JULENØTTER 2020 – FASIT 14. januar 2021
Posted by erty56 in Moderne Fysikk.add a comment
Hei igjen!
Her kommer løsningsforslag til forrige måneds julenøtter:
OPPGAVE 160 – MYNT OG KRONE
Man kaster et kronestykke 2 ganger. Det lander på krone eller mynt.
Kaller mynt M og krone K. Mulige utfall blir:
MM
MK
KM
KK
A) Hva er sannsynligheten for å få krone begge 2 ganger?
B) Hva er sannsynligheten for å få mynt og krone en gang hver?
OPPGAVE 161 – ENKELT REGNESTYKKE
Regn ut produktet
OPPGAVE 162 – BANKINNSKUDD
Et beløp på 10.000 kr settes inn på en bankkonto. Renten er 5 % de første 5 årene. Deretter 7 % de neste 3 årene, og deretter 4 % i 2 år. Hva har beløpet vokst til i løpet av disse 10 årene?
OPPGAVE 163 – PARABEL
Gitt annengradsfunksjonen
med bunnpunkt i (1 , 0). Finn b og c.
Hint: Se
ANNENGRADSLIGNINGER OG PARABELEN
Denne oppgaven kan løses på flere måter. Her følger en av dem:
Siden funksjonen har bunnpunkt i (1 , 0) er x = 1 dobbeltrot i f(x) = 0, da grafen skjærer x-aksen (y = 0) i kun dette ene punktet.
Svar: b = -2 og c = 1
OPPGAVE 164 – LIGNINGER OG LINJER
Gitt to ligninger med to ukjente på generell form
To slike ligninger kan tegnes som to linjer i planet på tre forskjellige måter. Linjene er tegnet i blått på alle illustrasjonene.
1) Et krysningspunkt (x , y)
2) Parallelle og ikke-sammenfallende linjer
3) Parallelle og sammenfallende linjer
Ligningene har tre mulige løsninger:
A) Ingen løsning
B) Uendelig mange løsninger
C) En løsning
Hvilke av illustrasjonene 1), 2) og 3) tilsvarer A) B) og C) ?
De tre forskjellige løsningsmengdene tilsvarer de tre illustrasjonene:
1) og C)
Et krysningspunkt (x , y) tilsvarer en eksakt løsning for x og samtidig y.
2) og A)
Ingen krysningspunkter (parallelle og ikke-sammenfallende linjer) tilsvarer ingen løsning for x og y.
3) og B)
Uendelig mange krysningspunkter (parallelle og sammenfallende linjer) tilsvarer uendelig mange løsninger for x og y.
Her kommer en ny mattenøtt:
OPPGAVE 165 – VANSKELIG OPPGAVE
Gitt følgende trekant ABC
a, b og c er motstående sider til hjørnene A, B, og C. Det er tegnet en blå linje d til siden c. Denne deler siden c i to deler m og n(tegnet i rødt). Stewarts teorem sier at
Bevis dette teoremet.
Neste artikkel kommer i februar. Hilsen erty56.
JULENØTTER 2020 14. desember 2020
Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.add a comment
Hei igjen!
Denne gangen kommer julenøtter i form av noen nye matematiske quiz og grublerier:
OPPGAVE 160 – MYNT OG KRONE
Man kaster et kronestykke 2 ganger. Det lander på krone eller mynt.
A) Hva er sannsynligheten for å få krone begge 2 ganger?
B) Hva er sannsynligheten for å få mynt og krone en gang hver?
OPPGAVE 161 – ENKELT REGNESTYKKE
Regn ut produktet
OPPGAVE 162 – BANKINNSKUDD
Et beløp på 10.000 kr settes inn på en bankkonto. Renten er 5 % de første 5 årene. Deretter 7 % de neste 3 årene, og deretter 4 % i 2 år. Hva har beløpet vokst til i løpet av disse 10 årene?
OPPGAVE 163 – PARABEL
Gitt annengradsfunksjonen
med bunnpunkt i (1 , 0). Finn b og c.
Hint: Se
ANNENGRADSLIGNINGER OG PARABELEN
OPPGAVE 164 – LIGNINGER OG LINJER
Gitt to ligninger med to ukjente på generell form
To slike ligninger kan tegnes som to linjer i planet på tre forskjellige måter. Linjene er tegnet i blått på alle illustrasjonene.
1) Et krysningspunkt (x , y)
2) Parallelle og ikke-sammenfallende linjer
3) Parallelle og sammenfallende linjer
Ligningene har tre mulige løsninger:
A) Ingen løsning
B) Uendelig mange løsninger
C) En løsning
Hvilke av illustrasjonene 1), 2) og 3) tilsvarer A) B) og C) ?
Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:
OPPGAVE 159 – TALLFØLGE
Gitt en følge av tall der det første tallet er 2. Følgen er gitt ved
a) Finn tallene
Dette er en rekursjonsformel der man alltid kan finne tallet , dersom man kjenner verdien av leddet foran
Svaret blir
b) Finn produktet
Merknad: Man kan også regne en såkalt differensligning, og vil få svaret
Da kan man direkte finne for enhver n.
Løsningsforslag til julenøttene blir lagt ut her på Realfagshjørnet i januar. God jul! Hilsen erty56.
MATTENØTT NR. 159 18. november 2020
Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.add a comment
Hei igjen!
Her kommer en ny mattenøtt:
OPPGAVE 159 – TALLFØLGE
Gitt en følge av tall der det første tallet er 2. Følgen er gitt ved
a) Finn tallene
b) Finn produktet
Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:
OPPGAVE 158 – INTEGRASJON
Regn ut integralet
Hint: Benytt substitusjonen
Substitusjonen gir
Kvadrerer for å finne x:
Derivasjon av x m.h.p. u:
Regner først ut integralet uten integrasjonsgrensene:
Tilbake-substituerer:
(Konstantleddet C er sløyfet her, da det alltid blir borte i regnestykket).
Løsningsforslag til oppgave 159 og julenøtter blir lagt ut her på Realfagshjørnet i desember. Hilsen erty56.
MATTENØTT NR. 158 22. oktober 2020
Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.add a comment
Hei igjen!
Her kommer en ny mattenøtt:
OPPGAVE 158 – INTEGRASJON
Regn ut integralet
Hint: Benytt substitusjonen
Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:
OPPGAVE 157 – LETT GEOMETRI VII
Gitt en trekant som på figuren under.
Den har tre vinkler a, b og c. Den ytre vinkelen til a er d. Summen av vinklene b og c er 120°. Hvor mange grader er vinklene a og d?
Summen av vinklene i en trekant er alltid 180°
a + b + c = 180°
a = 180° – (b + c)
a = 180° – (120°)
a = 60°
Summen av en indre og ytre vinkel langs en linje er alltid 180°
a + d = 180°
d = 180° – a
d = 180° – 60°
d = 120°
Neste artikkel kommer i november. Hilsen erty56.
MATTENØTT NR. 157 23. september 2020
Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.add a comment
Hei igjen!
Her kommer en ny mattenøtt:
OPPGAVE 157 – LETT GEOMETRI VII
Gitt en trekant som på figuren under.
Den har tre vinkler a, b og c. Den ytre vinkelen til a er d. Summen av vinklene b og c er 120°. Hvor mange grader er vinklene a og d?
Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:
OPPGAVE 156 – ANNENGRADSLIGNING
Gitt annengradsligningen
Den har to løsninger. Summen av løsningene er 3. Produktet av løsningene er 2.
1) Finn a, b og c.
Man skriver først opp ligningen på såkalt redusert form ved å dividere med a:
Følgende sammenheng mellom løsningene og koeffisientene gjelder alltid:
Ifølge oppgaveteksten er:
Dette gir
Svar: a = 1, b = – 3 og c = 2
2) Finn selve løsningene.
Man kan enten bruke (*), eller bare regne:
Her er mer info om annengradsligninger:
ANNENGRADSLIGNINGER OG PARABELEN
Neste artikkel kommer i oktober. Hilsen erty56.
MATTENØTT NR. 156 26. august 2020
Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.add a comment
Hei igjen!
Denne gangen kommer en ny mattenøtt, samt løsningsforslag til forrige måneds mattenøtt. Den inneholder bl.a. en parabel. Enhver parabel har en symmetrilinje . Metode for å finne
gjennomgås til slutt i denne artikkelen. Først en ny nøtt:
OPPGAVE 156 – ANNENGRADSLIGNING
Gitt annengradsligningen
Den har to løsninger. Summen av løsningene er 3. Produktet av løsningene er 2.
1) Finn a, b og c.
2) Finn selve løsningene.
Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:
OPPGAVE 155 – TO FUNKSJONER
Gitt funksjonen f(x) = -x² + 3x + 1 og funksjonen g(x) = a. Disse funksjonene har grafer som krysser hverandre ved f(x) = g(x). Man vil ha følgende tre forskjellige tilfeller:
1) De har ingen fellespunkter.
2) De har ett fellespunkt.
3) De har to fellespunkter.
Finn g(x) = a for både 1), 2) og 3).
Hint: Tegn f(x), og se på f(x) = g(x).
f(x) er en parabel som ligger symmetrisk om symmetrilinjen . Den har et toppunkt i
. g(x) er en konstant funksjon, dvs. en rett linje parallell med x-aksen. Disse skjærer hverandre i akkurat et punkt når
. Se figur:
Her er f(x) tegnet i blått og g(x) i rødt. Formelen for symmetrilinjen er gitt ved
Man kan finne :
Man kan se av figuren at dersom skjærer den ikke f(x) i det hele tatt. Dersom
skjærer den f(x) i to punkter. Svaret blir altså:
1) De har ingen fellespunkter når g(x) = a > 13/4
2) De har ett fellespunkt når g(x) = a = 13/4
3) De har to fellespunkter når g(x) = a < 13/4
Her følger utledning av formelen for symmetrilinjen
En generell annengradsfunksjon (parabel) er gitt ved
Man finner nullpunktene (skjæringspunkter med x-aksen) ved
Etter noe mellomregning blir dette
I og med at symmetrilinjen ligger midt mellom nullpunktene, finner man den ved å beregne gjennomsnittet, dvs:
Formelen er forøvrig gyldig når grafen ikke har nullpunkter også. (De to x-verdiene er da komplekse tall, og resultatet blir igjen -b/2a).
Dersom man ønsker å se på mellomregningen over, og mer info om emnet:
ANNENGRADSLIGNINGER OG PARABELEN
Neste artikkel kommer i september. Hilsen erty56.
MATTENØTT NR. 155 20. juli 2020
Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.add a comment
Hei igjen!
Her kommer en ny mattenøtt:
OPPGAVE 155 – TO FUNKSJONER
Gitt funksjonen f(x) = -x² + 3x + 1 og funksjonen g(x) = a. Disse funksjonene har grafer som krysser hverandre ved f(x) = g(x). Man vil ha følgende tre forskjellige tilfeller:
1) De har ingen fellespunkter.
2) De har ett fellespunkt.
3) De har to fellespunkter.
Finn g(x) = a for både 1), 2) og 3).
Hint: Tegn f(x), og se på f(x) = g(x).
Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:
OPPGAVE 154 – BYGGEPLASS
Fem menn graver ut jord fra bakken på en byggeplass. Hullet er 1 meter bredt, 3 meter langt og 2 meter dypt. Etter en stund er de ferdig. Hvor mye jord er det i hullet?
Svar: Ingenting. Når de etter en stund er ferdig, er jo hullet tomt.
Neste artikkel kommer i august. Hilsen erty56.
MATTENØTT NR. 154 24. juni 2020
Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.add a comment
Hei igjen!
Her kommer en ny mattenøtt:
OPPGAVE 154 – BYGGEPLASS
Fem menn graver ut jord fra bakken på en byggeplass. Hullet er 1 meter bredt, 3 meter langt og 2 meter dypt. Etter en stund er de ferdig. Hvor mye jord er det i hullet?
Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:
OPPGAVE 153 – FINN BRØKEN
Gitt brøken x/y. Dersom man legger til 1 i både teller og nevner, blir brøken 1/2. Dersom man trekker fra 1 i både teller og nevner, blir brøken 1/4. Hva er tallene x og y i brøken x/y?
Oppgaveteksten gir:
Svar: x = 2 og y = 5. Brøken blir
Neste artikkel kommer i juli. Hilsen erty56.
MATTENØTT NR. 153 25. mai 2020
Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.add a comment
Hei igjen!
Her kommer en ny mattenøtt:
OPPGAVE 153 – FINN BRØKEN
Gitt brøken x/y. Dersom man legger til 1 i både teller og nevner, blir brøken 1/2. Dersom man trekker fra 1 i både teller og nevner, blir brøken 1/4. Hva er tallene x og y i brøken x/y?
Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:
OPPGAVE 152 – IDENTITET MED FUNKSJONER
Gitt
Finn f(x) og g(x). Merknad:
Løsningsforslag:
x = 2 gir [x³ – 2x² + x – 2] = 0
x = 1 gir [x³ – x² + x – 1] = 0
x² + 1 = 0 har ikke reelle løsninger, og x² + 1 kan derfor ikke faktoriseres.
Neste artikkel kommer i juni. Hilsen erty56.
MATTENØTT NR. 152 25. april 2020
Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.add a comment
Hei igjen!
Her kommer en ny mattenøtt:
OPPGAVE 152 – IDENTITET MED FUNKSJONER
Gitt
Finn f(x) og g(x). Merknad:
Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:
OPPGAVE 151 – VANSKELIG ALGEBRA
Gitt P = 1 · 2 · … · n og Q = 1 + 2 + … + n, der n er et naturlig tall. Vis at divisjonen P/Q kun går opp dersom n er et oddetall. (Et naturlig tall er hele positive tall: 1, 2, 3, …)
1) Partall: 2, 4, …
Man har allerede funnet to mot-eksempler. Divisjonen P/Q kan gå opp for noen partall, men den går ikke opp for alle partall.
2) Oddetall, n = 2m – 1, der m er et naturlig tall
m er alltid faktor i (2m – 2)!, så divisjonen P/Q går opp for alle oddetall.
Man kan skrive noen ledd for å se dette.
1 er faktor i 0!, 2 er faktor i 2!, 3 er faktor i 4!, 4 er faktor i 6!, 5 er faktor i 8! osv. (0! = 1)
Teller øker hele tiden mer enn nevner. Man har en garanti for at nevner m alltid er faktor i teller (2m – 2)!
Konklusjon: Divisjonen P/Q går kun generelt opp dersom n er et oddetall.
Neste artikkel kommer i mai. Hilsen erty56.
MATTENØTT NR. 151 27. mars 2020
Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.add a comment
Hei igjen!
Her kommer en ny mattenøtt:
OPPGAVE 151 – VANSKELIG ALGEBRA
Gitt P = 1 · 2 · … · n og Q = 1 + 2 + … + n, der n er et naturlig tall. Vis at divisjonen P/Q kun går opp dersom n er et oddetall. (Et naturlig tall er hele positive tall: 1, 2, 3, …)
Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:
OPPGAVE 150 – TO ENKLE TALLREKKER
Begge disse to tallrekkene har et tall som ikke hører hjemme blant de andre. Hvilket?
A) 1, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 13, 15, 17
Alle tallene er oddetall, bortsett fra 12 som er et partall.
Svar: 12
B) 1, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 23
Alle tallene er primtall, bortsett fra 21 som ikke er et primtall.
Svar: 21
Neste artikkel kommer i april. Hilsen erty56.
MATTENØTT NR. 150 26. februar 2020
Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.add a comment
Hei igjen!
Her kommer en ny mattenøtt:
OPPGAVE 150 – TO ENKLE TALLREKKER
Begge disse to tallrekkene har et tall som ikke hører hjemme blant de andre. Hvilket?
A) 1, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 13, 15, 17
B) 1, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 23
Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:
OPPGAVE 149 – NOE VANSKELIG GEOMETRI III
Gitt følgende figur:
Trekanten ABC har en innskrevet sirkel som tangerer alle sidene i trekanten. En slik sirkel kalles innsirkelen. Halveringslinjene til vinklene skjærer hverandre i innsenteret I, det samme som sentrum i sirkelen.
Vis at arealet av trekanten er det samme som radius r ganger halvparten av trekantens omkrets p, dvs:
Her følger ny figur:
Neste artikkel kommer i mars. Hilsen erty56.
JULENØTTER 2019 – FASIT 8. januar 2020
Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.add a comment
Hei igjen!
Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:
Til slutt i innlegget følger en ny mattenøtt.
OPPGAVE 144 – KORTSTOKK
A) Man har 3 kort. Hvor mange rekkefølger kan de stokkes i?
B) Man har 5 kort. Hvor mange rekkefølger kan de stokkes i?
Generelt kan n elementer ordnes i n! rekkefølger.
A) Svar: 3! = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6
B) Svar: 5! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120
OPPGAVE 145 – TALLREKKE MED ET AVVIK
Gitt tallene 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 22, 34, 55. Hvilket tall hører ikke hjemme her?
Bytter man ut 22 med 21, vil hvert tall være summen av de to forrige tallene. Svar: 22 hører ikke hjemme her. Dette er forøvrig de første tallene i Fibonacci-tallfølgen. Det er en matematisk tallfølge man finner igjen i visse systemer i naturen.
OPPGAVE 146 – LETT GEOMETRI VI
Gitt en sirkel som på figuren under. Arealet av det skraverte(grå) området er A = ½π – 1
Hva blir arealet A av trekanten (blå farge) ?
Hint: Se OPPGAVE 143 – LETT GEOMETRI V
Arealet av kvartsirkelen er det samme som arealet av trekanten pluss arealet av det skraverte(grå) området.
OPPGAVE 147 – REKKE AV PARTALL
Gitt en følge av n partall 2, 4, 6, … , 2n. Hva blir rekkens sum, dvs.
Dette er en aritmetisk rekke med første ledd 2 og siste ledd 2n. Summen blir gjennomsnittet av første og siste ledd ganger antall ledd n, dvs:
OPPGAVE 148 – NOE VANSKELIG GEOMETRI II
Gitt linjen XY. CZ står vinkelrett på linjen XY. AX og BY er parallelle med CZ. AY og BX skjærer hverandre i C. Se figur:
Vis at
Trekantene AXY og CZY er formlike:
Trekantene CXZ og BXY er formlike:
Her kommer en ny mattenøtt:
OPPGAVE 149 – NOE VANSKELIG GEOMETRI III
Gitt følgende figur:
Trekanten ABC har en innskrevet sirkel som tangerer alle sidene i trekanten. En slik sirkel kalles innsirkelen. Halveringslinjene til vinklene skjærer hverandre i innsenteret I, det samme som sentrum i sirkelen.
Vis at arealet av trekanten er det samme som radius r ganger halvparten av trekantens omkrets p, dvs:
Neste artikkel kommer i februar. Hilsen erty56.
JULENØTTER 2019 19. desember 2019
Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.add a comment
Hei igjen!
Denne gangen kommer julenøtter i form av noen nye matematiske quiz og grublerier:
OPPGAVE 144 – KORTSTOKK
A) Man har 3 kort. Hvor mange rekkefølger kan de stokkes i?
B) Man har 5 kort. Hvor mange rekkefølger kan de stokkes i?
OPPGAVE 145 – TALLREKKE MED ET AVVIK
Gitt tallene 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 22, 34, 55. Hvilket tall hører ikke hjemme her?
OPPGAVE 146 – LETT GEOMETRI VI
Gitt en sirkel som på figuren under. Arealet av det skraverte(grå) området er A = ½π – 1
Hva blir arealet A av trekanten (blå farge) ?
Hint: Se OPPGAVE 143 – LETT GEOMETRI V
OPPGAVE 147 – REKKE AV PARTALL
Gitt en følge av n partall 2, 4, 6, … , 2n. Hva blir rekkens sum, dvs.
OPPGAVE 148 – NOE VANSKELIG GEOMETRI II
Gitt linjen XY. CZ står vinkelrett på linjen XY. AX og BY er parallelle med CZ. AY og BX skjærer hverandre i C. Se figur:
Vis at
Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:
OPPGAVE 143 – LETT GEOMETRI V
Gitt en sirkel (svart farge) med en trekant i blå farge som på figuren:
Arealet av trekanten er A=2. Hva blir radius r i sirkelen?
I trekanten er både grunnlinje og høyde det samme som radius i sirkelen. Ergo blir
Svar: Radius r=2.
Løsningsforslag til julenøttene (OPPGAVE 144 – 148) blir lagt ut her på Realfagshjørnet i januar. God jul! Hilsen erty56.
MATTENØTT NR. 143 24. november 2019
Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.add a comment
Hei igjen!
Her kommer en ny mattenøtt.
OPPGAVE 143 – LETT GEOMETRI V
Gitt en sirkel (svart farge) med en trekant i blå farge som på figuren:
Arealet av trekanten er A=2. Hva blir radius r i sirkelen?
Løsningsforslag kommer i neste måned. Da vil det også bli lagt ut julenøtter. Hilsen erty56.
GRUNNLEGGENDE MENGDELÆRE 13. oktober 2019
Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.Tags: matematikk nøtter, matte nøtter, mattenøtter
add a comment
Hei igjen!
Denne artikkelen gir en innføring i mengdelære. Notasjonsforklaringer står til slutt.
1 Innledning
En mengde betegnes med tegnene { og }. Innholdet i mengden er elementer. F.eks. er {a , b} mengden av a og b.
Rekkefølgen av elementene har ingenting å si, så {a , b} = {b , a} osv. Gitt annengradsligningen
L er løsningsmengden. Dette kan også skrives
Like mengder har eksakt de samme elementene. F.eks.
osv. Ekvivalente mengder har like mange elementer. F.eks.
osv. Det har ingenting å si hva elementene er igjen, bare antallet.
Den tomme mengde betegnes ∅. Den er helt tom og inneholder ingen elementer. Ikke engang null. Den kan skrives
Gitt annengradsligningen
Løsningsmengden er tom. Det finnes jo ingen løsninger av denne ligningen.
Alle mengder har delmengder. Man kan konstruere delmengder av en mengde med n elementer. Gitt mengden {1 , 2 , 3}. Den har tre elementer. Dette gir 2³ = 8 delmengder:
Altså alt fra den tomme mengde til hele mengden.
2 Definisjoner ved illustrasjoner
Unionen av to mengder A og B skrives
Unionen av to mengder A og B er mengden av alle elementer som er med i A og B og begge. Se figur II.
Snittet av to mengder A og B skrives
Snittet av to mengder A og B er mengden av alle elementer som bare er med i både A og B. Se figur III. (Snittet er det skraverte).
En delmengde A av B skrives
A er en delmengde av B. Hele A ligger i B, men B kan være større enn A. Se figur I. (A er det skraverte).
På figuren er faktisk A en ekte delmengde av B, dvs. A ⊂ B. Med dette menes at B har minst ett element mer enn A.
Disjunkte mengder A og B har tomt snitt, dvs.
De er adskilte og har ingen felles mengde eller elementer. Figur:
3 Generelle definisjoner og setninger
Definisjon mengde
Definisjon den tomme mengde
Definisjon union
Av dette følger at
Definisjon snitt
Av dette følger at
Definisjon delmengde
Av dette følger at
Definisjon ekte delmengde
Av dette følger at
Definisjon differensmengde
Av dette følger at
4 Notasjonsforklaringer
Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:
OPPGAVE 142 – HARMONISK REKKE
Følgende rekke kalles den harmoniske rekke:
Finn
Løsningsforslag:
Neste artikkel kommer i november. Hilsen erty56.
Artikkelen kan lastes ned som pdf-fil her:
MATTENØTT NR. 142 24. september 2019
Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.Tags: matematikk nøtter, matte nøtter, mattenøtter
add a comment
Hei igjen!
Her kommer en ny mattenøtt.
OPPGAVE 142 – HARMONISK REKKE
Følgende rekke kalles den harmoniske rekke:
Finn
Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:
OPPGAVE 141 – KVADRATRØTTER II
Gitt
Finn x.
Hint: Det blir fire løsninger.
Løsningsforslag:
Setter y = x² Dette gir:
Deretter
Ved kvadrering legges iblant til falske løsninger. Det har imidlertid ikke skjedd her. Alle fire løsninger passer i det opprinnelige uttrykket.
Neste artikkel kommer i oktober. Hilsen erty56.
MATTENØTT NR. 141 18. august 2019
Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.Tags: matematikk nøtter, matte nøtter, mattenøtter
add a comment
Hei igjen!
Her kommer en ny mattenøtt.
OPPGAVE 141 – KVADRATRØTTER II
Gitt
Finn x.
Hint: Det blir fire løsninger.
Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:
OPPGAVE 140 – TO SVÆRT ENKLE OPPGAVER
A) En fotball veier 1 kg. i tillegg til halvparten av sin egen vekt. Hvor mye veier fotballen?
Kaller fotballens vekt for x. Dette gir:
Svar: Fotballen veier 2 kg.
B) En basketball veier 2 kg. i tillegg til 1/3 av sin egen vekt. Hvor mye veier basketballen?
Kaller basketballens vekt for x. Dette gir:
Svar: Basketballen veier 3 kg.
Neste artikkel kommer i september. Hilsen erty56.
MATTENØTT NR. 140 24. juli 2019
Posted by erty56 in Matematikk, quiz og grublerier.Tags: matematikk nøtter, matte nøtter, mattenøtter
add a comment
Hei igjen!
Her kommer en ny mattenøtt.
OPPGAVE 140 – TO SVÆRT ENKLE OPPGAVER
A) En fotball veier 1 kg. i tillegg til halvparten av sin egen vekt. Hvor mye veier fotballen?
B) En basketball veier 2 kg. i tillegg til 1/3 av sin egen vekt. Hvor mye veier basketballen?
Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:
OPPGAVE 139 – NOE VANSKELIG ALGEBRA
Gitt en tredjegradsligning
med tre løsninger. Den ene løsningen er den geometriske middelverdien av de to andre løsningene, dvs.
Finn sammenhengen mellom a, b, c og d.
Hint: Man skal ende opp med et uttrykk med kun a, b, c og d.
Løsningsforslag:
Man skriver først opp ligningen på redusert form ved å dividere med a:
Følgende tre sammenhenger mellom løsningene og koeffisientene a, b, c, og d, gjelder alltid for en tredjegradsligning på redusert form:
Siden
blir disse tre:
Neste artikkel kommer i august. Hilsen erty56.
MATTENØTT NR. 139 20. juni 2019
Posted by erty56 in Matematikk, Populærvitenskap generelt, quiz og grublerier.Tags: matematikk nøtter, matte nøtter, mattenøtter
add a comment
Hei igjen!
Her kommer en ny mattenøtt.
OPPGAVE 139 – NOE VANSKELIG ALGEBRA
Gitt en tredjegradsligning
med tre løsninger. Den ene løsningen er den geometriske middelverdien av de to andre løsningene, dvs.
Finn sammenhengen mellom a, b, c og d.
Hint: Man skal ende opp med et uttrykk med kun a, b, c og d.
Her kommer løsningsforslag til forrige måneds:
OPPGAVE 138 – GEOMETRISKE FORHOLD IV
Gitt en sirkel med radius r som på figuren under (svart farge).
Sirkelen inneholder to kvadrater (begge i blå farge). Hva blir forholdet mellom arealet av det største kvadratet og det minste kvadratet?
Hint: Finn begge kvadrater ved radius i sirkelen.
Først en ny skisse:
Arealet av det største kvadratet med sider s kan finnes ved pytagoras setning:
Arealet av det minste kvadratet med sider l kan finnes ved pytagoras setning, og deretter regne en annengradsligning med l som den ukjente:
Siden l er en lengde blir
Forholdet mellom arealet av det største kvadratet og det minste kvadratet blir:
Neste artikkel kommer i juli. Hilsen erty56.