknad: Universet har ikke utvidet seg med konstant fart hele tiden. Dessuten ser vi jo på figuren over at det ikke engang fantes galakser i starten. Så tiden for universets alder blir kun et slags anslag for hvor gammelt universet er.

Lenge var estimatet ca. 15 milliarder år vanlig for universets alder. Nå er ca. 13,7 milliarder år mer vanlig. Observasjoner av de eldste stjernene gir selvsagt et minimum for universets alder i praksis. Jeg har sett tall på dette i intervallet ca. 13 – ca. 15 milliarder år. Hva så med universets fremtid? Man har en kritisk tetthet ρₒ  Gitt universets tetthet ρ får vi følgende:

ρρₒ  ⇒  universet er lukket

ρ  = ρₒ ⇒  universet er flatt

ρ < ρₒ ⇒  universet er åpent

Illustrasjon:

univers_2

Merknad: Estimatet 0-2000 milliarder år er ikke 100% sikker viten

Målingene er nær ρₒ  Mange fysikere tror at  ρ = ρₒ  Dette er en oppfatning jeg deler. En artikkel i Scientific American hadde også et grafikk-bilde som resultat av omfattende data der ρ  = ρₒ var mest sannsynlig.

 

Her kommer løsningsforslag til april-oppgaven:

OPPGAVE 39 – ENKEL ALGEBRAISK GEOMETRI

A) Hvilken figur bestemmes av x² + y² = 1

Svar: x² + y² = 1  definerer en sirkel med sentrum i origo (0,0) og radius r=1 i xy-planet.

B) Hvilken figur bestemmes av x² + y² + z² = 1

Svar: x² + y² + z² = 1  definerer en kule med sentrum i origo(0,0,0) og radius r=1 i xyz-rommet. Med en slik kuleradius menes at enhver lengde fra origo(0,0,0) til et tilfeldig punkt (x,y,z) på kuleoverflaten er 1.

C) To plan skjærer hverandre/har fellespunkter. De er ikke sammenfallende(det samme planet). Hvilken figur bestemmes av snittet(alle skjæringspunkter) ?

Svar: To slike skjærende plan gir en rett linje som snitt.

D) Et plan «deler» en kule i 2 deler. Hvilken figur bestemmes av snittet(alle skjæringspunkter) mellom kulen og  planet ?

Svar: Snittet blir en sirkel uansett hvor planet «deler» kulen.

 

Her kommer en ny mattenøtt:

OPPGAVE 40 – FUNKSJONSNØTT

Gitt  f(1) = 1  og  f(n) = n + f(n-1)  for alle naturlige tall n ≥2

A) Finn  f(6)

B) Vis at  f(n) = ½ n (n+1)

 

Neste artikkel kommer i juni. Hilsen erty56.

Populære norske blogger

MELDING APRIL 2014 30. april 2014

Posted by erty56 in Populærvitenskap generelt.
add a comment

Hei igjen!

Dessverre utgår april-innlegget her på Realfagshjørnet. Neste artikkel kommer i løpet av mai måned, og vil omhandle universets alder. Løsningsforslag til OPPGAVE 39 kommer selvsagt også. (Dersom noen vil løse mattenøtter er det allerede lagt ut 38 oppgaver, alle med løsningsforslag i innlegget etter).

Hilsen erty56.

%d bloggere like this: